3.2.1 双曲线及其标准方程 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
人教A版选择性必修一
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
第四章 圆锥曲线的方程
选择性必修 第一册
1、掌握双曲线的几何图形并理解其定义;
2、了解双曲线的标准方程及其推导过程;
3、能根据条件求简单的双曲线的标准方程；
4、核心素养：逻辑推理、数学运算。
学习目标
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程:
问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
动画演示
复习旧知 导入新知
（一）动手试验，小组合作
[1]取一条拉链，拉开，在两支上各选一不对称两点；
[2]如图把它固定在板上的两点F1，F2；
[3] 笔尖套住拉链头拉动；
思考：笔尖运动的轨迹是什么？
F2
M
F1
实验探究 生成定义
（二）分析结果
上面两条曲线合起来叫做双曲线。
F2
M
F1
F1
M
F2
生
活
中
的
双
曲
线
可口可乐的下半部
台灯
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
小组合作：观察A、B两图，探究双曲线的定义
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
右支
左支
实验探究 生成定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，
则双曲线定义还可以描述为
若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线.
（三）双曲线的定义（类比）
F
2
F
1
M
定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.
思考1
群策群力 深化概念
① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？
② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？
③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
分3种情况来看：
定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0
(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
F1
F2
M
F1
F2
M
思考2
回顾：求椭圆的标准方程的步骤？(求曲线方程的一般过程)
（1）建: 建立坐标系。
（2）设：设点的坐标。设M(x, y)为曲线上任意一点。
（3）限：寻找限制条件。
（4）代：将M点的坐标代入限制条件。即得方程:f(x, y)=0
（5）化：化简方程。
建系标准：简洁、对称
理解概念 探求方程
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何
建立适当的坐标系，得出双曲线的方程
小组探究
设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 设||MF1|-|MF2||=2a(0① 建系:
如图示，建立平面直角坐标系.
② 设点：
④ 代：
O



M
⑤ 化简：整理得：
我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
③ 限：
（一）齐思共想，推导方程
类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
O



M
（1）焦点在x轴上
（2）焦点在y轴上
F1（-c, 0）、F2（ c , 0）
F1（0, -c）、F2（ 0, c ）
c2=a2＋b2
根据系数正负来判断焦点位置。
（二）提炼精华，总结方程
思考
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(－c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
F1(0, －c), F2(0, c)
F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
归纳比较 强化新知
练一练
判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标
答案：
例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
题后反思：
求标准方程要做到
先定型，后定量。
初步应用，例题讲析
待定系数法
基本步骤：1.作判断；2.设方程；3.寻关系；4.得方程。
变式训练1.已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，|PF1|-|PF2|=6，
求双曲线的标准方程.
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ；
(2) 焦点在轴x上，经过点
(3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(2) ∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ；
(2) 焦点在轴x上，经过点
(3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(2)解2 : 设双曲线的方程为
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ；
(2) 焦点在轴x上，经过点
(3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(3) 解1: ∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为
待定系数法
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ；
(2) 焦点在轴x上，经过点
(3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(3) 解2:
定义法
知识迁移 深化认知
方程 表示焦点在y轴双曲线时，
则m的取值范围_____________.
再思考
知识迁移 深化认知
∴爆炸点P的轨迹是以A, B为焦点的双曲线靠近点B的一支.
例2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图示建立直角坐标系xOy, 使A, B两点在x轴上, 并且点O与线段AB的中点重合，
设爆炸点为P， 则
∴炮弹爆炸点的轨迹方程为
x
y
o
B
A
P



A
B
M
O
x
y

探究 如图, 点A, B的坐标分别是(-5, 0), (5, 0), 直线AM, BM相交于点M, 且它们的斜率之积是 , 试求点M的轨迹方程, 并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式, 与3.1例3比较, 你有什么发现
解：
由方程可知，点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.
1.
(P108页例3)
2.
A
B
M
O
x
y

x
y
B
M
O
A

点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的椭圆.
点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.
对比发现1 已知△ABC的两个顶点B(-a, 0), C(a, 0), 直线AB, AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0), 则顶点A的轨迹与m有如下关系：
设 A(x, y) , 则
化简整理得
① 当m=－1时,
顶点A的轨迹是以原点为圆心, 半径为1的圆,
去掉(±a, 0)；
② 当－1顶点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
去掉(±a, 0)；
③ 当m<－1时,
顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，
去掉(±a, 0).
④ 当m>0时,
顶点A的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，
去掉(±a, 0).
对比发现2：
1. 若点A, B是椭圆C: 的左右顶点，点P是椭圆C上除A, B以外任意一点，则
推论1. 若点A, B是椭圆C: 上任意关于椭圆中心对称的两点，点P是椭圆C上除A, B以外任意一点，则
推论2. 若点A, B是椭圆C: 上任意关于椭圆中心对称的两点，点P是椭圆C上除A, B以外任意一点，则
2.(中点弦)若A, B是直线l(斜率存在且不为0)与椭圆C: 的两个交点，点P是AB的中点，则
与椭圆有关的结论：
1. 若点A, B是双曲线C: 的左右顶点，点P是双曲线C上除A, B以外任意一点，则
推论1. 若点A, B是双曲线C: 上任意关于双曲线中心对称的两点，点P是双曲线C上除A, B以外任意一点，则
推论2. 若点A, B是双曲线C: 上任意关于双曲线中心对称的两点，点P是双曲线C上除A, B以外任意一点，则
2.(中点弦)若A, B是直线l(斜率存在且不为0)与双曲线C: 的两个交点，点P是AB的中点，则
与双曲线有关的结论：
证明:
解:
知识总结，形成体系
1.本节课你学到了什么知识？
2.研究双曲线用到了什么思想方法？
数形结合思想、类比思想，坐标法、待定系数法.
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的两种标准方程.
必做题: 课本习题3.2 第2、7题
选做题:1、
布置作业，巩固提高
2、已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且
求顶点A的轨迹方程。
谢谢
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