(共24张PPT)
18.2.2解直角三角形的简单应用
人教版九年级下册
学习目标
1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点)
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问
题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三
角函数解决问题(重点、难点)
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1. 解直角三角形
(1) 三边之间的关系：
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2. 解直角三角形的依据
(2) 两锐角之间的关系：
∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3) 边角之间的关系：
tanA＝
sinA＝
a
c
cosA＝
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
b
c
a
b
利用解直角三角形解决简单实际问题
一
棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗
A
B
A
B
D
30°
200m
BD=ABsin30°=100m
合作探究
A
B
C
棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？
A
B
D
C
E
60°
200m
棋棋需要231s才能到达目的地.
例1 2021年，“神州”十三号载人航天飞船与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，
结果取整数）？
O
F
P
Q
FQ是☉O的切线，∠FQO为直角.
最远点
求 的长，要先求∠POQ的度数
典例精析
解：设∠POQ= α ，∵FQ是☉O
的切线，∴△FOQ是直角三角形.
的长为
O
F
P
Q
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角 三角函数等去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
归纳：
·
O
C
B
A
练一练
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是
看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在
的.
·
O
C
B
A
在Rt△OCB中，∠O
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
0.5m
3m
60°
0.5m
3m
A
B
C
D
E
60°
分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：
已知 ：DE=0.5m，
AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，
3m
A
B
D
E
60°
C
∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，
∴ CD=AD－AC=1.5m，
∴ CE=CD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大
距离为2.0m.
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.
（结果保留根号）
练一练
G
解：作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
∴
(米).
G
∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，
∴ (米).
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是 ( )
当堂练习
A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米
B
2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有( )
A．0组 B.1组
C．2组 D.3组
D
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.
A
C
B
4米
45°
4. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )
B
D
C
A
A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米
B
F
E
A
30°
15m
5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
北
A
B
D
C
20m
15m
E
F
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
∴
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米
A
B
20m
m
北
D
C
南
答案：BC至少为
课堂小结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
谢谢
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课题 28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用
教 学 目 标 知识与技能： 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题. 过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 巩固解直角三角形相关知识
难点 能灵活选择三角函数解决问题
教具 多媒体、教学案
教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 内 容
1. 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2. 解直角三角形的依据 (1) 三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90 ； (3) 边角之间的关系： sinA＝ cosA＝ tanA＝ 利用解直角三角形解决简单实际问题 合作探究 棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱 经过点A到达点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面 的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的 距离是多少吗 棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的 行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车 行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间 才能到达目的地？ 例1 2021年，“神州”十三号载人航天飞船与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km， 结果取整数）？ 归纳： 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 练一练 “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？ 例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 练一练 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长. （结果保留根号） 当堂练习 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是 ( ) A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米 2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被 池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们 设计了如图所示的测量方案：从树A沿 着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着 垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点， 其中3位同学分别测得三组数据：①AC， ∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB， ∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B 两树距离的有( ) A．0组 B.1组 C．2组 D.3组 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量， 大树刮断一端的着地点A到树根部C 的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45°，则这棵大树高 是 米. 4. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( ) A. 100米; B. 米; C. 米; D. 50米 5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？ (2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米
课 后 小 结
