2023年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷四（含解析）

2023年1月广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷四
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．每小题6分，共90分。
1．已知集合，，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各角中与角的终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　）
A．（0，－3） B．（0，－2） C．（1，－3） D．（1，－2）
6．已知定义在R上的偶函数在是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于的不等式的解集是，则实数等于（　　）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
8．若函数，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
9．已知，则( )
A． B． C． D．
10．在中，，为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
11．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A． B． C． D．
12．已知是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
15．某大学，，三个专业的在校学生人数见下表：
专业类别 合计
学生人数
现采用分层抽样的方法，调查这三个专业学生对参加某项社会实践活动的意向．在抽取的样本中，专业的学生有人，则样本中专业的学生人数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:把答案填在题中的横线上．每小题6分，共24分。
16．水平放置的的直观图如右图所示，已知,
则边上的中线的实际长度为______．
17．已知复数，则z的虚部为________。
18．已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_______．
19．袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件B：
①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；
②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；
③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；
④事件A：至少一个白球， 事件B：一个白球一个黑球.
是互斥事件的是___________.（将正确答案的序号都填上）
三、解答题:本大题共3小题，共36分，解答必修写出文字说明，证明过程和演算步骤。
20.(12分)吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
21.(12分)如图,在平面四边形中，，，，.
(1)求的值； (2)求边的值.
(12分)如图所示，是的直径，点在上，是所在平面外一点，
是的中点.
（1）.求证：平面；
（2）.若是边长为6的正三角形，，且，求三棱锥的体积.答案第1页，共2页
2023年普通高中学业水平合格性考试数学模拟考试B卷
参考答案：
1．C
【详解】因为集合，
所以选C.
考点：集合的运算．
2．A
【分析】根据给定的幂函数的值域排除两个选项，再利用函数图象在第一象限的特征判断作答.
【详解】由得，函数的图象在x轴及上方，B、D都不正确，
函数的图象是曲线，在时，该曲线在直线的下方，且增长速度逐渐变慢，C不正确，A满足条件.
故选：A
3．B
【解析】根据题意，利用均值不等式即可求得最大值.
【详解】因为且，根据均值不等式即可得：
，当且仅当时取得最大值.
故选：B.
【点睛】本题考查利用均值不等式求积的最大值，属基础题.
4．B
【分析】写出与角的终边相同的角为，选出正确答案.
【详解】与角的终边相同的角为，
当时，，B正确；
经验证，其他三个选项均不合要求.
故选：B
5．D
【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．
【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．
故选：D．
6．D
【分析】由偶函数和在单减直接比较大小即可求解.
【详解】由函数为偶函数，在单减，
则，，所以.
故选：D
7．C
【分析】根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解.
【详解】由题意不等式的解集是，
所以方程的解是，则，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．C
【分析】由，得到，由此求出即可.
【详解】∵函数，∴，
.
故选：C.
9．A
【分析】根据三角函数诱导公式和余弦二倍角公式即可计算求值．
【详解】．
故选：A．
10．A
【分析】根据向量数量积为0可得，即可得出结论.
【详解】解：因为，所以，则在中，，，
所以为直角三角形.
故选：A.
11．D
【分析】将数据从小到大重新排列（也可以是从大到小），计算出的值即可比较大小.
【详解】解：重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.
则有：．
所以
故选：D.
12．B
【分析】由空间线面关系的判定及性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，若，的位置关系无法确定，A错误；
对于B，由面面平行的性质知，若，则，B正确；
对于C，若，则或，C错误；
对于D，若，则的关系无法确定，D错误.
故选：B.
13．A
【解析】利用互斥事件概率的加法公式，即可求解甲不输的概率，得到答案.
【详解】由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，
根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.
故选：A.
14．B
【分析】解不等式可得，然后结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．
【详解】由可得，解得．
选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；
选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；
选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；
选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查对充分条件、必要条件概念的理解，解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立，属基础题．
15．C
【分析】根据专业和专业学生的入样比相等可计算出样本中专业的学生人数.
【详解】设样本中专业的学生人数为，根据专业和专业学生的入样比相等可得，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查分层抽样中的相关计算，根据分层抽样的特点列等式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
16．2.5（或 ）
【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，
所以，
所以，
故边上中线长为.
故答案为：2.5.
17．（或-0.5）
【分析】由已知运用复数的四则运算化简，根据虚部的定义，即可求解.
【详解】，故虚部为.
故答案为：
18．
【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．
【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,
∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．
故答案为2π．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.
19．①③
【分析】根据互斥事件的定义逐个辨析即可.
【详解】①“至少一个白球”与“都是红球”不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；
②“至少一个白球”与“至少一个黑球”均包含“一黑一白”的情况，故不为互斥事件；
③“至少一个白球”与“红球、黑球各一个”不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；
④“至少一个白球”与“一个白球一个黑球”均包含“一黑一白”的情况，故不为互斥事件.
综上，①③为互斥事件.
故答案为：①③
20．(1)
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
21．(1)；
(2).
【分析】（1）△中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可得结果.
（2）△中应用余弦定理求即可.
【详解】（1）由题设，，故，
又，则.
（2）由，，故，
所以，故.
22．(1) 证明见解析 （2）
【分析】(1)由条件有,则可证明结论
（2）由条件可证明平面,则得到答案.
【详解】(1)是的直径，则由是的中点，
又是的中点.
在中，可得，且平面,平面.
所以平面.
（2）由是的直径，点在上，则,即.
又，且.
所以平面.
是边长为6的正三角形，则.
又
【点睛】本题考查线面平行的证明和求三棱锥的体积，属于中档题.