2022-2023学年贵州省黔东南州从江县第一民族中学高二上学期期中质检测试数学试题（含解析）

2022-2023学年贵州省黔东南州从江县第一民族中学高二上学期期中质检测试数学试题
1. 在正方体中，( )
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且与平行，则( )
A. B. C. D.
4. 已知直线：与直线：垂直，则实数a的值为.( )
A. B. C. 1 D. 1或
5. 两条平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
6. 正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7. 若直线与圆总有两个不同的交点，则实数b的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得为坐标原点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9. 已知圆O：和圆M：相交于A，B两点，下列说法正确的是.( )
A. 圆M的圆心为，半径为1 B. 直线AB的方程为
C. 线段AB的长为 D. 线段AB的长为
10. 如图，正方体的棱长为1，E为的中点，F为的中点．则( )
A.
B. 直线平面ABCD
C. 直线EF与平面所成角的正切值为
D. 点B到平面的距离是
11. 已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是( )
A. M的离心率为 B. M的标准方程为
C. M的渐近线方程为 D. 直线经过M的一个焦点
12. 已知椭圆，为C的左焦点，直线与C交于A，B两点点A在第一象限，且
线与椭圆C的另一个交点为E，则
A. B. 当时，的面积为
C. D. 的周长的最大值为
13. 写出直线的一个方向向量__________.
14. 圆的圆心关于直线的对称点为__________.
15. 已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在x轴上，中心在原点，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为__________.
16. 如图，椭圆E的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P，若过P、的直线l与圆相切，则直线l的斜率__________；椭圆E的离心率__________.
17. 的三个顶点、、，D为BC中点，求：
边上的高所在直线的方程；
边上的中线AD所在直线的方程．
18. 如图，正方体中，分别为的中点．
证明：平面；
求直线AC与平面所成的角的正弦值．
19. 已知圆C过点，且圆心C在直线上.
求圆C的方程;
若直线l过点且与圆C相切，求直线l的方程.
20. 已知动点P到点的距离与到直线l：的距离之比为
求点P的轨迹C的方程；
直线l的方程为，l与曲线C交于A，B两点．求线段AB的长．
21. 如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，
证明：平面ABCD；
在线段不含端点上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的 的值，若不存在，请说明理由．
22. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．
求椭圆C的方程；
过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
利用空间向量的线性运算法则求解．
【解答】
解：，，
故选

2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线斜率和倾斜角的关系，属于基础题.
由直线方程可求得直线斜率，根据直线斜率和倾斜角的关系可得结果.
【解答】
解：直线方程可化为：，
则直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，
直线的倾斜角为
故选

3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.
由空间向量共线的坐标表示求解.
【解答】
解：已知向量，，
则，，
因为与平行，
则，解得
故选

4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，计算求得a的值．
【解答】
解：直线：与直线：垂直，
，
解得，
故选

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两平行直线间的距离计算，属于中档题.
根据两直线平行求出a，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.
【解答】
解：因为直线与直线平行，
所以，解得，
将化为，
所以两平行直线与之间的距离为
故选

6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量的数量积求夹角的方法求解异面直线所成的角，属于较难题.
利用基底法可得向量与向量与的模，再根据夹角公式可得解.
【解答】
解：如图所示，正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，
由四面体ABCD为正四面体得，
设正四面体ABCD的棱长为2，
则，
以，，为基底，
则，，
所以
，
，
，
所以 ，
所以直线AM和CN夹角的余弦值为
故选

7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查根据直线与圆的位置关系求参，属于中档题.
先得到直线过定点，题意可转化成定点在圆内，即可得到答案
【解答】
解：由直线可得过定点，
若要使直线与圆总有两个不同的交点，
所以定点在圆内，
所以，解得或，
故选

8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查求双曲线的离心率，双曲线的定义，平面向量共线定理，利用余弦定理解三角形，属于中档题.
由，得，由O为的中点，得Q为的中点，利用点到直线的距离公式求得，进而可得，，由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得a、b的关系式，易得离心率.
【解答】
解：，，O为的中点，为的中点.
，点到渐近线的距离，
又，，
易知，
则由双曲线的定义可知
在中，由余弦定理可得，
整理得，
双曲线C的离心率
故选

9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查两圆相交的弦长、以及相交弦所在直线的求解，属于中档题.
化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得直线AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得线段AB的长判断
【解答】
解：由圆M：，得
则圆M的圆心为，半径为1，故A正确；
联立圆O：和圆M：，消去二次项，
可得直线AB的方程为，故B正确；
圆心O到直线的距离为，圆O的半径为2，
则线段AB的长为，故C错误，D正确.
故选

10.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量判定线线垂直和线面平行，利用空间向量求线面角，点到面的距离，属中档题.
以A为原点，以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一计算验证即可.
【解答】
解：以A为原点，以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则 ，，，，，
对于A，，，
所以，
所以，A正确；
对于B，取平面ABCD的一个法向量为，
因为，所以，
因为平面ABCD，
所以直线平面ABCD，所以B正确；
对于C，取平面的一个法向量为，
设直线EF与平面所成的角为，
则，
因为，所以，
所以
所以直线EF与平面所成角的正切值为2，所以C错误；
对于D，因为所以
设平面的一个法向量为，
由可得，
令，则有，即，
因为，
所以由点到面的距离公式可得
所以D正确.
故选

11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，属于中档题.
根据题意，有①，或②，联立两式，解可得、的值，验证各个选项即可.
【解答】
解：根据题意双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，
有，①，
双曲线的两条渐近线的夹角为，
则过一三象限的渐近线的斜率为或，
即或，②
联立①②可得：，，或，，；
因为，所以，，，
则离心率为，故A正确.
双曲线的方程为，故B错误；
渐近线方程为，故C正确；
直线经过M的一个焦点，所以D正确.
故答案选：

12.【答案】AC
【解析】对由方程求a，b，c，进而求对根据方程结合题意运算求解;对设直线，
利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解;对根据椭圆定义分析求解
由椭圆方程，得，所以，，所以，故A项正确
当时，点，到AB的距离为2，所以的面积为，故B项错误;
因为点A在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为k，点，，
，则直线，
联立方程，得到
，，
在椭圆上，则，即
同理，
于是
，
故C项正确;
13.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方向向量的求解，属于基础题.
对于已知直线，则直线的方向向量可以为或，由此即可得到答案.
【解答】
解：对于已知直线，则直线的方向向量可以为或，
则的一个方向向量可以是，
故答案为： 答案不唯一

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆关于直线对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标，注意垂直、平分的应用是解决对称问题的基本方法，是基础题.
将圆化为标准方程，求出圆心与半径，求出已知圆的圆心关于直线对称的圆的圆心，即可得到所求结果．
【解答】
解：圆，化为标准方程为，
圆心为，
设关于直线对称的点为
则，
解得，
即圆的圆心关于直线的对称点为
故答案为：

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用双曲线定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题.
先画出图像，再结合双曲线定义，三角形三边关系，当点P为与双曲线的交点时，取到最小值
【解答】
解：如图，
由双曲线定义得①，
又由三角形三边关系可得②当点P为与双曲线的交点时取到等号，
①+②得：，
故，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，，
则，，
故，，
则
故答案为：

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，直线与圆的位置关系，属于中档题.
根据直角三角形的性质求得，由此求得k，结合椭圆的定义求得离心率.
【解答】
解：连接，由于l是圆的切线，所以
在中，，
所以，所以，所以直线l的斜率
，
根据椭圆的定义可知
故答案为：；

17.【答案】解：、，，
所以BC边斜率，
故BC边上的高线的斜率，
故BC边上的高线所在直线的方程为，即
中点，
中线AD所在直线的斜率为，
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即

【解析】本题考查直线方程的综合求法，属于中档题.
求出直线BC的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解;
求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
18.【答案】解：以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，
，
，
又，平面，为平面的法向量，
，，
又平面，
故平面；
由知，
设平面的法向量，
则，
即，令，则，
设直线AC与平面所成的角为，
则 ，
所以直线AC与平面所成角的正弦值为

【解析】本题考查利用空间向量法求解线面角，以及线面平行的向量表示，属于中档题.
先以D为原点建系，再找出各点的坐标，求出平面的法向量，要证线面平行只需证直线的方向向量垂直于平面的法向量且直线不在该平面内即可；
先求出平面的法向量，再根据直线AC与平面所成的角的正弦值
即可得到答案.
19.【答案】解：由题意，设圆心，由得：
，
解得，所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易得直线l与圆C相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由于直线l与圆C相切，
则圆心到直线l的距离为，解得，
所以直线l的方程为，即，
综上所述，直线l的方程为或

【解析】本题考查圆的切线方程的求解，以及求圆的标准方程，属于中档题.
结合圆的几何性质求得圆C的方程；
根据直线l的斜率是否存在进行分类讨论，由此求得直线l的方程.
20.【答案】解：设，
动点P到点的距离与到直线l：的距离之比为2，
，
化简可得；
设交点A，B的坐标分别为，，
直线l的方程与轨迹C的方程联立，消去y可得，
，，
，
，

【解析】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确求出双曲线的方程是关键．
设，利用动点P到点的距离与到直线l：的距离之比为2，建立方程，化简可得结论；
直线l的方程与轨迹C的方程联立，消去y，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段AB的长．
21.【答案】证明：正方形ABCD，，
平面平面ABMN，且平面平面，平面ABCD，
平面ABMN，
，平面ABMN，
，，
，
又，
，即，
，
，
，BC、平面ABCD，
平面
解：以B为原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设，，
，
设平面BEN的法向量为，
则，即，
令，则，，，
由知，平面ABMN，
平面BMN的一个法向量为，
二面角的余弦值为，
，，
即，
化简得，，
解得或舍负，
，即
所以线段CM上存在点E，使得二面角的余弦值为，此时
【解析】本题考查空间中线与面的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，属于中档题．
由，平面平面ABMN，知平面ABMN，有，，由勾股定理的逆定理可证，再根据线面垂直的判定定理，得证；
以B为原点建立空间直角坐标系，设，，求得平面BEN的法向量，由平面ABMN，知平面BMN的一个法向量为，再由，，即可得解．
22.【答案】解：由题意得，解得：，
所以椭圆C的方程为；
由题意可知，
若直线l斜率存在，设直线l的方程为，
联立得，
整理得
由题意可知恒成立，
所以，
假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，
所以，整理得，
即，由于k不恒等于零，
整理得，，
则，
即，解之得
若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分
综上所述，在x轴上存在一点，使得恒成立．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的定点问题，属于较难题.
由题给的条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；
由题意，在x轴上存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有，即在x轴上存在一点，使得x轴平分，即可求解.
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