数学-2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷A卷（苏教版2019）（含解析）

绝密★考试结束前
2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷（苏教版2019）（A卷）
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（）
A． B． C． D．
2．已知等比数列中，，则（）
A．8 B． C．16 D．
3．已知抛物线上的点到其焦点的距离是，那么实数的值为（）
A． B． C． D．
4．圆上一点P到直线的最大距离为（）
A．2 B．4 C．2 D．3
5．已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（）
A． B．
C． D．
6．偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（）
A． B．
C． D．
7．已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为（）
A．1 B． C．3 D．4
8．已知和分别是函数的两个极值点，且，则实数的值为（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．圆：和圆：的交点为，，则有（）
A．公共弦所在直线方程为
B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为
C．公共弦的长为
D．圆：与圆关于直线对称
10．设等差数列的前项和为，其公差，且，则（）
A． B． C． D．
11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（）
A．为定值 B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为
12．已知函数有两个零点，且，则下列选项正确的有（）
A． B．在上单调递减
C． D．若，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线，直线．若，则实数___________．
14．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（结果保留一位小数，参考数据：，）
16．已知，函数恰有一个零点，则___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）已知公差为正数的等差数列的前项和为，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①成等比数列，②．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
18．（12分）已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
19．（12分）已知数列的前n项和为，是等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
20．（12分）已知函数.
(1)时，判断函数的零点个数；
(2)若对任意恒成立，求的值.
21．（12分）已知双曲线的离心率为，点在C上．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，
22．（12分）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明；
(3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
绝密★考试结束前
2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷（苏教版2019）（A卷）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的直线方程，直接求出倾斜角作答.
【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角为.
故选：C
2．已知等比数列中，，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】利用等比中项的性质即可求解.
【详解】因为等比数列中，，
由等比中项的性质可得：，所以，
故选：.
3．已知抛物线上的点到其焦点的距离是，那么实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果.
【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为，
由抛物线定义知：，解得：.
故选：D.
4．圆上一点P到直线的最大距离为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程写出圆心坐标和半径，则点P到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求得结果.
【详解】由圆化为标准方程可知，
圆心坐标为，半径；
则圆心到直线的距离为，
所以，圆上一点P到直线的最大距离为.
故选：D.
5．已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率求出的值，进而可得答案.
【详解】由双曲线可得
，
所以双曲线的渐近线方程为，
即.
故选：B
6．偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导函数的图象，可得的单调性，进而可判断选项A错误，选项Ｄ错误；又由的图象可知，在左右的函数值是变化的，从而可判断选项C错误，选项B正确.
【详解】解：由题意可知，为偶函数，
设的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，，
由图象可得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故选项A错误，选项Ｄ错误；
由的图象可知，在左右的函数值是变化的，不同的，而选项C中，的图象在左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数为定值，故选项C错误，选项B正确．
故选：B.
7．已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用时，整理原式得到，即数列为等差数列，然后根据等差数列的通项公式和前项和公式得到，然后利用换元法和对勾函数的单调性求最小值即可.
【详解】因为，所以当时，，两式相减得，整理得，
因为数列为正项数列，所以，则，数列为等差数列，公差为2，
当时，，解得或-1（舍去），
所以，，则，
令，则，函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
8．已知和分别是函数的两个极值点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，将极值点问题转化为要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，参变分离后得到，构造，求导后得到单调性，极值最值情况，得到，由得到求出，求出.
【详解】定义域为R，，
要想函数有两个极值点，
则要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，
令，得，
令，定义域为R，
则，当时，，当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在取得极大值，也是最大值，，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
画出图象如下：
故，即，
其中，因为，所以，
故，解得：，
故，满足要求.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．圆：和圆：的交点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为
C．公共弦的长为
D．圆：与圆关于直线对称
【答案】ABD
【分析】对于A，将两圆方程相减即可；
对于B，切线段长，圆半径为定值，故令最小即可，而的最小值，就是到直线的距离；
对于C，求出圆或圆的圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式求解即可；
对于D，判断两圆半径是否相同，圆心是否关于直线对称即可.
【详解】对于A，由已知两圆相交，将两圆方程相减得，即，
∴公共弦所在直线方程为，故选项A正确；
对于B，由选项A的判断知，直线的方程为，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，直线与圆相离，
过作圆的切线，与圆切于点，则，
∵，∴，
∴线段长度的最小值为，故选项B正确；
对于C，圆：的圆心，半径，
由选项A的判断知，公共弦所在直线方程为，
圆心到公共弦所在直线的距离，
∴公共弦长，故选项C错误，
对于D，圆：的圆心，半径，
由选项C的判断知，圆的圆心，半径，
两圆心连线的斜率，直线的斜率，
∵，∴两圆心连线与直线垂直，
又∵中点在直线上
∴圆与圆的圆心关于直线对称，
又∵，∴圆与圆关于直线对称，故选项D正确.
故选：ABD.
10．设等差数列的前项和为，其公差，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可.
【详解】由，所以，故A正确；
，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误.
故选:ABC.
11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（ ）
A．为定值 B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为
【答案】AB
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得，
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B正确；
将与椭圆方程联立，可解得，，又因为，
所以，，即为钝角，
所以为钝角三角形，C错误；
将与椭圆方程联立，解得，所以，D错误.
故选：AB
【点睛】
12．已知函数有两个零点，且，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．若，则
【答案】AD
【分析】根据参变分离构造函数，根据的性质，即可判断A；求导得，结合即可判断B；构造函数，利用导数求解的范围，即可判断C，根据与的大小关系结合的单调性即可判断D．
【详解】对于A，由等价于，
令，
令，得，令，得，
所以在单调递增；在单调递减，
当时，取极大值，
当；当时，，，
则，故A正确．
对于B，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因为，则，所以在单调递增，故B错误；
对于C，由A可知，当时，，
当时，
令，
，
，
，
在上单调递增，，
，则，
又，，
又在上单调递增，，
，，
综上，故C错误；
对于D，在单调递增，在上单调递减，且，
，
，，
，，
，故D正确，
故选：AD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线，直线．若，则实数___________．
【答案】
【分析】直接根据两直线垂直的公式计算即可.
【详解】由得，解得
故答案为：
14．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.
【答案】
【分析】由题易得，再利用计算即可.
【详解】由已知，，所以，故离心率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查求椭圆离心率，解决椭圆的离心率的问题，关键是建立的方程或不等式，本题是一道容易题.
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（结果保留一位小数，参考数据：，）
【答案】2.6．
【详解】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其，公比为 ，其前 项和为 ．
则，
令 ，
化为：，
解得 或 （舍去）．
即： .
所需的时间约为 日.
16．已知，函数恰有一个零点，则___________.
【答案】
【分析】变换得到，根据函数的单调性得到有唯一解，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】，故，故，即，
设，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
函数简图为：
，，，故，故有唯一解，即有唯一解.
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
，函数简图为：
有唯一解，，故，故.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，构造函数将题目转化为是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知公差为正数的等差数列的前项和为，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①成等比数列，②．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设等差数列的公差为，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质，根据条件①②分别列出关于首项与公差的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和．
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，
方案一：选择条件①
，
根据成等比数列得,代入得，又，
化简整理，可得，
由于，所以 ，
，．
方案二：选择条件②
由，可得，又，
解得，
，
（2）由（1）可得，
则
．
18．（12分）
已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点坐标可直接求得的值；
（2）将直线方程与抛物线方程联立可得，进而得到，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.
【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：.
（2）由（1）知：抛物线；
直线，
由得：，
设，，则，
，.
19．（12分）
已知数列的前n项和为，是等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）时，,通过即可求得数列通项公式，，，两式作差即可求得d的值，通过，求得，进而可得数列的通项公式；
（2）采用错位相减法即可求得数列的前n项和．
【详解】（1），
∴时，，
n=1时，，不满足，
∴；
设公差为，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），
∴①，
∴②，
①﹣②得
数列的前n项和
20．（12分）
已知函数.
(1)时，判断函数的零点个数；
(2)若对任意恒成立，求的值.
【答案】(1)有3个不同的零点
(2)
【分析】(1)根据题意，当时，对函数求导，利用导数与函数的单调性求出函数的极值，再利用极值与零的大小和零点存在性定理即可求解；
(2)分，和三种情况进行讨论，记，将问题等价转化为求函数在的最大值和的最小值问题，然后利用导数求函数的最值即可求解.
【详解】（1）时，，求导得.
令得或.
当变化时，，变化情况列表如下：
极大值 极小值
由表可知：当时，函数取极大值，极大值为；
当时，函数取极小值，极小值为.
又当时，，且当时，.
所以由函数的零点存在定理知，有3个不同的零点.
（2）当时，；
当时，，；
当时，，.
记，下面只需求在的最大值和的最小值.
，令得或.
当变化时，，变化情况列表如下：
极小值 极大值
所以当时， ，
当时，.
所以，，
，.
综上所述，.
21．（12分）
已知双曲线的离心率为，点在C上．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，
【答案】(1)
(2)存在点，使为常数
【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点列方程组求解即可；
（2）设出直线方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算，利用系数比相同可求出点P的坐标以及该常数的值.
【详解】（1）因为双曲线C的离心率为，
所以，化简得．
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以C的方程为；
（2）设，，直线l的斜率必存在，设其方程为，
联立方程组消去y得，
由题可知且，即且，
所以，．
设存在符合条件的定点，则，，
所以
所以，
化简得．
因为为常数，所以，解得．
此时该常数的值为，
所以在x轴上存在点，使得为常数，该常数为．
22．（12分）
已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明；
(3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)在单调递增，在单调递减；(2)证明见解析；(3)
【分析】(1)把函数写成分段函数，再判断每一段函数的单调性；
（2）要证明的不等式化简成要证明成立，求导判断单调性求最小值.
(3)分离参量转化求，分别求导判断单调性，求最值即可.
【详解】（1）当时，求函数
当时，
所以在单调递增；
当时，
所以在单调递减；
综上函数在单调递增，在单调递减；
（2）当时，
要证，只需证，即证明
令，则
当时，，当时，
所以在单调递减，在单调递增
所以，即.
（3）由题意，不等式有解，即不等式在上有解
等价于在上有解，则
设，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以.
设，，
设（），，由，得.所以在单调递减，在单调递增.
所以，则，所以在上单调递增
当时，，所以
综上，实数的取值范围是.