2022-2023学年福建省厦门市思明区高二上学期期中考试数学试题（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市思明区高二上学期期中数学试题
1. 过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，则( )
A. 5 B. 6 C. 7 D.
3. 椭圆与椭圆的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
4. 关于x，y的方程组，没有实数解，则实数a的值是( )
A. 4 B. 2 C. D.
5. 若圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程是( )
A. B.
C. D.
6. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
7. 已知直线和圆相交，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 直线的斜率是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若则 D. 若，则
10. 已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是( )
A. 圆C上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
B. 过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为
C. 一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则的最大值为
D. 若圆C与圆E：相外切，则
11. 已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是( )
A. 该几何体是四棱台 B. 该几何体是棱柱，平面ABCD是底面
C. D. 平面EFGH与平面ABCD的夹角为
13. 已知向量则在上的投影向量的模为__________.
14. 已知直线，则直线l恒过定点__________.
15. 已知圆与圆相切，则__________.
16. 已知圆C是以点和点为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点，点，则的最大值为__________
17. 已知：，，，，，求：
，，；
与所成角的余弦值．
18. 已知直线与直线相交于点P，且点P在直线上．
求点P的坐标和实数a的值；
求与直线平行且与点P的距离为的直线方程．
19. 已知圆C过点，，
求圆C的标准方程；
过点的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的一般式方程.
20. 如图所示，在四棱锥中，已知底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，
求证：平面PAB；
求点B到平面PCD的距离．
21. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为
求椭圆E的标准方程；
斜率为的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的长．
22. 已知圆，点，P为M上一动点，Q始终为PA的中点.
求动点Q的轨迹方程；
若存在定点和常数，对Q轨迹上的任意一点S，恒有，求b与k的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
由倾斜角为可知直线与x轴垂直，即可得到直线方程.
【解答】
解：由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于x轴，所以其直线方程为
故选：

2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的坐标表示，考查空间向量的模长，属于基础题.
利用空间向量模长公式进行求解即可.
【解答】
解：
故选：

3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题.
根据已知分析，从而得结论.
【解答】
解：，
故表示焦点在x轴上的椭圆，
又，
所以两椭圆具有相同焦距.
故选

4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两条直线平行的应用，属于基础题.
根据两直线平行的斜率关系，得到关于a的方程，解方程即可得到a的值.
【解答】
解：依题意，得直线与直线平行，且
所以得
故选：

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆关于直线对称的圆的方程，属基础题.
【解答】
解：记点，设圆心C的坐标为，则，可得线段AC的中点在直线上，则，即，所以解得即圆心，因此，圆C的方程为故选

6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.
根据向量线性运算法则计算即可.
【解答】
解：
故选：

7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.
求出圆心到直线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.
【解答】
解：圆可化为，圆心为，半径为2，
圆心到直线的距离，
由直线与圆相交可知，解得，
所以实数m的取值范围为
故选：

8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查求椭圆离心率的取值范围，属于一般题.
据，得到，根据点A到直线l距离d，求出，从而求出c的范围，从而求出答案.
【解答】
解：设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则，
又 ，四边形为平行四边形
，
又，解得：，
点A到l的距离为：，
解得：，即

故选：

9.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查平行直线与垂直直线间斜率的关系，属于基础题.
根据根与系数的关系得到，由两直线垂直斜率之积为可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合可得结果.
【解答】
解：直线，的斜率，是关于k的方程的两根，
由得，
，
若，则，得；
若，则，，得
故选

10.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题主要考查的是直线与圆的位置关系，圆切线的性质、向量的加减法，属于中档题.
求出圆心到直线的距离，可判断过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，进而求得MN的方程，判断利用向量的加减法的几何意义，结合向量的模，以及三角函数知识，求得的最大值，判断根据圆C与圆E：相外切，求得m的值，判断
【解答】
解：圆心到直线l：的距离，
圆的半径，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A不正确；
过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，
则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为，
MN是其与圆C的公共弦，则直线MN为，故B正确；
设PQ的中点为D，则
因为，，
可得，则，故的最大值为，故C正确；
对于D，圆E：的圆心，半径为，
又圆C与圆E：相外切，
所以，
解得：，故D错误．
综上，选

11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查直线斜率公式的应用，属于基础题.
分别求出直线PM与直线PN的斜率，根据直线与线段MN相交即可得出结果.
【解答】
解：，，
直线l过点且与线段MN相交，则或，
则直线l的斜率k的取值范围是：或
故选：

12.【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答】
解：因为四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，平面ADEH和平面BCFG是底面，故A，B错误；
由题意可知DA，DC，DE两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，所以EG，HC不垂直，故C错误；
根据题意可知平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量，
，
设为平面EFGH的法向量，
则有则可取，
则，
所以平面EFGH与平面ABCD的夹角为，故D正确．
故选：ABC

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题.
直接利用向量的夹角运算的应用求出结果．
【解答】
解：因为，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的模
故答案为：

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题，属于基础题.
将直线l的方程变形为，解方程组，可得出直线l所过定点的坐标.
【解答】
解：直线l的方程可化为，
由，解得，
故直线l恒过定点
故答案为：

15.【答案】1或3
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
由已知可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分两圆内切和外切两种情况讨论，求出a的值即可．
【解答】
解：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
两圆的圆心距
若两圆内切，则有，即，可得或舍；
若两圆外切，则有，即，解可得
故答案为：1或

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，考查与圆有关的距离的最值问题，考查计算能力，属于基础题.
求出圆C的方程，设，得到，，然后根据几何知识求最值即可.
【解答】
解：根据题意得，，
所以圆C的半径为4，圆C的方程为，
如图，设，
则，
所以，即，故，
所以，
在中，，
当P、B、D共线时最大，最大为
故答案为：

17.【答案】解：，
，
解得，，
故，，
又，
，即，解得，
故；
由可得，，
设向量与所成的角为，
则，
故与所成角的余弦值为
【解析】本题考查空间向量平行和垂直的坐标公式，涉及向量的夹角公式，属于基础题.
由向量的平行和垂直的坐标公式可得关于x，y，z的关系式，解之即可得向量坐标；
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．
18.【答案】解：联立，解得：
将P的坐标代入直线中，解得
由知直线，设所求直线为
因此点P到直线l的距离，解方程可得或，
所以直线的方程为或

【解析】本题考查两条直线的交点坐标、两条平行直线间的距离，属于基础题.
由题意，联立直线方程，求交点，再将点代入含参直线方程，求得答案；
由明确直线方程，根据平行，设出所求直线方程，利用点到直线距离公式，可得答案.
19.【答案】解：设圆C的方程为，
由题意知，解方程组得，
故所求圆的方程为，即
因为过点的直线l被圆C截得的弦长为8，故圆心到直线的距离为
，则
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，此时直线方程为
综上，所求直线方程为或

【解析】本题考查求圆的标准方程、直线与圆相交时的弦长，属于一般题.
设圆的一般方程，应用待定系数法，根据点在圆上列方程组求参数，即可得方程；
由所得圆的方程及弦长易知圆心到所求直线的距离为3，讨论直线的斜率的存在性，再结合点线距离公式求直线方程.
20.【答案】解：证明：作交PA于点F，连接BF，
因为，所以，
又且，
所以且，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以，
又平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB；
解：由题意可得，AP、AB、AD两两垂直，
如图，故可以点A为原点，以AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面PCD的法向量，
则有，可取，
设直线PB与平面PCD所成的角为，
则 ，
所以点B到平面PCD的距离为

【解析】本题考查线面平行的判定、点面距离的向量求法，属于一般题.
作交PA于点F，证明四边形BCEF为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
21.【答案】解：设椭圆的半焦距为c，则，而，则，
故，故，故椭圆方程为：
因为椭圆的右焦点坐标为，则直线，
由，故，
设，
则
故

【解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的弦长、直线与椭圆的位置关系及其应用，属于基础题.
根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可求椭圆的方程；
联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长.
22.【答案】解：设，
因为Q为PA的中点，，所以，即，
因为点P在圆上，则，整理得，，
故动点Q的轨迹方程为
设，则且，
整理得，
因为S在Q的轨迹上，所以，
故，
当且仅当时上式恒成立，此时，，则，
解得或9，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，
故，

【解析】本题考查与圆相关的轨迹问题、求圆的标准方程，属于一般题.
设，由中点公式可得，代入到圆的方程中，整理即可求解；
设，由两点间距离公式可得，结合，可得，由式子恒成立，可知，即可求解.
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