(共30张PPT)
28.1锐角三角函数-余弦函数和正切函数
人教版九年级下册
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函
数的概念. (重点)
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. (重点、难
点)
问题引入
A
B
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
余弦
一
合作探究
如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
我们来试着证明前面的问题：
∵
∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴
∠B=∠E，
从而 sinB = sinE，
因此
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
归纳：
A
B
C
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos A =
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有
cos α = sin (90°－α)
从而有
sin α = cos (90°－α)
练一练
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，
AC＝12,则cosA＝ .
2. 求 cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：cos30°= sin (90°－30°) = sin60° = ；
cos60°= sin (90°－60°) = sin30°=
cos45°= sin (90°－45°) = sin45°=
正切
二
合作探究
如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
即 BC · DF = AC · EF ，
∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°，
∵
∴
∴
A
B
C
D
E
F
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
归纳：
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
A
B
C
邻边
对边
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
想一想：
1.如图，平面直角坐标系中，若点 P 坐
标为 (3，4)，则 tan ∠POQ=____.
练一练
2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O相切与点 C，若 BC=4，AB=5，
则 tanA=___.
锐角三角函数
三
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
典例精析
1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA=______， sinB=______，
cosA=______， cosB=______，
tanA=____，tanB=____.
练一练
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_____， sinB=_____，
cosA=_____， cosB=_____，
tanA=_____，tanB=_____.
在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
A
B
C
6
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值．
解：∵
又
∴
在直角三角形中，如果已知一
边长及一个锐角的某个三角函
数值，即可求出其它的
所有锐角三角函数值
A
B
C
8
解：∵
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosB 的值．
练一练
∴
∴
∴
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则直角边 BC 的长是( )
A.
B.
C.
D.
A
当堂练习
A
B
C
2. 随着锐角 α 的增大，cosα 的值 ( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定
B
当 0°＜α＜90°时，cosα 的值随着角度的增大 (或减小) 而减小 (或增大)
3. 已知 ∠A，∠B 为锐角，
(1) 若∠A =∠B，则 cosA cosB；
(2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B.
(3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为: .
=
=
4. tan30°= ，tan60°= .
∠A +∠B = 90°
5. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( )
A. tan70°＜cos70°＜sin70°
B. cos70°＜tan70°＜sin70°
C. sin70°＜cos70°＜tan70°
D. cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°. 故选D.
D
6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，求 sinA、tanA 的值．
解：
A
B
C
设 AC = 15k，则 AB = 17k.
∴
∴
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
解: ∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°，
∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，
∴ tan∠B = tan∠ACD =
8. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及tanB 的值.
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D.
∵ AB = AC，
∴ BD = CD = 3，
在 Rt△ABD 中
A
B
C
D
提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.
∴ cosB =
∴ tanB =
课堂小结
余弦函数和
正切函数
在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦
∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关
在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切
余弦
正切
性质
谢谢
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课题 28.1 第2课时 余弦函数和正切函数
教 学 目 标 知识与技能： 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念。 过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念
难点 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算
教具 多媒体、教学案
教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 内 容
问题引入 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时， ∠A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边 之间的比是否也确定了呢？ 余弦 合作探究 如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ 归纳：在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦， 记作cosA，即 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α) 从而有sin α = cos (90°－α) 练一练 1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12,则cosA＝ . 2. 求 cos30°，cos60°，cos45°的值． 正切 如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ 归纳： 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. 想一想： 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 练一练 如图，平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，则 tan ∠POQ=____. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径 的 ⊙O相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___. 锐角三角函数 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10， BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. 练一练 1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA=______， sinB=______， cosA=______， cosB=______， tanA=____，tanB=____. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3. sinA=_____， sinB=_____， cosA=_____， cosB=_____， tanA=_____，tanB=_____. 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值． 练一练 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosB 的值． 当堂练习 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则直角边 BC 的长是( ) 2. 随着锐角 α 的增大，cosα 的值 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定 当 0°＜α＜90°时，cosα 的值随着角度的增大 (或减小) 而减小 (或增大) 3. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B. (3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为: . 4. tan30°= ，tan60°= . 5. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( ) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70° 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ， 求 sinA、tanA 的值． 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 8. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及tanB 的值.
课 后 小 结
