1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 讲义（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 讲义（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2023-02-02 11:02:09 | ||
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文档简介
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1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
一、考点梳理
考点一、对半径和周期的理解
1．由qvB＝m，可得r＝。
2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。
3．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。
4．半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解．
【典例1】两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，A、B连线垂直于磁场边界。如图所示，则（ ）
A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比
C．两粒子的质量之比 D．两粒子的速率之比
【答案】C
【解析】A．由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；
B．由粒子做匀速圆周运动，如图
粒子运动轨道圆心在AB的垂直平分线和过A点的速度垂直方向的交点，故
，，所以故B错误；
C．由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为，b粒子转过的圆心角为，根据运动时间相同可得运动周期为，再根据洛伦兹力做向心力可得所以，运动周期为，根据电荷量相等可得，故C正确；D．根据， ，，，可得，故D错误。
【典例2】一束带电粒子以同一速度从同一位置进入匀强磁场，在磁场中它们的轨迹如图所示。若粒子A的轨迹半径为，粒子B的轨迹半径为，且，、分别是它们的带电荷量，、分别是它们的质量。则下列分析正确的是（ ）
A．A带负电、B带正电，荷质比之比为
B．A带正电、B带负电，荷质比之比为
C．A带正电、B带负电，荷质比之比为
D．A带负电、B带正电，荷质比之比为
【答案】C
【解析】A向左偏，B向右偏，根据左手定则知，A带正电，B带负电。根据洛伦兹力提供向心力可得
知荷质比
v与B不变，所以荷质比之比等于半径之反比，即
。
练习1、如图所示，和是从A点以相同的速度垂直磁场方向射入匀强磁场的两个粒子运动的半圆形轨迹，已知两个粒子带电荷量相同，且，不计重力的影响，则由此可知（ ）
A．两粒子均带正电质量之比 B．两粒子均带负电，质量之比
C．两粒子均带正电，质量之比 D．两粒子均带负电，质量之比
【答案】B
【解析】AC．两粒子进入磁场后均向下偏转，可知在A点均受到向下的洛伦兹力，由左手定则可知，两个粒子均带负电，选项AC错误；BD．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有得因两粒子进入磁场的速度相同，电荷量也相同，又在同一磁场中运动，故选项B正确，D错误。故选B。
练习2、（多选）长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电．现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射，如下图所示．欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是( )
A．使粒子速度v＜
B．使粒子速度v＞
C．使粒子速度v＞
D．使粒子速度＜v＜
【答案】AB
【解析】当粒子紧擦上极板右边缘飞出时(如右图)，半径为R，则L2＋2＝R2，R＝L.，由R＝得v＝＝，即当粒子的速度v＞时，粒子就打不到极板上，故B正确．当粒子紧擦着上极板左边缘飞出时(如图所示)
R＝，由R＝得v＝＝，即当粒子的速度v＜时，
粒子也不能打到极板上，故欲使粒子不打到极板上，
则v＜或v＞.
练习3、真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。大量电子以速率v沿半径方向射入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使电子不能进入内部无磁场区域，磁场的磁感应强度B最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
使电子不能进入内部无磁场区域的临界如下图所示
磁感强度最小时轨迹与内圆相切，根据勾股定理
解得
电子在磁场中运动时根据洛伦兹力提供向心力
解得
B的最小值为
故B正确，ACD错误。
考点二、带电粒子在直边界磁场中的运动
处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧
从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律．
1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值．
2．当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)．
3．当速率变化时，圆心角大的，运动时间长．
4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
【典例1】如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为+q、速度大小均为v的粒子。MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】粒子在磁场中运动半径 从O点垂直MN向上射出的粒子达到MN时距离O点最远，最远距离为从O点水平向右射出的粒子在磁场总做完整的圆周运动后回到O点，则感光照相底片上的感光长度为。
【典例2】（多选）如图所示，在直线上方存在着范围足够大、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从O点以速度沿垂直于方向进入磁场，经过t时间运动到磁场中的C点。已知O、C连线与初速度的夹角为，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子从O点运动至C点的过程中，速度偏转角为
B．带电粒子在磁场中运动的时间为
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹直径为
D．若仅增大粒子的入射速度大小，经过时间粒子速度方向偏转的角度为
【答案】BD
【解析】A．作出粒子从O点运动至C点的轨迹如图所示
根据几何关系可知，粒子的速度偏向角等于圆心角故A错误；B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，从O点运动至C点的时间为t，因此且联立解得而带电粒子在磁场在磁场中运动的时间故B正确；C．根据
可得带电粒子在磁场中运动的半径执行为，故C错误；D．若仅增大粒子的入射速度大小，粒子在磁场中运动的切不变，经过t时间运动的圆弧对应的圆心角为，由A可知经过时间粒子速度方向偏转的角度为，故D正确。
练习1、如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可知，r＋r＝L，则r＝(－1)L，根据牛顿第二定律得qv0B＝m，解得
v0＝，C项正确．
练习2、如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域．若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为( )
A.≤v≤ B.≤v≤
C.≤v≤ D.≤v≤
【答案】C
【解析】根据洛伦兹力充当向心力可知，v＝，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨迹与AD边相切时速度最大，如图，则有AO′·sin 45°＝O′E，即(R＋L)sin 45°＝R，解得满足题目要求的最大半径为R＝(＋1)L，故最大速度为v1＝；当粒子从C点出射时，满足题目要求的半径最小，为r2＝，故最小速度应为v2＝，则v的取值范围为≤v≤，故C正确，A、B、D错误．
练习3、如图所示，直角坐标系XOY位于竖直平面内，在的某区域存在一磁感应强度、方向垂直于纸面向外，边界为矩形的匀强磁场（图中未画出）。现有一束比荷的带正电粒子，从坐标原点沿与x轴正方向成角射入第一象限，速度大小范围为。所有粒子经矩形区域磁场偏转后速度均与y轴平行，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
（1）求速度最大的粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）求矩形有界磁场区域的最小面积（结果可带根号）。
【答案】（1）0.2m；（2）
【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力有代入数据解得R=0.2m（2）矩形有界磁场如图
由几何关系可得，矩形的长为矩形的宽为
则最小面积为
考点三、带电粒子在弧形边界磁场中的运动
【典例1】如图所示，在半径为R圆形区域内有一匀强磁场，有一粒子从边界上的A点以一定的速度沿径向垂直于磁场方向射入，在磁场边界上距A点圆周处飞出，则粒子在磁场中的圆周运动的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示为粒子在磁场中的运动轨迹，轨迹圆心为，则轨迹半径
【典例2】如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，AC、DE是圆的两条互相垂直的直径，在A点有一个粒子源，沿与AC成45°斜向上垂直磁场的方向射出各种不同速率的粒子，粒子的质量均为m，电荷量均为q，所有粒子均从CD段四分之一圆弧射出磁场，不计粒子的重力，则从A点射出的粒子速率满足的条件是（ ）
A．＞v＞ B．＞v＞
C．＞v＞ D．＞v＞
【答案】C
【解析】当粒子恰好从C点出射，由题知，圆心刚好在D点，如图所示，根据几何关系可得运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力，则有解得
当粒子恰好从D点出射，圆心恰在AD的中点，如图所示
根据几何关系可得运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得故要所有粒子均从CD段四分之一圆弧射出磁场，
则从A点射出的粒子速率满足的条件是＞v＞。
练习1、如图所示，半径R＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁感强度B＝0.33T，方向垂直纸面向里。在O处有一放射源S，可沿纸面向各方向射出速率均为v＝3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子的质量m＝6.6×10－27kg，电荷量q＝3.2×10－19C，则该α粒子通过磁场空间的最大偏转角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】放射源发射的α粒子的速率一定，则它在匀强磁场中的轨道半径为定值，即r＝＝m＝0.2m＝20cm
α粒子在圆形磁场区的圆弧长度越大，其偏转角度也越大，而最长圆弧是两端点在圆形磁场区的直径上，又r＝2R则此圆弧所对的圆心角为60°，也就是α粒子在此圆形磁场区的最大偏转角为60°.轨迹如图所示．ABD错误，C正确。
练习2、空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直横截面，如图所示。一质量为m、电荷量为q（）的粒子以速率沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向。不计粒子重力，求：
（1）该磁场的磁感应强度B大小；
（2）粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
得
根据题意，由几何关系得圆周运动的半径
解得
（2）粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为，故
考点四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．
如图甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b.
2．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．
如图乙所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.
3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图甲所示．
4．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图乙所示．
【典例1】如图所示，等边三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，、分别是、边上的某点。三个相同的带电粒子分别以相同的速率从点沿不同方向垂直磁场射入，分别从点、点和点离开磁场，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．从点离开的粒子在磁场中运动的路程一定最大
C．从点离开的粒子在磁场中运动的时间一定最短
D．从点离开的粒子在磁场中的运动时间一定大于从点离开的粒子在磁场中的运动时间
【答案】D
【解析】A．根据左手定则可知粒子带正电，A错误；BCD．画出带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
若粒子从ac边射出，粒子依次从ac上射出时，半径增大而圆心角相同，弧长等于半径乘以圆心角，所以经过的弧长越来越大（即路程越来越大），运动时间t = 则从ac边射出的粒子运动时间相同；如果从bc边射出，粒子从b到c上依次射出时，弧长会先变小后变大，但都会小于从c点射出的弧长，则从c点射出的粒子在磁场中运动的路程最大，圆心角也会变大，但小于从c点射出时的圆心角，所以运动时间变小，则从c点离开的粒子在磁场中的运动时间一定大于从e点离开的粒子在磁场中的运动时间，BC错误、D正确；
【典例2】（多选）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【解析】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为洛伦兹力提供向心力解得粒子入射速率若，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知解得D正确。
练习1、（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为同m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
【答案】CD
【解析】AC．若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图所示
由几何知识得解得根据牛顿第二定律得解得根据动量定理得故A错误，C正确；B．若粒子的运动轨迹如图所示
由左手定则可知粒子带负电，粒子做圆周运动的半径最小为由牛顿第二定律得解得故B错误；D．若粒子带正电，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间为故D正确。
练习2、（多选）如图所示，P、Q为一对平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子（重力不计），以水平初速度从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】若粒子恰好打到板左端，由几何关系可得由洛伦兹力作为向心力关系可得可解得若粒子恰好打到板右端，由几何关系可得
解得由洛伦兹力作为向心力关系可得可解得粒子打到板上，则初速度v大小范围是。
考点五、带电粒子在匀强磁场中的运动时间
1.运动时间的确定：
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T ②t＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与物理上的弦切角α（入射速度与弦的夹角）的关系：φ＝2α
2.时间极值的求法：
比较弦切角，弦切角越大时间越长，反之时间越短
比较弦的大小，劣弧同速，弦越长时间越长，反之时间越短
【典例1】真空区域有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。比荷为k的带负电粒子（不计重力），沿着与MN夹角的方向射入磁场中，恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速率大小是
B．粒子在磁场中运动的时间是
C．仅增大粒子的入射速率，在磁场中的运动时间将减小
D．仅减小粒子的入射速率，在磁场中的运动时间将增大
【答案】C
【解析】AB．粒子刚好没能从PQ边界射出磁场时，其运动轨迹刚好与PQ相切，如图
设带电粒子圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系有
得
根据
解得
A错误；
B．粒子在磁场中的周期为
在磁场中转过的角度为 ，在磁场中的时间为
B错误；
C．增大粒子的入射速率，粒子的周期不变，粒子从磁场的右边界出磁场，粒子运动轨迹所对应的圆心角减小，则运动时间变小， C正确；
D．减小粒子的入射速率，粒子的周期不变，半径变小，粒子仍然从左边界出磁场，圆心角不变，则运动时间不变，D错误。
【典例2】（多选）如图所示，在x≥0的范围内有垂直于xOy平面向外的磁场磁场的磁感应强度大小为B，质量为m、电量为q的带正电粒子（重力不计），从坐标原点O处与+y方向成θ角垂直磁场方向射入磁场（其中π/6≤θ≤5π/6），P点是速度大小为vo沿+x方向射入的粒子离开磁场的点，下列说法正确的是（ ）
A. P点坐标为（0，-）
B. 粒子在磁场中运动的最长时间为
C. 粒子在磁场中运动的最短时间为
D. 当粒子射入的速度大小满足v=，粒子都将从P点离开磁场
【答案】ABD
【解析】
由于Р点是速度大小为v0，沿+x方向射入的粒子离开磁场的点，粒子轨迹如图①所示。圆心在O1位置，由qvB=m可得OP=2r=，故Р点坐标为（C，-），A选项正确；粒子在磁场中运动的时间与转过的圆心角有关，运动时问最长的粒子应该悬沿入射的粒子，轨迹参考如图②．由几何知识可得转过的圆心角为，由T=可得运动最长时间为，B选项正确；同理运动时间最短的粒子应该是沿射的粒子，轨迹参考如图③，由几何知识可得转过的圆心角为．由T=可得运动最短时间为，C选项错误；当粒子射入的速度大小满足v=，粒子运动半径为r==，这些粒子的轨迹圆心均在OP连线的中垂线上；故粒子都将从Р点离开磁场；
练习1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；如图所示，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，
练习2、一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带正电粒子，如图所示。已知粒子电荷量为q，质量为m重力不计：
1若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足什么条件？
2若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界处射出，出射点位于该边界上何处？最长时间是多少？
【答案】(1)【解析】(1)粒子轨迹恰好与cd边相切，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，设此半径为R1，如图甲所示。则有R1cos60°＋＝R1，可得R1＝L。
粒子轨迹恰好与ab相切，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况，设此半径为R2，如图乙所示。则有R2sin30°＋R2＝，得R2＝，故粒子能从ab边射出磁场的条件为R2所以(2)因为t＝T＝，所以粒子运动轨迹所对应的圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长。从图中可以看出，如果粒子从cd边射出，则圆心角最大为60°，若粒子从ab边射出，则圆心角最大为240°，粒子从ad边射出，圆心角最大为360°－60°＝300°，由甲、乙两图可知，粒子不可能从右侧射出。
综上所述，为使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边射出。如图乙所示，设出射点到O的距离为x，从图中可以看出，P点是粒子在磁场中运动时间最长的出射点。
因为PO＝2R2sin30°＝，所以x≤，即出射点到O的距离不超过。
最长时间：tmax＝＝×＝。
考点六、带电粒子在复合场中运动
(1)弄清复合场的组成特点。
(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。
②若受三种场力时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v的方向垂直。
③若三场共存时，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。
④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【典例1】如图所示，质量为m，带电荷量为 q的微粒以速度v与水平方向成45°角进入正交的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向左，重力加速度为g，如果微粒做直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 微粒一定做匀速直线运动 B. 微粒受电场力、洛伦兹力两个力作用
C. 电场强度为 D. 匀强磁场的磁感应强度B=
【答案】A
【解析】AB．由于粒子带负电，电场力向右，洛伦兹力垂直于OA线斜向左上方，而重力竖直向下，则电场力、洛伦兹力和重力能平衡，致使粒子做匀速直线运动．故A正确，B错误；
CD．由图qE=mgtan45°
qvBsin45°=mg
解得
故CD错误。故选A。
【典例2】（多选）如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B的复合场中（E、g和B已知），小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球带负电
B. 小球做匀速圆周运动过程中机械能保持不变
C. 小球做匀速圆周运动过程中周期
D. 若电压U增大，则小球做匀速圆周运动周期变大
【答案】AC
【解析】小球在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，则知小球所受的电场力竖直向上，与电场方向相反，因此小球带负电，故A正确．小球做匀速圆周运动，动能不变，重力势能不断变化，两者之和即机械能在变化，故B错误．小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 qvB=mr，又qE=mg，联立得，故C正确．在加速电场中，根据动能定理得 qU=mv2，得，知若电压U增大，小球获得的速度v增大，小球做匀速圆周运动的轨迹半径增大，根据知小球做匀速圆周运动的周期不变．故D错误．
练习1、带正电甲、乙、丙三个粒子(不计重力)分别以v甲、v乙、v丙速度垂直射入电场和磁场相互垂直的复合场中，其轨迹如图所示，则下列说法正确的是( )
A. v甲C. 电场力对丙做正功，动能增大 D. 电场力对甲做正功，动能增大
【答案】C
【解析】AB．分别对三个粒子受力分析，根据运动轨迹可知：
可知：，故AB错误；
C．丙粒子受到的电场力竖直向下，电场力做正功，动能增加，故C正确；
D．甲粒子受到的电场力竖直向下，电场力做负功，动能减少，故D错误。
练习2、如图所示，平面的第一象限有沿轴负方向的匀强电场，带正电粒子从轴上坐标为处以速度沿正向进入电场，从轴上坐标为点离开电场进入第四象限，运动一段时间后，经过一个与坐标平面垂直的半圆形匀强磁场区域（图中没有画出），恰好可以到达轴且沿轴负方向运动。已知磁场的磁感应强度大小，带电粒子质量为、电荷量为，不计粒子重力，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)半圆形匀强磁场区域的最小面积。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)带电粒子沿轴负方向做匀加速运动，沿轴方向做匀速的运动；方向有
方向有
又
联立以上各式可解得
(2)粒子离开电场时速度大小设为，于是有
粒子在磁场中运动的轨道半径为，则
解得
，
如图所示
设粒子离开电场时速度和轴夹角为，则
解得
若要半圆形磁场区域的面积最小，则半圆形磁场区域的圆心为，可得半径
所以半圆形磁场区域的最小面积
二、夯实小练
1、如图所示的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，同一粒子先后以不同速率从同一点正对圆心O射入磁场，分别从a、b两点射出，下列说法正确的是（ ）
A．b点射出的粒子运动半径较小
B．a点射出的粒子速率较大
C．b点射出的粒子运动时间较长
D．a点射出的粒子速度方向反向延长线过O点
【答案】D
【解析】
AB．b点射出的粒子运动半径较大，极限思想，速度越大粒子偏转方向越接近入射方向，所以AB错误；
C．如上图速度越大半径越大，但圆心越小，同一带电粒子在同磁场中运动其周期与速度无关，所以圆心越小，运动时间越小，则C错误；
D．如图带电粒子在圆形边界磁场中做匀速圆周运动，沿径向射入沿径向射出，所以a点射出的粒子速度方向反向延长线过O点，则D正确；
故选D。
2、如图所示，和是垂直于纸面向里的匀强磁场、Ⅰ、Ⅱ的边界。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度分别为、，且。一质量m、电荷量为q的带电粒子垂直边界从P点射入磁场Ⅰ，后经f点进入磁场Ⅱ，并最终从边界射出场区域。不计粒子重力，则该带电粒子在磁场中运动的总时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据洛伦兹力作为向心力公式
可得半径公式，设ef长为L，在磁场Ⅰ中粒子的半径、周期分别为
转过90°，运动时间为
从f点进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中粒子的半径、周期分别为
转过180°后，从ef中点再次进入磁场Ⅰ，在磁场Ⅱ中运动时间为
进入磁场Ⅱ后设转过后从cd边的Q点射出，如图所示
由几何关系可知
可解得，粒子在磁场Ⅰ中运动时间为
该带电粒子在磁场中运动的总时间为
联立可解得，C正确。
3、如图所示，MN为两个匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小的关系为B1=2B2，一带电荷量为+q、质量为m的粒子从O点垂直MN进入B1磁场，则经过多长时间它将向下再一次通过O点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由周期公式
则有，粒子从O点垂直MN进入B1磁场，再一次通过O点的时间为
所以A正确；BCD错误；
4、（多选）如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a.在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0＝，发射方向由图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是( )
A．粒子有可能打到A点
B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短
C．以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
【答案】AD
【解析】根据Bqv0＝meq \f(v,R)，可知粒子的运动半径R＝a，因此θ＝60°时，粒子恰好从A点飞出，故A正确．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是周期的六分之一，在磁场中运动时间最长，故B错误；以θ＝0飞入的粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是周期的六分之一，θ从0到60°，粒子在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；因为以θ＝0飞入的粒子在磁场中恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确．
5、如图所示，在矩形区域中有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，从点沿方向发射三个相同的带电粒子，三粒子分别从、、射出。已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．三粒子在匀强磁场中的速率之比为
B．三粒子在匀强磁场中的速率之比为
C．三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为
D．三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为
【答案】A
【解析】AB．三个粒子都是洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，有
可得
三个相同的带电粒子分别从A点进入矩形磁场，从、、射出，轨迹如图所示
已知，则可得
，
第三个粒子由几何关系可得
解得
三粒子的电量q和质量m相同，则在匀强磁场中的速率之比为
故A正确，B错误；
CD．前两个个粒子匀速圆周的圆心角分别为
，
第三个粒子的圆心角满足
解得
而三个相同粒子做匀速圆周运动的时间为
故有
6、我国提供永磁体的阿尔法磁谱仪（下图是它的原理图）由航天飞机携带升空并安装在国际空间站中，它的主要使命之一是探索宇宙中的反物质。所谓反物质，就是质量与正粒子相等、电荷量与正粒子相等但电性相反的粒子。假如使一束质子、反质子、粒子（核）和反粒子组成的射线，以相同的速度大小沿通过匀强磁场进入匀强磁场而形成图中的4条径迹，则（ ）
A．1、3是反粒子径迹 B．2为反质子径迹
C．1、2为反粒子径迹 D．3为粒子径迹
【答案】C
【解析】在磁场中，粒子做匀速圆周运动，正离子受力向右，向右偏转；负离子向左偏转。故1、2为反粒子径迹；
根据洛伦兹力提供向心力有
解得：
故质子与α粒子的半径之比为1：2，即α粒子转弯半径大，所以3是质子，4是α粒子；1是反质子，2是反α粒子；
7、如图所示，有一范围足够大的水平匀强磁场，磁感应强度为B，一个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘倾斜长杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ。现使圆环以初速度v0沿杆向上运动。不计空物气阻力。下列描述该圆环上升过程中的速度v随时间t、机械能E随位移x变化的图像中，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】AB．把带电小圆环的重力沿杆和垂直杆分解得，由左手定则知带电圆环受洛仑兹力垂直杆向上，带电小圆环上滑的过程中由于阻力的作用v越来越小。若则
由以上三式可得此时带电圆环做加速度增大的减速运动；若，随着v的不断减小则先有
后有
即带电圆环先做加速度减小的减速运动然后再做加速度增大的减速运动；又因速度时间图像的斜率表示加速度。故AB错误；
CD．小球运动的过程中洛仑兹力不做功，摩擦力做功使小球的机械能减小，向上运动的过程中有
据以上分析向上运动的过程中f可能逐渐增大，所以机械能的变化率逐渐增大；f也可能先减小后增大，所以机械能的变化率也先减小后增大；故C正确D错误。
8、如图所示，用细线吊一个质量为m的带电绝缘小球，小球处于匀强磁场中，空气阻力不计。小球分别从A点和B点向最低点O运动，当小球两次经过O点时（ ）
A．小球的动能相同 B．细线所受的拉力相同
C．小球所受的洛伦兹力相同 D．小球的向心加速度大小不相同
【答案】A
【解析】A.由于洛伦兹力不做功，因此机械能守恒，两次小球的到达最低点的动能相同，A正确；
D.根据
由于动能相同，因此向心加速度相同，D错误；
BC.两次运动方向相反，因此所受洛伦兹力的大小相等，但方向相反，故绳子拉力大小不相同，BC错误。
9、如图，直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，下列判断正确的是( )
A．粒子带正电 B．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
C．粒子运动的速率为 D．粒子在磁场中运动的时间为
【答案】C
【解析】粒子的轨迹如图所示，向下偏转，所以粒子带负电，根据几何知识可得解得故根据 可得粒子运动的速率为从图中可知粒子轨迹所对圆心角为60°，故粒子在磁场中运动的时间为
10、如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
【答案】(1)见解析 (2)60°
【解析】(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得
Bqv＝m，则r＝。
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sin ＝＝，即φmax＝60°。
11、如图所示，在xOy平面内x轴上方有垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为＋q的粒子(不计重力)，从O点以某一初速度垂直磁场射入，其轨迹与y轴交于M点，与x轴交于N点(图中M、N未画出)。已知OM＝a，ON＝a，求：
(1)粒子初速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）v＝ （2）t＝
【解析】(1)根据题意作出粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系可得：
R2＝＋解得R＝a
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m，解得：v＝。
(2)根据几何关系可得：tan θ＝＝，解得θ＝60°
粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为α＝360°－120°＝240°
则粒子在磁场中运动的时间为t＝×＝。
12、如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。求：
(1)离子打在荧光屏上的位置离O点的距离是多少？
(2)若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间？
【答案】（1）d＝ （2）t＝
【解析】(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，作出其运动轨迹，如图
由牛顿第二定律可得：Bqv＝m 解得：r＝
如图所示，离子回到屏S上的位置与O点的距离为：d＝2r＝。
(2)当离子到位置P时，圆心角：α＝2θ，离子运动的时间为t＝T，而周期T＝
所以联立以上三式得：离子运动时间t＝。
三、培优练习
1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆相切时对应的圆心角 最小，如图所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中运动的时间为，其中
解得，ACD错误，B正确。
2、如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的足够宽的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（ ）
A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
【答案】A
【解析】AB．正粒子从磁场边界入射做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，有从而
当θ为锐角时，画出正粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知，入射点与出射点而粒子在磁场的运动时间，与速度无关；当θ为钝角时，画出正粒子运动轨迹如图所示
由几何关系入射点与出射点
而粒子在磁场中运动时间
与第一种情况相同，则若v一定，θ越大，从时间公式可以看出运动时间越短；
若v一定，θ为锐角越大时，则Oa就越大，但θ为钝角越大时，由上式可以看出Oa不一定越远，故A正确，B错误；C．由可得粒子运动的角速度，显然与速度无关，故C错误；
D．运动时间无论是锐角还是钝角，时间均为与速度无关，即若θ一定，无论v大小如何，则粒子在磁场中运动的时间都保持不变，故D错误。
3、如图所示，长方形的长，宽，O、e分别是的中点，以e为圆心、为半径的圆弧和以О为圆心、为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度。一群质量、电荷量的带正电粒子以速度沿垂直于且垂直于磁场方向射入磁场区域，（不计粒子重力及粒子间的相互作用）。则下列判断正确的是（ ）
A．从边射入的粒子，从边上各点射出 B．从边射入的粒子，从边上各点射出
C．从边射入的粒子，从b点射出 D．从边射入的粒子，从边上各点射出
【答案】C
【解析】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可得
，从边射入的粒子先做直线运动，设某一粒子从点进入磁场，其圆心为，如图所示
因，根据几何关系，可得虚线四边形是菱形，则该粒子一定从点射出，同理，从边射入的粒子，全部从点射出；从边射入的粒子，轨迹均为以为半径的圆弧，所以从点射入的从点射出，从边射入的粒子，因边界上无磁场，粒子到达边界后做直线运动，即从边射入的粒子全部通过点，故C正确，ABD错误。
4、如图所示，在x轴上方存在方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方存在方向垂直坐标平面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。一带负电的粒子（不计重力）从原点O以与x轴正方向成30°角的速度v射入磁场，其在x轴上方做圆周运动的半径为R。则（ ）
A．粒子经偏转过程一定能回到原点O
B．粒子完成一次周期性运动的时间为
C．粒子射入磁场后，第二次经过x轴时与O点的距离为
D．粒子在x轴上方和下方的磁场中运动的轨迹半径之比为1：3
【答案】C
【解析】A．带负电的粒子进入x轴上方磁场后受洛伦兹力发生偏转，到达x轴以后进入x轴下方的磁场，在x轴下方的磁场中受洛伦兹力发生偏转，如图所示
粒子按照这样的规律循环运动，不能回到原点O，A错误；
BD．粒子在x轴上方运动的轨迹半径为R，根据
解得
以及两磁场磁感应强度的大小关系可知粒子在x轴下方运动的轨迹半径为，由几何关系可知，粒子在x轴上方和下方运动时轨迹圆弧所对的圆心角均为60°，则粒子完成一次周期性运动的时间为
BD错误；
C．由几何关系可知，粒子射入x轴上方的磁场后，第一次经过x轴时与O点的距离为R，第二次经过x轴时与第一次经过x轴的点距离为，则粒子射入磁场后，第二次经过x轴时与O点的距离为，C正确。
5、质量为m、电荷量为q的小物块，从倾角为θ的粗糙绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下面说法正确的是（ ）
A．小物块一定带正电荷
B．小物块在斜面上运动时做匀减速直线运动
C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动
D．小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为
【答案】C
【解析】A．由题意可知，小物块受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可得：小滑块带负电，故A错误；
BC．在向下运动的过程速度增大，洛伦兹力增大，支持力减小，由
得摩擦力减小
所以加速度增大。物块做加速度逐渐增大的加速运动。故B错误C正确；
D．由题意，当滑块离开斜面时，洛伦兹力
则
故D错误。
6、如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向里，两磁场的磁感应强度大小均为B.顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，粒子重力不计．则粒子以下列哪一速度值发射时不能通过C点( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】粒子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示：
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径：r＝(n＝1,2,3，…)，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：v＝＝(n＝1,2,3，…)。
7、如图所示，一长为2L、宽为L的矩形区域ABCD内（包括边界），存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，P为BC边的中点。A处有一粒子源，可以沿AD方向发射质量为m、带电量为的粒子（不计重力与粒子间的相互作用）。从PC段射出的粒子初速度大小的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若粒子从P点射出，则半径
R=L
根据
可得
若粒子从C点射出，则
解得
r=2.5L
根据
可得
则从PC段射出的粒子初速度大小的范围为
8、（多选）如图所示，直角三角形区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。，，在点有一个粒子源，可以沿方向发射速度大小不同的带正电的粒子。已知粒子的比荷均为，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的是（ ）
A．随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变小
B．随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏向角越大
C．从边射出的粒子的最大速度为
D．从边射出的粒子，在磁场中的运动时间为
【答案】CD
【解析】B．粒子在磁场中做圆周运动，从边射出的粒子轨迹如图所示
则射出磁场时速度的偏向角都相等为60°，故B错误；
C．从点射出的粒子速度最大，由几何关系知，粒子运动的半径
由
得，最大速度为
选项C正确；
AD．从边射出的粒子的圆心角为，在磁场中的运动时间为
则随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间不变，故A错误，D正确。
9、如图所示，在边长的等边三角形ACD区域内，存在正交分布的磁感应强度大小、方向垂直纸面向外的匀强磁场和匀强电场（图中未画出）。现有一质量、电荷量的带正电微粒，从AC边的中点P以平行于CD边的某一速度射入磁场恰能做匀速圆周运动，重力加速度g取。求：
(1)匀强电场的电场强度的大小和方向；
(2)若微粒恰好从D点飞出磁场，则微粒的入射速度大小；
(3)微粒在该区域运动的最长时间（结果保留2位有效数字）。
【答案】(1)，方向竖直向上；(2)；(3)。
【解析】(1)微粒仍能做匀速圆周运动，则满足
得
方向竖直向上。
(2)设粒子恰好从D点飞出磁场的轨迹半径为，根据几何关系有
得
由洛伦兹力提供向心力有
得
可得
代入数据得
(3)若粒子从AC边飞出磁场，运动轨迹如图所示，圆心角
代彷数据解得
10、如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，当磁场的磁感应强度为B时，粒子恰好能通过d点。不计粒子的重力，求：
(1)粒子进入磁场时的速度大小；
(2)粒子在磁场中的运动时间t；
(3)若只改变匀强磁场的磁感应强度大小，则当粒子恰好能通过c点时，磁场的磁感应强度B的大小为多少。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律有
得
由几何关系可知
所以
(2)粒子在磁场中的运动时间
其中，
结合
得
(3)由
得
可见，在、相同时，
画出两种情形粒子的运动轨迹，可确定粒子恰好能通过c点时的轨道半径
解得
11、如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成30°角，不计粒子所受的重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子到达a点时速度的大小和方向；
（3）abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值，并求粒子从P点到离开第Ⅳ象限所经历的时间。
【答案】(1) ；（2）2v0，速度方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成60°角；（3），
【解析】
（1）粒子运动过程如图所示
设粒子在电场中运动的时间t，则有
水平方向
竖直方向
在电场中有
联立得
（2）粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度
则合速度大小为
方向为
解得，即粒子在a点速度方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成角
（3）因为粒子从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成角，且，所以粒子只能从磁场的ab边射出，当粒子从b点射出时，r最大，此时磁场的磁感应强度有最小值，由几何关系得r=L
粒子在磁场中运动时，有
解得磁感应强度的最小值
由（1）可知在电场运动时间
在磁场中，运动时间
做匀速直线运动时间
故运动的总时间
12、如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
【答案】（q为正电荷）或（q为负电荷）
【解析】
若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径
R=
又
d=R-
解得
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有
R′=
d=R′＋
解得
13、如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，从圆弧顶点P以速率为v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计。
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；
(3)若粒子以速度v0从P点以任意角入射，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上。
【答案】(1) (2)v0 (3)见解析
【解析】(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，由牛顿第二定律得Bqv0＝m
r＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如上图所示，则
t＝＝
(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，其运动轨迹如下图所示，
由图可知∠PO2O＝∠OO2J＝30°
所以带电粒子离开磁场时偏转原来方向60°
v⊥＝vsin 60°＝v0
(3)由(1)知，当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R。
设粒子射入方向与PO方向夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子运动轨迹如下图所示。
因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R
所以四边形POSO3为菱形
由图可知：PO∥O3S，v0⊥SO3
因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关。
14、如图所示，在x轴和x轴上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为＋q的同种带电粒子．在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度为x0、厚度不计、能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板 P上，其速度立即变为0)．现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与y轴平行．不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力．
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)求被薄金属板接收的粒子中运动的最长与最短时间的差值；
(3)若在y轴上放置一挡板，使薄金属板右侧不能接收到带电粒子，试确定挡板的最小长度和放置的位置坐标．
【答案】见解析
【解析】(1)由左手定则可以判断带电粒子在磁场中沿顺时针方向做匀速圆周运动，沿－x方向射出的粒子恰好打在金属板的上端，如图a所示，由几何知识可知R＝x0，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
联立得：B＝
(2)设粒子做匀速圆周运动的周期为T，T＝＝
图b为带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，由图可知到达薄金属板左侧下端的粒子用时最短，此时圆心O′与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成30°，故最短时间tmin＝＝，图c为打在板右侧下端的临界点，由图a、c可知到达金属板右侧下端的粒子用时最长，圆心O′与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成150°，故最长时间tmax＝＝
则被板接收的粒子中运动的最长和最短时间之差为Δt＝tmax－tmin＝
(3)由图a可知挡板上端坐标为(0,2x0)
由图c可知挡板下端y坐标为y2＝2x0cos 30°＝x0，下端坐标为(0，x0)
最小长度L＝2x0－x0＝(2－)x0
15、如图所示，在足够长的绝缘板MN上方存在方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场（图中未标出），在绝缘板上方距离为d的P点有一个粒子发射源，能够在纸面内向各个方向发射速度大小相等，比荷＝k的带正电粒子，已知粒子在磁场中运动的轨道半径R＝d，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，试求：
(1)粒子源所发射粒子的速度大小v0；
(2)能够到达绝缘板上的带电粒子在板上留下痕迹的最大长度Lm；
(3)同时射出的粒子打到板上的最大时间差Δtm。
【答案】（1）Bkd （2） （3）
【解析】(1)带电粒子在磁场中运动时qv0B＝m
解得
画出粒子运动轨迹的示意图如图所示，
设粒子能打中绝缘板上最左端和最右端的点分别为C、D，粒子在C点与绝缘板相切，PD为粒子轨迹圆的直径。根据几何关系可得带电粒子在板上留下痕迹的最大长度：
同时射出的粒子中最先和最后打中绝缘板的粒子运动情况如图所示，
根据几何关系可知，最先打中绝缘板的粒子转过的圆心角：
最后打中绝缘板的粒子转过的圆心角：
粒子在磁场中运动的周期：
同时射出的粒子打到板上的最大时间差：
所以最大时间差。
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1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动
一、考点梳理
考点一、对半径和周期的理解
1．由qvB＝m，可得r＝。
2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。
3．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。
4．半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解．
【典例1】两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，A、B连线垂直于磁场边界。如图所示，则（ ）
A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比
C．两粒子的质量之比 D．两粒子的速率之比
【答案】C
【解析】A．由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；
B．由粒子做匀速圆周运动，如图
粒子运动轨道圆心在AB的垂直平分线和过A点的速度垂直方向的交点，故
，，所以故B错误；
C．由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为，b粒子转过的圆心角为，根据运动时间相同可得运动周期为，再根据洛伦兹力做向心力可得所以，运动周期为，根据电荷量相等可得，故C正确；D．根据， ，，，可得，故D错误。
【典例2】一束带电粒子以同一速度从同一位置进入匀强磁场，在磁场中它们的轨迹如图所示。若粒子A的轨迹半径为，粒子B的轨迹半径为，且，、分别是它们的带电荷量，、分别是它们的质量。则下列分析正确的是（ ）
A．A带负电、B带正电，荷质比之比为
B．A带正电、B带负电，荷质比之比为
C．A带正电、B带负电，荷质比之比为
D．A带负电、B带正电，荷质比之比为
【答案】C
【解析】A向左偏，B向右偏，根据左手定则知，A带正电，B带负电。根据洛伦兹力提供向心力可得
知荷质比
v与B不变，所以荷质比之比等于半径之反比，即
。
练习1、如图所示，和是从A点以相同的速度垂直磁场方向射入匀强磁场的两个粒子运动的半圆形轨迹，已知两个粒子带电荷量相同，且，不计重力的影响，则由此可知（ ）
A．两粒子均带正电质量之比 B．两粒子均带负电，质量之比
C．两粒子均带正电，质量之比 D．两粒子均带负电，质量之比
【答案】B
【解析】AC．两粒子进入磁场后均向下偏转，可知在A点均受到向下的洛伦兹力，由左手定则可知，两个粒子均带负电，选项AC错误；BD．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有得因两粒子进入磁场的速度相同，电荷量也相同，又在同一磁场中运动，故选项B正确，D错误。故选B。
练习2、（多选）长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电．现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射，如下图所示．欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是( )
A．使粒子速度v＜
B．使粒子速度v＞
C．使粒子速度v＞
D．使粒子速度＜v＜
【答案】AB
【解析】当粒子紧擦上极板右边缘飞出时(如右图)，半径为R，则L2＋2＝R2，R＝L.，由R＝得v＝＝，即当粒子的速度v＞时，粒子就打不到极板上，故B正确．当粒子紧擦着上极板左边缘飞出时(如图所示)
R＝，由R＝得v＝＝，即当粒子的速度v＜时，
粒子也不能打到极板上，故欲使粒子不打到极板上，
则v＜或v＞.
练习3、真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。大量电子以速率v沿半径方向射入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使电子不能进入内部无磁场区域，磁场的磁感应强度B最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
使电子不能进入内部无磁场区域的临界如下图所示
磁感强度最小时轨迹与内圆相切，根据勾股定理
解得
电子在磁场中运动时根据洛伦兹力提供向心力
解得
B的最小值为
故B正确，ACD错误。
考点二、带电粒子在直边界磁场中的运动
处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧
从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律．
1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值．
2．当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)．
3．当速率变化时，圆心角大的，运动时间长．
4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
【典例1】如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为+q、速度大小均为v的粒子。MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】粒子在磁场中运动半径 从O点垂直MN向上射出的粒子达到MN时距离O点最远，最远距离为从O点水平向右射出的粒子在磁场总做完整的圆周运动后回到O点，则感光照相底片上的感光长度为。
【典例2】（多选）如图所示，在直线上方存在着范围足够大、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从O点以速度沿垂直于方向进入磁场，经过t时间运动到磁场中的C点。已知O、C连线与初速度的夹角为，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子从O点运动至C点的过程中，速度偏转角为
B．带电粒子在磁场中运动的时间为
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹直径为
D．若仅增大粒子的入射速度大小，经过时间粒子速度方向偏转的角度为
【答案】BD
【解析】A．作出粒子从O点运动至C点的轨迹如图所示
根据几何关系可知，粒子的速度偏向角等于圆心角故A错误；B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，从O点运动至C点的时间为t，因此且联立解得而带电粒子在磁场在磁场中运动的时间故B正确；C．根据
可得带电粒子在磁场中运动的半径执行为，故C错误；D．若仅增大粒子的入射速度大小，粒子在磁场中运动的切不变，经过t时间运动的圆弧对应的圆心角为，由A可知经过时间粒子速度方向偏转的角度为，故D正确。
练习1、如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可知，r＋r＝L，则r＝(－1)L，根据牛顿第二定律得qv0B＝m，解得
v0＝，C项正确．
练习2、如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域．若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为( )
A.≤v≤ B.≤v≤
C.≤v≤ D.≤v≤
【答案】C
【解析】根据洛伦兹力充当向心力可知，v＝，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨迹与AD边相切时速度最大，如图，则有AO′·sin 45°＝O′E，即(R＋L)sin 45°＝R，解得满足题目要求的最大半径为R＝(＋1)L，故最大速度为v1＝；当粒子从C点出射时，满足题目要求的半径最小，为r2＝，故最小速度应为v2＝，则v的取值范围为≤v≤，故C正确，A、B、D错误．
练习3、如图所示，直角坐标系XOY位于竖直平面内，在的某区域存在一磁感应强度、方向垂直于纸面向外，边界为矩形的匀强磁场（图中未画出）。现有一束比荷的带正电粒子，从坐标原点沿与x轴正方向成角射入第一象限，速度大小范围为。所有粒子经矩形区域磁场偏转后速度均与y轴平行，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
（1）求速度最大的粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）求矩形有界磁场区域的最小面积（结果可带根号）。
【答案】（1）0.2m；（2）
【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力有代入数据解得R=0.2m（2）矩形有界磁场如图
由几何关系可得，矩形的长为矩形的宽为
则最小面积为
考点三、带电粒子在弧形边界磁场中的运动
【典例1】如图所示，在半径为R圆形区域内有一匀强磁场，有一粒子从边界上的A点以一定的速度沿径向垂直于磁场方向射入，在磁场边界上距A点圆周处飞出，则粒子在磁场中的圆周运动的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示为粒子在磁场中的运动轨迹，轨迹圆心为，则轨迹半径
【典例2】如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，AC、DE是圆的两条互相垂直的直径，在A点有一个粒子源，沿与AC成45°斜向上垂直磁场的方向射出各种不同速率的粒子，粒子的质量均为m，电荷量均为q，所有粒子均从CD段四分之一圆弧射出磁场，不计粒子的重力，则从A点射出的粒子速率满足的条件是（ ）
A．＞v＞ B．＞v＞
C．＞v＞ D．＞v＞
【答案】C
【解析】当粒子恰好从C点出射，由题知，圆心刚好在D点，如图所示，根据几何关系可得运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力，则有解得
当粒子恰好从D点出射，圆心恰在AD的中点，如图所示
根据几何关系可得运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得故要所有粒子均从CD段四分之一圆弧射出磁场，
则从A点射出的粒子速率满足的条件是＞v＞。
练习1、如图所示，半径R＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁感强度B＝0.33T，方向垂直纸面向里。在O处有一放射源S，可沿纸面向各方向射出速率均为v＝3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子的质量m＝6.6×10－27kg，电荷量q＝3.2×10－19C，则该α粒子通过磁场空间的最大偏转角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】放射源发射的α粒子的速率一定，则它在匀强磁场中的轨道半径为定值，即r＝＝m＝0.2m＝20cm
α粒子在圆形磁场区的圆弧长度越大，其偏转角度也越大，而最长圆弧是两端点在圆形磁场区的直径上，又r＝2R则此圆弧所对的圆心角为60°，也就是α粒子在此圆形磁场区的最大偏转角为60°.轨迹如图所示．ABD错误，C正确。
练习2、空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直横截面，如图所示。一质量为m、电荷量为q（）的粒子以速率沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向。不计粒子重力，求：
（1）该磁场的磁感应强度B大小；
（2）粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
得
根据题意，由几何关系得圆周运动的半径
解得
（2）粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为，故
考点四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．
如图甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b.
2．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．
如图乙所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.
3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图甲所示．
4．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图乙所示．
【典例1】如图所示，等边三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，、分别是、边上的某点。三个相同的带电粒子分别以相同的速率从点沿不同方向垂直磁场射入，分别从点、点和点离开磁场，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．从点离开的粒子在磁场中运动的路程一定最大
C．从点离开的粒子在磁场中运动的时间一定最短
D．从点离开的粒子在磁场中的运动时间一定大于从点离开的粒子在磁场中的运动时间
【答案】D
【解析】A．根据左手定则可知粒子带正电，A错误；BCD．画出带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
若粒子从ac边射出，粒子依次从ac上射出时，半径增大而圆心角相同，弧长等于半径乘以圆心角，所以经过的弧长越来越大（即路程越来越大），运动时间t = 则从ac边射出的粒子运动时间相同；如果从bc边射出，粒子从b到c上依次射出时，弧长会先变小后变大，但都会小于从c点射出的弧长，则从c点射出的粒子在磁场中运动的路程最大，圆心角也会变大，但小于从c点射出时的圆心角，所以运动时间变小，则从c点离开的粒子在磁场中的运动时间一定大于从e点离开的粒子在磁场中的运动时间，BC错误、D正确；
【典例2】（多选）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【解析】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为洛伦兹力提供向心力解得粒子入射速率若，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知解得D正确。
练习1、（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为同m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
【答案】CD
【解析】AC．若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图所示
由几何知识得解得根据牛顿第二定律得解得根据动量定理得故A错误，C正确；B．若粒子的运动轨迹如图所示
由左手定则可知粒子带负电，粒子做圆周运动的半径最小为由牛顿第二定律得解得故B错误；D．若粒子带正电，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间为故D正确。
练习2、（多选）如图所示，P、Q为一对平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子（重力不计），以水平初速度从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】若粒子恰好打到板左端，由几何关系可得由洛伦兹力作为向心力关系可得可解得若粒子恰好打到板右端，由几何关系可得
解得由洛伦兹力作为向心力关系可得可解得粒子打到板上，则初速度v大小范围是。
考点五、带电粒子在匀强磁场中的运动时间
1.运动时间的确定：
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T ②t＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与物理上的弦切角α（入射速度与弦的夹角）的关系：φ＝2α
2.时间极值的求法：
比较弦切角，弦切角越大时间越长，反之时间越短
比较弦的大小，劣弧同速，弦越长时间越长，反之时间越短
【典例1】真空区域有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。比荷为k的带负电粒子（不计重力），沿着与MN夹角的方向射入磁场中，恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速率大小是
B．粒子在磁场中运动的时间是
C．仅增大粒子的入射速率，在磁场中的运动时间将减小
D．仅减小粒子的入射速率，在磁场中的运动时间将增大
【答案】C
【解析】AB．粒子刚好没能从PQ边界射出磁场时，其运动轨迹刚好与PQ相切，如图
设带电粒子圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系有
得
根据
解得
A错误；
B．粒子在磁场中的周期为
在磁场中转过的角度为 ，在磁场中的时间为
B错误；
C．增大粒子的入射速率，粒子的周期不变，粒子从磁场的右边界出磁场，粒子运动轨迹所对应的圆心角减小，则运动时间变小， C正确；
D．减小粒子的入射速率，粒子的周期不变，半径变小，粒子仍然从左边界出磁场，圆心角不变，则运动时间不变，D错误。
【典例2】（多选）如图所示，在x≥0的范围内有垂直于xOy平面向外的磁场磁场的磁感应强度大小为B，质量为m、电量为q的带正电粒子（重力不计），从坐标原点O处与+y方向成θ角垂直磁场方向射入磁场（其中π/6≤θ≤5π/6），P点是速度大小为vo沿+x方向射入的粒子离开磁场的点，下列说法正确的是（ ）
A. P点坐标为（0，-）
B. 粒子在磁场中运动的最长时间为
C. 粒子在磁场中运动的最短时间为
D. 当粒子射入的速度大小满足v=，粒子都将从P点离开磁场
【答案】ABD
【解析】
由于Р点是速度大小为v0，沿+x方向射入的粒子离开磁场的点，粒子轨迹如图①所示。圆心在O1位置，由qvB=m可得OP=2r=，故Р点坐标为（C，-），A选项正确；粒子在磁场中运动的时间与转过的圆心角有关，运动时问最长的粒子应该悬沿入射的粒子，轨迹参考如图②．由几何知识可得转过的圆心角为，由T=可得运动最长时间为，B选项正确；同理运动时间最短的粒子应该是沿射的粒子，轨迹参考如图③，由几何知识可得转过的圆心角为．由T=可得运动最短时间为，C选项错误；当粒子射入的速度大小满足v=，粒子运动半径为r==，这些粒子的轨迹圆心均在OP连线的中垂线上；故粒子都将从Р点离开磁场；
练习1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；如图所示，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，
练习2、一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带正电粒子，如图所示。已知粒子电荷量为q，质量为m重力不计：
1若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足什么条件？
2若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界处射出，出射点位于该边界上何处？最长时间是多少？
【答案】(1)
粒子轨迹恰好与ab相切，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况，设此半径为R2，如图乙所示。则有R2sin30°＋R2＝，得R2＝，故粒子能从ab边射出磁场的条件为R2
综上所述，为使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边射出。如图乙所示，设出射点到O的距离为x，从图中可以看出，P点是粒子在磁场中运动时间最长的出射点。
因为PO＝2R2sin30°＝，所以x≤，即出射点到O的距离不超过。
最长时间：tmax＝＝×＝。
考点六、带电粒子在复合场中运动
(1)弄清复合场的组成特点。
(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。
②若受三种场力时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v的方向垂直。
③若三场共存时，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。
④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【典例1】如图所示，质量为m，带电荷量为 q的微粒以速度v与水平方向成45°角进入正交的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向左，重力加速度为g，如果微粒做直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 微粒一定做匀速直线运动 B. 微粒受电场力、洛伦兹力两个力作用
C. 电场强度为 D. 匀强磁场的磁感应强度B=
【答案】A
【解析】AB．由于粒子带负电，电场力向右，洛伦兹力垂直于OA线斜向左上方，而重力竖直向下，则电场力、洛伦兹力和重力能平衡，致使粒子做匀速直线运动．故A正确，B错误；
CD．由图qE=mgtan45°
qvBsin45°=mg
解得
故CD错误。故选A。
【典例2】（多选）如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B的复合场中（E、g和B已知），小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球带负电
B. 小球做匀速圆周运动过程中机械能保持不变
C. 小球做匀速圆周运动过程中周期
D. 若电压U增大，则小球做匀速圆周运动周期变大
【答案】AC
【解析】小球在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，则知小球所受的电场力竖直向上，与电场方向相反，因此小球带负电，故A正确．小球做匀速圆周运动，动能不变，重力势能不断变化，两者之和即机械能在变化，故B错误．小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 qvB=mr，又qE=mg，联立得，故C正确．在加速电场中，根据动能定理得 qU=mv2，得，知若电压U增大，小球获得的速度v增大，小球做匀速圆周运动的轨迹半径增大，根据知小球做匀速圆周运动的周期不变．故D错误．
练习1、带正电甲、乙、丙三个粒子(不计重力)分别以v甲、v乙、v丙速度垂直射入电场和磁场相互垂直的复合场中，其轨迹如图所示，则下列说法正确的是( )
A. v甲
【答案】C
【解析】AB．分别对三个粒子受力分析，根据运动轨迹可知：
可知：，故AB错误；
C．丙粒子受到的电场力竖直向下，电场力做正功，动能增加，故C正确；
D．甲粒子受到的电场力竖直向下，电场力做负功，动能减少，故D错误。
练习2、如图所示，平面的第一象限有沿轴负方向的匀强电场，带正电粒子从轴上坐标为处以速度沿正向进入电场，从轴上坐标为点离开电场进入第四象限，运动一段时间后，经过一个与坐标平面垂直的半圆形匀强磁场区域（图中没有画出），恰好可以到达轴且沿轴负方向运动。已知磁场的磁感应强度大小，带电粒子质量为、电荷量为，不计粒子重力，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)半圆形匀强磁场区域的最小面积。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)带电粒子沿轴负方向做匀加速运动，沿轴方向做匀速的运动；方向有
方向有
又
联立以上各式可解得
(2)粒子离开电场时速度大小设为，于是有
粒子在磁场中运动的轨道半径为，则
解得
，
如图所示
设粒子离开电场时速度和轴夹角为，则
解得
若要半圆形磁场区域的面积最小，则半圆形磁场区域的圆心为，可得半径
所以半圆形磁场区域的最小面积
二、夯实小练
1、如图所示的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，同一粒子先后以不同速率从同一点正对圆心O射入磁场，分别从a、b两点射出，下列说法正确的是（ ）
A．b点射出的粒子运动半径较小
B．a点射出的粒子速率较大
C．b点射出的粒子运动时间较长
D．a点射出的粒子速度方向反向延长线过O点
【答案】D
【解析】
AB．b点射出的粒子运动半径较大，极限思想，速度越大粒子偏转方向越接近入射方向，所以AB错误；
C．如上图速度越大半径越大，但圆心越小，同一带电粒子在同磁场中运动其周期与速度无关，所以圆心越小，运动时间越小，则C错误；
D．如图带电粒子在圆形边界磁场中做匀速圆周运动，沿径向射入沿径向射出，所以a点射出的粒子速度方向反向延长线过O点，则D正确；
故选D。
2、如图所示，和是垂直于纸面向里的匀强磁场、Ⅰ、Ⅱ的边界。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度分别为、，且。一质量m、电荷量为q的带电粒子垂直边界从P点射入磁场Ⅰ，后经f点进入磁场Ⅱ，并最终从边界射出场区域。不计粒子重力，则该带电粒子在磁场中运动的总时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据洛伦兹力作为向心力公式
可得半径公式，设ef长为L，在磁场Ⅰ中粒子的半径、周期分别为
转过90°，运动时间为
从f点进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中粒子的半径、周期分别为
转过180°后，从ef中点再次进入磁场Ⅰ，在磁场Ⅱ中运动时间为
进入磁场Ⅱ后设转过后从cd边的Q点射出，如图所示
由几何关系可知
可解得，粒子在磁场Ⅰ中运动时间为
该带电粒子在磁场中运动的总时间为
联立可解得，C正确。
3、如图所示，MN为两个匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小的关系为B1=2B2，一带电荷量为+q、质量为m的粒子从O点垂直MN进入B1磁场，则经过多长时间它将向下再一次通过O点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由周期公式
则有，粒子从O点垂直MN进入B1磁场，再一次通过O点的时间为
所以A正确；BCD错误；
4、（多选）如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a.在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0＝，发射方向由图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是( )
A．粒子有可能打到A点
B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短
C．以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
【答案】AD
【解析】根据Bqv0＝meq \f(v,R)，可知粒子的运动半径R＝a，因此θ＝60°时，粒子恰好从A点飞出，故A正确．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是周期的六分之一，在磁场中运动时间最长，故B错误；以θ＝0飞入的粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是周期的六分之一，θ从0到60°，粒子在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；因为以θ＝0飞入的粒子在磁场中恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确．
5、如图所示，在矩形区域中有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，从点沿方向发射三个相同的带电粒子，三粒子分别从、、射出。已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．三粒子在匀强磁场中的速率之比为
B．三粒子在匀强磁场中的速率之比为
C．三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为
D．三粒子在匀强磁场中的运动时间之比为
【答案】A
【解析】AB．三个粒子都是洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，有
可得
三个相同的带电粒子分别从A点进入矩形磁场，从、、射出，轨迹如图所示
已知，则可得
，
第三个粒子由几何关系可得
解得
三粒子的电量q和质量m相同，则在匀强磁场中的速率之比为
故A正确，B错误；
CD．前两个个粒子匀速圆周的圆心角分别为
，
第三个粒子的圆心角满足
解得
而三个相同粒子做匀速圆周运动的时间为
故有
6、我国提供永磁体的阿尔法磁谱仪（下图是它的原理图）由航天飞机携带升空并安装在国际空间站中，它的主要使命之一是探索宇宙中的反物质。所谓反物质，就是质量与正粒子相等、电荷量与正粒子相等但电性相反的粒子。假如使一束质子、反质子、粒子（核）和反粒子组成的射线，以相同的速度大小沿通过匀强磁场进入匀强磁场而形成图中的4条径迹，则（ ）
A．1、3是反粒子径迹 B．2为反质子径迹
C．1、2为反粒子径迹 D．3为粒子径迹
【答案】C
【解析】在磁场中，粒子做匀速圆周运动，正离子受力向右，向右偏转；负离子向左偏转。故1、2为反粒子径迹；
根据洛伦兹力提供向心力有
解得：
故质子与α粒子的半径之比为1：2，即α粒子转弯半径大，所以3是质子，4是α粒子；1是反质子，2是反α粒子；
7、如图所示，有一范围足够大的水平匀强磁场，磁感应强度为B，一个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘倾斜长杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ。现使圆环以初速度v0沿杆向上运动。不计空物气阻力。下列描述该圆环上升过程中的速度v随时间t、机械能E随位移x变化的图像中，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】AB．把带电小圆环的重力沿杆和垂直杆分解得，由左手定则知带电圆环受洛仑兹力垂直杆向上，带电小圆环上滑的过程中由于阻力的作用v越来越小。若则
由以上三式可得此时带电圆环做加速度增大的减速运动；若，随着v的不断减小则先有
后有
即带电圆环先做加速度减小的减速运动然后再做加速度增大的减速运动；又因速度时间图像的斜率表示加速度。故AB错误；
CD．小球运动的过程中洛仑兹力不做功，摩擦力做功使小球的机械能减小，向上运动的过程中有
据以上分析向上运动的过程中f可能逐渐增大，所以机械能的变化率逐渐增大；f也可能先减小后增大，所以机械能的变化率也先减小后增大；故C正确D错误。
8、如图所示，用细线吊一个质量为m的带电绝缘小球，小球处于匀强磁场中，空气阻力不计。小球分别从A点和B点向最低点O运动，当小球两次经过O点时（ ）
A．小球的动能相同 B．细线所受的拉力相同
C．小球所受的洛伦兹力相同 D．小球的向心加速度大小不相同
【答案】A
【解析】A.由于洛伦兹力不做功，因此机械能守恒，两次小球的到达最低点的动能相同，A正确；
D.根据
由于动能相同，因此向心加速度相同，D错误；
BC.两次运动方向相反，因此所受洛伦兹力的大小相等，但方向相反，故绳子拉力大小不相同，BC错误。
9、如图，直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，下列判断正确的是( )
A．粒子带正电 B．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
C．粒子运动的速率为 D．粒子在磁场中运动的时间为
【答案】C
【解析】粒子的轨迹如图所示，向下偏转，所以粒子带负电，根据几何知识可得解得故根据 可得粒子运动的速率为从图中可知粒子轨迹所对圆心角为60°，故粒子在磁场中运动的时间为
10、如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
【答案】(1)见解析 (2)60°
【解析】(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得
Bqv＝m，则r＝。
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sin ＝＝，即φmax＝60°。
11、如图所示，在xOy平面内x轴上方有垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为＋q的粒子(不计重力)，从O点以某一初速度垂直磁场射入，其轨迹与y轴交于M点，与x轴交于N点(图中M、N未画出)。已知OM＝a，ON＝a，求：
(1)粒子初速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）v＝ （2）t＝
【解析】(1)根据题意作出粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系可得：
R2＝＋解得R＝a
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m，解得：v＝。
(2)根据几何关系可得：tan θ＝＝，解得θ＝60°
粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为α＝360°－120°＝240°
则粒子在磁场中运动的时间为t＝×＝。
12、如图所示，质量为m，电荷量为q的负离子，以速度v垂直于荧光屏S经过小孔O射入匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。求：
(1)离子打在荧光屏上的位置离O点的距离是多少？
(2)若离子进入磁场后经过一段时间到达P点，已知OP连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O到P所经历的时间？
【答案】（1）d＝ （2）t＝
【解析】(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，作出其运动轨迹，如图
由牛顿第二定律可得：Bqv＝m 解得：r＝
如图所示，离子回到屏S上的位置与O点的距离为：d＝2r＝。
(2)当离子到位置P时，圆心角：α＝2θ，离子运动的时间为t＝T，而周期T＝
所以联立以上三式得：离子运动时间t＝。
三、培优练习
1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆相切时对应的圆心角 最小，如图所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中运动的时间为，其中
解得，ACD错误，B正确。
2、如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的足够宽的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（ ）
A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
【答案】A
【解析】AB．正粒子从磁场边界入射做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，有从而
当θ为锐角时，画出正粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知，入射点与出射点而粒子在磁场的运动时间，与速度无关；当θ为钝角时，画出正粒子运动轨迹如图所示
由几何关系入射点与出射点
而粒子在磁场中运动时间
与第一种情况相同，则若v一定，θ越大，从时间公式可以看出运动时间越短；
若v一定，θ为锐角越大时，则Oa就越大，但θ为钝角越大时，由上式可以看出Oa不一定越远，故A正确，B错误；C．由可得粒子运动的角速度，显然与速度无关，故C错误；
D．运动时间无论是锐角还是钝角，时间均为与速度无关，即若θ一定，无论v大小如何，则粒子在磁场中运动的时间都保持不变，故D错误。
3、如图所示，长方形的长，宽，O、e分别是的中点，以e为圆心、为半径的圆弧和以О为圆心、为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度。一群质量、电荷量的带正电粒子以速度沿垂直于且垂直于磁场方向射入磁场区域，（不计粒子重力及粒子间的相互作用）。则下列判断正确的是（ ）
A．从边射入的粒子，从边上各点射出 B．从边射入的粒子，从边上各点射出
C．从边射入的粒子，从b点射出 D．从边射入的粒子，从边上各点射出
【答案】C
【解析】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可得
，从边射入的粒子先做直线运动，设某一粒子从点进入磁场，其圆心为，如图所示
因，根据几何关系，可得虚线四边形是菱形，则该粒子一定从点射出，同理，从边射入的粒子，全部从点射出；从边射入的粒子，轨迹均为以为半径的圆弧，所以从点射入的从点射出，从边射入的粒子，因边界上无磁场，粒子到达边界后做直线运动，即从边射入的粒子全部通过点，故C正确，ABD错误。
4、如图所示，在x轴上方存在方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方存在方向垂直坐标平面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。一带负电的粒子（不计重力）从原点O以与x轴正方向成30°角的速度v射入磁场，其在x轴上方做圆周运动的半径为R。则（ ）
A．粒子经偏转过程一定能回到原点O
B．粒子完成一次周期性运动的时间为
C．粒子射入磁场后，第二次经过x轴时与O点的距离为
D．粒子在x轴上方和下方的磁场中运动的轨迹半径之比为1：3
【答案】C
【解析】A．带负电的粒子进入x轴上方磁场后受洛伦兹力发生偏转，到达x轴以后进入x轴下方的磁场，在x轴下方的磁场中受洛伦兹力发生偏转，如图所示
粒子按照这样的规律循环运动，不能回到原点O，A错误；
BD．粒子在x轴上方运动的轨迹半径为R，根据
解得
以及两磁场磁感应强度的大小关系可知粒子在x轴下方运动的轨迹半径为，由几何关系可知，粒子在x轴上方和下方运动时轨迹圆弧所对的圆心角均为60°，则粒子完成一次周期性运动的时间为
BD错误；
C．由几何关系可知，粒子射入x轴上方的磁场后，第一次经过x轴时与O点的距离为R，第二次经过x轴时与第一次经过x轴的点距离为，则粒子射入磁场后，第二次经过x轴时与O点的距离为，C正确。
5、质量为m、电荷量为q的小物块，从倾角为θ的粗糙绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下面说法正确的是（ ）
A．小物块一定带正电荷
B．小物块在斜面上运动时做匀减速直线运动
C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动
D．小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为
【答案】C
【解析】A．由题意可知，小物块受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可得：小滑块带负电，故A错误；
BC．在向下运动的过程速度增大，洛伦兹力增大，支持力减小，由
得摩擦力减小
所以加速度增大。物块做加速度逐渐增大的加速运动。故B错误C正确；
D．由题意，当滑块离开斜面时，洛伦兹力
则
故D错误。
6、如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向里，两磁场的磁感应强度大小均为B.顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，粒子重力不计．则粒子以下列哪一速度值发射时不能通过C点( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】粒子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示：
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径：r＝(n＝1,2,3，…)，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：v＝＝(n＝1,2,3，…)。
7、如图所示，一长为2L、宽为L的矩形区域ABCD内（包括边界），存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，P为BC边的中点。A处有一粒子源，可以沿AD方向发射质量为m、带电量为的粒子（不计重力与粒子间的相互作用）。从PC段射出的粒子初速度大小的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若粒子从P点射出，则半径
R=L
根据
可得
若粒子从C点射出，则
解得
r=2.5L
根据
可得
则从PC段射出的粒子初速度大小的范围为
8、（多选）如图所示，直角三角形区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。，，在点有一个粒子源，可以沿方向发射速度大小不同的带正电的粒子。已知粒子的比荷均为，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的是（ ）
A．随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变小
B．随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏向角越大
C．从边射出的粒子的最大速度为
D．从边射出的粒子，在磁场中的运动时间为
【答案】CD
【解析】B．粒子在磁场中做圆周运动，从边射出的粒子轨迹如图所示
则射出磁场时速度的偏向角都相等为60°，故B错误；
C．从点射出的粒子速度最大，由几何关系知，粒子运动的半径
由
得，最大速度为
选项C正确；
AD．从边射出的粒子的圆心角为，在磁场中的运动时间为
则随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间不变，故A错误，D正确。
9、如图所示，在边长的等边三角形ACD区域内，存在正交分布的磁感应强度大小、方向垂直纸面向外的匀强磁场和匀强电场（图中未画出）。现有一质量、电荷量的带正电微粒，从AC边的中点P以平行于CD边的某一速度射入磁场恰能做匀速圆周运动，重力加速度g取。求：
(1)匀强电场的电场强度的大小和方向；
(2)若微粒恰好从D点飞出磁场，则微粒的入射速度大小；
(3)微粒在该区域运动的最长时间（结果保留2位有效数字）。
【答案】(1)，方向竖直向上；(2)；(3)。
【解析】(1)微粒仍能做匀速圆周运动，则满足
得
方向竖直向上。
(2)设粒子恰好从D点飞出磁场的轨迹半径为，根据几何关系有
得
由洛伦兹力提供向心力有
得
可得
代入数据得
(3)若粒子从AC边飞出磁场，运动轨迹如图所示，圆心角
代彷数据解得
10、如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，当磁场的磁感应强度为B时，粒子恰好能通过d点。不计粒子的重力，求：
(1)粒子进入磁场时的速度大小；
(2)粒子在磁场中的运动时间t；
(3)若只改变匀强磁场的磁感应强度大小，则当粒子恰好能通过c点时，磁场的磁感应强度B的大小为多少。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律有
得
由几何关系可知
所以
(2)粒子在磁场中的运动时间
其中，
结合
得
(3)由
得
可见，在、相同时，
画出两种情形粒子的运动轨迹，可确定粒子恰好能通过c点时的轨道半径
解得
11、如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成30°角，不计粒子所受的重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子到达a点时速度的大小和方向；
（3）abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值，并求粒子从P点到离开第Ⅳ象限所经历的时间。
【答案】(1) ；（2）2v0，速度方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成60°角；（3），
【解析】
（1）粒子运动过程如图所示
设粒子在电场中运动的时间t，则有
水平方向
竖直方向
在电场中有
联立得
（2）粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度
则合速度大小为
方向为
解得，即粒子在a点速度方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成角
（3）因为粒子从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成角，且，所以粒子只能从磁场的ab边射出，当粒子从b点射出时，r最大，此时磁场的磁感应强度有最小值，由几何关系得r=L
粒子在磁场中运动时，有
解得磁感应强度的最小值
由（1）可知在电场运动时间
在磁场中，运动时间
做匀速直线运动时间
故运动的总时间
12、如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
【答案】（q为正电荷）或（q为负电荷）
【解析】
若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径
R=
又
d=R-
解得
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有
R′=
d=R′＋
解得
13、如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，从圆弧顶点P以速率为v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计。
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；
(3)若粒子以速度v0从P点以任意角入射，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上。
【答案】(1) (2)v0 (3)见解析
【解析】(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，由牛顿第二定律得Bqv0＝m
r＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如上图所示，则
t＝＝
(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，其运动轨迹如下图所示，
由图可知∠PO2O＝∠OO2J＝30°
所以带电粒子离开磁场时偏转原来方向60°
v⊥＝vsin 60°＝v0
(3)由(1)知，当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R。
设粒子射入方向与PO方向夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子运动轨迹如下图所示。
因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R
所以四边形POSO3为菱形
由图可知：PO∥O3S，v0⊥SO3
因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关。
14、如图所示，在x轴和x轴上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为＋q的同种带电粒子．在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度为x0、厚度不计、能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板 P上，其速度立即变为0)．现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与y轴平行．不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力．
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)求被薄金属板接收的粒子中运动的最长与最短时间的差值；
(3)若在y轴上放置一挡板，使薄金属板右侧不能接收到带电粒子，试确定挡板的最小长度和放置的位置坐标．
【答案】见解析
【解析】(1)由左手定则可以判断带电粒子在磁场中沿顺时针方向做匀速圆周运动，沿－x方向射出的粒子恰好打在金属板的上端，如图a所示，由几何知识可知R＝x0，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
联立得：B＝
(2)设粒子做匀速圆周运动的周期为T，T＝＝
图b为带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，由图可知到达薄金属板左侧下端的粒子用时最短，此时圆心O′与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成30°，故最短时间tmin＝＝，图c为打在板右侧下端的临界点，由图a、c可知到达金属板右侧下端的粒子用时最长，圆心O′与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成150°，故最长时间tmax＝＝
则被板接收的粒子中运动的最长和最短时间之差为Δt＝tmax－tmin＝
(3)由图a可知挡板上端坐标为(0,2x0)
由图c可知挡板下端y坐标为y2＝2x0cos 30°＝x0，下端坐标为(0，x0)
最小长度L＝2x0－x0＝(2－)x0
15、如图所示，在足够长的绝缘板MN上方存在方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场（图中未标出），在绝缘板上方距离为d的P点有一个粒子发射源，能够在纸面内向各个方向发射速度大小相等，比荷＝k的带正电粒子，已知粒子在磁场中运动的轨道半径R＝d，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，试求：
(1)粒子源所发射粒子的速度大小v0；
(2)能够到达绝缘板上的带电粒子在板上留下痕迹的最大长度Lm；
(3)同时射出的粒子打到板上的最大时间差Δtm。
【答案】（1）Bkd （2） （3）
【解析】(1)带电粒子在磁场中运动时qv0B＝m
解得
画出粒子运动轨迹的示意图如图所示，
设粒子能打中绝缘板上最左端和最右端的点分别为C、D，粒子在C点与绝缘板相切，PD为粒子轨迹圆的直径。根据几何关系可得带电粒子在板上留下痕迹的最大长度：
同时射出的粒子中最先和最后打中绝缘板的粒子运动情况如图所示，
根据几何关系可知，最先打中绝缘板的粒子转过的圆心角：
最后打中绝缘板的粒子转过的圆心角：
粒子在磁场中运动的周期：
同时射出的粒子打到板上的最大时间差：
所以最大时间差。
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