安徽省合肥市第六十八中学2022-2023学年上学期九年级数学上册第三次月考测试题 (含解析)

安徽省合肥市第六十八中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（满分40分）
1．下列是有理数的是（　　）
A．tan45° B．sin45° C．cos45° D．sin60°
2．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的正切值为（　　）
A．3 B． C． D．
4．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＜0
C．x≠0的一切实数 D．x取任意实数
5．如图所示，有一山坡在水平方向每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i为（　　）
A．3：5 B．2：3 C．4：7 D．5：3
6．如图，直线y＝与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（﹣3，0）
8．关于抛物线y＝﹣x2+2x，下列说法错误的是（　　）
A．该抛物线经过原点 B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线的最大值为1 D．当x＞0时，y随x增大而减小
9．如图，在等边三角形ABC中，点E，F分别在AC，BC上，且AE AC＝AP AF，则下列不正确的是（　　）
A．△AEP∽△AFC B．△ABF∽△BCE C．△ABP∽△PAE D．△PBF∽△CBE
10．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD，EG都在直线l上，将正方形ABCD沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止，设点D平移的距离为x，，，两个正方形重合部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（满分20分）
11．如图，AE、BD交于点C，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝　 　．
12．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）　 　tanα+tanβ．（填“＞”“＝”“＜”）
13．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为　 　米．
14．一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D，E分别是BC，AC上的点，点E不与点A，C重合，折叠△DCE使得直角顶点C落在斜边AB上的点F处，且△BDF是直角三角形．
（1）四边形DCEF的形状是 　 　；
（2）CD的长为 　 　．
三、解答题（满分90分）
15．计算：﹣3tan230°﹣2sin60° tan60°+（cos23°﹣tan22°）0．
16．如图，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．
求证：．
17．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
（1）以点M为位似中心，位似比为3，将△ABC放大，在第二象限得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）直接写出点B1、C1的坐标．
18．某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
21．某公司向市场投入一款电子产品，前期研发投入为10万元，总利润y（万元）与月份x成二次函数，其函数关系式为y＝﹣x2+20x﹣10（总利润＝月销售累积利润﹣前期投入）
（1）投入市场后多长时间内总利润y是随月份x上升的？
（2）求最快要几个月，总利润才能达到81万元；
（3）当月销售利润小于等于3万元时应考虑推出替代产品，问该公司何时推出替代产品最好？
22．如图，二次函数＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．
23．如图1，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，AB＝AC，DC＝DE，且点A是DE上的点（点A不与点D，E重合），过点B作BH∥AC交CE的延长线于点H，DE的延长线交BH于点G．过点A作AF∥CE交CD于点F，连接BE．
（1）求证：△ABG∽△CDA；
（2）若CH CF＝，求BC的长；
（3）如图2，若△HEG≌△CEA，求tan∠CAF的值．
参考答案
一、选择题（满分40分）
1．解：A、tan45°＝1，是有理数，符合题意；
B、sin45°＝，不是有理数，不符合题意；
C、cos45°＝，不是有理数，不符合题意；
D、sin60°＝，不是有理数，不符合题意；
故选：A．
2．解：∵＝，
∴a＝b，
即＝＝．
故选：A．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，
则tanB＝＝，
故选：B．
4．解：函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠0，
故选：C．
5．解：∵铅直高度为60m，水平宽度为100m，
∴山坡的坡度i＝60：100＝3：5，
故选：A．
6．解：当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴直线y＝与x、y轴的交点A的坐标（﹣4，0）、B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
则cos∠BAO＝＝，
故选：A．
7．解：∵a＝1，b＝1，
∴，
即：2+x＝﹣1，解得：x＝﹣3，
∴二次函数与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
也可求将点（2，0）代入解析式可求c＝6，令y＝0，可求解．
故选：D．
8．解：当抛物线y＝﹣x2+2x，当x＝0时，y＝0，
∴经过原点，A正确，
配方得：y＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标是（1，1），对称轴是直线x＝1，根据a＝﹣1＜0，得出开口向下有最大值，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴B、C说法正确；
D说法错误．
故选：D．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵AE AC＝AP AF，
∴＝，
∵∠PAE＝∠CAF，
∴△PAE∽△CAF，
∴∠APE＝∠C＝60°，
∵∠APE＝∠ABP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠CAF＝60°，
∴∠CAF＝∠ABE，
∴∠BAF＝∠CBE，
∵∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△BCE，
∵∠BPF＝∠APE＝∠C，∠PBF＝∠CBE，
∴△PBF∽△CBE，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
10．解：如图（1），当0≤x≤2时，；
如图（2），当2＜x＜4时，正方形ABCD在正方形EFGH内部，
则；
如图（3），当4≤x≤6时，BG＝2﹣（x﹣4）＝6﹣x，
∴．综上所述，选项A符合题意．
故选：A．
二、填空题（满分20分）
11．解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△ECD，
∴，
∵AC＝4，BC＝2，DC＝1，
∴，
解得：CE＝2．
故答案为：2
12．解：由正方形网格图可知，tanα＝，tanβ＝，
则tanα+tanβ＝+＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴α+β＝45°，
∴tan（α+β）＝1，
∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，
故答案为：＞．
13．解：当y＝﹣4时，
﹣4＝﹣，
解得，x1＝﹣10，x2＝10，
∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：10﹣（﹣10）＝20（米），
故答案为：20．
14．解（1）∵△BDF是直角三角形．
∴FD⊥BC，
∴∠CDF＝∠BDF＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CDF＝∠BDF＝∠ACB＝90°，
∴四边形DCEF是矩形，
由折叠的性质可得：CD＝DF，
∴四边形DCEF是正方形，
故答案为：正方形；
（2）在Rt△ACB中，由勾股定理得：
BC＝＝＝8，
设CD＝x，则DF＝x，BD＝8﹣x，
∵∠B＝∠B，∠BDF＝∠BCA＝90°，
∴△BDF∽△BCA，
∴，
即，
解得：x＝，
∴CD＝．
三、解答题（满分90分）
15．解：原式＝﹣3×（）2﹣2××+1
＝﹣3×﹣3+1
＝﹣1﹣3+1
＝﹣3．
16．证明：∵DE∥BC，
∴＝，＝
∴＝，
∴＝．
17．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，B1（﹣6，1），C1（﹣9，10）．
18．解：（1）设y＝，
根据题意得：k＝xy＝125×7＝875，
∴y关于x的函数表达式为y＝；
（2）当x＝5时，y＝＝175（吨），
即若要5天完成总任务，则每天产量应达到175吨．
19．解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，
∴BC＝＝＝4，
又AC＝AD+CD＝8，
∴AB＝＝＝4，
则sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝．
20．（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴∠ADF＝∠C．
又∵＝，
∴△ADF∽△ACG．
（2）∵△ADF∽△ACG，
∴＝．
∵＝，
∴＝，
∴＝＝1．
21．解：（1）∵y＝﹣x2+20x﹣10＝﹣（x﹣10）2+90，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
故投入市场后10个月内总利润y是随月份x上升的．
（2）当y＝81时，可得：﹣（x﹣10）2+90＝81，
解得：x1＝7，x2＝13，
故最快要7个月，总利润才能达到81万元．
（3）根据题意，得：﹣x2+20x﹣10﹣[﹣（x﹣1）2+20（x﹣1）﹣10]≤3，
整理，得：﹣2x+21≤3，
解得：x≥9，
答：该公司第9个月时推出替代产品最好．
22．解：（1）由题意得：，解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）当x＝0时，y＝3，则C为（0，﹣3），
易得直线BC的函数解析式为：y＝x﹣3，
设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），则M的坐标为（t，t﹣3），
∴PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t
＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣1＜0且0＜t＜3，
∴当t＝时，PM取得最大值，最大值为，此时P的坐标为（，﹣）．
23．证明：（1）∵BH∥AC，
∴∠ABG＝∠BAC＝90°，
∴∠BAG+∠AGB＝90°，
∠BAG+∠CAD＝90°，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠ABG＝D＝90°，
∴△ABG∽△CDA；
（2）∵BH∥AC，CH∥AF，
∴∠H＝∠ACE，∠ACE＝∠FAC，∠AFD＝∠DCE＝45°，
∴∠H＝∠FAC，
∵∠CBH＝∠ABC+∠ABG＝45°+90°＝135°，
∠AFC＝180°﹣∠AFD＝135°，
∴∠CBH＝∠AFC，
∴△HBC∽△AFC，
∴＝，
∴AC BC＝CH CF＝，
∵BC＝AC，
∴BC＝；
（3）如图2，
作BP⊥DG于P，
∴∠APB＝90°，
∴∠PAB+∠ABP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠PAB+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠ABP，
∵AB＝AC，
∠D＝∠APB＝90°，
∴△ABP≌△CAD（AAS），
∴BP＝AD，AP＝DC，
∵DE＝DC，
∴AP＝DE，
∴AP﹣AE＝DE﹣AE，
∴PE＝AD，
∴BP＝PE，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴∠BEP＝45°，
∵∠DEC＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣∠PEB﹣∠DEC＝90°，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠ABE＝∠ACE＝∠CAF，
∵△HEG≌△CEA，
∴GE＝AE，
∴BE＝AE＝，
∴∠PAB＝∠ABE，
∴∠PAB＝∠CAF，
设PB＝PE＝k，
∴AE＝BE＝k，
∴AP＝PE+AE＝（k，
∴tan∠CAF＝tan∠PAB＝
＝
＝﹣1．