素养培优练(一) 动量和能量的综合问题
一、选择题
1．如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相同的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是( )
A．A开始运动时 B．A的速度等于v时
C．B的速度等于零时 D．A和B的速度相等时
2．(2020·湖南衡阳八中月考)如图所示，A、B两小球静止在光滑水平面上，用轻弹簧相连接，A球的质量小于B球的质量。若用锤子敲击A球使A得到大小为v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若用锤子敲击B球使B得到大小为v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为( )
A．L1＞L2 B．L1＜L2
C．L1＝L2 D．不能确定
3．(2022·安徽明光中学月考)如图所示，质量为M的木块位于光滑水平面上，木块与墙之间用轻弹簧连接，开始时木块静止在A位置。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块并嵌入其中，则当木块回到A位置时的速度的大小v以及此过程中墙对弹簧的冲量I的大小分别为( )
A．v＝，I＝0 B．v＝，I＝2mv0
C．v＝，I＝ D．v＝，I＝2mv0
4．(2022·中原名校联考)如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．子弹射入木块后瞬间，速度大小为
B．子弹射入木块后瞬间，轻绳拉力等于(M＋m0)g
C．子弹射入木块后瞬间，环对轻杆的压力大于(M＋m＋m0)g
D．子弹射入木块后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
5．(2022·河南焦作模拟)如图所示，一木块静止在长木板的左端，长木板静止在水平地面上，木块和长木板的质量相等，均为M，木块和长木板之间、长木板和地面之间的动摩擦因数都为μ。一颗质量为m＝的子弹以一定速度水平向右射入木块并留在其中，木块在长木板上运动的距离为L；静止后一颗相同的子弹以相同的速度射入长木板，并留在长木板中，重力加速度为g，则( )
A．第一颗子弹射入木块前瞬间的速度为
B．木块运动的加速度大小为μg
C．第二颗子弹射入长木板后，长木板运动的加速度大小为2μg
D．最终木块静止在距离长木板左端L处
B [子弹射入木块过程中，由动量守恒定律可得＝，解得v0＝6v1，分析可知木块在长木板上运动时，长木板不动，由动能定理可得－μ·Mg·L＝0－··v，解得子弹射入木块前、后瞬间的速度分别为v0＝6，v1＝，选项A错误；由牛6．如图所示，光滑水平地面上有A、B两物体，质量都为m，B左端固定一个处于压缩状态的轻弹簧，轻弹簧被装置锁定，当弹簧再受到压缩时锁定装置会失效。A以速率v向右运动，A撞上弹簧后，设弹簧始终不超过弹性限度，关于A、B运动过程说法正确的是( )
A．A物体最终会静止，B物体最终会以速率v向右运动
B．A、B系统的总动量最终将大于mv
C．A、B系统的总动能最终将大于mv2
D．当弹簧的弹性势能最大时，A、B的总动能为mv2
7．(多选)质量为m0、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )
A．mv2 B．
C．NμmgL D．NμmgL
8．如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑水平面上，如果物体A被水平速度为v0的子弹射中并嵌在物体A中。已知物体A的质量为物体B的质量的，子弹的质量是物体B的质量的，则弹簧被压缩到最短时物体B的速度为 ( )
A． B．
C． D．
9．如图所示，光滑水平面上的木板静止，在其右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M＝1 kg，质量m＝2 kg的铁块以水平速度v0＝3 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端，则在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为( )
A．1.5 J B．6 J
C．3 J D．4 J
10．(多选)如图所示，一质量M＝3.0 kg的长木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝1.0 kg的小木块A。现以地面为参考系，给A和B大小均为4.0 m/s、方向相反的速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A并没有滑离B。站在地面上的观察者在一段时间内看到小木块A正在做加速运动，则在这段时间内的某时刻木板相对地面的速度大小可能是( )
A．1.8 m/s B．2.4 m/s
C．2.6 m/s D．3.0 m/s
二、非选择题
11．如图所示，两物体A和B并排静置于高h＝0.8 m的光滑水平桌面上，它们的质量均为0.5 kg。一颗质量m＝0.1 kg的子弹以v0＝100 m/s的水平速度从左边射入A，射穿A后继续进入B中，且当子弹与B保持相对静止时，A和B都还没有离开桌面。已知子弹在物体A和B中所受阻力一直保持不变，A的长度为0.448 m，A离开桌面后落地点到桌面右边沿的水平距离为3.2 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。
(1)求物体A和物体B离开桌面时的速度大小；
(2)求子弹在物体B中穿过的距离；
(3)为了使子弹在物体B中穿行时B不离开桌面，求物体B的右端到桌面右边沿的最小距离。
12．(2022·山东烟台第二中学高二月考)如图所示，质量m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，质量m0＝5 g的子弹以速度v0＝300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s2，求：
(1)子弹和物块一起滑行的最大速度v1；
(2)木板向右滑行的最大速度v2；
(3)物块在木板上滑行的时间t和产生的内能E。
13．某科技小组设计了以下实验，如图甲所示，小车上固定一个右端开口的小管，管口刚好与小车右端对齐。小管内装有一根质量可忽略不计的硬弹簧，小车与管的总质量为M＝0.2 kg。将一个大小合适、质量为m＝0.05 kg的小球压入管内，管口的锁定装置既可控制小球不弹出，也可通过无线遥控解锁。小球弹出时间极短，在管内运动的摩擦可忽略。该小组利用此装置完成以下实验。
甲
乙
丙
实验一：测量弹簧储存的弹性势能
如图乙所示，将该装置放在水平桌面上，小车右端与桌面右端对齐，并在小车右端悬挂铅垂线到地面，标记出O点。固定小车，解锁后，小球水平飞出，落到地面上的A点。测得OA的距离为x＝2.4 m，小球抛出点的竖直高度为h＝0.8 m。 g取10 m/s2。
实验二：对小车反冲距离的理论预测与实验检验
如图丙所示，将该装置放在水平地面上静止不动，解除锁定，小球弹出瞬间小车向相反方向运动。已知地面对小车的阻力恒为车对地面压力的k倍(k＝0.3)。该小组在实验一的基础上，先通过理论计算得出小车反冲距离的预测值为s，再通过实验测得反冲距离的实际值为s′。
(1)求小球锁定时弹簧储存的弹性势能Ep；
(2)请你帮助该小组计算小车反冲距离的预测值s；
(3)请分析说明根据现有信息能否预测s′与s的大小关系。
9/10素养培优练(一) 动量和能量的综合问题
一、选择题
1．如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相同的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是( )
A．A开始运动时 B．A的速度等于v时
C．B的速度等于零时 D．A和B的速度相等时
D [对A、B组成的系统由于水平面光滑，所以动量守恒。而对A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，即A、B动能与弹簧弹性势能之和为定值。当A、B速度相等时，可类似于A、B的完全非弹性碰撞，A、B总动能损失最多，弹簧形变量最大，弹性势能最大。]
2．(2020·湖南衡阳八中月考)如图所示，A、B两小球静止在光滑水平面上，用轻弹簧相连接，A球的质量小于B球的质量。若用锤子敲击A球使A得到大小为v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若用锤子敲击B球使B得到大小为v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为( )
A．L1＞L2 B．L1＜L2
C．L1＝L2 D．不能确定
C [用锤子敲击A球，当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mAv＝(mA＋mB)v′，由机械能守恒定律得Ep＝mAv2－(mA＋mB)v′2，解得弹簧压缩到最短时的弹性势能Ep＝，同理可得用锤子敲击B球，当弹簧压缩到最短时的弹性势能也为，所以L1＝L2，选项C正确。]
3．(2022·安徽明光中学月考)如图所示，质量为M的木块位于光滑水平面上，木块与墙之间用轻弹簧连接，开始时木块静止在A位置。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块并嵌入其中，则当木块回到A位置时的速度的大小v以及此过程中墙对弹簧的冲量I的大小分别为( )
A．v＝，I＝0 B．v＝，I＝2mv0
C．v＝，I＝ D．v＝，I＝2mv0
D [子弹射入木块过程，由于时间极短，子弹与木块间的内力远大于系统外力，系统的动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v，解得v＝，子弹射入木块后，子弹和木块系统在弹簧弹力的作用下先向右做减速运动，后向左做加速运动，回到A位置时速度大小不变，即木块回到A位置时的速度大小为v＝，子弹和木块及弹簧组成的系统受到的合力即墙对弹簧的作用力，根据动量定理得I′＝－(M＋m)v－mv0＝－2mv0，所以墙对弹簧的冲量I的大小为I＝2mv0，选项D正确。]
4．(2022·中原名校联考)如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．子弹射入木块后瞬间，速度大小为
B．子弹射入木块后瞬间，轻绳拉力等于(M＋m0)g
C．子弹射入木块后瞬间，环对轻杆的压力大于(M＋m＋m0)g
D．子弹射入木块后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
C [子弹射入木块过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，则m0v0＝(M＋m0)v1，解得射入后瞬间速度大小为v1＝，选项A错误；子弹射入木块后瞬间，根据牛顿第二定律得T－(M＋m0)g＝(M＋m0)，可知轻绳拉力大于(M＋m0)g，选项B错误；子弹射入木块后瞬间，对圆环有N＝T＋mg>(M＋m＋m0)g，选项C正确；子弹射入木块后，圆环、木块和子弹构成的系统只在水平方向动量守恒，选项D错误。]
5．(2022·河南焦作模拟)如图所示，一木块静止在长木板的左端，长木板静止在水平地面上，木块和长木板的质量相等，均为M，木块和长木板之间、长木板和地面之间的动摩擦因数都为μ。一颗质量为m＝的子弹以一定速度水平向右射入木块并留在其中，木块在长木板上运动的距离为L；静止后一颗相同的子弹以相同的速度射入长木板，并留在长木板中，重力加速度为g，则( )
A．第一颗子弹射入木块前瞬间的速度为
B．木块运动的加速度大小为μg
C．第二颗子弹射入长木板后，长木板运动的加速度大小为2μg
D．最终木块静止在距离长木板左端L处
B [子弹射入木块过程中，由动量守恒定律可得＝，解得v0＝6v1，分析可知木块在长木板上运动时，长木板不动，由动能定理可得－μ·Mg·L＝0－··v，解得子弹射入木块前、后瞬间的速度分别为v0＝6，v1＝，选项A错误；由牛顿第二定律可得μ·Mg＝，解得a1＝μg，选项B正确；第二颗子弹射入长木板后，由牛顿第二定律可知，长木板受到木块、地面的摩擦力均向左，故有μ·Mg＋μ·Mg＝Ma2，解得a2＝3μg，选项C错误；子弹射入木板过程中，子弹与木板组成的系统动量守恒，则v0＝Mv2，解得v2＝v1＝，子弹射入木板后，木板向右做减速运动，木块向右做加速运动，两者速度相等后一起做减速运动直到静止，子弹射入木板到木块与木板共速的过程有a1t＝v2－a2t，解得t＝，该过程木板的位移x2＝v2t－a2t2＝L，木块的位移x1＝a1t2＝L，最终木块静止在距离长木板左端d＝L＋x1－x2＝L处，选项D错误。]
6．如图所示，光滑水平地面上有A、B两物体，质量都为m，B左端固定一个处于压缩状态的轻弹簧，轻弹簧被装置锁定，当弹簧再受到压缩时锁定装置会失效。A以速率v向右运动，A撞上弹簧后，设弹簧始终不超过弹性限度，关于A、B运动过程说法正确的是( )
A．A物体最终会静止，B物体最终会以速率v向右运动
B．A、B系统的总动量最终将大于mv
C．A、B系统的总动能最终将大于mv2
D．当弹簧的弹性势能最大时，A、B的总动能为mv2
C [设弹簧恢复原长时，A、B的速度分别为v1、v2，弹簧被锁定时的弹性势能为Ep，规定向右为正方向，A、B两物体与弹簧组成的系统在整个过程中动量守恒、机械能守恒，则有mv＝mv1＋mv2，Ep＋mv2＝mv＋mv，因Ep＞0，可知v1≠0，v2≠v，选项A错误；A、B系统在水平方向动量守恒，系统的总动量最终等于mv，选项B错误；弹簧解除锁定后，存储的弹性势能会释放，导致A、B系统总动能增加，系统的总动能最终将大于mv2，选项C正确；弹簧被压缩到最短时，弹簧弹性势能最大，A、B两物体具有相同的速度，设为v′，由动量守恒定律知mv＝2mv′，解得v′＝v，则有总动能Ek＝·2m·＝mv2，选项D错误。]
7．(多选)质量为m0、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )
A．mv2 B．
C．NμmgL D．NμmgL
BD [根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度v′＝，损失的动能ΔEk＝mv2－(m0＋m)v′2＝，所以B正确；根据能量守恒，损失的动能等于因摩擦产生的热量，而热量等于摩擦力乘以相对路程，所以ΔEk＝FfNL＝NμmgL，所以D正确。]
8．如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑水平面上，如果物体A被水平速度为v0的子弹射中并嵌在物体A中。已知物体A的质量为物体B的质量的，子弹的质量是物体B的质量的，则弹簧被压缩到最短时物体B的速度为 ( )
A． B．
C． D．
B [以子弹、物体A、物体B和弹簧组成的系统为研究对象，物体A、B的速度相等时弹簧被压缩到最短。设物体B的质量为m，根据动量守恒定律可得mv0＝v，解得v＝，故选项B正确，A、C、D错误。]
9．如图所示，光滑水平面上的木板静止，在其右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M＝1 kg，质量m＝2 kg的铁块以水平速度v0＝3 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端，则在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为( )
A．1.5 J B．6 J
C．3 J D．4 J
A [从铁块滑上木板开始到弹簧被压缩到最短，系统动量守恒，有mv0＝(M＋m)v，根据能量守恒定律得Q＋Ep＝mv－(M＋m)v2；从铁块滑上木板开始到最后恰好停在木板的左端，系统动量守恒，有mv0＝(M＋m)v，根据能量守恒定律得2Q＝mv－(M＋m)v2，解得Ep＝1.5 J，所以最大弹性势能为1.5 J，选A。]
10．(多选)如图所示，一质量M＝3.0 kg的长木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝1.0 kg的小木块A。现以地面为参考系，给A和B大小均为4.0 m/s、方向相反的速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A并没有滑离B。站在地面上的观察者在一段时间内看到小木块A正在做加速运动，则在这段时间内的某时刻木板相对地面的速度大小可能是( )
A．1.8 m/s B．2.4 m/s
C．2.6 m/s D．3.0 m/s
BC [以A、B组成的系统为研究对象，系统动量守恒，取水平向右为正方向，从A开始运动到A的速度为零过程中，由动量守恒定律得(M－m)v0＝MvB1，代入数据解得vB1＝2.67 m/s。从A、B开始运动到A、B速度相同的过程中，由动量守恒定律得(M－m)v0＝(M＋m)vB2，代入数据解得vB2＝2 m/s。综上可知，在木块A做加速运动的时间内，B的速度大小范围为2 m/s二、非选择题
11．如图所示，两物体A和B并排静置于高h＝0.8 m的光滑水平桌面上，它们的质量均为0.5 kg。一颗质量m＝0.1 kg的子弹以v0＝100 m/s的水平速度从左边射入A，射穿A后继续进入B中，且当子弹与B保持相对静止时，A和B都还没有离开桌面。已知子弹在物体A和B中所受阻力一直保持不变，A的长度为0.448 m，A离开桌面后落地点到桌面右边沿的水平距离为3.2 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。
(1)求物体A和物体B离开桌面时的速度大小；
(2)求子弹在物体B中穿过的距离；
(3)为了使子弹在物体B中穿行时B不离开桌面，求物体B的右端到桌面右边沿的最小距离。
[解析] (1)研究A的平抛运动过程有x＝vAt，h＝gt2，
解得A离开桌面时的速度大小为vA＝8 m/s，
研究子弹从进入A到刚穿过A的过程(A、B一直共速)，设子弹刚穿出A的速度为v1，
根据系统动量守恒得mv0＝2MvA＋mv1，解得v1＝20 m/s，
再研究子弹进入B的过程，子弹与B组成的系统动量守恒，得MvA＋mv1＝(M＋m)vB，
解得B离开桌面时的速度大小为vB＝10 m/s。
(2)子弹在物体B中穿行的过程中，由能量守恒定律得
fLB＝Mv＋mv－(M＋m)v，
子弹在物体A中穿行过程中，由能量守恒定律得
fLA＝mv－mv－(M＋M)v，
联立解得f＝1 000 N，LB＝0.006 m，
即子弹在物体B中穿过的距离为0.006 m。
(3)设子弹在物体A中穿行的过程中，物体A在水平桌面上的位移为s1，根据动能定理有fs1＝(M＋M)v，
解得s1＝0.032 m。
设子弹在物体B中穿行的过程中 ，物体B在水平桌面上的位移为s2，根据动能定理有fs2＝Mv－Mv，
解得s2＝0.009 m。
物体B的右端到桌面右边沿的最小距离为smin＝s1＋s2，
解得smin＝0.041 m。
[答案] (1)8 m/s 10 m/s (2)0.006 m (3)0.041 m
12．(2022·山东烟台第二中学高二月考)如图所示，质量m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，质量m0＝5 g的子弹以速度v0＝300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s2，求：
(1)子弹和物块一起滑行的最大速度v1；
(2)木板向右滑行的最大速度v2；
(3)物块在木板上滑行的时间t和产生的内能E。
[解析] (1)子弹进入物块后与物块一起向右滑行，物块的初速度即为物块的最大速度。对子弹和物块组成的系统，以向右为正方向，由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋m)v1，解得v1＝＝6 m/s。
(2)当子弹、物块和木板三者速度相同时，木板的速度达到最大，由动量守恒定律得(m0＋m)v1＝(m0＋m＋M)v2，解得v2＝＝2 m/s。
(3)对物块和子弹组成的系统，由动量定理得－μ(m0＋m)gt＝(m0＋m)v2－(m0＋m)v1，
解得t＝＝1 s，
对物块和子弹以及木板组成的系统，由能量守恒定律得
(m0＋m)v＝(m0＋m＋M)v＋E，
解得E＝3 J。
[答案] (1)6 m/s (2)2 m/s (3)1 s 3 J
13．某科技小组设计了以下实验，如图甲所示，小车上固定一个右端开口的小管，管口刚好与小车右端对齐。小管内装有一根质量可忽略不计的硬弹簧，小车与管的总质量为M＝0.2 kg。将一个大小合适、质量为m＝0.05 kg的小球压入管内，管口的锁定装置既可控制小球不弹出，也可通过无线遥控解锁。小球弹出时间极短，在管内运动的摩擦可忽略。该小组利用此装置完成以下实验。
甲
乙
丙
实验一：测量弹簧储存的弹性势能
如图乙所示，将该装置放在水平桌面上，小车右端与桌面右端对齐，并在小车右端悬挂铅垂线到地面，标记出O点。固定小车，解锁后，小球水平飞出，落到地面上的A点。测得OA的距离为x＝2.4 m，小球抛出点的竖直高度为h＝0.8 m。 g取10 m/s2。
实验二：对小车反冲距离的理论预测与实验检验
如图丙所示，将该装置放在水平地面上静止不动，解除锁定，小球弹出瞬间小车向相反方向运动。已知地面对小车的阻力恒为车对地面压力的k倍(k＝0.3)。该小组在实验一的基础上，先通过理论计算得出小车反冲距离的预测值为s，再通过实验测得反冲距离的实际值为s′。
(1)求小球锁定时弹簧储存的弹性势能Ep；
(2)请你帮助该小组计算小车反冲距离的预测值s；
(3)请分析说明根据现有信息能否预测s′与s的大小关系。
[解析] (1)小球弹出后做平抛运动，则
h＝gt2 ①
x＝v0t ②
小球弹出过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，则
Ep＝mv ③
联立①②③式可得Ep＝
代入数据可得Ep＝0.9 J。
(2)设向右为正方向，在小球弹出过程中，小球与小车组成的系统动量守恒、机械能守恒，则
0＝mv1－Mv2 ④
Ep＝mv＋Mv ⑤
小球弹出后，小车在地面阻力作用下逐渐减速为零的过程中，由动能定理得
－kMgs＝0－Mv ⑥
联立④⑤⑥式可得
s＝Ep ⑦
代入数据可得s＝0.3 m。
(3)仅根据现有信息，不能预测s′与s的大小关系。理由如下：
第一：在实验一中，上述计算弹簧储存的弹性势能Ep时，由于没有考虑小球运动过程中所受阻力的影响，使得Ep的预测值比实际值偏小，由⑦式可知预测值s将偏小。
第二：在实验二中，上述预测值计算时没有考虑弹出小球过程中地面摩擦的影响，使得小车速度v2的预测值要比实际值偏大；同时，在上述预测值计算中，也没有考虑小车反冲过程中所受空气阻力的影响，由以上条件可知，均致使预测值s偏大。
综上，仅根据现有信息，无法比较上述偏差的大小关系，所以不能预测s′与s的大小关系。
[答案] (1)0.9 J (2)0.3 m (3)见解析
9/10素养培优练(二) 波动图像与振动图像、波的多解问题
一、选择题
1．根据如图所示的甲、乙两图像，分别判断它们属于何种图像( )
甲 乙
A．甲是振动图像，乙是波的图像
B．甲是波的图像，乙是振动图像
C．都是波的图像
D．都是振动图像
2．一列简谐横波沿x轴负方向传播，波速为v＝4 m/s。已知坐标原点(x＝0)处质点的振动图像如图所示，在下列选项中能够正确表示t＝0.15 s时波形的是( )
A B
C D
3．(2020·北京卷)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点L的振动情况如图乙所示。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该横波沿x轴负方向传播
B．质点N该时刻向y轴负方向运动
C．质点L经半个周期将沿x轴正方向移动到N点
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
4．一简谐机械横波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T。t＝0时刻的波形如图甲所示，a、b是波上的两个质点。图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0时质点a的速度比质点b的大
B．t＝0时质点a的加速度比质点b的小
C．图乙可以表示质点a的振动
D．图乙可以表示质点b的振动
5．如图甲所示，是一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，P质点与原点的距离x1＝2 m，Q质点与原点的距离x2＝4 m，此时与原点的距离为x3＝6 m的质点刚刚要开始振动。图乙是该简谐波传播方向上的某一质点的振动图像(计时起点相同)。由此可知( )
甲 乙
A．这列波的波长为λ＝2 m
B．图乙可能是图甲中质点Q的振动图像
C．这列波的传播速度为v＝3 m/s
D．这列波的波源起振方向向上
6．(多选)图甲为一列简谐波在t＝0时刻的波形图，Q、P为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该波传播的速度大小为10 m/s
B．该波沿x轴正向传播
C．t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴负方向
D．t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小小于质点P的加速度大小
7．(多选)(2022·天津一中高二检测)一列简谐横波沿x轴传播，图甲为t＝1 s时的波形图，N、P、Q为介质中x＝1 m、x＝2 m和x＝3 m处的三个质点，图乙为某质点的振动图像。由图像可知，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该简谐横波一定沿x轴正方向传播
B．图乙不可能是质点P的振动图像
C．t＝2 s时刻，质点P的速度一定最大，且一定沿y轴负方向
D．t＝3 s时刻，质点Q的加速度一定最大，且一定沿y轴负方向
8．(多选)一列简谐波在某一时刻的波形如图所示，经过一段时间，波形变成如图中虚线所示，已知波速大小为1 m/s。则这段时间可能是( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
9．(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线表示t＝0时刻的波形，虚线表示t＝0.7 s时刻的波形。则这列波的( )
A．波长为4 m B．周期可能为0.4 s
C．频率可能为0.25 Hz D．波速可能为5.7 m/s
10．如图甲所示，一列简谐横波在x轴上传播，图乙和图丙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且xab＝6 m。下列说法正确的是( )
甲 乙 丙
A．波一定沿x轴正方向传播
B．波长一定是8 m
C．波速一定是6 m/s
D．波速可能是2 m/s
二、非选择题
11．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m,0)和(－9 m,0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
12．一列简谐横波在沿x轴的传播方向上，有两个质点a和b，其平衡位置之间的距离为6 m，这两个质点的振动图像分别如图甲中的实线和虚线所示，且质点a离波源较近。
(1)如果a、b间距离小于一个波长，请在图乙中画出a、b间在t＝3 s时的波形图；
(2)求出所有可能的波长值；
(3)求出所有可能的波速大小。
甲 乙
4/8素养培优练(二) 波动图像与振动图像、波的多解问题
一、选择题
1．根据如图所示的甲、乙两图像，分别判断它们属于何种图像( )
甲 乙
A．甲是振动图像，乙是波的图像
B．甲是波的图像，乙是振动图像
C．都是波的图像
D．都是振动图像
B [波的图像横轴为x轴，表示介质中各振动质点的平衡位置，振动图像横轴为t轴，表示时间，故选项B正确。]
2．一列简谐横波沿x轴负方向传播，波速为v＝4 m/s。已知坐标原点(x＝0)处质点的振动图像如图所示，在下列选项中能够正确表示t＝0.15 s时波形的是( )
A B
C D
A [由振动图像知，周期T＝0.4 s，故波长λ＝vT＝1.6 m。 同时还可以从振动图像知道坐标原点处的质点在t＝0.15 s时的位移为正，振动方向向y轴负方向，分析可知选项A正确。]
3．(2020·北京卷)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点L的振动情况如图乙所示。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该横波沿x轴负方向传播
B．质点N该时刻向y轴负方向运动
C．质点L经半个周期将沿x轴正方向移动到N点
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
B [由题图乙，开始计时时刻，即0时刻质点L向上振动，再结合题图甲，可知该横波沿x轴正方向传播，A错；由该横波沿x轴正方向传播，从题图甲可看出，质点N该时刻向y轴负方向运动，B对；横波传播时，质点不随波迁移，C错；该时刻质点K与M的速度为零，加速度大小相等，但方向相反，D错。]
4．一简谐机械横波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T。t＝0时刻的波形如图甲所示，a、b是波上的两个质点。图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0时质点a的速度比质点b的大
B．t＝0时质点a的加速度比质点b的小
C．图乙可以表示质点a的振动
D．图乙可以表示质点b的振动
D [根据题图甲所示的波的图像可知，t＝0时刻质点a速度为零，质点b速度最大，即t＝0时刻质点a的速度比质点b的速度小，选项A错误；由于t＝0时刻质点a在位移最大处，所受回复力最大，加速度最大，所以t＝0时刻质点a的加速度比b的大，选项B错误；由于波沿x轴正方向传播，t＝0时刻，质点a从正的最大位移处向下运动，质点b从平衡位置向下运动，所以题图乙可以表示质点b的振动，选项C错误，D正确。]
5．如图甲所示，是一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，P质点与原点的距离x1＝2 m，Q质点与原点的距离x2＝4 m，此时与原点的距离为x3＝6 m的质点刚刚要开始振动。图乙是该简谐波传播方向上的某一质点的振动图像(计时起点相同)。由此可知( )
甲 乙
A．这列波的波长为λ＝2 m
B．图乙可能是图甲中质点Q的振动图像
C．这列波的传播速度为v＝3 m/s
D．这列波的波源起振方向向上
B [由题图甲读出波长λ＝4 m，由题图乙读出周期T＝2 s，波速v＝＝2 m/s，故A、C错误；由题图乙看出，t＝0时刻，质点经过平衡位置向上振动，而题图甲中Q点也经过平衡位置向上运动，故题图乙可能是题图甲中质点Q的振动图像，故B正确；波源的起振方向与x3＝6 m处的质点在t＝0时刻的振动方向相同，简谐波沿x轴正方向传播，x3＝6 m处的质点在t＝0时刻的振动方向向下，则波源的起振方向向下，故D错误。]
6．(多选)图甲为一列简谐波在t＝0时刻的波形图，Q、P为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该波传播的速度大小为10 m/s
B．该波沿x轴正向传播
C．t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴负方向
D．t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小小于质点P的加速度大小
AD [根据波动图像可知波长为λ＝4 m，根据振动图像可知周期为T＝0.4 s，所以波速为v＝＝10 m/s，故A正确；从振动图像上可以看出P质点在t＝0时刻从平衡位置向下振动，所以波应该沿x轴负方向传播，故B错误；由于波向左传播，波的周期为0.4 s，可知t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向，故C错误；根据波的传播方向可以知道0～0.05 s的时间内，P从平衡位置向下运动，而Q从原来位置向平衡位置移动，分析可知，t＝0.05 s时Q更衡位置，所以在t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小小于质点P的加速度大小，故D正确。]
7．(多选)(2022·天津一中高二检测)一列简谐横波沿x轴传播，图甲为t＝1 s时的波形图，N、P、Q为介质中x＝1 m、x＝2 m和x＝3 m处的三个质点，图乙为某质点的振动图像。由图像可知，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该简谐横波一定沿x轴正方向传播
B．图乙不可能是质点P的振动图像
C．t＝2 s时刻，质点P的速度一定最大，且一定沿y轴负方向
D．t＝3 s时刻，质点Q的加速度一定最大，且一定沿y轴负方向
BC [根据振动图像可以确定，t＝1 s时质点经平衡位置向y轴正方向振动，若图乙是质点N的振动图像，则根据平移法可判断，波向x轴负方向传播，A错误；因为图乙显示t＝1 s时质点经平衡位置向y轴正方向运动，而质点P此时正在波峰位置，所以图乙不可能是质点P的振动图像，B正确；根据图乙可知质点的振动周期T＝4 s，t＝1 s时P处于波峰，t＝2 s时刻，P在平衡位置处速度最大，向y轴负方向运动，C正确；若波向x轴负方向传播，t＝3 s时刻，即经过T，则Q到平衡位置向y轴正方向运动，D错误。]
8．(多选)一列简谐波在某一时刻的波形如图所示，经过一段时间，波形变成如图中虚线所示，已知波速大小为1 m/s。则这段时间可能是( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
AC [如果这列波向右传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0,1,2，…)，λ＝4 m。则这段时间可能为1 s、5 s、9 s、…，故选项A正确；如果这列波向左传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0,1,2，…)，则这段时间可能为3 s、7 s、11 s、…，故选项C正确。]
9．(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线表示t＝0时刻的波形，虚线表示t＝0.7 s时刻的波形。则这列波的( )
A．波长为4 m B．周期可能为0.4 s
C．频率可能为0.25 Hz D．波速可能为5.7 m/s
AB [由题图可知，这列波的波长为λ＝4 m，选项A正确；由于该波沿x轴正方向传播，根据虚线波形和实线波形之间的时间间隔可得0.7 s＝nT＋T，解得周期T＝s(n＝0,1,2，…)，故周期可能为0.4 s，频率不可能为0.25 Hz，选项B正确，C错误；由v＝可知，波速不可能为5.7 m/s，选项D错误。]
10．如图甲所示，一列简谐横波在x轴上传播，图乙和图丙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且xab＝6 m。下列说法正确的是( )
甲 乙 丙
A．波一定沿x轴正方向传播
B．波长一定是8 m
C．波速一定是6 m/s
D．波速可能是2 m/s
D [由题中振动图像无法比较a、b两质点振动的先后，所以无法判断波的传播方向，A项错误；波沿x轴正方向传播时，由题中振动图像得出t＝0时刻，a质点经过平衡位置向下运动，而b位于波峰，结合波形可知xab＝λ，n＝0,1,2，…，解得波长λ＝＝ m，则波速为v＝＝ m/s；同理可知，若波沿x轴负方向传播时，波长为λ＝ m，波速为v＝m/s，故B项错误；由以上分析可知，波速不一定等于6 m/s，C项错误；若波速v＝ m/s，n＝0,1,2，…，可知当n＝0时，v＝2 m/s，D项正确。]
二、非选择题
11．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m,0)和(－9 m,0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
[解析] (1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q点与最近波峰的水平距离为s1＝11 m
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s
Q点第一次出现波峰时P点振动了t2＝0.9 s＝2T＋T＝
质点每振动经过的路程为10 cm，当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s′＝9A＝90 cm＝0.9 m。
[答案] (1)10 m/s (2)1.1 s (3)0.9 m
12．一列简谐横波在沿x轴的传播方向上，有两个质点a和b，其平衡位置之间的距离为6 m，这两个质点的振动图像分别如图甲中的实线和虚线所示，且质点a离波源较近。
(1)如果a、b间距离小于一个波长，请在图乙中画出a、b间在t＝3 s时的波形图；
(2)求出所有可能的波长值；
(3)求出所有可能的波速大小。
甲 乙
[解析] (1)由题图甲可知t＝3 s时b在平衡位置且沿着y轴正方向运动，而a位于波谷。根据a、b间距离小于一个波长且质点a离波源较近，可得波形图，如图所示。
(2)质点a离波源较近，则波向右传播。结合(1)问可知λ＝6 m(n＝0,1,2，…)，由此可得λ＝ m(n＝0,1,2，…)。
(3)由题图甲可知，T＝6 s。根据λ＝vT得v＝ m/s
(n＝0,1,2，…)。
[答案] (1)见解析图 (2) m(n＝0,1,2，…) (3) m/s(n＝0,1,2，…)
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