(共26张PPT)
28.2.1解直角三角形
人教版九年级下册
学习目标
1. 了解并掌握解直角三角形的概念；
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. (重点)
3. 学会解直角三角形. (难点)
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2) 锐角之间的关系：
∠A+∠B=_____；
(3) 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°.
c2
90°
复习引入
已知两边解直角三角形
一
在图中的Rt△ABC中，
(1) 根据∠A＝60°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
合作探究
60°
(2) 根据AC＝3，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
3
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
A
B
C
解：
典例精析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形.
解：根据勾股定理
练一练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = ，
b = 2，根据条件解直角三角形.
A
B
C
b=2
a=2
c
已知一边及一锐角解直角三角形
二
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b=20，解这个直角三角形.
A
C
B
b=20
c
a
30°
解：
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°,∠B＝60°
c = 14.根据条件解直角三角形.
A
B
C
b
a
c=14
解：
练一练
已知一锐角三角函数值解直角三角形
三
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长.
A
C
B
解：
设
在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.
∴ AB的长为
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = ，BC=6，则AB的值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
D
2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点
E，EC=4，sinB＝ ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
C
练一练
提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.
例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长.
解：∵cos∠B = ，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
图①
例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长.
图②
∴ BC的长为7或17.
解：∵cos∠B = ，∴∠B=45°，
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
BC=BD+CD=12+5=17.
1. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
提示：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而求解．
将含非特殊角的三角形转化为含特殊角的直角三角形
四
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，
D
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，
∴BD=CD=2.
2.如图，已知∠B=30°，∠C=45°，AC=10，求AB的长。
3.如图，已知∠B=75°，∠C=60°，BC=10，求AB的长。
4. 已知∠B=15°，∠C=30°，AB=10，求BC的长。
5. 已知∠A=15°，∠C=45°，AB=10，求AC的长。
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b=a·tanA B. b=c·sinA
C. b=c·cosA D. a=c·cosA
当堂练习
C
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是 ( )
D
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC =______
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75).
4. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则 AC 的长为 .
24
3.75
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.
解：
∵ AD平分∠BAC，
D
A
B
C
6
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
课堂小结
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第4 周 第3节
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
课题 28.2.1 解直角三角形
教 学 目 标 知识与技能：了解并掌握解直角三角形的概念，理解直角三角形中的五个元素之间的联系。学会解直角三角形 过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 理解直角三角形中的五个元素之间的联系
难点 学会解直角三角形
教具 多媒体、教学案
教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 内 容
复习引入 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°. (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3) 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____. 已知两边解直角三角形 合作探究 在图中的Rt△ABC中， 根据∠A＝60°，斜边AB＝6，你能求出这个 直角三角形的其他元素吗？ 根据AC＝3，斜边AB＝6，你能求出这个 直角三角形的其他元素吗？ 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形. 练一练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 2 ， b = 2， 根据条件解直角三角形. 已知一边及一锐角解直角三角形 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b=20，解这个直角三角形 练一练 1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°,∠B＝60°,c = 14.根据条件解直角三角形. 已知一锐角三角函数值解直角三角形 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长. 练一练 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = ，BC=6，则AB的值为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点 E，EC=4，sinB＝ ，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长. 将含有非特殊角的三角形转化为含特殊角的直角三角形 1. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． 2.如图，已知∠B=30°，∠C=45°，AC=10，求AB的长。 3.如图，已知∠B=75°，∠C=60°，BC=10，求AB的长。 4. 已知∠B=15°，∠C=30°，AB=10，求BC的长。 5. 已知∠A=15°，∠C=45°，AB=10，求AC的长。 当堂练习 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是 ( ) 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC =______ (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). 4. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=3，cosB= ，则 AC 的长为 . 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.
课 后 小 结
