黄冈市黄州区2022-2023学年高二下学期1月开学复习卷
数学试卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知某射击运动员每次射击的命中率均为0.8，现在采用随机模拟试验的方法估计该运动员在三次射击中都命中的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1表示没有命中，用2，3，4，5，6，7，8，9表示命中，再以每三个随机数作为一组，代表三次射击的情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
619 181 526 551 391 433 036 608 275 852
512 103 247 375 923 244 423 404 354 311，据此估计该运动员在三次射击中都命中的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.7
3．一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
10．已知直线，圆C的方程为，则下列选项正确的是（ ）
A．直线l与圆一定相交
B．当k=0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则面积的最大值为
C．当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2
D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（ ）
A．直的斜率为 B．
C． D．直线与的倾斜角互补
12．如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．N是平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．直线l过点截圆所得的弦长等于，则直线l的方程是___________．
14．数列满足，且，则___________.
15．已知圆：，（）与圆：，（）只有一条公切线，则的最小值为______．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本题10分) 某情报站有A、B、C、D、E．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周没有使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A密码，表示第k周使用A密码的概率．
(1)计算；
(2)求证：为等比数列，并求的表达式．
18．(本题12分) 已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
19．(本题12分) 已知圆过点．
(1)求圆O的方程；
(2)过点的直线l与圆O交于A，B两点，设点，求面积的最大值，并求出此时直线l的方程．
20．(本题12分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
21．(本题12分) 已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与A点关于直线l：对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直线EF恒过定点.
22．(本题12分) 已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．参考答案及解析
D 因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
C 20组随机数中，该运动员在三次射击中都命中的为526，433，275，852，247，375，923，244，423，354，共10组符合要求，故估计该运动员在三次射击中都命中的概率为.
C 点关于轴的对称点为，又反射光线倾斜角为，斜率，反射光线所在直线方程为：，即.
A 由，有，得．
B 设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M 为BC中点，N为AD中点，所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为.
A 方程是恒过定点，斜率为k的直线，曲线，即，是圆心为，半径在直线及右侧的半圆，半圆弧端点，在同一坐标系内作出直线与半圆C：，
如图，
当直线与半圆C相切时，由得切线PT的斜率，
当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率，所以直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是.
A 记椭圆的左焦点为，连接，则
即
所以椭圆的圆心率的取值范围是.
D 由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
BD 根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由，得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的；∵，，∴与均为的最大值，故D正确，
AC 直线过定点，，在圆内，因此直线一定与圆相交，A正确；时，直线为，代入圆方程得，，因此，圆心为，圆半径为，圆心到直线的距离为，因此到直线的距离的最大值为，的面积最大值为，B错；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小时，，，
因此，C正确；在圆方程中分别令和可求得圆与坐标轴的交点坐标为，，，四边形面积为，D错．
ABD 易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，联立，可得，即点，
因为点为线段的中点，则，则，可得，因为点在抛物线上，则，可得，所以，直线的方程为，即，故直线的斜率为，A对；
联立，解得或，即点、，
易知点，所以，，，则，B对；
易知点，，，
故，C错；
，，则，
所以，直线与的倾斜角互补，D对.
ACD 对于A，由题可知是边长为2的等边三角形，则外接圆半径，
由得外接球表面积为，所以A选项正确．
对于B，连接，因为，所以即为异面直线与所成角，
由题可知，，由余弦定理得
，所以，所以B选项错误．
对于C，分别将四边形与沿着棱展开得到四边形，
的最小值即为，所以C选项正确．
对于D，N到直线与直线的距离相等，又，即为N到直线的距离，
即N到点A与直线的距离相等，根据抛物线的定义，所以D选项正确．
或 因为圆的半径为2，弦长为，所以圆心到直线l的距离，当直线l斜率不存在时，，满足题意；当直线l斜率存在时，设，由圆心到直线距离为1得解得，所以l的方程为或．
因为，所以，式子两端除以，整理得：，
即为常数列.因为，所以，所以，所以.
圆：的圆心坐标，半径，圆的圆心，半径，由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距，
所以可得，设，，所以，
当且仅当时，即时，的最小值为，
设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，
则，
所以，即，
同理，所以，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，
在中，，
由题得，所以，
解得，所以．
解: （1）根据题意可得,，，，所以
（2）第周使用A密码，则第周必不使用A密码（概率为），然后第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为,故，即
故为等比数列且，公比故，故
(1)解：等差数列{}中，设公差为d，
则
数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
(2)解：数列{}中，.
则
所以
故
所以
∵对恒成立．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为．
(1)解：因为圆过点，
所以，
所以圆O的方程为；
(2)解：当直线的斜率不存在时：直线方程为，
此时，点P到直线的距离为，
所以，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
圆心到直线的距离为，
则，
点P到直线的距离为，
所以，
，
，
当，即，
面积的最大值34.375，此时直线方程为.
(1)证明:取PD的中点G，连接CG，EG，
因为E，F分别为PA，BC的中点，
所以，
又底面ABCD为菱形，所以，
所以，
所以四边形EGCF为平行四边形，
所以
又平面PCD．平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：连接，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为菱形，，
所以为等边三角形，
因为F为BC的中点，
所以，因为∥，
所以，所以两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则．
设平面DEF的法向量，则
，令，得．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为
(1)解：点O与A关于直线对称，
可知，故点，，
由题意可设，，
于是，解得：，
将代入椭圆方程中，，解得：，
所以椭圆方程为
(2)证明:，，直线l：，
由题意得：圆心在直线l：上，设，
且，
所以，故，
则，
设直线EF：，，
由，得：，
则，
，，
所以，
则，
即，解得：（舍去）或，
所以直线EF为：，恒过定点
(1)解：∵，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则，∴，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），，，则，
∴E的方程是．
(2)①证明:由已知得，，满足，
设直线l方程为，，，
联立，得，
，，，
同理，∴
对，令，得，∴，，
∴，∴是定值．
②假设存在m的值，使
由①知，，
则，
∴，直线QK的方程为，
令，得；
直线l的斜率为1，直线l的方程为，
令，得；
∴，∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值为，使．
