(共32张PPT)
28.1锐角三角函数-正弦函数
人教版九年级下册
学习目标
1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形
的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定
(即正弦值不变). (重点)
2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点)
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
情境引入
30°
已知直角三角形的边长求正弦值
一
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
A
B
C
30°
35m
合作探究
A
B
C
30°
35m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的
边等于斜边的一半”. 即
可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说，
需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比
都等于 .
归纳：
Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
因为∠A=45°，则AC=BC，由勾股定理得
AB2=AC2+BC2=2BC2.
思考：
所以
因此
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，
这个角的对边与斜边的比都等于 .
归纳：
当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那
么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
a
b
对边
斜边c
归纳：
∠A的对边
斜边
sin A =
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
求 sinA 和sinB 的值.
A
B
C
4
3
？
典例精析
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
求 sinA 和sinB 的值.
A
B
C
13
5
？
典例精析
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此
sinA = ( )
1. 判断对错
A
10m
6m
B
C
×
练一练
sinB = ( )
×
sinA =0.6 m ( )
×
sinB =0.8 ( )
√
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA 的值 ( )
A. 扩大100倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
A (0，3)
在△APO中，由勾股定理得
因此
α
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )
O
x
y
P (a，b)
α
A. B.
C. D.
练一练
D
已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
二
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC
的面积.
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC
的面积.
A
B
C
解：∵ ∴
∴ AB = 3BC =3×3=9.
∴
∴
∴
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则
归纳：
A
B
C
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB 的长为 ( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC中，∠C=90°， sinA = ，AB=6,那么BC=___.
2
练一练
例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾
股定理得
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为
AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
当堂练习
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值( )
A. 扩大 2 倍 B.不变
C. 缩小 D. 无法确定
B
2. 如图， sinA的值为( )
7
A
C
B
3
30°
A. B.
C. D.
C
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若
sinA = ，则∠A= ， ∠B= .
45°
45°
4. 如图，在正方形网格中有 △ABC，
则 sin∠ABC 的值为 .
解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC ＝ ，∴ AB2 ＝ BC2＋AC2，∴ ∠ACB＝90°，∴sin∠ABC
＝
5. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，BD是 ⊙A 的一条弦，则
sin∠OBD =______.
解析：连接 CD，可得出 ∠OBD
= ∠OCD，根据点 D (0，3)，
C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD 即可．
O
x
y
A
C
B
D
6. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，
sinA = ，求△ABC 的面积.
D
5
5
C
B
A
解：作BD⊥AC于点D，
∵ sinA = ，
∴
又∵ △ABC 为等腰△，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
7. 如图,在 △ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB.
(1) sinB 可以由哪两条线段之比表示
A
C
B
D
解：∵ ∠A =∠A，∠ADC =∠ACB = 90°，
∴△ACD ∽△ABC，∴∠ACD = ∠B，
∴
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解：
由题 (1)知
课堂小结
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
谢谢
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课题 28.1 第1课时 正弦函数
教 学 目 标 知识与技能：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定。 过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 能根据正弦概念正确进行计算
难点 能根据正弦概念正确进行计算
教具 多媒体、教学案
教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 内 容
情境引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 已知直角三角形的边长求正弦值 合作探究 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB. 归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都等于 思考： Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都等于 当∠A 是任意一个确定的锐角时，它对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 归纳： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， 求 sinA 和sinB 的值. 练一练 1. 判断对错 2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴 正方向所夹锐角 α 的正弦值. 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 练一练 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( ) A. B. C. D. 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC的面积. 归纳： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，AB = c，则 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC=a，则 练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB 的长为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 在△ABC中，∠C=90°， sinA = ，AB=6,那么BC=___. 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长． 方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题. 当堂练习 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值( ) A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定 2. 如图， sinA的值为( ) A. B. C. D. 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若sinA = ， 则∠A= ， ∠B= . 4. 如图，在正方形网格中有 △ABC， 则 sin∠ABC 的值为 . 5. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，BD是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =______. 6. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5， sinA = ，求△ABC 的面积. 7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示 (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
课 后 小 结
