数学-2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷B卷（苏教版2019）（含解析）

绝密★考试结束前
2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷（苏教版2019）（B卷）
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线经过两点，且其倾斜角为，则的值为（）
A．0 B． C． D．
2．已知等差数列的前项和为，则等于（）
A．27 B．24 C．21 D．18
3．若拋物线的准线过双曲线的焦点，则p的值为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．实数x，y满足，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
5．若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（）
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
6．已知，求（）
A． B． C． D．
7．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（）
A． B． C． D．
8．函数在上不单调，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设圆O，直线，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（）
A．直线l与圆O相交
B．直线AB恒过定点
C．当P的坐标为时，最大
D．当最小时，直线AB的方程为
10．已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（）
A．是递减数列 B．
C． D．最小时，
11．设双曲线左右焦点分别为，，设右支上一点P与所连接的线段为直径的圆为圆，以实轴为直径的圆为圆，则下列结论正确的有（）
A．圆与圆始终外切 B．若与渐近线垂直，则与圆相切
C．的角平分线与圆相切 D．三角形的内心和外心最短距离为2
12．设直线与，则（）
A．当时， B．当时，
C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知三角形三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为____________．
14．已知双曲线方程为，焦距为8，左 右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为___________.
15．设数列的前项和为，若，，则______.
16．若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为_______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．(10分)已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．(12分)已知椭圆的右顶点为A，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于点（不在坐标轴上），当时，求的面积.
19．(12分)已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)设，求数列的前项和.
20．(12分)已知直线，若与的交点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若圆的圆心在直线上，且与曲线C相交所得公共弦的长为，求m，n的值．
21．(12分)已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点是椭圆的顶点．
(1)求与的标准方程；
(2)已知直线与相切，与交于两点，且满足，求的值．
22．(12分)已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求整数a的最小值．
2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷（苏教版2019）（B卷）
数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线经过两点，且其倾斜角为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率公式即可求解．
【详解】经过两点的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为，解得.
故选：D.
2．已知等差数列的前项和为，则等于（ ）
A．27 B．24 C．21 D．18
【答案】A
【分析】由等差数列性质求得公差，即可得出通项公式及求和公式求值.
【详解】设等差数列的公差为，则，又，可得，∴，
∴.
故选：A
3．若拋物线的准线过双曲线的焦点，则p的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】化简得双曲线标准形式，求出双曲线左焦点，即可得抛物线准线，进而求得p.
【详解】由双曲线化简得，∴，∴双曲线的左焦点为.
∴拋物线的准线为，即，解得.
故选：D．
4．实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，则与圆由交点,再根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．
【详解】设，则与圆有交点，
圆心到直线的距离，
解得．
故选:C．
5．若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
【答案】D
【分析】由题设，若双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，由椭圆方程写出焦点坐标，根据曲线共焦点、双曲线参数关系列方程求参数λ.
【详解】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为，
∴λ<0且，得λ＝－24.
故选：D.
6．已知，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，代入可得，进而可得的表达式，代入即可求值.
【详解】由得，将代入得，
故，因此，
故选：D
7．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析数列特征，求前5项的和.
【详解】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项和为：.
故选：C
8．函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】函数定义域为，由函数在上不单调，则在上有零点，即方程在上有根，所以，进而求解.
【详解】函数定义域为，
由题意，函数在上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有根，
即方程在上有根，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设圆O，直线，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线l与圆O相交
B．直线AB恒过定点
C．当P的坐标为时，最大
D．当最小时，直线AB的方程为
【答案】BCD
【分析】A选项：求出圆心到直线的距离，与半径比较大小即可判断出结论；B选项：由题意可知点，，在以为直径的圆上，求其圆的方程，与方程相减可得公共弦所在直线方程，进而判断出结论；C选项：当时，最大，此时直线的方程为，即，联立，解得，，即可得出结论；D选项：当最小时，，此时，，即可得出直线的方程．
【详解】如图所示：
A选项：圆心到直线的距离，直线与圆相离，因此A选项不正确；
B选项：由题意可知点，，在以为直径的圆上，设，其圆的方程为：，化简为，与方程相减可得：，则直线的方程为，令，则，解得，，因此直线恒过定点，因此B选项正确；
C选项：当时，最大，此时直线的方程为，即，联立，解得，，因此C选项正确；
D选项：，，
当时，最小，最小，，此时，，直线的方程为，即，化为：，因此D选项正确．
故选：BCD．
10．已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列 B．
C． D．最小时，
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质首项可得：公差且即可判断等差数列是递增数列，进而求解.
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
所以，则有，
因为，所以公差，且，所以等差数列是递增数列，故选项错误；
，故选项正确；
因为，故选项错误；
由可知：等差数列的前10项均为负值，所以最小时，，故选项正确，
故选：.
11．设双曲线左右焦点分别为，，设右支上一点P与所连接的线段为直径的圆为圆，以实轴为直径的圆为圆，则下列结论正确的有（ ）
A．圆与圆始终外切 B．若与渐近线垂直，则与圆相切
C．的角平分线与圆相切 D．三角形的内心和外心最短距离为2
【答案】ABD
【分析】利用圆心距与半径的关系判断两圆是否外切，圆心到直线距离与半径的关系判断直线是否与圆相切，判断三角形内心和外心的位置特征，计算内心和外心最短距离.
【详解】双曲线，左右焦点分别为，，
设，满足，
P与所连接的线段为直径的圆为圆，则，半径，
实轴为直径的圆，圆心，半径，如图所示：
，
，所以圆与圆始终外切，A选项正确；
双曲线，渐近线方程为，若与渐近线垂直，则所在直线方程为，到直线为距离，所以与圆相切，B选项正确；
为圆的直径， 的角平分线过P点，不可能与互相垂直，即的角平分线与圆不可能相切，C选项错误；
三角形的内切圆的切点分别为A，B，C，其中C在x轴上，内心为N，如图所示：
则，
又，故，所以，内心N的横坐标为2，
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以外心M一定在y轴上，外心M的横坐标为0，
在P点移动的过程中，当点M与点N纵坐标相同时，两点间距离最短为2，即三角形的内心和外心最短距离为2，D选项正确.
故选：ABD
12．设直线与，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.
【详解】A：时，，，易知，正确；
B：时，，，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，
当时，，，两线重合，排除；
所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知三角形三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为____________．
【答案】
【分析】由斜率公式求得，进而可得边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式即得.
【详解】由题可得直线的斜率为，
故边上的高所在直线的斜率为，
因此，边上的高所在直线的方程为，即．
故答案为：.
14．已知双曲线方程为，焦距为8，左 右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案.
【详解】解：如图所示，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，
所以，，
即，，
所以双曲线的方程为：，
所以，，，
由双曲线定义得，
所以
，
当三点共线时，最小为
故.
故答案为：.
15．设数列的前项和为，若，，则______.
【答案】
【分析】根据递推关系式，得，即可得数列是以为首项，为公比的等比数列，按照等比数列通项公式求出，即可得的值.
【详解】解：设数列的前项和为，若，，
则，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
所以，即，所以.
故答案为：.
16．若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为_______________．
【答案】
【分析】令，求导计算函数的单调区间，题目转化为，计算，得到，计算得到答案.
【详解】令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
且当时，，当时，，，
原不等式等价于或（不存在整数解），
有且只有一个整数解，，
故，即实数a的取值范围为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决方程的解的个数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，将题目转化为是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）变换得到，确定数列为等差数列，公差为，计算得到答案.
（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1）由两式相减得，
，故，
当时，且，故，得（舍去），
，数列为等差数列，公差为，所以.
（2），
，
18．（12分）已知椭圆的右顶点为A，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于点（不在坐标轴上），当时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率，等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；
（2）得到点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），从而联立圆与椭圆方程，求出点坐标，从而利用求出答案.
【详解】（1）由题意得：，故，
又，，解得：，
故椭圆的标准方程为；
（2）因为，
所以点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），
其中以为圆心，为半径的圆的方程为，
联立与，得：，
解得：或，其中时，点位于y轴上，不合题意，舍去；
当时，，解得：，
故.
19．（12分）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证.
（2）首先求出的表达式，然后利用分组求和即可.
【详解】（1）（法一）由，知，
又，故是首项为1，公比为2的等比数列，得证.
（法二），可知：，
又，所以，
∴是首项为1，公比为2的等比数列，得证.
（2）由（1）知：，则，
，，
，
∴
20．（12分）已知直线，若与的交点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若圆的圆心在直线上，且与曲线C相交所得公共弦的长为，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由判断出点的轨迹为以为直径的圆(除去点)，进而求其方程;
（2）由圆的圆心的位置得,的关系,两个圆方程相减得的方程,由弦长求,.
【详解】（1）当
故直线过定点，
直线，当，故其过定点，
又,所以,所以点的轨迹为以为直径的圆，
当时，两直线交点为，但交点无法与点重合，
故需除去点
其圆心为原点,半径为,所以曲线的方程为；
（2）由(1)知,曲线的方程为，
又圆的圆心为在直线上,
所以,，
两圆方程作差得两个圆的公共弦的方程为,
即,
因为两个圆的公共弦的长为,
原点到直线的距离为
,
所以,
解得或,
所以或.
21．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点是椭圆的顶点．
(1)求与的标准方程；
(2)已知直线与相切，与交于两点，且满足，求的值．
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）利用椭圆的焦距，离心率求出,即可得到椭圆的方程．利用抛物线的开口方向，焦点坐标求出抛物线方程．
（2）联立直线与抛物线方程，得到与的方程，直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理以及向量的数量积，转化求解方程组即可得到结果．
【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，依题意有，
所以，
又因为椭圆的离心率为，
∴，
解得，
所以，
故椭圆C1的标准方程为；
又抛物线的开口向上，
所以焦点是椭圆的上顶点，
∴F（0，1），
∴p=2，
故抛物线的标准方程为；
（2）解：由，得，
则，即①，
由，得，
则，②
设，，
则，
所以，，
又，
∴，
即，
∴，解得或，
代入①可得，此时满足②，
故.
22．（12分）已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求整数a的最小值．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)2
【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论.
（2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解.
【详解】（1）的定义域为，
（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；
（ⅱ）当时，令，
令，
∴当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由，可得：，
∵，∴原命题等价于对恒成立．
令，∴，
令，∴，∴在上单调递增．
又，
故存在唯一的，使得．
当时，，∴，
∴在上单调递增，
当时，，∴，
∴在上单调递减．
∴，
∴时，恒成立．
∴，又，∴a的最小整数值为2．
【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决.
第一步设出隐零点，然后代入得到等式，
第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值
第三步极值分离出代入，化简成新的表达式
第四步求的最值.