数学-2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷C卷（苏教版2019）（含解析）

绝密★考试结束前
2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷（苏教版2019）（C卷）
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．5
2．已知直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点，则双曲线的离心率是（ ）
A．10 B． C． D．
3．若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．等比数列满足，设数列的前项和为，则=（ ）
A． B． C．5 D．11
6．已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点P在圆O:上,直线:分别与轴,轴交于两点,则（ ）
A．过点作圆O的切线,则切线长为 B．满足的点有3个
C．点到直线距离的最大值为 D．的最小值是
11．设是数列的前项和，且，，则（ ）
A．数列为等差数列 B．
C． D．
12．已知椭圆：的左顶点为，左、右焦点分别为，，点在上，且直线AM的斜率为.点P是椭圆C上的动点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若，则点的横坐标的取值范围是
C．的取值范围为
D．椭圆上有且只有4个点，使得是直角三角形
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于不同的两点A，B，若，则双曲线的离心率为__．
14．点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为_________.
15．已知数列满足，，则_______.
16．已知函数．则的极值点有_______个.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若定点，点在圆上，求的最小值.
18．（12分）设函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数)
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值．
19．（12分）已知数列的前n项和为
(1)证明：数列{}为等差数列；
(2)，求λ的最大值．
20．（12分）已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
21．（12分）已知椭圆）的左、右焦点分别为，离心率为为椭圆上的一个动点.面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设斜率存在的直线与的另一个交点为，是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（12分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，都有，求实数的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.
绝密★考试结束前
2022-2023学年高二下学期开学摸底考试卷（苏教版2019）（C卷）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【分析】利用导数运算求得.
【详解】，
令得.
故选：B
2．已知直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点，则双曲线的离心率是（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】D
【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，即可得与的关系，即可求得离心率.
【详解】因为直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点
所以直线与双曲线：的渐近线平行，
故，则双曲线的离心率.
故选：D
3．若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求出和的值，得到，即可求出最小值.
【详解】由题意可得，，又，所以.
所以，的前n项和，
当时，有最小值.
故选：A.
4．已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过定点，然后画图观察直线的变化时斜率的变化，再求的斜率，所以得答案.
【详解】即，又因为，
所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，
所以直线斜率
故选：A
5．等比数列满足，设数列的前项和为，则=（ ）
A． B． C．5 D．11
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式化简条件求，判断数列为等比数列，然后利用等比数列的前项和公式计算.
【详解】设等比数列的公比为 由可得，又，，
所以，所以，因为，
故数列也为等比数列，公比为
所以等比数列的公比为
因此,
所以，
故选：A.
6．已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由的倾斜角为知倾斜角范围为，结合直线方程求m的范围.
【详解】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为，
所以且，即.
故选：C
7．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与构建出关于a、b、c的齐次方程，根据离心率公式即可解得.
【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线，
直线方程为：，联立方程，可得
根据韦达定理：，
因为，即，所以
所以
即，所以，联立，可得
故选：D.
8．定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，即，设，
则，
所以当时，，
所以函数在上的单调递减，因为，所以
所以，即，
所以，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB选项，根据图象的凹凸性判断CD选项.
【详解】由导函数图象可知， ，且其绝对值越来越小，
因此函数的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的图象大致如图所示．
选项A、B中，由的图象可知其割线斜率恒为负数，即与异号，故A正确，B不正确；选项C、D中，表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示和所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，
故C不正确，D正确．
故选：AD．
10．已知点P在圆O:上,直线:分别与轴,轴交于两点,则（ ）
A．过点作圆O的切线,则切线长为 B．满足的点有3个
C．点到直线距离的最大值为 D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,即,所以点在以为直径的圆上,设的中点为,写出圆的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径进行判断;对于D,,求解的最小值即可判断正误.
【详解】对于A,点,点,过点作圆O的切线,则切线长为,A正确;
对于B,,
点在以为直径的圆上,
设的中点为,
圆的方程:,
则圆与圆的圆心距为:,
,
圆与圆O相交,有两个交点,
即满足的点有2个,B不正确;
对于C,点,则圆心到直线的距离,所以点到该直线距离的最大值为,C正确;
对于D,的中点,,因为,的最小值是,D正确.
故选:ACD.
11．设是数列的前项和，且，，则（ ）
A．数列为等差数列 B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由题设可得，应用等差数列的定义判断，并写出其通项公式，再由关系求的通项公式，即可判断各项的正误.
【详解】由题设，则，故，
又，则是首项、公差均为的等差数列，
故，则，
当时，，而不满足，
所以，
由且，则，
，
综上，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC
12．已知椭圆：的左顶点为，左、右焦点分别为，，点在上，且直线AM的斜率为.点P是椭圆C上的动点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若，则点的横坐标的取值范围是
C．的取值范围为
D．椭圆上有且只有4个点，使得是直角三角形
【答案】CD
【分析】由条件列方程求，根据离心率的定义求离心率，判断A，由条件求点的横坐标的取值范围，判断B，利用数量积的坐标运算公式计算，结合椭圆的范围，判断C，讨论直角位置，确定满足条件的点的个数，判断D.
【详解】由题意可知直线的方程为，令，可得，则，又椭圆C过点，所以，解得，所以C的方程为.
设椭圆的半焦距为，则，椭圆的离心率为，故A错误；
设点的坐标为，则，又，所以，
所以，又，解得，故点P的横坐标的取值范围是，故B错误；
又，，则，因为，所以，所以，故C正确；
若为直角三角形，且点为直角顶点，则，故，该方程无解，故以点Р为直角顶点的不存在，又当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.
故选：CD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于不同的两点A，B，若，则双曲线的离心率为__．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．
【详解】根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=|BE|，
∵|BE|﹣|BF|=2a，
∴|BE|﹣|BE|=|BE|=2a，
则|BE|=10a，|BF|=8a，
∵抛物线与双曲线有公共的焦点F，
∴，且是抛物线的准线，过B作的垂线，垂足为
则|BD|=|BF|=8a，
设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，
代入抛物线方程得，
则，
在直角三角形BDE中，
即，
即，
即，
得，
得
故答案为: ．
14．点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为_________.
【答案】
【解析】当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点到直线的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.
【详解】设与函数的图象相切于点P（x0，y0）.
所以，，解得，
∴点到直线的距离为最小距离，
故答案为：.
15．已知数列满足，，则_______.
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式
【详解】求不动点，设，令得：，解得：，
则，化简得：①，
，化简得：②，
用式①除以式②可得，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，故.
故答案为：
16．已知函数．则的极值点有_______个.
【答案】0或1
【分析】对进行求导,根据讨论的正负判断的正负,进而判断的极值点个数即可.
【详解】解:由题知,
,,
①当时,,在上为增函数,不存在极值点;
②当时,令,
则,
故在上为增函数,
又因为当,,
,
所以必存在,使,
当时,为减函数,
当时,为增函数,
所以是的极小值点,
综上,当时,无极值点,
当时,有一个极值点,
故的极值点有0个或1个.
故答案为:0或1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若定点，点在圆上，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法设得圆，再根据题意得到关于的方程，进而求得，由此得到圆的方程；
（2）利用定点到圆上动点的最小距离的求法求解即可.
【详解】（1）设圆为，则，半径为，
因为圆心在直线上，所以，
因为直线与圆相切于点，所以直线与直线垂直，
所以，即，则，解得，则，
所以，
故圆为.
（2）因为，所以点在圆外，
因为，
所以，即的最小值为.
18．（12分）设函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数)
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值．
【答案】(1)
(2)的单调减区间是，单调增区间是，极小值为
【分析】（1）根据题意可得切线的斜率为0，然后利用即可求解；
（2）讨论的正负即可得到函数的单调区间，继而得到极小值
【详解】（1）由可得，
因为在点处的切线与垂直，
所以此切线的斜率为0，即，解得；
（2）由（1）可得，
由得，由得，
所以的单调减区间是，单调增区间是，
所以当时，取得极小值
19．（12分）已知数列的前n项和为
(1)证明：数列{}为等差数列；
(2)，求λ的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．
【详解】（1），∴，∴，
∴，
又∵，∴，
所以数列是以为首项和公差的等差数；
（2）由(1)知：，
所以，
∴，
∴，
又满足上式，
∴，
因为，
所以，
所以，
记，
又在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以的最大值为．
20．已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求得，从而求得；
（2）利用错位相减法即可求得.
【详解】（1）由题意可知，是等比数列，是等差数列，，
因为成等差数列，所以，即，
整理得，即，解得，
所以.
（2）由（1）得，
故，
则，
两式相减得：
，
故.
21．已知椭圆）的左、右焦点分别为，离心率为为椭圆上的一个动点.面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设斜率存在的直线与的另一个交点为，是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）设直线方程为：联立直线与椭圆的方程，先讨论时是否满足，当时，根据直线斜率列式化简求解即可.
【详解】（1）由题意，离心率，由当是的上顶点时，面积的最大，则，得.
又，故椭圆的标准方程为
（2）存在点，使得.
由题知，设直线方程为：，
联立，得
设，设的中点为，
则是该方程的两个根，，
则，
当时，由易得；
当时，由知，则直线斜率，
所以，得.
所以，由于，则，
综上所述，
故存在点，使得，且的取值范围.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，都有，求实数的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，对分类讨论：①和②，分别讨论单调性；（2）利用分离常数法得到对恒成立. 令，利用导数求出最值，即可得到实数的取值范围；（3）极值点偏移问题，利用分析法，转化为证明，构造新函数，利用导数证明出.
【详解】（1）函数的定义域为，.
①当时，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
②当时，则，所以函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
（2）当时，都有，即，
亦即对恒成立.
令，只需.
.
令，则，所以当时，，
所以在上单增，所以，
所以当时，.
所以，所以在上单减，
所以.
所以.
综上所述：实数的取值范围为.
（3）可化为：.
令，上式即为.
由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减，
则为的两根，其中.
不妨设，要证，只需，即，
只需证.
令.
则
当时，；当时，.
由零点存在定理可得：存在，使得.
当时，，单增；当时，，单减；
又，所以.
.
因为， ，
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)；
（4）利用导数证明不等式．