课时分层作业(六) 简谐运动
?题组一 弹簧振子及其运动分析
1．下列所述振动系统不可看成弹簧振子的是( )
甲 乙 丙
A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧与小铅球组成的系统
B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块与轻弹簧组成的系统
C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小钢球组成的系统
D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统
2．图甲为一个弹簧振子沿x轴在MN之间做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。图乙为该弹簧振子的振动图像。以下说法正确的是( )
甲 乙
A．该振子的振幅为20 cm
B．该振子的频率为1.2 Hz
C．图乙中A、B对应振子的运动速度完全相同
D．图乙中A、B表示振子位于图甲中的同一位置
3．(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
?题组二 简谐运动及其图像
4．关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移的方向总指向平衡位置
B．加速度的方向总和位移的方向相反
C．位移的方向总和速度的方向相反
D．速度的方向总和位移的方向相同
5．(多选)关于简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线
B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向
6．装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示。将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像可能正确的是( )
A B
C D
7．在水平方向做简谐运动的质点，其振动图像如图所示，假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是( )
A．0到1 s内 B．1 s到2 s内
C．2 s到3 s内 D．3 s到4 s内
8．如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，弹簧另一端连接着质量为m的小球，此时弹簧被拉长为l1。现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动。
1．(2022·天津静海一中月考)关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移减小时，加速度减小，速度增大
B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同
C．振子的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同；背离平衡位置时，速度方向跟位移方向也相同
D．水平弹簧振子朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同；朝右运动时，加速度方向跟速度方向相反
2．(多选)劲度系数为20 N/m的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，则图像上的P点反映出此时刻( )
A．弹簧振子的运动方向沿x轴正方向
B．振子所受弹力为0.5 N，其方向沿x轴负方向
C．由t＝0到图像上P点所示时刻振子所经过的路程为37.5 cm
D．由t＝0到图像上P点所示时刻的这段时间内，振子运动的位移为2.5 cm
3．如图所示，一个质量为m＝1 kg、有小孔的小球连接在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，该弹簧的劲度系数k＝100 N/m，小球套在光滑的杆上，能够自由滑动。不加任何外力时，小球静止在O点位置。现将小球向右拉至A点，然后由静止释放，小球将做简谐运动，小球向左运动的最远位置是B点。其中OA＝10 cm，小球运动到A点时弹簧的弹性势能为1 J，不计其他阻力。求：
(1)小球在B点的位移大小和加速度大小；
(2)小球在振动过程中的最大速度大小。
4．如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，
(1)使砝码随滑块一起运动的回复力是什么力？它跟位移成正比的比例常数k′等于多少？
(2)当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？
(3)当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？
6/6课时分层作业(六) 简谐运动
?题组一 弹簧振子及其运动分析
1．下列所述振动系统不可看成弹簧振子的是( )
甲 乙 丙
A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧与小铅球组成的系统
B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块与轻弹簧组成的系统
C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小钢球组成的系统
D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统
D [选项A、B、C都满足弹簧振子的条件，A、B、C不符合题意；选项D中人受空气的阻力不可忽略，且人不能看成质点，故该系统不可看成弹簧振子，D符合题意。]
2．图甲为一个弹簧振子沿x轴在MN之间做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。图乙为该弹簧振子的振动图像。以下说法正确的是( )
甲 乙
A．该振子的振幅为20 cm
B．该振子的频率为1.2 Hz
C．图乙中A、B对应振子的运动速度完全相同
D．图乙中A、B表示振子位于图甲中的同一位置
D [振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图知，该弹簧振子的振幅为10 cm，故A错误；由图知，该振子的周期是1.2 s，所以频率：f＝＝ Hz＝0.83 Hz，故B错误；由图可知，A时刻质点向最大位移处运动，而B时刻向平衡位置运动，所以弹簧振子在图乙中A、B对应的时刻速度方向相反，故C错误；由图可知，弹簧振子在图乙中A、B对应的时刻相对于平衡位置的位移相等，到达同一位置，故D正确。]
3．(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
CD [平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，故选项D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。]
?题组二 简谐运动及其图像
4．关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移的方向总指向平衡位置
B．加速度的方向总和位移的方向相反
C．位移的方向总和速度的方向相反
D．速度的方向总和位移的方向相同
B [简谐运动位移的初始位置是平衡位置，所以简谐运动中位移的方向总是背离平衡位置的，而加速度的方向总是指向平衡位置的，故A选项错误，B选项正确；位移方向与速度方向可能相同，也可能相反，C、D选项错误。]
5．(多选)关于简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线
B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向
BCD [简谐运动的振动图像表示质点的位移随时间变化的规律，不是运动轨迹，A错误，C正确；由图像可以判断任一时刻质点的位移和速度方向，B、D正确。]
6．装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示。将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像可能正确的是( )
A B
C D
D [试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，开始时，试管由正向最大位移处开始运动，故正确选项为D。]
7．在水平方向做简谐运动的质点，其振动图像如图所示，假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是( )
A．0到1 s内 B．1 s到2 s内
C．2 s到3 s内 D．3 s到4 s内
D [位移向左表示位移为负值，速度向右表示速度为正值，物体正在由负的最大位移处向平衡位置移动，即3 s到4 s内，故选D。]
8．如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，弹簧另一端连接着质量为m的小球，此时弹簧被拉长为l1。现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动。
[解析] 松手释放，小球沿斜板往复运动——振动。而振动的平衡位置是小球开始时静止(合外力为零)的位置。
mgsin θ＝k(l1－l0)
小球离开平衡位置的距离为x，受力如图所示，小球受三个力作用，其合力F合＝k(l1－l0－x)－mgsin θ，F合＝－kx。由此可证小球的振动为简谐运动。
[答案] 见解析
1．(2022·天津静海一中月考)关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移减小时，加速度减小，速度增大
B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同
C．振子的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同；背离平衡位置时，速度方向跟位移方向也相同
D．水平弹簧振子朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同；朝右运动时，加速度方向跟速度方向相反
A [位移减小时，振子衡位置，速度增大，加速度减小，故A正确；位移方向总跟加速度方向相反，但与速度方向可能相同、也可以相反，故B错误；振子的运动方向指向平衡位置时，是衡位置，速度方向跟位移方向相反，背离平衡位置时，速度方向跟位移方向相同，故C错误；水平弹簧振子朝左运动时，可能是远离平衡位置，也可能是衡位置，故加速度方向跟速度方向可能相反，也可能相同，D错误。]
2．(多选)劲度系数为20 N/m的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，则图像上的P点反映出此时刻( )
A．弹簧振子的运动方向沿x轴正方向
B．振子所受弹力为0.5 N，其方向沿x轴负方向
C．由t＝0到图像上P点所示时刻振子所经过的路程为37.5 cm
D．由t＝0到图像上P点所示时刻的这段时间内，振子运动的位移为2.5 cm
ABC [P点处斜率为正值，故运动方向沿x轴正方向，A正确；此时x＝2.5×10－2m，由F＝kx有F＝0.5 N，方向指向平衡位置，即向负方向，B正确；路程为37.5 cm，C正确；而位移应为负方向2.5 cm，D错误。]
3．如图所示，一个质量为m＝1 kg、有小孔的小球连接在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，该弹簧的劲度系数k＝100 N/m，小球套在光滑的杆上，能够自由滑动。不加任何外力时，小球静止在O点位置。现将小球向右拉至A点，然后由静止释放，小球将做简谐运动，小球向左运动的最远位置是B点。其中OA＝10 cm，小球运动到A点时弹簧的弹性势能为1 J，不计其他阻力。求：
(1)小球在B点的位移大小和加速度大小；
(2)小球在振动过程中的最大速度大小。
[解析] (1)由于小球在做简谐运动，故A、B两点关于O点对称，则小球在B点的位移大小x＝OB＝OA＝10 cm＝0.1 m
小球在B点时对其受力分析，可得FB＝kx＝ma
解得加速度大小a＝10 m/s2。
(2)小球在O点所受合力为0，因此在O点时速度最大。小球在运动过程中机械能守恒，由A运动到O的过程中，弹性势能转化为动能，可得EpA＝mv2
解得v＝ m/s。
[答案] (1)0.1 m 10 m/s2 (2) m/s
4．如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，
(1)使砝码随滑块一起运动的回复力是什么力？它跟位移成正比的比例常数k′等于多少？
(2)当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？
(3)当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？
[解析] (1)使砝码随滑块一起做简谐运动的回复力是滑块对砝码的静摩擦力。
对M、m整体：F＝kx＝(M＋m)a，
对m：f＝ma，
由以上两式可得f＝x，所以k′＝。
(2)f＝k′·＝，
方向指向平衡位置。
(3)fm＝μmg＝k′Am，Am＝＝。
[答案] (1)滑块对砝码的静摩擦力
(2)，方向指向平衡位置
(3)
6/6课时分层作业(七) 简谐运动的描述
?题组一 描述简谐运动的物理量
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
2．下列说法正确的是( )
A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅
B．物体在个周期内，通过的路程是1个振幅
C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅
D．物体在个周期内，通过的路程是3个振幅
3．(2022·长春外国语学校期中)如图所示，一个质点在平衡位置O点附近a、b间做简谐运动，若从质点经过O点时开始计时，经过3 s质点第一次过M点，再继续运动，又经过4 s它第二次经过M点，则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是( )
A．7 s B．14 s
C．16 s D． s
4．(2022·江苏宿迁期中)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
C．1 s末质点运动速度为0
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
5．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0
C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置
?题组二 简谐运动的表达式
6．(2022·天津和平区期中)弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sinm
B．x＝4×10－3sinm
C．x＝8×10－3sinm
D．x＝4×10－3sinm
7．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m。比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB
D．A的相位始终超前B的相位
8．(2022·河南洛阳期末)一弹簧振子在水平方向上的M、N之间做简谐运动，已知M、N间的距离为10 cm，振子在2 s内完成了5次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大加速度。
(1)求振子的振幅和周期；
(2)写出振子的振动方程。
1．一根自由长度为10 cm的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为m的物块P，在P上再放一个质量为m的物块Q，系统静止后，弹簧长度为6 cm，如图所示。如果迅速向上移去Q，物块P将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是( )
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
2．如图所示，固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内在虚线位置附近发生振动，图中是小球振动能达到的最左侧，振动周期为0.3 s。在小球振动到最左侧时，用周期为0.1 s的频闪光源照射，得到的图像是( )
A B C D
3．在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。
甲 乙
丙
(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？
(2)试着作出P的振动图像。
(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原来相同。由图丙中数据求纸带的加速度。
4．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s。当t＝0时，物体位移为6 cm，且向x轴正方向运动。
(1)求初相位；
(2)求t＝0.5 s时物体的位置。
6/7课时分层作业(七) 简谐运动的描述
?题组一 描述简谐运动的物理量
1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
ACD [O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，即A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，即C正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。]
2．下列说法正确的是( )
A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅
B．物体在个周期内，通过的路程是1个振幅
C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅
D．物体在个周期内，通过的路程是3个振幅
C [在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误。]
3．(2022·长春外国语学校期中)如图所示，一个质点在平衡位置O点附近a、b间做简谐运动，若从质点经过O点时开始计时，经过3 s质点第一次过M点，再继续运动，又经过4 s它第二次经过M点，则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是( )
A．7 s B．14 s
C．16 s D． s
C [题图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，假设质点开始时运动的方向向左，再向M点运动，由于从O点到第一次经过M点的时间是3 s，小于质点第二次经过M点又需要的时间4 s，由题图分析可知这是不可能的，因此开始计时时质点从O点向右运动，O→M过程历时3 s，M→b→M过程历时4 s，由运动时间的对称性知＝5 s，T＝20 s，质点第三次经过M点还需要的时间Δt＝T－4 s＝20 s－4 s＝16 s，故选项C正确。]
4．(2022·江苏宿迁期中)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
C．1 s末质点运动速度为0
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
B [由题图可读出周期T＝4 s，振幅为2 cm，则频率f＝＝0.25 Hz，故A错误；0～3 s内，质点通过的路程为3A＝6 cm，故B正确；由题图可知1 s末质点位于平衡位置，速度最大，故C错误；在t＝3 s时，质点的位移为零，不是振幅为零，质点的振幅等于振子的位移大小的最大值，保持不变，故D错误。]
5．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0
C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置
B [将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝＝ Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误。]
?题组二 简谐运动的表达式
6．(2022·天津和平区期中)弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sinm
B．x＝4×10－3sinm
C．x＝8×10－3sinm
D．x＝4×10－3sinm
B [t＝0时刻振子具有正向最大加速度，说明此时振子的位移是负向最大，则位移与时间的函数关系式x＝Asin(ωt＋φ0)中，φ0＝－，圆频率ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，则位移与时间的函数关系式为x＝0.4sincm＝4×10－3sinm。选项B正确。]
7．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m。比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB
D．A的相位始终超前B的相位
CD [振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错；A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错，C对；Δφ＝φAO－φBO＝为定值，D对。]
8．(2022·河南洛阳期末)一弹簧振子在水平方向上的M、N之间做简谐运动，已知M、N间的距离为10 cm，振子在2 s内完成了5次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大加速度。
(1)求振子的振幅和周期；
(2)写出振子的振动方程。
[解析] (1)根据题意可知，振子的振幅为A＝ cm＝5 cm，周期为T＝ s＝0.4 s。
(2)设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ0)，ω＝＝5π rad/s，因为经过周期振子有负向最大加速度，所以φ0＝0，则振子的振动方程为x＝5sin(5πt) cm。
[答案] (1)5 cm 0.4 s (2)x＝5sin(5πt) cm
1．一根自由长度为10 cm的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为m的物块P，在P上再放一个质量为m的物块Q，系统静止后，弹簧长度为6 cm，如图所示。如果迅速向上移去Q，物块P将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是( )
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
C [移去物块Q后物块P在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是物块P的重力和弹簧弹力相等的位置，由题中条件可得此时弹簧长度为8 cm。物块P刚开始运动时弹簧长度为6 cm，由对称性可知此后弹簧的最大长度是10 cm。选项C正确。]
2．如图所示，固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内在虚线位置附近发生振动，图中是小球振动能达到的最左侧，振动周期为0.3 s。在小球振动到最左侧时，用周期为0.1 s的频闪光源照射，得到的图像是( )
A B C D
C [振动的周期是0.3 s，则圆频率：ω＝＝ rad/s，以平衡位置向右为正方向，若初始时刻球在最左端，则初相位为－，0.1 s时刻对应的角度：θ1＝×0.1 rad－ rad＝ rad,0.2 s时刻对应的角度：θ2＝×0.2 rad－ rad＝π rad，可知，在0.1 s和0.2 s时刻小球将出现在同一个位置，都在平衡位置的右侧，所以在周期为0.1 s的频闪光源照射下得到的图像是C图。]
3．在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。
甲 乙
丙
(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？
(2)试着作出P的振动图像。
(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原来相同。由图丙中数据求纸带的加速度。
[解析] (1)由图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝，可得t＝＝ s＝0.2 s，所以周期T＝0.2 s。
(2)由图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图像如图所示。
(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由丙图可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得加速度a＝ m/s2＝1.0 m/s2。
[答案] (1)0.2 s (2)见解析图 (3)1.0 m/s2
4．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s。当t＝0时，物体位移为6 cm，且向x轴正方向运动。
(1)求初相位；
(2)求t＝0.5 s时物体的位置。
[解析] (1)设物体做简谐运动的位移表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，由于A＝12 cm，T＝2 s，则ω＝＝π rad/s；t＝0时，x＝6 cm。
代入上式得6 cm＝12sin(0＋φ) cm，解得sin φ＝，φ＝或π。
因为这时物体向x轴正方向运动，故取φ＝，即初相位为。
(2)由(1)可得x＝Asin(ωt＋φ)＝12sincm，
t＝0.5 s时，x＝12sincm＝12sinπ cm＝6 cm。
[答案] (1) (2)x＝6 cm处
6/7课时分层作业(八) 简谐运动的回复力和能量
?题组一 简谐运动的回复力
1．(多选)关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A．回复力可能是物体受到的合外力
B．回复力是根据力的作用效果命名的
C．振动中位移的方向是不变的
D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
3．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是( )
A B C D
?题组二 简谐运动的能量
4．(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
5．如图为一弹簧振子的小球的振动图像，由图可知( )
A．t1时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
B．t2时刻，小球的动能最大，所受回复力最小
C．t3时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
D．t4时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
6．(多选)(2022·河北衡水中学月考)光滑斜面上有一物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点，如图所示，现将A沿斜面拉到B点无初速释放，物块A在B、C之间做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．物块A在运动过程中机械能守恒
B．物块A在C点时弹簧的弹性势能最小
C．物块A在C点时系统的势能最大，在O点时系统的势能最小
D．物块A在B点时机械能最小
?题组三 简谐运动的综合应用
7．(2022·河北承德一中月考)如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，运动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k。当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx
C．kx D．kx
8．(多选)如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则( )
A．当振动到最低点时，B对A的压力最大
B．当振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
9．如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1与k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球，开始时，两弹簧均处于原长，然后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球在水平面上做往复运动，试问：小球是否做简谐运动？
、
1．如图所示，一轻质弹簧沿竖直方向放置在水平地面上，其下端固定，当弹簧的长度为原长时，其上端位于O点。现有一小球从O点由静止释放，将弹簧压缩至最低点(弹簧始终处于弹性限度内)。在此过程中，关于小球的加速度a随下降位移x的变化关系正确的是( )
A B
C D
2．(多选)(2022·潍坊高二检测)现有一固定斜面，其下端有一个垂直于斜面的固定挡板。轻质弹簧的一端与挡板相连，另一端连接一光滑小球。现将小球由平衡位置O沿斜面向上拉动10 cm至A点，使其在AA′之间做简谐运动，B、C为斜面上的点，且xOB＝xOC。已知弹簧始终在其弹性限度内，则( )
A．小球经过B、C两点时，小球的速度大小相等
B．小球经过B、C两点时，弹簧的弹性势能相等
C．小球经B点向上运动四分之一个周期，其运动的路程大于10 cm
D．若将小球由平衡位置O沿斜面向上拉动5 cm后由静止释放，则小球运动的周期将变短
3．如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________ (选填“＞”“＜”或“＝”) A0，T________(选填“＞”“＜”或“＝”) T0。
4．质量为m1和m2两物块用轻弹簧相连，将它们竖立在水平面上，如图所示。现在用竖直向下的压力压m1，使它们处于静止状态。突然撤去压力，当m1上升到最高点时，m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下的压力F大小等于多少？
6/7课时分层作业(八) 简谐运动的回复力和能量
?题组一 简谐运动的回复力
1．(多选)关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A．回复力可能是物体受到的合外力
B．回复力是根据力的作用效果命名的
C．振动中位移的方向是不变的
D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
AB [回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是变化的，做简谐运动的物体振幅是不变的，C错误；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D错误。]
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
B [对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，故A错误；对于其他简谐运动k不是劲度系数，而是一个比例系数，故B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，故C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，故D错误。]
3．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是( )
A B C D
B [由F＝－kx可知，回复力F与位移大小x成正比，方向与位移方向相反，故选项B正确。]
?题组二 简谐运动的能量
4．(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
AB [小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误。]
5．如图为一弹簧振子的小球的振动图像，由图可知( )
A．t1时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
B．t2时刻，小球的动能最大，所受回复力最小
C．t3时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
D．t4时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
B [由题图可知，t1时刻，小球位于正方向的最大位移处，回复力最大，速度最小，动能最小，A错；t2时刻，小球位于平衡位置，回复力最小，速度最大，动能最大，B对；由简谐运动的对称性可知C、D错。]
6．(多选)(2022·河北衡水中学月考)光滑斜面上有一物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点，如图所示，现将A沿斜面拉到B点无初速释放，物块A在B、C之间做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．物块A在运动过程中机械能守恒
B．物块A在C点时弹簧的弹性势能最小
C．物块A在C点时系统的势能最大，在O点时系统的势能最小
D．物块A在B点时机械能最小
CD [在运动过程中，物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，故物块A的机械能不守恒，A错误；当物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点时，物块A受到弹簧沿斜面向上的弹力，弹簧处于伸长状态，结合简谐运动的对称性可知，物块A在B点时弹簧的伸长量一定最大，而物块A在C点时，弹簧可能处于原长状态，也可能处于压缩状态或伸长状态，可知在C点时，弹簧的弹性势能不一定最小，故B错误；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在C点时，动能为零，故物块A与弹簧构成的系统的势能(重力势能和弹性势能之和)最大，在O点时，动能最大，故势能最小，C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在B点时，弹簧的伸长量最大，弹簧的弹性势能最大，物块A的机械能最小，故D正确。]
?题组三 简谐运动的综合应用
7．(2022·河北承德一中月考)如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，运动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k。当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx
C．kx D．kx
D [A、B整体做简谐运动，则对整体有回复力F＝－kx，则整体的加速度a＝。对于物体A，由牛顿第二定律可知，受到的摩擦力f＝ma＝－kx。D项正确。]
8．(多选)如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则( )
A．当振动到最低点时，B对A的压力最大
B．当振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
AB [当系统做简谐运动时，A、B均做简谐运动，B做简谐运动的回复力由B的重力和A对B的支持力的合力提供，要判断B对A的压力大小，根据牛顿第三定律可知，只要判断出A对B支持力的大小即可。
设最大加速度为am，根据简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点加速度的大小都是am，最高点时am向下，最低点时am向上，在经平衡位置时a＝0。
对于B物体，由牛顿第二定律可得：在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam，在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam。
在经过平衡位置时有F平－mg＝0，即F平＝mg，可知F低＞F平＞F高。因此可知在最高点时B对A的压力最小，在最低点时B对A的压力最大。]
9．如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1与k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球，开始时，两弹簧均处于原长，然后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球在水平面上做往复运动，试问：小球是否做简谐运动？
[解析] 以小球为研究对象进行受力分析，小球在竖直方向处于受力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置左方某处时，偏离平衡位置的位移为x。
左方弹簧受压，对小球的弹力大小为F1＝k1x，方向向右。
右方弹簧被拉，对小球的弹力大小为F2＝k2x，方向向右。
小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其大小为F＝F1＋F2＝(k1＋k2)x，方向向右。
令k＝k1＋k2，上式可写成：F＝kx。
由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反，考虑方向后，上式可表示为F＝－kx。
所以小球将在两根弹簧的作用下，在水平面内做简谐运动。
[答案] 是
1．如图所示，一轻质弹簧沿竖直方向放置在水平地面上，其下端固定，当弹簧的长度为原长时，其上端位于O点。现有一小球从O点由静止释放，将弹簧压缩至最低点(弹簧始终处于弹性限度内)。在此过程中，关于小球的加速度a随下降位移x的变化关系正确的是( )
A B
C D
A [小球受竖直向下的重力和竖直向上的弹力，下降位移x为弹簧的形变量，设弹簧劲度系数为k，根据牛顿第二定律mg－kx＝ma，可得a＝g－x，为一次函数，小球做简谐运动，A正确，B、C、D错误。]
2．(多选)(2022·潍坊高二检测)现有一固定斜面，其下端有一个垂直于斜面的固定挡板。轻质弹簧的一端与挡板相连，另一端连接一光滑小球。现将小球由平衡位置O沿斜面向上拉动10 cm至A点，使其在AA′之间做简谐运动，B、C为斜面上的点，且xOB＝xOC。已知弹簧始终在其弹性限度内，则( )
A．小球经过B、C两点时，小球的速度大小相等
B．小球经过B、C两点时，弹簧的弹性势能相等
C．小球经B点向上运动四分之一个周期，其运动的路程大于10 cm
D．若将小球由平衡位置O沿斜面向上拉动5 cm后由静止释放，则小球运动的周期将变短
AC [由简谐振动的对称性可知，小球经过B、C两点时，小球的速度大小相等，选项A正确；小球经过B、C两点时，弹簧的形变量不等，则弹簧的弹性势能不相等，选项B错误；小球做简谐振动时，若从平衡位置开始运动经过四分之一周期的路程等于A＝10 cm，因经过平衡位置附近的速度较大，则经B点向上运动四分之一个周期，其运动的路程大于10 cm，选项C正确；简谐振动的周期与振幅无关，则若将小球由平衡位置O沿斜面向上拉动5 cm后由静止释放，则小球运动的周期不变，选项D错误。]
3．如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________ (选填“＞”“＜”或“＝”) A0，T________(选填“＞”“＜”或“＝”) T0。
[解析] 弹簧振子通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大。向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动，两者分离。物块a与弹簧组成的系统的机械能小于原来系统的机械能，所以物块a振动的振幅减小，A＜A0。由于振子质量减小，物块a的加速度的大小增大，所以周期减小，T＜T0。
[答案] ＜ ＜
4．质量为m1和m2两物块用轻弹簧相连，将它们竖立在水平面上，如图所示。现在用竖直向下的压力压m1，使它们处于静止状态。突然撤去压力，当m1上升到最高点时，m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下的压力F大小等于多少？
[解析] 当m1运动到最高点时，m2对地压力恰好为零，则此时弹簧处于伸长状态，弹力大小为m2g。m1的加速度am＝；根据简谐运动对称性可知，突然撤去压力时m1向上加速度也是am＝；
则压力F＝m1am＝(m1＋m2)g。
[答案] (m1＋m2)g
6/7课时分层作业(九) 单摆
?题组一 单摆及单摆的回复力
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球做匀速圆周运动
B．摆球摆动到最低点时加速度为零
C．摆球速度变化的周期等于振动周期
D．摆球振动的频率与振幅有关
2．甲、乙两个单摆在同地做简谐运动的图像如图所示，由图可知( )
A．甲比乙摆长长
B．甲摆球的质量较大
C．甲和乙摆角大小相同
D．摆到平衡位置时，甲和乙摆线所受拉力可能相同
3．振动着的单摆摆球通过平衡位置时，它受到的回复力( )
A．指向地面
B．指向悬点
C．数值为零
D．垂直摆线，指向运动方向
4．(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
?题组二 单摆的周期
5．利用盛沙的漏斗演示简谐运动，如果考虑漏斗里沙子逐渐减少，则沙摆的频率将( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
6．(2022·河南焦作期中)要将秒摆的周期变为4 s，下列措施可行的是( )
A．只将摆球质量变为原来的
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
7．(多选)(2022·山东济宁一中高二月考)将一单摆向右拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点P时，摆线碰到障碍物，摆球继续向左摆动，用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，摆球从最高点M摆至左边最高点N时，以下说法正确的是( )
A．M、N两点应在同一高度
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为2∶1
C．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为4∶1
D．摆线经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大
8．地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了( )
A．4 h B．9.8 h
C．12 h D．58.8 h
9．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答：
甲 乙
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少。
1．(2022·黄梅一中月考)如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝，将单摆拉至A处由静止释放，小球将在A、C间来回摆动，B为最低点，若振动中摆线与竖直方向的夹角小于5°，重力加速度为g，则此摆的周期是( )
A．2π B．2π
C．2π D．π
2．将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是( )
A．图示位置摆球做简谐运动的回复力大小为F回＝mgsin α·sin θ
B．图示位置摆球做简谐运动的回复力大小为F回＝mgsin θ
C．摆球做简谐运动的周期为2π
D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F＝mgsin α
3．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R 。甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放。
问题：(1)两球第1次到达C点的时间之比是多少？
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
4．有两个同学利用假期分别去参观位于天津的南开大学和上海的复旦大学，他们各自在那里的物理实验室利用先进的DIS系统较准确地探究了单摆周期T和摆长L的关系。然后他们通过互联网交流实验数据，并由计算机绘制了T2 L图像，如图甲所示。
甲 乙
(1)已知天津比上海的纬度高，则去南开的同学所测得的实验结果对应的图像是A还是B
(2)去复旦大学做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示，由图像可知两单摆摆长之比是多大？在t＝2 s时b球运动方向沿“＋y”还是“－y”？
7/7课时分层作业(九) 单摆
?题组一 单摆及单摆的回复力
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球做匀速圆周运动
B．摆球摆动到最低点时加速度为零
C．摆球速度变化的周期等于振动周期
D．摆球振动的频率与振幅有关
C [摆球在摆动中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，A错误；摆球摆动到最低点时加速度不为零，受向上的合外力，故加速度竖直向上，B错误；摆球速度变化的周期以及位移变化的周期均等于振动周期，C正确；摆球振动的频率与振幅无关，只取决于摆长和当地的重力加速度，D错误。]
2．甲、乙两个单摆在同地做简谐运动的图像如图所示，由图可知( )
A．甲比乙摆长长
B．甲摆球的质量较大
C．甲和乙摆角大小相同
D．摆到平衡位置时，甲和乙摆线所受拉力可能相同
D [由图可知，甲和乙两摆的周期相同，则由单摆的周期公式T＝2π可知，两摆的摆长一定相同，故A错误；因为单摆的周期与摆球、摆角无关，所以甲、乙摆球的质量无法比较，故B错误；由于摆线长度相同，据几何关系知，甲的振幅大，所以摆角(不大于5度)大，故C错误；在最低点时，拉力与重力的合力充当向心力，则有F－mg＝m，解得：F＝m，因为摆长相等，但偏角不同，故到达底部时的速度不同；同时因为摆球质量未知，故拉力有可能相同，故D正确。]
3．振动着的单摆摆球通过平衡位置时，它受到的回复力( )
A．指向地面
B．指向悬点
C．数值为零
D．垂直摆线，指向运动方向
C [单摆的摆球受到的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，摆球经过平衡位置时，回复力为零，选C。]
4．(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
ABD [由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大，加速度向上。故正确答案为A、B、D。]
?题组二 单摆的周期
5．利用盛沙的漏斗演示简谐运动，如果考虑漏斗里沙子逐渐减少，则沙摆的频率将( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
D [沙子逐渐减少，沙子和漏斗的重心将逐渐降低，沙子漏完后重心又升高，所以摆长先变长后变短，根据单摆周期公式T＝2π知周期先变大后变小，频率先减小后增大，故选项D正确。]
6．(2022·河南焦作期中)要将秒摆的周期变为4 s，下列措施可行的是( )
A．只将摆球质量变为原来的
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
C [单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，故A、B错误；对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，联立解得l＝4l0，故C正确，D错误。]
7．(多选)(2022·山东济宁一中高二月考)将一单摆向右拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点P时，摆线碰到障碍物，摆球继续向左摆动，用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，摆球从最高点M摆至左边最高点N时，以下说法正确的是( )
A．M、N两点应在同一高度
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为2∶1
C．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为4∶1
D．摆线经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大
ACD [小球的细线即使碰到障碍物，细线的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原来的高度，故A正确；频闪照片拍摄的时间间隔一定，由图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为2∶1，根据单摆的周期公式T＝2π得，摆长之比为4∶1，故B错误，C正确；摆线经过最低点时，线速度不变，半径变小，根据T－mg＝m ，知摆线张力变大，故D正确。]
8．地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了( )
A．4 h B．9.8 h
C．12 h D．58.8 h
B [由单摆的周期公式T＝2π，得＝＝，即T月＝T地，则摆钟在月球上单位时间内完成的全振动的次数为在地球上的，所以在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过的时间为24× h＝4 h≈9.8 h，选项B正确。]
9．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答：
甲 乙
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少。
[解析] (1)由乙图知周期T＝0.8 s，
则频率f＝＝1.25 Hz。
(2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点。
(3)由T＝2π得L＝≈0.16 m。
[答案] (1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
1．(2022·黄梅一中月考)如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝，将单摆拉至A处由静止释放，小球将在A、C间来回摆动，B为最低点，若振动中摆线与竖直方向的夹角小于5°，重力加速度为g，则此摆的周期是( )
A．2π B．2π
C．2π D．π
D [由单摆的周期公式得，A→B的运动时间t1＝，B→C的运动时间t2＝，由对称性知，此摆的周期T＝2(t1＋t2)＝π，D正确。]
2．将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是( )
A．图示位置摆球做简谐运动的回复力大小为F回＝mgsin α·sin θ
B．图示位置摆球做简谐运动的回复力大小为F回＝mgsin θ
C．摆球做简谐运动的周期为2π
D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F＝mgsin α
A [在光滑斜面上的单摆，F回＝mgsin α·sin θ，周期T＝2π，A正确，B、C错误；当摆球经过平衡位置时，F－mgsin α＝，F＝mgsin α＋＞mgsin α，D错误。]
3．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R 。甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放。
问题：(1)两球第1次到达C点的时间之比是多少？
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
[解析] (1)甲球做自由落体运动
R＝gt，所以t1＝。
乙球沿圆弧做简谐运动(由于 R，可认为摆角θ＜5°)。
此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝。
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间t甲＝
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)
由于甲、乙在C处相遇，故t甲＝t乙
解得h＝(n＝0,1,2，…)。
[答案] (1) (2)(n＝0,1,2，…)
4．有两个同学利用假期分别去参观位于天津的南开大学和上海的复旦大学，他们各自在那里的物理实验室利用先进的DIS系统较准确地探究了单摆周期T和摆长L的关系。然后他们通过互联网交流实验数据，并由计算机绘制了T2 L图像，如图甲所示。
甲 乙
(1)已知天津比上海的纬度高，则去南开的同学所测得的实验结果对应的图像是A还是B
(2)去复旦大学做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示，由图像可知两单摆摆长之比是多大？在t＝2 s时b球运动方向沿“＋y”还是“－y”？
[解析] (1)由T＝2π得，T2＝L，知T2 L图像的斜率越大，则重力加速度越小，因为上海当地的重力加速度小于天津，去南开的同学所测实验结果对应的图线的斜率小，应该是B图线。
(2)由振动图线知，两单摆的周期比为＝，由T＝2π知，两单摆摆长之比＝
y t图像的斜率表示速度，故在t＝2 s时b球运动方向是＋y方向。
[答案] (1)B (2) ＋y
7/7课时分层作业(十) 受迫振动 共振
?题组一 振动中的能量损失
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
2．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小。下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
3．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中( )
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
4．(多选)关于阻尼振动，下列说法正确的是( )
A．阻尼振动就是减幅振动，其振动的能量不断减少
B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C．阻尼振动的振幅、振动能量、振动周期逐渐减小
D．对做阻尼振动的振子来说，其机械能逐渐转化为内能
?题组二 受迫振动和共振
5．高压输电线路塔杆较高，杆距较大，当输电线受到风吹动时，会发生较强烈的振动，输电线会因周期性的弯折发生破坏，为此，需要在靠近塔杆悬点处加挂一个小锤，如图所示。下列说法正确的是( )
A．小锤的作用是防雷电
B．小锤的作用是减弱输电线振动的幅度
C．小锤的振动与输电线振动是同步的
D．小锤的规格与杆距无关
故选B。]
6．(多选)如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大 B．甲的振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大 D．乙的振动频率为9 Hz
7．(多选)(2022·山东烟台高二期中)如图所示为某振动系统做受迫振动的振幅A随驱动力频率f变化的关系图，则下列说法正确的是( )
A．振动系统的固有频率为f0
B．当驱动力频率为f0时，振动系统会发生共振现象
C．振动系统振动的频率由驱动力频率和振动系统的固有频率共同决定
D．驱动力频率越大，振动系统的振幅越大
8．为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起，以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应。如果某路面上的一排等间距减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是 ( )
A．当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B．当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸
C．当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害
D．汽车速度越大，颠簸得就越厉害
9．如图所示是一个单摆的共振曲线。
(1)若单摆所处的环境重力加速度g取9.8 m/s2，试求此摆的摆长。
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？
1．(多选)将一个力传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆振动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出下列判断，其中正确的是( )
A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点
B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点
C．摆球振动过程中机械能减少
D．摆球振动的周期为T＝1.4 s
2．(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示。筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s。在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期。那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
3．某物理学习小组制作了一个实验装置，如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，求：
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成40次全振动，其固有周期和固有频率各是多少？
(2)某同学若以转速8 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，其周期和频率各是多少？
4．汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m。汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝(l为弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
2/6课时分层作业(十) 受迫振动 共振
?题组一 振动中的能量损失
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
ACD [实际的自由振动由于阻力的作用，振幅会越来越小，所以一定为阻尼振动，故A项正确；物体在周期性驱动力的作用下的振动是受迫振动，故物体在外力作用下的振动不一定是受迫振动，故B项错误；阻尼振动的振幅会越来越小，故C项正确；受迫振动稳定后的频率取决于驱动力的频率，与自身物理条件无关，故D项正确。]
2．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小。下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
AD [单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C错。]
3．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中( )
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
B [由于存在空气阻力，振动系统在振动过程中机械能减小，振幅减小，但其周期为固有周期，故周期不变，选B。]
4．(多选)关于阻尼振动，下列说法正确的是( )
A．阻尼振动就是减幅振动，其振动的能量不断减少
B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C．阻尼振动的振幅、振动能量、振动周期逐渐减小
D．对做阻尼振动的振子来说，其机械能逐渐转化为内能
ABD [振动系统的振动频率与其本身的结构有关，为固有频率，所以在阻尼振动中，振幅逐渐减小，振动能量逐渐减少，最终转化为内能，但周期不变，故A、D正确，C错误；实际的振动系统都要受到摩擦力或空气阻力等阻尼作用，故B正确。]
?题组二 受迫振动和共振
5．高压输电线路塔杆较高，杆距较大，当输电线受到风吹动时，会发生较强烈的振动，输电线会因周期性的弯折发生破坏，为此，需要在靠近塔杆悬点处加挂一个小锤，如图所示。下列说法正确的是( )
A．小锤的作用是防雷电
B．小锤的作用是减弱输电线振动的幅度
C．小锤的振动与输电线振动是同步的
D．小锤的规格与杆距无关
B [在靠近塔杆悬点处加挂一个小锤，是为了减弱输电线振动的幅度，减缓输电线因周期性的弯折发生破坏。
故选B。]
6．(多选)如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大 B．甲的振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大 D．乙的振动频率为9 Hz
ABD [根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以选项A、B、D正确。]
7．(多选)(2022·山东烟台高二期中)如图所示为某振动系统做受迫振动的振幅A随驱动力频率f变化的关系图，则下列说法正确的是( )
A．振动系统的固有频率为f0
B．当驱动力频率为f0时，振动系统会发生共振现象
C．振动系统振动的频率由驱动力频率和振动系统的固有频率共同决定
D．驱动力频率越大，振动系统的振幅越大
AB [由受迫振动振幅与驱动力频率关系图可知，当驱动力的频率为f0时，振动系统做受迫振动振幅最大，则由共振的条件可知，振动系统的固有频率为f0，A、B正确；振动系统振动的频率由驱动力频率决定，C错误；驱动力频率越接近于振动系统的固有频率时，振动系统振幅越大，D错误。]
8．为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起，以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应。如果某路面上的一排等间距减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是 ( )
A．当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B．当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸
C．当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害
D．汽车速度越大，颠簸得就越厉害
C [当汽车振动频率与其固有频率接近时会产生共振现象，此时振幅最大，颠簸最厉害。当车速为3 m/s时，振动周期T＝ s＝0.5 s，f＝＝2 Hz，此时颠簸最厉害。故选C。]
9．如图所示是一个单摆的共振曲线。
(1)若单摆所处的环境重力加速度g取9.8 m/s2，试求此摆的摆长。
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？
[解析] (1)由图像可知，单摆的固有频率f＝0.3 Hz，由频率公式f＝，得l＝＝ m≈2.8 m。
(2)由f＝知，单摆移到高山上，重力加速度g减少，其固有频率减小，故共振曲线的“峰”向左移。
[答案] (1)2.8 m (2)峰将向左移
1．(多选)将一个力传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆振动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出下列判断，其中正确的是( )
A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点
B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点
C．摆球振动过程中机械能减少
D．摆球振动的周期为T＝1.4 s
AC [单摆在做简谐运动过程中，悬线上拉力是周期性变化的。摆球在最低点时悬线拉力最大Fmax＝mg＋。在摆到最高点v＝0时，悬线拉力最小，Fmin＝mgcos θ。t＝0.2 s时，拉力最大，即摆球正经过最低点，A正确；t＝1.1 s时，摆球正经过最高点，B错误；从题图可看出摆球经过最低点拉力逐渐减小，可知小球的速度减小，机械能逐渐减少，C正确；由题图可知，T＝2×(0.8－0.2) s＝1.2 s，D错误。]
2．(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示。筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s。在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期。那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
AC [共振筛的工作原理是，当电动偏心轮的转动周期跟筛子的固有周期相等时，就会发生共振。在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝ s＝1.5 s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝ s≈1.67 s。要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大。正确选项为A、C。]
3．某物理学习小组制作了一个实验装置，如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，求：
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成40次全振动，其固有周期和固有频率各是多少？
(2)某同学若以转速8 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，其周期和频率各是多少？
[解析] (1)根据题意可得：T固＝ s＝0.25 s，
f固＝ Hz＝4 Hz。
(2)由于把手转动的转速为8 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝8 Hz，周期T驱＝ s＝0.125 s。
[答案] (1)0.25 s 4 Hz (2)0.125 s 8 Hz
4．汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m。汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝(l为弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
[解析] 人体的固有频率f固＝2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f＝＝f固，得l＝，代入数据l≈0.062 1 m，由胡克定律得kl＝(m1＋nm2)g
n＝＝≈5(人)。
[答案] 5人
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