2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第5 周 第1节
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课题 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形
教 学 目 标 知识与技能： 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力。 过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 正确理解方向角、坡度的概念
难点 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题
教具 多媒体、教学案
教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 过 程 教 与 学 的 内 容
复习引入 方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示： 解与方位角有关的问题 例1：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向， 距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段 时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 （精确到0. 1 n mile）？cos25°≈0.906，sin34°≈0.56 例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁， 鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得 海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点 C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果 鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁 的危险？ 模型一：∠ACG=α,∠AEG=β,EC=m,EF=n 模型二：∠ADB=α,∠ACG=β,CD=n 练一练 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这 两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量， 森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市 的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围 在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内， 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 (参考数据： ≈1.732， ≈1.414)． 解与坡度有关的问题 观察与思考 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC， 问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 1. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α 2. 坡度 (或坡比) ：如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)， 记作i， 即 i = h : l . 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶. 3. 坡度与坡角的关系：即坡度等于坡角的正切值. 练一练 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. 典例精析 例3 如图，一山坡的坡度为i=1: .小刚从山脚 A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山 坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？ 例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度 i=1∶ ，斜坡CD的坡度i=1∶1，求： (1) 斜坡CD的坡角α ; (2) 坝底AD与斜坡AB的长度. 练一练 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
课 后 小 结(共29张PPT)
28.2.2利用方位角、坡度解直角三角形
人教版九年级下册
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的
数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解
决问题的综合能力. (重点、难点)
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
复习引入
解与方位角有关的问题
一
典例精析
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.1 n mile）？
cos25°≈0.906，sin34°≈0.56
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.906
=72.48.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约129.4n mile．
65°
34°
P
B
C
A
例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
6 ≈10.392＞8，
故渔船继续向正东方向
行驶，没有触礁的危险．
模型一：∠ACG=α,∠AEG=β,EC=m,EF=n
模型二：∠ADB=α,∠ACG=β,CD=n
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修
筑的这条高速公路会
不会穿越保护区(参考
数据： ≈1.732，
≈1.414)．
练一练
200km
200km
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即 PC＋PC＝200，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公
路不会穿越保护区．
C
解与坡度有关的问题
二
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
观察与思考
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做
坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡
比)，记作i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶ .
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
练一练
典例精析
例3 如图，一山坡的坡度为i=1: .小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？
i=1:
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α=30°.
答：这座山坡的坡角为30°，小刚上
升了120 m．
从而 BC=240×0.5=120（m）．
因此
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 1=1，
可得α=45°.
故斜坡CD的坡角α 为45°.
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶ ，斜坡CD的坡度i=1∶1，求：
(1) 斜坡CD的坡角α ;
A
D
B
C
i=1:1
23
6
α
i=1:
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 .
E
F
A
D
B
C
i=1:1
23
6
α
i=1:
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在Rt△DCF中，同理可得
故坝底AD的长度 m，斜坡AB的长度为46m.
E
F
A
D
B
C
i=1:1
23
6
α
i=1:
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
练一练
A
C
B
D
30°
答案：点B和点C的水平距离为 米.
当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )
A. 9m B. 6m C. m D. m
A
C
B
B
2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是( )
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
B
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 ．
90°
4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ．
(结果精确到0.1海里，
参考数据：
sin43°=0.68，
cos43°=0.73，
tan43°=0.93)
33.5海里
解：作DE⊥AB，
CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米)
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
(米).
(米).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
6. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
D
B
A
E
答案：AE= 米.
＞800，
所以古建筑不会遭到破坏.
课堂小结
解直角三角形的应用
坡度问题
方位角问题
坡角
坡度(或坡比)
谢谢
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