期末考试仿真模拟试卷04-2022-2023学年高三数学下学期期初考试仿真模拟试卷（江苏专用）（含解析）

2022-2023学年高三数学下学期期初考试仿真模拟试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．复数满足，则（ ）
A. B. C. D. 5
3．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4．已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）
A. 72 B. 108 C. 216 D. 432
6．已知数列的前n项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
7．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．向量 函数，则下述结论正确的有（ ）
A. 若的图像关于直线对称，则可能为
B. 周期时，则的图像关于点对称
C. 若的图像向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则的最小值为
D. 若在上单调递增，则
11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
12．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到点的距离是2，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，则（ ）
A． B．若直线过点，则
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在的展开式中，常数项为______．
14.若，，则______．
15.知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于两点，则的取值范围是________．
16．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列满足，，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18．△中，内角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求；
（2）如图，点为边上一点，，，求△的面积．
19．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．
（1）求证：∥平面；
（2）若平面，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面的距离．
20．非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求a的值；
（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）
21．已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
（1）若是的极值点，求a；
（2）若，分别是的零点和极值点，当时，证明：．
2022-2023学年高三数学下学期期初考试仿真模拟试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
所以的子集为，共2个.
故选：B.
2．复数满足，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】设（），由题意得，解得，，所以
故选：C
3．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，
底面周长为，则，所以，
所以圆锥的表面积为，
故选：A.
4．已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
因为向量的夹角为，且，
所以，
故选：B
5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）
A. 72 B. 108 C. 216 D. 432
【答案】C
【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案.
故选：C.
6．已知数列的前n项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以，，故可排除A，D；
又因为，
所以，
即，
又因为，
所以当时，数列是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，
所以.
故选：C.
7．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设圆与相交，且点的坐标为，
则点的坐标为，
联立，
得，
又且，
所以，
所以由余弦定理得：，
化简得，
所以，
所以.
故选：A
8．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，不等式在上恒成立不会成立，
故 ，
当 时， ，此时不等式恒成立；
不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
而即，
设 ，当 时，，
故是增函数，
则即，故，
设，
当 时，， 递增，
当 时，， 递减，
故 ，则 ，
综合以上，实数的取值范围是 ，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意可知，两组数据满足，
由平均数计算公式得，
所以，故A正确；
由它们的众数也满足，则有，故B错误；
由方差的性质得，故C正确；
对于数据，，，，，假设其第80百分位数为，
当是整数时，，
当不是整数时，设其整数部分为，则，
所以对于数据，，，，，假设其第80百分位数为，
当是整数时，，
当不是整数时，设其整数部分为，则，
所以，故D正确．
故选：ACD．
10．向量 函数，则下述结论正确的有（ ）
A. 若的图像关于直线对称，则可能为
B. 周期时，则的图像关于点对称
C. 若的图像向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则的最小值为
D. 若在上单调递增，则
【答案】ACD
【解析】
，
对于A选项，若的图像关于直线对称，则，所以，当时，，故A正确；
对于B选项，当，则=2，令，，当时，，所以关于对称，故B错误；
对于C选项，若的图像向左平移个单位长度后得到，
所以，又，所以，故C正确；
对于D选项，因为函数在上递增，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
12．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到点的距离是2，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，则（ ）
A． B．若直线过点，则
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则
【答案】BCD
【解析】由题意得，则，故抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程，得，解得，
所以A不正确；
设，，易知直线的斜率不为零，当直线过点时，
可设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
化简得：，则，，
所以，所以，
所以B正确；
易知，则由选项B得
，
所以直线平分，所以，
选项C正确；
因为直线过点，且斜率不为零，
所以设直线的方程为，与抛物线方程联立，
易得，所以．
因为，，且，
所以，又，所以，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在的展开式中，常数项为______．
【答案】24
【解析】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为
故答案为：24
14.若，，则______．
【答案】
【解析】由得，两边平方得，，解得或（，舍去），故
故答案为：
15.知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于两点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】当，时，
，，
在处的切线方程为，即，
；
当，，，
同理可求得：在处的切线方程为：，
，
两条切线互相垂直，，，，
令，
设，，
则在上单调递增，，即．
故答案为：.
16．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为______．
【答案】
【解析】如图1，
取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则，
以M为原点，为轴，为轴，过点M且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图2，
则， ．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．
由张衡的结论，，所以，
则三棱锥的外接球表面积为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列满足，，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）因为，，，，
可得，，
又，
则当时，
，
上式对也成立，所以，；
（2）由，
可得，
则数列的前项和为
.
18．△中，内角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求；
（2）如图，点为边上一点，，，求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，即，
∴．
由正弦定理，得：，又，
∴，则，又且，
∴，则，
∴．
（2）由（1）有，易知为锐角，
由，则．
∵，故，则，
∴，
在△中，由正弦定理，得，
∴，．
又，
∴．
19．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．
（1）求证：∥平面；
（2）若平面，求：
（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面的距离．
【答案】（1）见解析； （2）（i）；（ii）.
【解析】（1）如图,在射线上取点,使,连接.
由题设,得,所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形,
所以且.
所以且..
所以四边形为平行四边形,
所以.
因为平面平面
所以平面.
（2）（i）因为平面,平面，
所以.又,
所以,,两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系,
则.所以.
设平面的法向量为,则
即
令,则.于是.
设直线与平面所成角为,则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）因为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
所以点到平面的距离为
20．非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求a的值；
（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1） （2）分布列详见解析， （3）
【解析】（1），
解得.
（2）不超过40岁的人的频率为，
所以，的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
（3）岁.
，
所以.
21．已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在定点，
【解析】（1）由题知，椭圆C过点和，
所以，解得
所以椭圆C的方程为．
（2）
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
22．已知函数．
（1）若是的极值点，求a；
（2）若，分别是的零点和极值点，当时，证明：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）因为 所以
若是函数的极值点，则 ，即，
此时
设，则，，
所以存在，使得当时，，单调递减，
当时， ，单调递增，当时 ，单调递减，
所以当时，是的极值点.
（2）因为若，分别是的零点和极值点，所以 ，，
，，所以
当时， ，则，，即，，
因为 所以当 即 时，成立，
当 时，若，则只需证明，
设 ，则 ，
设，
则 为增函数，且，
所以存在唯一，使得 ，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故， 所以，单调递增，
所以， 等价于.
设 ，则
当 时，若 时，，，单调递减，
所以当 ，，所以当 时成立，
设，则 ，
当时，，单调递增，所以当时，，
即 ，成立.
综上，若，分别是的零点和极值点，当时，有.