期末考试仿真模拟试卷03-2022-2023学年高三数学下学期期初考试仿真模拟试卷（江苏专用）（含解析）

2022-2023学年高三数学下学期期初考试仿真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则=（ ）
A B. C. D.
2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．函数,的部分图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 的图像的最小正周期为4
B. 的图像的对称轴方程为
C. 的图像的对称中心为
D. 的单调递增区间为
4．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．
根据该折线图，下列说法错误的是（ ）
A. 城镇人口与年份呈现正相关 B. 乡村人口与年份的相关系数接近
C. 城镇人口逐年增长率大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势
5．若的展开式中含的项的系数为21，则a＝（ ）
A. －3 B. －2 C. －1 D. 1
6．已知双曲线（，）的右焦点为F，点B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7．在数列中，，则该数列项数的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
8．已知平面向量满足对任意都有成立，且，则的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
10．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B. 第二次抽到3号球概率为
C. 如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
11．设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ）
A. 的图象与轴相切 B. 存在实数，使得的图象与轴相切
C. 若，则方程有唯一实数解 D. 若有两个零点，则的取值范围为
12．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体．甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（ ）
A. 甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B. 甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C. 乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D. 甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数（）为奇函数，，若函数与图像的交点为，，…，，则=________.
14.在中，，且，设为平面上的一点，则的最小值是_________.
15.我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下：
由于，
，
从而，
所以，
始比如上方法可求数列的前项和，则_____________.
16．从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.
18．已知数列中,,．
（1）求证:是等比数列,并求的通项公式;
（2）设求数列的前项的和．
19．随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．
年龄
频数 30 75 105 60 30
持支持态度 24 66 90 42 18
（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
年龄在50周岁以上（含50周岁） 年龄在50周岁以下 总计
持支持态度
不持支持态度
总计
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人中随机抽取4人，记X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；
（3）已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程．
i 1 2 3 4 5 6 7
第天 2 4 8 12 22 26 38
使用人数
参考数据：，．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参考公式：，，．
20．如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．
21．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率大于的直线与椭圆相交于不同的两点和，直线、分别交轴于 、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围．
22．已知函数，.
（1）当b=1时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.
2022-2023学年高三数学下学期期初考试仿真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则=（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，可得集合，即集合，
又由集合，可得，
所以.
故选：D.
2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】，在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
3．函数,的部分图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 的图像的最小正周期为4
B. 的图像的对称轴方程为
C. 的图像的对称中心为
D. 的单调递增区间为
【答案】B
【解析】对于A：由图可知，，所以，所以A正确；
对于B：因为，所以；由图可知，一条对称轴为，
所以，因为，所以；
所以; 所以令，
可得对称轴方程：，，B错误
对于C: 令，，所以，，
所以对称中心为，，C正确；
对于D：令，，
所以递增区间为，，D正确
故选：B
4．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．
根据该折线图，下列说法错误的是（ ）
A. 城镇人口与年份呈现正相关 B. 乡村人口与年份的相关系数接近
C. 城镇人口逐年增长率大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势
【答案】B
【解析】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，A对；
对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以接近，B错；
对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数接近，
故城镇人口逐年增长率大致相同，C对；
对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D对.
故选：B.
5．若的展开式中含的项的系数为21，则a＝（ ）
A. －3 B. －2 C. －1 D. 1
【答案】C
【解析】展开式第r＋1项，
的展开式中含的项的系数为，所以，解方程可得a＝－1，
故选：C．
6．已知双曲线（，）的右焦点为F，点B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知双曲线的右焦点的坐标为，虚轴的上端点B的坐标为，
左顶点A的坐标为，所以，
又，所以，故，即，
所以，又，
所以双曲线的离心率，
故选：D.
7．在数列中，，则该数列项数的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】
，
所以为等差数列，公差为，
所以，
所以，
故选:C.
8．已知平面向量满足对任意都有成立，且，则的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】设，，则，
因为任意都有，故是向量的模的最小值，
故是的最小值即，即，同理，
设平面向量共起点，因为，故的终点在的终点的中垂线上，
故的终点和起点可构成如下图形：
因为，故，而，则，
所以，因，，
故，，，四点共圆（据此可得，在直径的同侧，否则与矛盾），
故，所以；
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】，，，
，当且仅当，即时取等号，故A不正确；
又，当且仅当，即时取等号，故B正确；
，当且仅当时取等号，故C正确；
又，
,，故D正确；
故选：BCD.
10．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B. 第二次抽到3号球概率为
C. 如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
【答案】AB
【解析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；
对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到3号球的事件为，
，B正确；
对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
，，
，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.
故选：AB
11．设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ）
A. 的图象与轴相切
B. 存在实数，使得的图象与轴相切
C. 若，则方程有唯一实数解
D. 若有两个零点，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】，若的图象与轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确；
，，
当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与轴相切，B错误；
由上所述，在上单减，上单增，则；
若，，，在上单增，上单减，，故方程有唯一实数解，故C正确；
，，
当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去；
当时，在上单增，在上单减，且时，，时，，故若有两个零点，则应使最大值，
即，
令，易知单调递减，且，
因此的解集为，D正确；
故选：ACD
12．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体．甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（ ）
A. 甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B. 甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C. 乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D. 甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
【答案】ACD
【解析】甲随机选择的情况有种，乙随机选择的情况有种，
对于A：甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
故甲选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项A正确；
对于B：甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：
①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有种；
②上下两点中选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有种；
③中间四个点中选三个点，共有种，故共有4+4+4= 12种，
所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为，故选项B错误；
对于C：乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有种，所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项C正确；
对于D ：选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16=24种，概率为， 甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为，故D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数（）为奇函数，，若函数与图像的交点为，，…，，则=________.
【答案】3m
【解析】因为函数为奇函数，
所以函数的图象关于点对称，
关于点对称，
所以两个函数图象的交点也关于点对称，
故答案为：
14.在中，，且，设为平面上的一点，则的最小值是_________.
【答案】
【解析】由，且，得
以A为坐标原点，为x轴建立直角坐标系，则
设，则
所以当时，的最小值是
故答案为：.
15.我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下：
由于，
，
从而，
所以，
始比如上方法可求数列的前项和，则_____________.
【答案】
【解析】由题意，，
，
两式相减得，
即，
即，
即
所以.
故答案为：.
16．从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为________．
【答案】
【解析】抛物线的准线l：，
设，，，，，，
则，
又，，
，则，
由，得，，
切线的方程为，
切线的方程为，
即切线的方程为，即，
切线的方程为，即，
点，在切线、上，
，，
可知，是方程的两个根，
，得，
即P点的横坐标为.
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
（2）由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上两式消去得, 解得或（舍去），
则.
18．已知数列中,,．
（1）求证:是等比数列,并求的通项公式;
（2）设求数列的前项的和．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明:
,
,
故数列是以为首项,4为公比的等比数列,
即．
（2）由题知
,
,
故.
19．随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．
年龄
频数 30 75 105 60 30
持支持态度 24 66 90 42 18
（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
年龄在50周岁以上（含50周岁） 年龄在50周岁以下 总计
持支持态度
不持支持态度
总计
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人中随机抽取4人，记X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；
（3）已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程．
i 1 2 3 4 5 6 7
第天 2 4 8 12 22 26 38
使用人数
参考数据：，．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参考公式：，，．
【答案】（1）表格见解析，有 （2）分布列见解析， （3）．
【解析】（1）完成列联表如下：
年龄在50周岁以上（含50周岁） 年龄在50周岁以下 总计
持支持态度 60 180 240
不持支持态度 30 30 60
总计 90 210 300
故本次实验中的观测值，
故有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
（2）依题意，，
故，，
，，
；
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故；
（3）依题意，，，由得，
，
所以．
故y关于x的线性回归方程是．
20．如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：设O为矩形对角线的中点，
∴．
即．
∴O为三棱锥外接球的球心．
又∵三棱锥外接球表面积为，
∴外接球半径为2．
即．
过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F，
则，，，，
∴
而，
在中，满足
∴为直角三角形，
∵，，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
可知：
且
设平面的法向量为，
得，取，则，
设平面的法向量为，
得，取，则
设平面与平面夹角为，
则
所以平面与平面夹角余弦值为是．
（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，，，
，
取平面法向量为．
∵直线与直线与平面所成角相等，
∴
得：
整理得：，即
∵N点在边及其内部，
∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分．
∴轨迹长度为半径为1的圆周长为．
得
∴N点轨迹长度为．
21．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率大于的直线与椭圆相交于不同的两点和，直线、分别交轴于 、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知：.将点代入得：.
，得故椭圆的方程为：；
（2）如图所示：
由题意知直线的斜率大于，所以可设直线方程为，
设，.直线与椭圆联立：，得
，即，，由于斜率大于，
，
直线的斜率：，的方程：，
令，则
直线的斜率：，的方程：，
令，则
，，
现求的取值范围：
将用表示代入：原式
由韦达定理得：原式
原式，
所以，
函数为递增，.
22．已知函数，.
（1）当b=1时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）答案见解析 （2）（－∞，1]
【解析】（1）当b=1时，，定义域为（0，+∞），.
当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.
当时，，
令，得；令，得，
所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.
综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递减，
当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.
（2）因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2，
所以，且，由于，
所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x，
所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.
令，所以，
.令，，
则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.
由于G(1)=e>0，，所以使得，
即，（※）
所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，
即F(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由（※）式可知，，，
令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以，
所以
所以，实数m的取值范围为（－∞，1].