素养培优练(二)
一、选择题
1．如图所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动。若绳子可能断，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到( )
A．最高点
B．最低点
C．两侧与圆心等高处
D．无法确定
B [小球运动到最低点时，小球的速率最大，向心力方向为竖直向上，拉力F＝mg＋m，此处绳子受到的拉力最大，故最易断。选项B正确。]
2．(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为m1，B、C的质量均为m2，且m1＝2m2，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)( )
A．C的向心加速度最大
B．B的静摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，A比B先滑动
D．当圆台转速增大时，C将最先滑动
ABD [A、B、C三个物体随转台一起转动，它们的角速度ω相等。由公式F静＝ma＝mrω2，可知C的向心加速度最大，B的静摩擦力最小，故A、B两项均正确；当转速增大时，静摩擦力不足以提供向心力，由F静max＝μmg＝mrω得最大角速度ωmax＝，可见A、B应同时滑动，而C将最先滑动，故C项错误，D项正确。]
3．一轻杆下端固定一质量为M的小球，上端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时，刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
B [杆在最高点对小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球刚好到达最高点时在最高点的速度为零。当最高点杆对小球的作用力为零时，重力提供向心力，由mg＝可知，临界速度v0＝。随着最低点的瞬时速度从v0不断增大，小球对杆的作用力先是方向向下减小到零，然后方向向上逐渐增大，故B正确。]
4．如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，(已知π2＝g)则( )
A．物块A一定会受圆盘的摩擦力
B．当转速n＝0.5 r/s时，A不受摩擦力
C．A受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上
D．当圆盘转速n＝1 r/s时，摩擦力方向沿半径背离圆心
D [若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力；当摩擦力为零时，mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入数据解得n＝ r/s，A、B错；物块A受摩擦力方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错；当圆盘转速n＝1 r/s时，即n＝1 r/s< r/s，物块A有沿半径向内运动的趋势，所以摩擦力方向沿半径背离圆心，D对。]
5．(多选)如图所示，在竖直的转轴上，a、b两点间距为0.4 m，细线ac长0.5 m，bc长0.3 m，在c点系一质量为m的小球，在转轴带着小球转动的过程中，下列说法正确的是( )
A．转速较小时，ac受拉力，bc松弛
B．bc刚好拉直时，ac中拉力为1.25mg
C．bc拉直后转速增大，ac拉力增大
D．bc拉直后转速增大，ac拉力不变
ABD [在转速较小时，随着转速的增加，小球做圆周运动的半径逐渐增大，此过程ac受拉力，bc松弛，A对；当bc刚好拉直时，设ac与竖直方向的夹角为θ，cos θ＝0.8，对小球受力分析有＝Tac，Tac＝1.25mg，B对；当转速继续增大，向心力增大，则bc的拉力逐渐增大，但ac拉力保持不变，C错，D对。]
6．在长为L的轻杆中点和末端各固定一个质量均为m的小球，杆可在竖直面内转动，如图所示，将杆拉至某位置释放，当其末端刚好摆到最低点时，杆下半段受力恰好等于球重的2倍，则杆上半段受到的拉力大小为( )
A．mg B．mg
C．2mg D．mg
D [B球通过最低点时，受到重力和拉力的作用做圆周运动，根据牛顿第二定律得：TB－mg＝m，据题意有：TB＝2mg，解得B球通过最低点时的线速度大小为：vB＝。以A球为研究对象，受到重力以及向上的拉力和向下的拉力，由牛顿第二定律得：TA－mg－2mg＝m且vA＝vB，得OA段此时受到的拉力为：TA＝mg，故D项正确。]
7．(多选)如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
BD [小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma，又FN＝mg，所以a＝2g，B、D正确。]
8．在质量为M的电动机飞轮上固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( )
A． B．
C． D．
D [重物转到飞轮的最高点，电动机刚要跳起时，重物对飞轮的作用力的大小F恰好等于电动机的重力的大小Mg，即F＝Mg。以重物为研究对象，由牛顿第二定律得Mg＋mg＝mω2r，解得ω＝，故选D。]
9．(多选)如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动过程中，物体始终保持静止，关于物体对地面的压力N和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块运动到A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，N＝Mg，摩擦力方向向右
C．滑块运动到C点时，N>(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力
D．滑块运动到D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左
BC [小滑块在A点时，小滑块对物体的作用力在竖直方向上，物体与小滑块组成的系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，故A错误；小滑块在B点时，需要的向心力向右，所以物体对小滑块有向右的支持力的作用，由物体的受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体对地面的压力NB＝Mg，故B正确；小滑块在C点时，小滑块的向心力向上，所以小滑块对物体的压力要大于小滑块的重力，故物体受到的小滑块的压力大于mg，则物体对地面的压力大于(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力，故C正确；小滑块在D点和B点的受力情况类似，由B点的分析可知，物体对地面的压力ND＝Mg，故D错误。]
10．(多选)(2022·福建泉州月考)如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是( )
A．安装时A端比B端更靠近气嘴
B．转速达到一定值后LED灯才会发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
BC [要使重物做离心运动，M、N接触，则A端应靠近圆心，因此安装时A端比B端更远离气嘴，A错误；转速越大，所需向心力越大，弹簧拉伸的越长，M、N接触时灯就会发光，B正确；灯在最低点时F弹－mg＝mrω2解得ω＝，因此增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，C正确；灯在最低点时F1－mg＝，灯在最高点时F2＋mg＝匀速行驶时，在最低点时弹簧对重物的弹力大于在最高点时对重物的弹力，因此匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时不一定能发光，D错误。故选BC。]
二、非选择题
11．(2022·北京首都师范大学附属中学期末)如图所示，用一根无弹性细绳拴住一个质量为m的小沙袋，让小沙袋在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，同时测出小沙袋运动n周所需时间为t。若小沙袋所需向心力近似等于手通过绳对小沙袋的拉力，求：
(1)小沙袋做圆周运动的周期T；
(2)小沙袋做圆周运动的角速度ω；
(3)细绳对小沙袋的拉力F。
[解析] (1)小沙袋做圆周运动的周期T＝。
(2)小沙袋做圆周运动的角速度ω＝，解得ω＝。
(3)细绳对小沙袋的拉力提供向心力，可得F＝mω2r
解得F＝。
[答案] (1) (2) (3)
12．如图所示，一个半径为R＝1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。当小球向右滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率；
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小；
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
[解析] (1)环对小球的摩擦力f＝0时，环对小球的弹力N＝0，则有mg＝m
解得小球速率v＝ m/s。
(2)滑动摩擦力f＝μN，将f＝0.3mg、μ＝0.75代入得环对小球的弹力N＝＝＝0.4mg
弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F＝＝0.5mg。
(3)由(2)可知，环对小球的弹力N＝0.4mg
当环对小球的弹力方向向上时，有mg－N＝
解得小球的速率v1＝3 m/s
当环对小球的弹力方向向下时，有mg＋N＝
解得小球的速率v2＝ m/s。
[答案] (1) m/s (2)0.5mg (3)3 m/s或 m/s
13．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的距离。
[解析] 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差。
对A球：3mg＋mg＝m
解得vA＝
对B球：mg－0.75mg＝m
解得vB＝
由2R＝gt2，t＝
解得xA＝vAt＝vA＝4R，xB＝vBt＝vB＝R
所以Δx＝xA－xB＝3R。
[答案] 3R
6素养培优练(三)
一、选择题
1．假设天宫二号空间实验室与神舟十一号飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
2．地球同步卫星与地心的距离为r0，运行速度为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R。则下列各式正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．(2022·大连高一检测)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．质量大的天体线速度较大
B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小一定相等
D．两个天体的向心加速度大小一定相等
4．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知( )
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
5．(多选)为查明某地的地质灾害，在第一时间紧急调动了8颗卫星参与搜寻。“调动”卫星的措施之一就是减小卫星环绕地球运动的轨道半径，降低卫星运行的高度，以有利于发现地面(或海洋)目标。下面说法正确的是( )
A．轨道半径减小后，卫星的环绕速度减小
B．轨道半径减小后，卫星的环绕速度增大
C．轨道半径减小后，卫星的环绕周期减小
D．轨道半径减小后，卫星的环绕周期增大
6．(多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1
D．v2>v1>v4>v3
7．(多选)(2022·天津河东高一期末)我国自行研制的北斗导航系统，共有55颗北斗导航卫星，中国北斗服务全球。现已知某导航卫星轨道高度约为21 500 km。同步轨道卫星的高度约为36 000 km，已知地球半径为6 400 km。下列说法正确的是( )
A．该导航卫星的线速度大于7.9 m/s
B．地球赤道上物体随地球自转的周期小于该导航卫星的运转周期
C．地球同步轨道卫星的运转角速度小于该导航卫星的运转角速度
D．地球同步轨道卫星的向心加速度小于该导航卫星的向心加速度
8．如图所示，地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
A．v1＞v2＞v3 B．v1＜v2＜v3
C．a1＞a2＞a3 D．a1＜a3＜a2
9．(多选)甲、乙两星组成双星系统，它们离其他天体都很遥远；观察到它们的距离始终为L，甲的轨道半径为R，运行周期为T。下列说法正确的是( )
A．乙星的质量大小为
B．乙星的向心加速度大小为
C．若两星的距离减小，则它们的运行周期会变小
D．甲、乙两星的质量之比为
10．(多选)(2022·河北沧州一中高一下月考)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方(已知地球同步卫星距地高度比卫星A大很多)，下列说法正确的是( )
A．物体B与卫星A的向心加速度大小之比为
B．卫星A的线速度为2ω0R
C．卫星A的角速度大于ω0
D．物体B受到地球的引力为mRω
二、非选择题
11．2021年5月15日7时18分，我国火星探测器天问一号的着陆巡视器(其中巡视器就是祝融号火星车)成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。着陆巡视器从进入火星大气层到成功着陆经历了气动减速段、伞系减速段、动力减速段、悬停避障与缓速下降段，其过程大致如图所示。已知火星质量为6.42×1023 kg(约为地球质量的0.11)、半径为3 395 km(约为地球半径的0.53)，天问一号的着陆巡视器质量为1.3 t，地球表面重力加速度为9.8 m/s2。试根据图示数据计算说明下列问题：
(1)着陆巡视器在动力减速段做的是否为竖直方向的匀减速直线运动？
(2)设着陆巡视器在伞系减速段做的是竖直方向的匀减速直线运动，火星大气对着陆巡视器的平均阻力为多大？(结果保留一位有效数字)
12．某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则：
(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大？
(2)远地点B距地面的高度h2为多少？
13．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期T；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1的二次方的比值。(结果保留三位小数)
5素养培优练(三)
一、选择题
1．假设天宫二号空间实验室与神舟十一号飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
C [为了实现飞船与空间实验室的对接，可使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近空间实验室，在两者速度接近时实现对接，选项C正确。]
2．地球同步卫星与地心的距离为r0，运行速度为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R。则下列各式正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
A [地球同步卫星与地球赤道上随地球自转的物体有相同的角速度，故由a＝ω2r得＝，选项A正确，B错误，第一宇宙速度等于卫星沿地球表面运行的速度，近地卫星与同步卫星一样，都由万有引力充当向心力，故有G＝m，得v＝，所以＝，选项C、D错误。]
3．(2022·大连高一检测)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．质量大的天体线速度较大
B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小一定相等
D．两个天体的向心加速度大小一定相等
C [双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度大小相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；根据牛顿第二定律，有：G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，其中：r1＋r2＝L，故r1＝L，r2＝L，故＝＝，故质量大的天体线速度较小，故A错误。]
4．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知( )
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
AD [据题意可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正确，B错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得＝＝3∶2，根据v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C错误；根据a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正确。]
5．(多选)为查明某地的地质灾害，在第一时间紧急调动了8颗卫星参与搜寻。“调动”卫星的措施之一就是减小卫星环绕地球运动的轨道半径，降低卫星运行的高度，以有利于发现地面(或海洋)目标。下面说法正确的是( )
A．轨道半径减小后，卫星的环绕速度减小
B．轨道半径减小后，卫星的环绕速度增大
C．轨道半径减小后，卫星的环绕周期减小
D．轨道半径减小后，卫星的环绕周期增大
BC [由G＝m得v＝，卫星的环绕速度增大，故A错误，B正确；由G＝mr得T＝2π，所以轨道半径减小后，卫星的环绕周期减小，故C正确，D错误。]
6．(多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1D．v2>v1>v4>v3
CD [卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即Gv1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3v4，由以上所述可知选项D正确；由于轨道半径r17．(多选)(2022·天津河东高一期末)我国自行研制的北斗导航系统，共有55颗北斗导航卫星，中国北斗服务全球。现已知某导航卫星轨道高度约为21 500 km。同步轨道卫星的高度约为36 000 km，已知地球半径为6 400 km。下列说法正确的是( )
A．该导航卫星的线速度大于7.9 m/s
B．地球赤道上物体随地球自转的周期小于该导航卫星的运转周期
C．地球同步轨道卫星的运转角速度小于该导航卫星的运转角速度
D．地球同步轨道卫星的向心加速度小于该导航卫星的向心加速度
CD [根据＝m可知轨道半径越小，运行速度越大，贴近地面运行的卫星，运行速度等于第一宇宙速度7.9 km/s，因此该卫星的运行速度小于7.9 km/s，A错误；根据＝mr可知轨道半径越大，运行周期越长，地球赤道上物体随地球自转的周期等于同步卫星运行周期，因此大于该导航卫星的运转周期，B错误；根据＝mω2r可知轨道半径越大，运行角速度越小，因此地球同步轨道卫星的运转角速度小于该导航卫星的运转角速度，C正确；根据＝ma可知轨道半径越大，向心加速度越小，地球同步轨道卫星的向心加速度小于该导航卫星的向心加速度，D正确。故选CD。]
8．如图所示，地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
A．v1＞v2＞v3 B．v1＜v2＜v3
C．a1＞a2＞a3 D．a1＜a3＜a2
D [卫星的速度v＝，可见卫星距离地心越远，即r越大，则速度越小，所以v3v1＝ωr1，选项A、B均错误；由G＝ma，得a＝，同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径，可知q的向心加速度a39．(多选)甲、乙两星组成双星系统，它们离其他天体都很遥远；观察到它们的距离始终为L，甲的轨道半径为R，运行周期为T。下列说法正确的是( )
A．乙星的质量大小为
B．乙星的向心加速度大小为
C．若两星的距离减小，则它们的运行周期会变小
D．甲、乙两星的质量之比为
AC [对双星系统的两颗星球，由它们之间的万有引力提供向心力：G＝m甲，可得：m乙＝，故A正确；乙的轨道半径：r＝L－R，则乙的向心加速度：a＝r＝，故B错误；若两星的距离减小，根据G＝m甲R＝m乙(L－R)，得＝m甲，则它们的运行周期会变小，故C正确；双星系统具有相等的角速度和周期，由它们之间的万有引力提供向心力，得：G＝m甲R＝m乙(L－R)，所以：Rm甲＝(L－R)·m乙，甲、乙两星的质量之比为，故D错误。]
10．(多选)(2022·河北沧州一中高一下月考)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方(已知地球同步卫星距地高度比卫星A大很多)，下列说法正确的是( )
A．物体B与卫星A的向心加速度大小之比为
B．卫星A的线速度为2ω0R
C．卫星A的角速度大于ω0
D．物体B受到地球的引力为mRω
AC [卫星A运动过程中，万有引力充当向心力，故有G＝maA，解得aA＝，物体B的向心加速度aB＝ωR，因此向心加速度之比为＝，A正确；绕地卫星受到的万有引力提供向心力，＝mω2r，解得ω＝，和同步卫星相比，卫星A的轨道半径远小于同步卫星轨道半径，故卫星A的运行角速度大于同步卫星的运行角速度，而同步卫星的运行角速度和地球自转角速度相等，所以卫星A的角速度大于ω0，C正确；卫星A的线速度v＝ω·2R>ω0·2R，B错误；物体B受到万有引力分解为两部分，一部分为重力，一部分为随地球自转需要的向心力，而向心力为mωR，所以两者不等，D错误。]
二、非选择题
11．2021年5月15日7时18分，我国火星探测器天问一号的着陆巡视器(其中巡视器就是祝融号火星车)成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。着陆巡视器从进入火星大气层到成功着陆经历了气动减速段、伞系减速段、动力减速段、悬停避障与缓速下降段，其过程大致如图所示。已知火星质量为6.42×1023 kg(约为地球质量的0.11)、半径为3 395 km(约为地球半径的0.53)，天问一号的着陆巡视器质量为1.3 t，地球表面重力加速度为9.8 m/s2。试根据图示数据计算说明下列问题：
(1)着陆巡视器在动力减速段做的是否为竖直方向的匀减速直线运动？
(2)设着陆巡视器在伞系减速段做的是竖直方向的匀减速直线运动，火星大气对着陆巡视器的平均阻力为多大？(结果保留一位有效数字)
[解析] (1)设动力减速阶段着陆巡视器初速度为v1，末速度为v2，若此过程为匀减速直线运动，则有x＝t，代入数据得×80 m＝3 944 m≠1 400 m，即此过程不是匀减速直线运动。
(2)着陆巡视器在地球表面时，有mg＝，着陆巡视器在火星表面时，有mg火＝
由题意，有＝0.53，＝0.11，联立解得g火≈3.8 m/s2。取向下为正方向，伞系减速过程着陆巡视器初速度为v0，时间t′＝90 s，m＝1 300 kg，此过程加速度a＝，解得a≈－4.1 m/s2
设火星大气对着陆巡视器阻力的大小为f，由牛顿第二定律，可得mg火－f＝ma
联立解得f≈1×104 N。
[答案] (1)不是匀减速直线运动 (2)1×104 N
12．某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则：
(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大？
(2)远地点B距地面的高度h2为多少？
[解析] (1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船受到的地球引力为F＝G，地球表面的重力加速度g＝G
由牛顿第二定律得aA＝＝＝。
(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T＝
由牛顿第二定律得G＝m (R＋h2)
解得h2＝－R。
[答案] (1) (2)－R
13．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期T；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1的二次方的比值。(结果保留三位小数)
[解析] (1)由题意可知，星球A和B为双星模型，A和B有相同的角速度和周期。
设A、B做圆周运动的半径分别为r、R，质量分别为m、M，则有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L
联立解得R＝L，r＝L
对A，根据向心力公式和万有引力定律得
＝mL
解得T＝2π。
(2)设地球质量为M，月球质量为m，地球、月球中心之间的距离为L′，由题意知，可以将地月系统看成双星系统，
由(1)得T1＝2π
若认为月球绕地心做圆周运动，则根据向心力公式和万有引力定律得＝mL′，解得T2＝2π
所以T2与T1的二次方的比值为
2＝＝＝1.012。
[答案] (1)2π (2)1.012
5素养培优练(四)
一、选择题
1．物体在竖直方向上分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动。在这三种情况下物体机械能的变化情况是( )
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能可能增加，可能减少，也可能不变
D．三种情况中，物体的机械能均增加
2．质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m后速度达到1 m/s，g取10 m/s2，则下列判断错误的是( )
A．人对物体做的功为12 J
B．合外力对物体做的功为2 J
C．物体克服重力做的功为10 J
D．人对物体做的功等于物体增加的动能
3．如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为( )
A．mgl B．mgl
C．mgl D．mgl
4．如图所示，一匀质杆长为r，从图示位置由静止开始沿光滑面ABD滑动，AB是半径为r的圆弧，BD为水平面。则当杆滑到BD位置时的速度大小为( )
A． B．
C． D．2
5．如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度大小为g)( )
A． B．
C． D．4
6．(2022·北京延庆区教育科学研究中心高一期末)如图A、B两物体一起沿固定的倾角为θ的粗糙斜面下滑，下滑过程中A、B之间无相对运动，若下滑距离为L，两物体的总重力为G，斜面与B之间的摩擦力为f1，A、B之间的摩擦力为f2，下滑过程中两物体机械能的变化为ΔE，两物体动能的变化ΔEk。下列关系式正确的是( )
A．ΔE＝(Gsin θ－f1)L
B．ΔE＝(Gsin θ－f1－f2)L
C．ΔEk＝(Gsin θ－f1)L
D．ΔEk＝(Gsin θ－f1－f2)L
7．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30°)( )
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
8．(2022·福建宁德教师进修学院高一期末)游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情形抽象为图乙的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道平滑相接，将质量为m的小球从弧形轨道上端距水平地面高度为h处静止释放，小球进入半径为R的圆轨道下端后沿圆轨道运动，不计空气阻力与摩擦，重力加速度为g。关于小球的运动，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．若h＝R，小球会脱离轨道
B．若h＝2R，小球恰好能通过圆轨道最高点
C．若h＝2R，小球在圆轨道最低点对轨道的压力为4mg
D．若h＝3R，小球在圆轨道最高点对轨道的压力为mg
9．(多选)(2022·河北邯郸开学考试)在2021年8月1日东京奥运会女子铅球决赛中，我国运动员投出20.58 m的好成绩，拿到了梦寐以求的冠军。好成绩与平时刻苦的训练是分不开的，在某一次训练过程中，运动员奋力将质量为4 kg的静止铅球推出，铅球从距地面1.8 m的高度与水平方向成37°斜向上飞出，测得成绩是19.2 m。sin 37°≈0.6，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是( )
A．此次投掷从铅球飞出至落地用时1.8 s
B．此次投掷从铅球飞出至落地用时1.6 s
C．铅球做斜抛运动的初速度大小约为13.3 m/s
D．此次投掷运动员对铅球做的功为354 J
10．(多选)(2022·福建宁德教师进修学院高一期末)2021年1月，天通一号03星发射成功。发射过程简化为如图所示，火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P、Q是远地点和近地点)，卫星再变轨到轨道2(圆轨道)，最后变轨到轨道半径相等的轨道3(同步圆轨道)，忽略卫星质量变化，下列说法正确的是( )
A．卫星在P点的加速度大于在Q点的加速度
B．卫星在三个轨道上的周期T3＝T2>T1
C．由轨道1变至轨道2，卫星在P点应朝运动相反方向喷气
D．卫星在三个轨道上机械能E3>E2>E1
二、非选择题
11．如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
12．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与两球连接，处于静止状态。同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g。求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。
13．如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。
(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
(2)若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。已知滑块质量m＝，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小x。
8素养培优练(四)
一、选择题
1．物体在竖直方向上分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动。在这三种情况下物体机械能的变化情况是( )
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能可能增加，可能减少，也可能不变
D．三种情况中，物体的机械能均增加
C [无论物体向上加速运动还是向上匀速运动，除重力外，其他外力的合力一定对物体做正功，物体机械能一定增加；物体向上减速运动时，除重力外，物体受到的其他外力不确定，故无法确定其机械能的变化情况，选项C正确。]
2．质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m后速度达到1 m/s，g取10 m/s2，则下列判断错误的是( )
A．人对物体做的功为12 J
B．合外力对物体做的功为2 J
C．物体克服重力做的功为10 J
D．人对物体做的功等于物体增加的动能
D [由动能定理知，合外力对物体做的功等于物体动能的增加量，W人－mgh＝mv2－0，得人对物体做的功W人＝mgh＋mv2＝12 J，A正确，D错误；合外力做的功W合＝mv2＝2 J，B正确；物体克服重力做的功为WG＝mgh＝10 J，C正确。D符合题意。]
3．如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为( )
A．mgl B．mgl
C．mgl D．mgl
A [由题意知，将Q点拉至M点时，外力对细绳所做的功等于细绳MQ段克服自身重力所做的功，将Q点拉至M点的过程中，细绳MQ段重心上升的高度Δh＝－＝l(取悬挂点为基准点)，故外力做的功W＝mgΔh＝mgl，故选项A正确。]
4．如图所示，一匀质杆长为r，从图示位置由静止开始沿光滑面ABD滑动，AB是半径为r的圆弧，BD为水平面。则当杆滑到BD位置时的速度大小为( )
A． B．
C． D．2
B [虽然杆在下滑过程有转动发生，但初始位置静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，故有mv2＝mg·，解得v＝，B正确。]
5．如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度大小为g)( )
A． B．
C． D．4
C [由机械能守恒定律得ΔEp减＝ΔEk增，即mg·L＋mg·L＝mv2，所以v＝，选项C正确。]
6．(2022·北京延庆区教育科学研究中心高一期末)如图A、B两物体一起沿固定的倾角为θ的粗糙斜面下滑，下滑过程中A、B之间无相对运动，若下滑距离为L，两物体的总重力为G，斜面与B之间的摩擦力为f1，A、B之间的摩擦力为f2，下滑过程中两物体机械能的变化为ΔE，两物体动能的变化ΔEk。下列关系式正确的是( )
A．ΔE＝(Gsin θ－f1)L
B．ΔE＝(Gsin θ－f1－f2)L
C．ΔEk＝(Gsin θ－f1)L
D．ΔEk＝(Gsin θ－f1－f2)L
C [因为下滑过程中A、B之间无相对运动，所以以A、B整体为研究对象，由功能关系可知，两物体机械能的减少量ΔE＝f1L，选项A、B错误；由动能定理可知，两物体动能的变化ΔEk＝(Gsin θ－f1)L，选项C正确，D错误。故选C。]
7．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30°)( )
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
C [圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，但圆环机械能不守恒，A错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹性势能增加mgh，C正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D错误。]
8．(2022·福建宁德教师进修学院高一期末)游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情形抽象为图乙的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道平滑相接，将质量为m的小球从弧形轨道上端距水平地面高度为h处静止释放，小球进入半径为R的圆轨道下端后沿圆轨道运动，不计空气阻力与摩擦，重力加速度为g。关于小球的运动，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．若h＝R，小球会脱离轨道
B．若h＝2R，小球恰好能通过圆轨道最高点
C．若h＝2R，小球在圆轨道最低点对轨道的压力为4mg
D．若h＝3R，小球在圆轨道最高点对轨道的压力为mg
D [当h＝R时，根据机械能守恒，小球在竖直圆轨道最大高度为R，因此不会脱离轨道，故A错误；若小球能通过最高点，则速度最小时，重力提供向心力，因此可得mg＝，解得v＝，根据机械能守恒定律可得mg(h－2R)＝mv2，解得h＝2.5R，故B错误；当h＝2R时，小球由静止运动到圆轨道最低点的过程中，由机械能守恒定律有mg×2R＝mv，小球在最低点，在重力和轨道的压力作用下做圆周运动，由牛顿运动定律有N1－mg＝，解得N1＝5mg，故C错误；当h＝3R时，小球由静止运动到圆轨道最高点的过程中，由机械能守恒定律有mg(3R－2R)＝mv，小球在最高点，在重力和轨道的压力作用下做圆周运动，由牛顿运动定律有N2＋mg＝，解得N2＝mg，故D正确。故选D。]
9．(多选)(2022·河北邯郸开学考试)在2021年8月1日东京奥运会女子铅球决赛中，我国运动员投出20.58 m的好成绩，拿到了梦寐以求的冠军。好成绩与平时刻苦的训练是分不开的，在某一次训练过程中，运动员奋力将质量为4 kg的静止铅球推出，铅球从距地面1.8 m的高度与水平方向成37°斜向上飞出，测得成绩是19.2 m。sin 37°≈0.6，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是( )
A．此次投掷从铅球飞出至落地用时1.8 s
B．此次投掷从铅球飞出至落地用时1.6 s
C．铅球做斜抛运动的初速度大小约为13.3 m/s
D．此次投掷运动员对铅球做的功为354 J
AC [铅球做斜抛运动，水平方向v0cos 37°t＝19.2 m，竖直方向v0sin 37°t－gt2＝－1.8 m
解得t≈1.8 s，v≈13.3 m/s，B错误，A、C正确；铅球的初动能Ek＝mv≈354 J，此次投掷运动员对铅球做的功等于铅球增加的机械能，除动能外，还有重力势能的增加，故对铅球做的功大于354 J，D错误。故选AC。]
10．(多选)(2022·福建宁德教师进修学院高一期末)2021年1月，天通一号03星发射成功。发射过程简化为如图所示，火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P、Q是远地点和近地点)，卫星再变轨到轨道2(圆轨道)，最后变轨到轨道半径相等的轨道3(同步圆轨道)，忽略卫星质量变化，下列说法正确的是( )
A．卫星在P点的加速度大于在Q点的加速度
B．卫星在三个轨道上的周期T3＝T2>T1
C．由轨道1变至轨道2，卫星在P点应朝运动相反方向喷气
D．卫星在三个轨道上机械能E3>E2>E1
BC [由加速度a＝可知近地点加速度大，远地点加速度小，故A错误；根据开普勒第三定律＝k，椭圆轨道半长轴就是轨道半径，因此1、2、3轨道半径关系为R1T1，故B正确；要使得卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P点点火加速，故C正确；根据C项分析可知，卫星由轨道1变至轨道2，机械能增大，而在轨道2、3上，高度相同，机械能相同，即E3＝E2>E1，故D错误。故选BC。]
二、非选择题
11．如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
[解析] (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由动能定理得EkA＝mg ①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg ②
由①②式得EkB∶EkA＝5∶1。 ③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0 ④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有FN＋mg＝m ⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m ⑥
由动能定理有mg＝mv ⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
[答案] (1)5∶1 (2)见解析
12．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与两球连接，处于静止状态。同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g。求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。
[解析] (1)由a球恰好能到达A点知：m1g＝m1
由机械能守恒定律得m1v＝m1g·2R＋m1v
解得va＝。
(2)对于b球由机械能守恒定律得m2v＝m2g·10R
解得vb＝2。
(3)由机械能守恒定律得Ep＝m1v＋m2v
解得Ep＝gR。
[答案] (1) (2)2 (3)gR
13．如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。
(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
(2)若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。已知滑块质量m＝，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小x。
[解析] (1)滑块滑到B点时对小车压力最大，从A到B机械能守恒
mgR＝mv ①
滑块在B点处，由牛顿第二定律得
N－mg＝m②
解得N＝3mg ③
由牛顿第三定律得N′＝3mg。 ④
(2)①滑块下滑到达B点时，小车速度最大。由机械能守恒得
mgR＝Mv＋m(2vm)2 ⑤
解得vm＝ 。 ⑥
②设滑块运动到C点时，小车速度大小为vC，由功能关系得
mgR－μmgL＝Mv＋m(2vC)2 ⑦
设滑块从B到C过程中，小车运动加速度大小为a，由牛顿第二定律得
μmg＝Ma ⑧
由运动学规律得
v－v＝－2ax ⑨
解得x＝。 ⑩
[答案] (1)3mg (2)① ②
8素养培优练(一)
一、选择题
1．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ
C． D．
2．如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球以2v0的速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
3．(2022·山东潍坊一中高一期末)如图所示，相对的两个斜面，倾角分别为30°和60°，在顶点的两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、右两边水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两小球的运动时间之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．1∶
4．如图所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A开始做平抛运动，甲球落在轨道最低点D，乙球落在D点右侧的轨道上。设甲、乙两球的初速度分别为v甲、v乙，在空中运动的时间分别为t甲、t乙，则下列判断正确的是( )
A．t甲＝t乙 B．t甲C．v甲>v乙 D．v甲5．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
6．(2022·湖北荆州中学高一月考)如图所示，一光滑斜面体固定在水平面上，其斜面ABCD为矩形，与水平面的夹角为θ，AD边水平且距水平面的高度为h。现将质量为m的小球从斜面上的A点沿AD方向以速度v0水平抛出，忽略空气阻力，小球恰好运动到斜面的左下角C点，已知重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球从A点运动到C点的过程中做变加速曲线运动
B．小球从A点运动到C点的时间为
C．AD边的长度为v0sin θ
D．小球运动到C点时的速度大小为vC＝
7．如图所示，特技演员平时训练有这样一个高难度科目：有一条结实的绳子一端拴在高度差为H＝12 m的AB两楼顶上，绳子绷直，使其与水平面夹角θ＝60°，演员现从A楼顶下方h＝5 m的窗台上以速度v水平飞跃而出，如果能抓住绳子，则v至少为(忽略空气阻力，特技演员视为质点，g取10 m/s2)( )
A． m/s B．3 m/s
C． m/s D．5 m/s
8．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2。则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s
C．3 m/s9．(多选)如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R。将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力。则( )
A．当小球的初速度v0＝时，落到环上时的竖直分速度最大
B．当小球的初速度v0＝时，将落到环上的cb段
C．v0取适当值，小球可以垂直撞击圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
10．(多选)如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c。开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3．若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
二、非选择题
11．在东京奥运会田径男子撑竿跳高决赛中，世界纪录保持者，瑞典运动员以6.02 m轻松夺冠，之后向6.19 m的高度发起冲击，不过三次挑战均未成功。在第一次挑战中，运动员已经越过横杆，可惜横杆由于胸部碰触而掉落。假设运动员体重80 kg，身高1.8 m，第一次挑战时，以a＝1.25 m/s2匀加速助跑，速度达到v＝9.5 m/s时撑竿起跳，在最高点过横杆后重心下降h＝5.4 m时身体接触软垫。假设横杆由于碰触自由下落，其落点与运动员落点水平距离通过测量折算为1.08 m。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力(取＝1.732)。求：
(1)运动员起跳前的助跑距离；
(2)运动员落到软垫时的竖直速度(结果保留两位小数)；
(3)估算运动员过横杆时的速度(结果保留两位小数)。
12．(2022·山东菏泽一中检测)如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的斜面顶端且速度刚好与斜面平行，已知平台到斜面顶端的高度h＝0.8 m，不计空气阻力，g取10 m/s2。(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)小球水平抛出的初速度v0；
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x。
13．质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其相互垂直的分速度vx和vy随时间变化的图线如图甲、乙所示，求：
甲 乙
(1)物体所受的合外力；
(2)物体的初速度；
(3)t＝8 s时物体的速度大小；
(4)4 s内物体的位移大小。
3素养培优练(一)
一、选择题
1．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ
C． D．
D [小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比即为平抛运动的合位移与水平方向夹角的正切值。小球落在斜面上时速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向夹角为－θ，由平抛运动速度方向与水平方向夹角的正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，可知小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为tan＝，D项正确。]
2．如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球以2v0的速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
B [因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝＝，所以＝，B正确。]
3．(2022·山东潍坊一中高一期末)如图所示，相对的两个斜面，倾角分别为30°和60°，在顶点的两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、右两边水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两小球的运动时间之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．1∶
C [对于A球，tan 30°＝＝，解得tA＝；对于B球，tan 60°＝＝，解得tB＝，所以＝＝，故选项C正确。]
4．如图所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A开始做平抛运动，甲球落在轨道最低点D，乙球落在D点右侧的轨道上。设甲、乙两球的初速度分别为v甲、v乙，在空中运动的时间分别为t甲、t乙，则下列判断正确的是( )
A．t甲＝t乙 B．t甲C．v甲>v乙 D．v甲D [根据平抛运动规律可知，小球在空中运动的时间仅由下落高度决定，乙球下落高度小于甲球下落高度，故t乙＜t甲，选项A、B错误；水平位移x＝vt，而x乙＞x甲，t乙＜t甲，所以v甲＜v乙，选项D正确，C错误。]
5．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
A [当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，连接O点和e点的抛物线，和斜面相交于b、c间的一点(如图)，该点即为小球以速度2v0抛出时在斜面上的落点。故A正确。]
6．(2022·湖北荆州中学高一月考)如图所示，一光滑斜面体固定在水平面上，其斜面ABCD为矩形，与水平面的夹角为θ，AD边水平且距水平面的高度为h。现将质量为m的小球从斜面上的A点沿AD方向以速度v0水平抛出，忽略空气阻力，小球恰好运动到斜面的左下角C点，已知重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球从A点运动到C点的过程中做变加速曲线运动
B．小球从A点运动到C点的时间为
C．AD边的长度为v0sin θ
D．小球运动到C点时的速度大小为vC＝
D [小球运动过程中，沿斜面方向，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，方向沿斜面向下，加速度恒定，结合运动可知小球做类平抛运动，即匀变速曲线运动，A错误；小球在AB方向做匀加速直线运动，有＝at2，解得t＝，B错误；小球在AD方向做匀速直线运动，有x＝v0t＝v0＝v0··，C错误；小球运动到C点时的速度大小vC＝＝，D正确。]
7．如图所示，特技演员平时训练有这样一个高难度科目：有一条结实的绳子一端拴在高度差为H＝12 m的AB两楼顶上，绳子绷直，使其与水平面夹角θ＝60°，演员现从A楼顶下方h＝5 m的窗台上以速度v水平飞跃而出，如果能抓住绳子，则v至少为(忽略空气阻力，特技演员视为质点，g取10 m/s2)( )
A． m/s B．3 m/s
C． m/s D．5 m/s
C [以速度v水平飞跃而出，如果能抓住绳子，则水平方向位移为x＝vt，竖直方向位移为h1＝gt2，由几何关系可知＝tan 60°，联立解得v＝(h1＋5)，则当h1＝5时，v有最小值 m/s。故选C。]
8．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2。则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s
C．3 m/sC [小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题。若小物件恰好经过窗子上沿，则有h＝gt，L＝v1t1，得v1＝7 m/s；若小物件恰好经过窗子下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，得v2＝3 m/s，所以3 m/s9．(多选)如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R。将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力。则( )
A．当小球的初速度v0＝时，落到环上时的竖直分速度最大
B．当小球的初速度v0＝时，将落到环上的cb段
C．v0取适当值，小球可以垂直撞击圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
AD [小球做平抛运动，当小球落在c点时竖直分速度最大，由R＝gt2，R＝v0t，解得v0＝，A正确；当小球的初速度v0＝＜时，水平位移小于R，小球将落到环上的ac段，B错误；小球撞击在ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球落在cb段时，由于O不在水平位移的中点，根据平抛运动的推论，可知小球落在圆环上时的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，C错误，D正确。]
10．(多选)如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c。开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3．若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
ABC [由静止释放三小球时
对a：＝gsin 30°·t，则t＝
对b：h＝gt，则t＝
对c：＝gsin 45°·t，则t＝
所以t1＞t3＞t2
当平抛三小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面内做类平抛运动。沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′。故ABC正确。]
二、非选择题
11．在东京奥运会田径男子撑竿跳高决赛中，世界纪录保持者，瑞典运动员以6.02 m轻松夺冠，之后向6.19 m的高度发起冲击，不过三次挑战均未成功。在第一次挑战中，运动员已经越过横杆，可惜横杆由于胸部碰触而掉落。假设运动员体重80 kg，身高1.8 m，第一次挑战时，以a＝1.25 m/s2匀加速助跑，速度达到v＝9.5 m/s时撑竿起跳，在最高点过横杆后重心下降h＝5.4 m时身体接触软垫。假设横杆由于碰触自由下落，其落点与运动员落点水平距离通过测量折算为1.08 m。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力(取＝1.732)。求：
(1)运动员起跳前的助跑距离；
(2)运动员落到软垫时的竖直速度(结果保留两位小数)；
(3)估算运动员过横杆时的速度(结果保留两位小数)。
[解析] (1)根据2ax＝v2可得运动员起跳前的助跑距离为x＝＝36.1 m。
(2)运动员落到软垫时的竖直速度为vy＝＝10.39 m/s。
(3)由平抛运动的规律可知t＝，vx＝＝1.04 m/s。
[答案] (1)36.1 m (2)10.39 m/s (3)1.04 m/s
12．(2022·山东菏泽一中检测)如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的斜面顶端且速度刚好与斜面平行，已知平台到斜面顶端的高度h＝0.8 m，不计空气阻力，g取10 m/s2。(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)小球水平抛出的初速度v0；
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x。
[解析] (1)设小球刚到达斜面顶端时竖直分速度的大小为vy，
水平分速度为v0，合速度为v，
由v＝2gh得，vy＝＝4 m/s
由题意可知，小球落到斜面顶端刚好与斜面平行，则
vy＝v0tan 53°
解得v0＝＝3 m/s。
(2)由vy＝gt1得
平抛运动的时间t1＝＝0.4 s
所以水平距离x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m。
[答案] (1)3 m/s (2)1.2 m
13．质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其相互垂直的分速度vx和vy随时间变化的图线如图甲、乙所示，求：
甲 乙
(1)物体所受的合外力；
(2)物体的初速度；
(3)t＝8 s时物体的速度大小；
(4)4 s内物体的位移大小。
[解析] (1)物体在x方向：ax＝0
y方向：ay＝＝0.5 m/s2
根据牛顿第二定律：F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向。
(2)由题图可知vx0＝3 m/s，vy0＝0，
则物体的初速度为v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向。
(3)由题图知，t＝8 s时，
vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，
物体的合速度为v＝＝5 m/s。
(4)4 s内，x＝vxt＝12 m，y＝ayt2＝4 m，
物体的位移l＝＝4 m。
[答案] (1)1 N，沿y轴正方向 (2)3 m/s，沿x轴正方向 (3)5 m/s (4)4 m
3素养培优练(二)
一、选择题
1．如图所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动。若绳子可能断，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到( )
A．最高点
B．最低点
C．两侧与圆心等高处
D．无法确定
2．(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为m1，B、C的质量均为m2，且m1＝2m2，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)( )
A．C的向心加速度最大
B．B的静摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，A比B先滑动
D．当圆台转速增大时，C将最先滑动
3．一轻杆下端固定一质量为M的小球，上端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时，刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
4．如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，(已知π2＝g)则( )
A．物块A一定会受圆盘的摩擦力
B．当转速n＝0.5 r/s时，A不受摩擦力
C．A受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上
D．当圆盘转速n＝1 r/s时，摩擦力方向沿半径背离圆心
5．(多选)如图所示，在竖直的转轴上，a、b两点间距为0.4 m，细线ac长0.5 m，bc长0.3 m，在c点系一质量为m的小球，在转轴带着小球转动的过程中，下列说法正确的是( )
A．转速较小时，ac受拉力，bc松弛
B．bc刚好拉直时，ac中拉力为1.25mg
C．bc拉直后转速增大，ac拉力增大
D．bc拉直后转速增大，ac拉力不变
6．在长为L的轻杆中点和末端各固定一个质量均为m的小球，杆可在竖直面内转动，如图所示，将杆拉至某位置释放，当其末端刚好摆到最低点时，杆下半段受力恰好等于球重的2倍，则杆上半段受到的拉力大小为( )
A．mg B．mg
C．2mg D．mg
7．(多选)如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
8．在质量为M的电动机飞轮上固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( )
A． B．
C． D．
9．(多选)如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动过程中，物体始终保持静止，关于物体对地面的压力N和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块运动到A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，N＝Mg，摩擦力方向向右
C．滑块运动到C点时，N>(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力
D．滑块运动到D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左
10．(多选)(2022·福建泉州月考)如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是( )
A．安装时A端比B端更靠近气嘴
B．转速达到一定值后LED灯才会发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
二、非选择题
11．(2022·北京首都师范大学附属中学期末)如图所示，用一根无弹性细绳拴住一个质量为m的小沙袋，让小沙袋在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，同时测出小沙袋运动n周所需时间为t。若小沙袋所需向心力近似等于手通过绳对小沙袋的拉力，求：
(1)小沙袋做圆周运动的周期T；
(2)小沙袋做圆周运动的角速度ω；
(3)细绳对小沙袋的拉力F。
12．如图所示，一个半径为R＝1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。当小球向右滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率；
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小；
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
13．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间的距离。
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