课时分层作业(四)
?题组一 圆周运动及其物理量
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
2．(2022·平顶山第一中学检测)如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，直杆可绕O在竖直面内转动。某汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s。如果汽车到道闸位置时，直杆刚好由水平位置转到竖直位置，则直杆转动的平均角速度大小为( )
A． rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
3．把某一机械手表的分针与时针上的点看成是匀速圆周运动，且分针长度是时针长度的1.5倍，则( )
A．分针与时针的周期之比为1∶60
B．分针与时针的角速度之比为12∶1
C．分针与时针末端的线速度之比为8∶1
D．分针与时针的频率之比为1∶12
?题组二 常见三种传动方式
4．(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
5．(多选)(2022·河南南阳六校高一联考)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO>rQO，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P、Q两点的角速度大小相等
C．相同时间内P、Q两点通过的弧长相等
D．P、Q两点的线速度方向相反
6．(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
7．如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是( )
A．顺时针转动，周期为
B．逆时针转动，周期为
C．顺时针转动，周期为
D．逆时针转动，周期为
?题组三 圆周运动的周期性和多解问题
8．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
9．如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
3课时分层作业(四)
?题组一 圆周运动及其物理量
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
BD [质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长与连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。]
2．(2022·平顶山第一中学检测)如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，直杆可绕O在竖直面内转动。某汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s。如果汽车到道闸位置时，直杆刚好由水平位置转到竖直位置，则直杆转动的平均角速度大小为( )
A． rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
B [由题知，汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s，则说明直杆有4 s的转动时间，则直杆转动的平均角速度大小为ω＝＝ rad/s。故选B。]
3．把某一机械手表的分针与时针上的点看成是匀速圆周运动，且分针长度是时针长度的1.5倍，则( )
A．分针与时针的周期之比为1∶60
B．分针与时针的角速度之比为12∶1
C．分针与时针末端的线速度之比为8∶1
D．分针与时针的频率之比为1∶12
B [分针的周期为T分＝1 h，时针的周期为T时＝12 h，则分针与时针的周期之比为T分∶T时＝1∶12，由ω＝可知，分针与时针的角速度之比为ω分∶ω时＝12∶1，由f＝可知，分针与时针的频率之比为f分∶f时＝12∶1，A、D错误，B正确；由v＝ωr得，分针与时针末端的线速度之比为v分∶v时＝ω分r分∶ω时r时＝18∶1，C错误。]
?题组二 常见三种传动方式
4．(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
BC [主动轮做顺时针转动，由皮带缠绕的方式可知从动轮做逆时针转动，A错误，B正确；两轮通过皮带传动，边缘的线速度大小相等，由v＝rω，ω＝2πn，可得2πn·r1＝2πn′·r2解得从动轮的转速为n′＝n，C正确，D错误。故选BC。]
5．(多选)(2022·河南南阳六校高一联考)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO>rQO，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P、Q两点的角速度大小相等
C．相同时间内P、Q两点通过的弧长相等
D．P、Q两点的线速度方向相反
BD [鸟将绕着O点不停摆动，P、Q是饮水鸟上两点，属于同轴转动。P点离O点更远，绕O点转动的半径大。根据同轴转动角速度相等知P、Q两点的角速度大小相等，故B正确；P、Q两点的角速度大小相同，P点绕O点转动的半径大，根据v＝ωr知，P点的线速度较大，故A错误；P、Q两点的线速度大小不同，故相同时间内通过的弧长不相等，故C错误；P、Q在O点两端，两点的线速度方向均与杆垂直，故两点的线速度方向相反，选项D正确。]
6．(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
BC [A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换4种挡位，故A错误，B正确；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A轮转一圈，D转4圈，即＝，故C正确，D错误。]
7．如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是( )
A．顺时针转动，周期为
B．逆时针转动，周期为
C．顺时针转动，周期为
D．逆时针转动，周期为
A [齿轮不打滑，说明接触点线速度相等，主动轮逆时针转动，故从动轮顺时针转动。因为齿的大小相等，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，故主动轮与从动轮的角速度之比＝＝，解得从动轮的角速度ω2＝3ω1＝3ω。由ω＝得从动轮的周期T＝＝，故A正确。]
?题组三 圆周运动的周期性和多解问题
8．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
C [子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0,1,2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s，C正确。]
9．如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
[解析] 速度相同即大小、方向相同，B为水平向右，A一定要在最低点才能保证速度水平向右。由题意可知：当A从M点运动到最低点时
t＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：
v＝at＝＝
解得：F＝(n＝0,1,2，…)。
[答案] F＝(n＝0,1,2，…)
3课时分层作业(五)
?题组一 对匀速圆周运动向心力的理解
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
2．如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
A B C D
3．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对筒壁静止，则( )
A．物体受到4个力的作用
B．物体所受向心力是物体所受的重力提供的
C．物体所受向心力是物体所受的弹力提供的
D．物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的
4．(2022·北京延庆区教育科学研究中心高一期末)骑自行车匀速行驶在水平路面的弯道时，为自行车提供向心力的是( )
A．地面的摩擦力与人蹬车的力的合力
B．地面的摩擦力与支持力的合力
C．地面的支持力与重力的合力
D．自行车受到所有外力的合力
?题组二 变速圆周运动与一般曲线运动
5．如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
6．(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动，关于他在最高点时状态的描述，下列说法正确的是( )
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
?题组三 向心力的计算
7．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
8．(2022·郑州一中高一检测)如图所示，把一个长为20 cm、劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，并作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以r/min的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为( )
A．5.2 cm B．5.3 cm
C．5.0 cm D．5.4 cm
9．(2022·湖南郴州高一月考)长为L的细线，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F的大小；
(2)小球运动的线速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
1．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R B．
C． D．不能确定
2．(2022·山东诸城一中高一检测)如图所示，质量为M的滑块能在水平光滑滑杆上自由滑动，滑杆装在转盘上。滑块用轻质细绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，滑块到轴的距离为r，且恰能保持稳定转动。若转盘的转速增大至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块( )
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．角速度变为原来的
3．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0。
4．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为θ＝30°，物体以速度v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。
(1)当v1＝时，求细线对物体的拉力；
(2)当v2＝时，求细线对物体的拉力。
5课时分层作业(五)
?题组一 对匀速圆周运动向心力的理解
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
AD [匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A正确，B错误；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错误，D正确。]
2．如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
A B C D
C [由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心。由此可知C正确。]
3．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对筒壁静止，则( )
A．物体受到4个力的作用
B．物体所受向心力是物体所受的重力提供的
C．物体所受向心力是物体所受的弹力提供的
D．物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的
C [对物体受力分析如图：
物体受重力、静摩擦力和筒壁的弹力三个力作用，竖直方向上重力与静摩擦力平衡，水平方向上弹力指向圆心，提供向心力，故C正确，ABD错误。]
4．(2022·北京延庆区教育科学研究中心高一期末)骑自行车匀速行驶在水平路面的弯道时，为自行车提供向心力的是( )
A．地面的摩擦力与人蹬车的力的合力
B．地面的摩擦力与支持力的合力
C．地面的支持力与重力的合力
D．自行车受到所有外力的合力
D [自行车受重力、支持力、人蹬车的力和地面给的摩擦力，因为自行车做匀速圆周运动，所以所有外力的合力提供向心力，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
?题组二 变速圆周运动与一般曲线运动
5．如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。]
6．(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动，关于他在最高点时状态的描述，下列说法正确的是( )
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
A [在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对人，沿摆绳方向受力分析有F－mgcos θ＝m，由于小明的速度为0，则有F＝mgcos θ?题组三 向心力的计算
7．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F＝mω2l，得选项A、C正确。]
8．(2022·郑州一中高一检测)如图所示，把一个长为20 cm、劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，并作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以r/min的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为( )
A．5.2 cm B．5.3 cm
C．5.0 cm D．5.4 cm
C [小球转动的角速度ω＝2πn＝ rad/s＝12 rad/s，由向心力公式得kx＝mω2(x0＋x)，解得x＝＝ m＝0.05 m＝5.0 cm。故C正确。]
9．(2022·湖南郴州高一月考)长为L的细线，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，求：
(1)细线的拉力F的大小；
(2)小球运动的线速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
[解析] 对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用。
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′。由平行四边形定则得，小球受到的合力大小F合＝mgtan α，细线的拉力大小F＝。
(2)由牛顿第二定律得mgtan α＝m
由几何关系得r＝Lsin α
解得小球运动的线速度大小v＝。
(3)小球运动的角速度ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π。
[答案] (1) (2) (3) 2π
1．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R B．
C． D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力：F＝＝，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确。]
2．(2022·山东诸城一中高一检测)如图所示，质量为M的滑块能在水平光滑滑杆上自由滑动，滑杆装在转盘上。滑块用轻质细绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，滑块到轴的距离为r，且恰能保持稳定转动。若转盘的转速增大至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块( )
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．角速度变为原来的
B [若转盘的转速增大，再次稳定时，滑块做匀速圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于物体的重力，所以向心力不变，A错；转盘的转速增大至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据Fn＝Mrω2，向心力不变，则r变为原来的。根据v＝rω，线速度变为原来的，B对，C、D错。]
3．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0。
[解析] 对小物块受力分析如图所示，
由牛顿第二定律知mgtan θ＝mω·Rsin θ，得ω0＝＝。
[答案]
4．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为θ＝30°，物体以速度v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。
(1)当v1＝时，求细线对物体的拉力；
(2)当v2＝时，求细线对物体的拉力。
[解析] 当物体恰好离开锥面时，此时物体与锥面接触但是没有弹力作用，如图所示：
则：竖直方向：Tcos θ－mg＝0
水平方向：Tsin θ＝
R＝lsin θ，解得v＝。
(1)当v1则在水平方向：
T1sin θ－N1cos θ＝
竖直方向：T1cos θ＋N1sin θ－mg＝0
R＝lsin θ，解得：T1＝mg。
(2)v2>v时，物体离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，如图所示：
则竖直方向：T2cos α－mg＝0
水平方向：T2sin α＝
而且：R2＝lsin α，解得：T2＝2mg。
[答案] (1) (2)2mg
5课时分层作业(六)
?题组一 对向心加速度的理解
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝来计算
2．(多选)关于匀速圆周运动和向心加速度，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动的向心加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，时刻发生变化，所以匀速圆周运动不是匀变速运动
3．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
4．(多选)如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中( )
A．笔尖的角速度不变
B．笔尖的线速度不变
C．笔尖和针尖的连线在相等的时间内转过的角度相等
D．笔尖的加速度不变
5．(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
A B C D
?题组二 向心加速度的表达式及应用
6．(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
7．(多选)如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
8．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ)
9．在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小。
1．(多选)(2022·安徽江淮名校高一下期末)如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴沿顺时针方向转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则( )
A．M点的速度方向垂直于液压杆
B．N点的角速度为ω
C．两点的线速度大小关系为vN＝4vM
D．N点的向心加速度大小为2ω2L
2．科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮，若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．小齿轮和大齿轮转速相同
B．小齿轮每个齿的线速度均相同
C．小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D．大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮每个齿的向心加速度大小的3倍
3．如图甲所示，某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道，弯道两端连接的都是直道。有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图乙所示。求：
甲 乙
(1)汽车转弯所用的时间；
(2)汽车行驶的速率。
4．一可视为质点的圆柱形小物块放在水平转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方拍照，得到转盘转动一周的频闪照片如图所示，已知频闪照相的闪光频率为30 Hz，转盘的转动半径为2 m，则该转盘转动的角速度和物块的向心加速度分别是多少？
6课时分层作业(六)
?题组一 对向心加速度的理解
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝来计算
B [向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，选项C错误；公式a＝适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误。]
2．(多选)关于匀速圆周运动和向心加速度，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动的向心加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，时刻发生变化，所以匀速圆周运动不是匀变速运动
BD [做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度，且向心加速度大小不变，方向时刻指向圆心，向心加速度不恒定，因此匀速圆周运动不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确。]
3．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。]
4．(多选)如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中( )
A．笔尖的角速度不变
B．笔尖的线速度不变
C．笔尖和针尖的连线在相等的时间内转过的角度相等
D．笔尖的加速度不变
AC [在圆规匀速转动画圆的过程中，线速度的方向在改变，所以笔尖的线速度改变，而角速度不变，故B错误，A正确；笔尖和针尖的连线在相等的时间内转过的角度θ＝ωt相等，故C正确；笔尖的加速度，即圆周运动的向心加速度an＝ω2R，大小不变，而方向时刻在改变，故D错误。]
5．(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
A B C D
BD [若小球做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到图示的P点时，所受的合力可分解为向心力和切向方向的力，即P点的加速度应可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，故D项正确。]
?题组二 向心加速度的表达式及应用
6．(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
C [向心加速度的公式an＝rω2，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an约为1 000 m/s2，C正确。]
7．(多选)如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
AB [因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，故A项正确；周期T＝＝π s，故B项正确；小物块在 s内转过弧度，通过的位移为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，故C、D错误。]
8．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ)
D [小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋Lsin θ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋Lsin θ)，选项D正确。]
9．在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小。
[解析] 男女运动员的转速、角速度是相同的，
由ω＝2πn得
ω＝2×3.14×30/60 rad/s＝3.14 rad/s
由v＝ωr得r＝＝ m≈1.53 m
由a＝ω2r得a＝3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2。
[答案] 3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2
1．(多选)(2022·安徽江淮名校高一下期末)如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴沿顺时针方向转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则( )
A．M点的速度方向垂直于液压杆
B．N点的角速度为ω
C．两点的线速度大小关系为vN＝4vM
D．N点的向心加速度大小为2ω2L
BD [吊臂绕固定转轴O旋转，因此M点的速度方向垂直于吊臂，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转轴O旋转，有相同的角速度，即N点的角速度等于M点的角速度，故B正确；根据v＝ωr可知vN＝2vM，故C错误；根据a＝ω2r可知，N点的向心加速度大小为aN＝2ω2L，故D正确。]
2．科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮，若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．小齿轮和大齿轮转速相同
B．小齿轮每个齿的线速度均相同
C．小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D．大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮每个齿的向心加速度大小的3倍
C [因为大齿轮和小齿轮相扣，故大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，但小齿轮的每个齿的线速度方向不同，故B项错误；根据v＝ωr可知，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍，根据ω＝2πn可知小齿轮转速是大齿轮转速的3倍，故A项错误，C项正确；根据an＝，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，可知小齿轮每个齿的向心加速度大小是大齿轮每个齿的向心加速度大小的3倍，故D项错误。]
3．如图甲所示，某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道，弯道两端连接的都是直道。有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图乙所示。求：
甲 乙
(1)汽车转弯所用的时间；
(2)汽车行驶的速率。
[解析] (1)由题图乙可得汽车转弯所用的时间为t＝10 s。
(2)汽车在转弯过程中做圆周运动的周期T＝4t＝40 s，由an＝r，解得r≈63.6 m
由an＝，解得v≈10 m/s。
[答案] (1)10 s (2)10 m/s
4．一可视为质点的圆柱形小物块放在水平转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方拍照，得到转盘转动一周的频闪照片如图所示，已知频闪照相的闪光频率为30 Hz，转盘的转动半径为2 m，则该转盘转动的角速度和物块的向心加速度分别是多少？
[解析] 闪光频率为30 Hz即每隔 s闪光一次，由频闪照片可知，转一周有6个时间间隔，即周期为 s，所以转盘转动的角速度为ω＝＝10 π rad/s。物块的向心加速度大小为a＝ω2r＝200 π2 m/s2。
[答案] 10π rad/s 200π2 m/s2
6课时分层作业(七)
?题组一 火车转弯
1．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法正确的是( )
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮都有侧压力
D．内、外轨对车轮均无侧压力
2．汽车在水平路面上转弯，地面的摩擦力已达到最大，当汽车的速率增大为原来的2倍时，为了保证行车安全，汽车转弯的轨道半径必须( )
A．至少增大到原来的4倍
B．至少增大到原来的2倍
C．至少增大到原来的倍
D．减小到原来的
?题组二 汽车过拱形桥
3．(2022·湖北武汉期中)如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(汽车运动速率不变)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
4．如图所示，当汽车通过拱形桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)( )
A．15 m/s B．25 m/s
C．30 m/s D．20 m/s
5．(多选)在某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把滑铁索过江简化成如图所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离L＝80 m，绳索的最低点与A、B间的垂直距离h＝8 m，若把绳索看成是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(g取10 m/s2)，那么( )
A．人在整个绳索上的运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
?题组三 航天器中的失重现象
6．在天宫二号中工作的景海鹏和陈东可以自由悬浮在空中，处于失重状态，下列分析正确的是( )
A．失重就是航天员不受力的作用
B．失重的原因是航天器离地球太远，从而摆脱了地球引力的束缚
C．失重是航天器独有的现象，在地球上不可能存在失重现象
D．正是由于引力的存在，才使航天员有可能做环绕地球的圆周运动
7．宇宙飞船绕地球的运行可视为匀速圆周运动，神舟十号航天员在天宫一号中展示了失重环境下的物理实验或现象，如图所示四个实验可以在天宫一号舱内完成的有( )
?题组四 离心现象
8．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，是因为( )
A．游客受到离心力的作用
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力大小等于重力
D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势
9．飞船中的航天员需要在航天之前进行多种训练，其中如图所示是离心实验器的原理图。可以用此实验研究过荷对人体的影响，测定人体的抗荷能力。离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB(线AB与舱底垂直)与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
1．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
2．(2022·江苏三校联考高一期中)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的水平弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
3．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛。在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料。若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，g取10 m/s2。
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度大小；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度是多少。
4．如图所示，一杂技运动员骑摩托车沿一竖直圆轨道做特技表演。若摩托车运动的速率恒为v＝20 m/s，人和车的总质量为m＝200 kg，摩托车受到的阻力是摩托车对轨道压力的k倍，且k＝0.5。摩托车通过与圆心O在同一水平面上的B点向下运动时牵引力恰好为零，摩托车车身的长度不计，重力加速度g取10 m/s2，试求：
(1)运动员完成一次圆周运动所需的时间(π取3.14)；
(2)摩托车通过最低点A时牵引力的大小。
4课时分层作业(七)
?题组一 火车转弯
1．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法正确的是( )
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮都有侧压力
D．内、外轨对车轮均无侧压力
A [火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮均无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车有做近心运动趋势，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A项正确。]
2．汽车在水平路面上转弯，地面的摩擦力已达到最大，当汽车的速率增大为原来的2倍时，为了保证行车安全，汽车转弯的轨道半径必须( )
A．至少增大到原来的4倍
B．至少增大到原来的2倍
C．至少增大到原来的倍
D．减小到原来的
A [汽车在水平路面上转弯时，地面对汽车的摩擦力提供汽车转弯时所需的向心力，根据牛顿第二定律可得fm＝m。当汽车转弯时的速率增大为原来的2倍时，要保证行车安全，则汽车转弯的轨道半径应至少增大为原来的4倍，汽车才不会侧滑，A项正确。]
?题组二 汽车过拱形桥
3．(2022·湖北武汉期中)如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(汽车运动速率不变)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
D [由牛顿第二定律及向心力公式可知，汽车在a、c两点，有FN＝G－m＜G，即汽车在a、c两点不容易发生爆胎；同理可知，汽车在b、d两点，有FN＝G＋m>G，即汽车在b、d两点容易发生爆胎，又由题图知b点所在曲线半径大，即rb＞rd，又汽车在b、d两点的速率相等，故FNb4．如图所示，当汽车通过拱形桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)( )
A．15 m/s B．25 m/s
C．30 m/s D．20 m/s
D [根据牛顿第二定律得mg－FN＝，即mg＝，解得r＝40 m，当汽车在桥顶所受摩擦力为零时，支持力为零，有mg＝，解得v′＝20 m/s，故选项D正确，A、B、C错误。]
5．(多选)在某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把滑铁索过江简化成如图所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离L＝80 m，绳索的最低点与A、B间的垂直距离h＝8 m，若把绳索看成是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(g取10 m/s2)，那么( )
A．人在整个绳索上的运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
BC [人借助滑轮下滑过程中，速度大小是变化的，所以人在整个绳索上的运动不能看成匀速圆周运动，故A错误；设绳索的圆弧半径为R，由几何知识得R2＝＋(R－h)2，得R＝104 m，故B正确；在最低点对人进行受力分析，由牛顿第二定律得F－mg＝m，解得F＝570 N，由牛顿第三定律可知，此时人对绳索的压力为570 N，此时人处于超重状态，故C正确，D错误。]
?题组三 航天器中的失重现象
6．在天宫二号中工作的景海鹏和陈东可以自由悬浮在空中，处于失重状态，下列分析正确的是( )
A．失重就是航天员不受力的作用
B．失重的原因是航天器离地球太远，从而摆脱了地球引力的束缚
C．失重是航天器独有的现象，在地球上不可能存在失重现象
D．正是由于引力的存在，才使航天员有可能做环绕地球的圆周运动
D [航天器和航天员在太空中受到的合力提供向心力，使航天器和航天员做环绕地球的圆周运动，故A错误，D正确；失重时航天员仍然受到地球引力作用，故B错误；失重是普遍现象，任何物体只要对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)小于物体所受的重力，均处于失重状态，故C错误。]
7．宇宙飞船绕地球的运行可视为匀速圆周运动，神舟十号航天员在天宫一号中展示了失重环境下的物理实验或现象，如图所示四个实验可以在天宫一号舱内完成的有( )
D [重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量物体的质量，A错；水杯中的水处于完全失重状态，水不会因重力而倒入嘴中，B错；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，C错；小球处于完全失重状态，给小球很小的初速度，小球在拉力作用下在竖直平面内做匀速圆周运动，D对。]
?题组四 离心现象
8．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，是因为( )
A．游客受到离心力的作用
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力大小等于重力
D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势
C [游客受三个力的作用，分别为重力、与筒壁垂直的弹力和向上的静摩擦力，故A错误；因为游客的加速度位于水平方向，不存在超重或失重现象，故B错误；游客在竖直方向上受重力和静摩擦力，二力平衡，则知静摩擦力的大小等于重力的大小，故C正确；当转速增大时，弹力增大，静摩擦力不变，游客没有沿筒壁向上滑动的趋势，故D错误。]
9．飞船中的航天员需要在航天之前进行多种训练，其中如图所示是离心实验器的原理图。可以用此实验研究过荷对人体的影响，测定人体的抗荷能力。离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB(线AB与舱底垂直)与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
[解析] 人受重力和弹力的作用，两个力的合力提供向心力，受力分析如图所示。竖直方向：
FNsin 30°＝mg
得FN＝2mg
由牛顿第三定律知，人对座位的压力是其重力的2倍。
[答案] 2倍
1．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
D [设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。]
2．(2022·江苏三校联考高一期中)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的水平弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
D [汽车转弯时受到重力，地面的支持力，以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A错误；当最大静摩擦力充当向心力时，此时的速度为临界速度，大于这个速度则汽车会发生侧滑，根据牛顿第二定律可得fmax＝m，解得v＝＝ m/s＝ m/s＝20 m/s，所以汽车转弯的速度为20 m/s时，所需的向心力小于1.4×104 N，汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车能安全转弯的向心加速度a＝＝ m/s2＝7 m/s2，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2，D正确。]
3．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛。在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料。若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，g取10 m/s2。
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度大小；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度是多少。
[解析] (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力mg和路面的支持力N′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力。则有
甲 乙
mgtan θ＝m
所以v0＝＝20 m/s。
(2)汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示。将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncos θ，N2＝Nsin θ，f1＝fsin θ，f2＝fcos θ
所以有mg＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为F向＝mg
根据F向＝m可得v＝15 m/s。
[答案] (1)20 m/s (2)15 m/s
4．如图所示，一杂技运动员骑摩托车沿一竖直圆轨道做特技表演。若摩托车运动的速率恒为v＝20 m/s，人和车的总质量为m＝200 kg，摩托车受到的阻力是摩托车对轨道压力的k倍，且k＝0.5。摩托车通过与圆心O在同一水平面上的B点向下运动时牵引力恰好为零，摩托车车身的长度不计，重力加速度g取10 m/s2，试求：
(1)运动员完成一次圆周运动所需的时间(π取3.14)；
(2)摩托车通过最低点A时牵引力的大小。
[解析] (1)根据题意可知，摩托车通过B点时牵引力为零，此时摩托车所受摩擦阻力f与重力平衡，所以有mg＝f＝kN
根据牛顿第二定律有N＝m
解得R＝20 m
运动员完成一次圆周运动所需的时间
T＝＝6.28 s。
(2)摩托车经过A点时，根据牛顿第二定律得
NA－mg＝m
又fA＝kNA
摩托车经过A点时，水平方向有
FA＝fA
联立解得FA＝3.0×103 N。
[答案] (1)6.28 s (2)3.0×103 N
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