6.2 排列与组合 课时2 排列数的应用（同步课件） （共30张PPT）

(共30张PPT)
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
龙城一中 数学教研组
课时2 排列数的应用
学习目标
1.进一步加深对排列概念的理解.（抽象概括）
2.掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题.（逻辑推理、数学运算）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.怎样判断一个问题是排列问题？
[答案] 关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，否则不是.
2.解简单的排列应用题的基本思想？
[答案] 将实际问题转化为排列问题，然后利用排列数公式求解.
3.解简单的排列应用题的方法有哪些？
[答案] 特殊优先安排，相邻捆绑，间隔插空，正难则反，等价转化等方法.
预学忆思
自主预习·悟新知
LONGCHENG NO.1 MIDDLE SCHOOL
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） ， ， 与 ， ， 为同一个排列. ( )
×
（2）从 个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则 的值为8.
( )
×
（3）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有3种. ( )
×
（4）1位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法种数为480. ( )
√
2.用 ， ， ， 这4个数字可组成( )个没有重复数字的三位数.
A. B. C. D.
A
[解析] 由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出 （个）没有重复数字的三位数.
自学检测
3.用数字 ， ，3组成允许有重复数字的两位数，其个数为___.
9
[解析] 若取相同的数字，有3种方法；若取不同的数字，有 （种）方法.一共有9种方法，所以一共可以组成9个两位数.
4.由 ， ， ， ， ， 六个数字可组成多少个三位数？其中没有重复数字的三位数有多少个？
[解析] 由 ， ， ， ， ， 六个数字可组成的三位数的个数为 .
其中没有重复数字的三位数，相当于从六个不同的元素中任取三个元素的排列问题，因而这样的三位数共有 （个）.
探究1 排队、排节目问题
在冬奥会招募志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了 ， ， 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者.
问题1：若甲不能参加 ，B项目，乙不能参加 ，C项目，甲，乙都参加，则有几种方法？
[答案] 若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参加A项目，B项目有3种方法.
问题2：若甲、乙都不参加，则有多少种方法？
[答案] 若甲、乙都不参加，则有 （种）方法.
情境设置
合作探究·提素养
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问题3：若甲不能参加 ，B项目，乙不能参加 ，C项目，则共有多少种不同的志愿者分配方案？
[答案] 若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参加A项目，B项目有3种方法；
若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目， ，B项目有 （种）方法；
若乙参加，甲不参加，则乙只能参加A项目， ，C项目有 （种）方法；
若甲、乙都不参加，则有 （种）方法.
根据分类加法计数原理知，共有 （种）方法.
问题4：根据上述问题，归纳解简单排列应用题的方法.
解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.如果是的话，再进一步分析，这里 个不同的元素指的是什么，以及从 个不同的元素中任取 个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解.
新知生成
排队、排节目问题的解题策略
（1）合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题.
（2）恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理.
（3）正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.
新知运用
例1 有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数.
（1）选5人排成一排；
（2）全体站成一排，男生互不相邻；
（3）全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
（4）全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
（5）男生顺序已定，女生顺序不定；
（6）站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
（7）7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
（8）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻.
方法指导 （1）利用部分排列即可求解；（2）因为男生互不相邻，故使用插空法求解即可；（3）利用特殊元素或位置优先排列的方法求解；（4）利用分类别排列或用全排列数减去不符合题意的排列数即可求解；（5）利用排列消序即可求解；（6）利用特殊元素优先排列并结合剩余人全排列即可求解；（7）利用插空法结合捆绑法即可求解；（8）利用捆绑法并结合排列消序即可求解.
[解析] （1）从7人中选5人排列，不同的排法种数为 .
（2）先排女生，有 种排法，再在女生之间及两端的5个空位中任选3个空位排男生，有 种排法，故不同的排法种数为 .
（3）（法一）先排甲，有5种排法，其余6人有 种排法，故不同的排法种数为 .
（法二）左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有 种排法，其他位置有 种排法，故不同的排法种数为 .
（4）（法一）分两类：第一类，甲在最右边，有 种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端的位置后剩下的5个中任选1个，有 种排法，而乙可排在除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个中任选1个，有 种排法，其余人全排列，有 种排法，故不同的排法种数为 .
（法二）7名学生全排列，有 种排法，其中当甲在最左边时，有 种排法，当乙在最右边时，有 种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种排法，故不同的排法种数为 .
（5）7名学生站成一排，有 种排法，其中3名男生的排法有 种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故不同的排法种数为 .
（6）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法种数为 .
（7）先排出甲、乙、丙3人外的4人，有 种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有 种排法，故不同的排法种数为 .
（8）将甲、乙看作一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有 种排法，甲、乙两人可交换位置，故不同的排法种数为 .
方法总结 （1）排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置上不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置.（2）在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”.（3）某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”.
有5名男生，4名女生排成一排.
（1）若从中选出3人排成一排，则有多少种排法？
（2）若男生甲不站排头，女生乙不站排尾，则有多少种不同排法？
（3）若要求女生必须站在一起，则有多少种不同排法？
（4）若4名女生互不相邻，则有多少种不同排法？
巩固训练
[解析] （1）只要从9名学生中任选3名排列即可，所以共有 （种）不同排法.
（2）将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排列，有 种排法；另一类是甲既不站排尾又不站排头，有 种排法，乙不站排尾而站余下的7个位置中的一个，有 种排法，其余人全排列，于是这一类有 种排法.
由分类加法计数原理知，共有 不同排法.
（3）女生必须站在一起，是女生的全排列，有 种排法，全体女生视为一个元素与其他男生全排列有 种排法.
由分步乘法计数原理知，共有 （种）不同排法.
（4）分两步：第一步，男生的全排列有 种排法；第二步，男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，女生在这6个空中排列，有 种排法.
由分步乘法计数原理知，共有 （种）不同排法.
探究2 有关数字的排列问题
问题1：偶数的个位数字有何特征？从 ， ， ， ， 中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
[答案] 偶数的个位数字一定能被2整除.先从 ， 中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从 ， ， ， ， 中任取两个数字能组成 （个）不同的偶数.
情境设置
问题2：在一个三位数中，位于百位的数字 能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取三个不同的数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0？
[答案] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，①若选0，则可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位（或十位）位置.②若不选0，则从9个数字中任取三个数字排百位，十位与个位位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置.
新知生成
数字排列问题的求解策略
（1）首位数字不为0.
（2）若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”.
（3）若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”.
（4）此类问题往往需要分类，可依据特殊元素、特殊位置分类.
新知运用
例2 用 ， ， ， ， ， 这六个数字可以组成多少个无重复数字的（1）六位奇数？
（2）个位数字不是5的六位数？ 大于4310的四位偶数？
[解析] （1）（法一）从特殊位置入手（直接法）：第一步，排个位，从 ， ， 三个数字中选1个，有 种排法；第二步，排十万位，有 种排法；第三步，排其他位，有 种排法.故可以组成无重复数字的六位奇数共有 （个）.
（法二）从特殊元素入手（直接法）：0不在两端有 种排法；从 ， ， 中任选一个排在个位上，有 种排法；其他数字全排列有 种排法.故可以组成无重复数字的六位奇数共有 （个）.
（2）（法一：排除法）6个数字的全排列有 个；0在十万位上的排列有 个；5在个位上的排列有 个；0在十万位上且5在个位上的排列有 个.故符合题意的六位数共有 （个）.
（法二：直接法）个位上不排5，有 种排法.但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有 种排法；第二类，当个位上不排0时，有 种排法.故符合题意的六位数共有 （个）.
（3）（法一：直接法）①当千位上排 ，3时，有 种排法；②当千位上排2时，有 种排法；③当千位上排4时，形如40□□，42□□的各有 种排法，形如41□□的有 种排法，形如 □□的只有4310和4302这2个数.故共有 （个）符合条件的四位偶数.
（法二：排除法）四位偶数中：①0在个位的有 个；②0在十位和百位的有 个；③不含0的有 个.故四位偶数有 （个）.其中形如5□□□的有 个，形如45□□的有 个，形如435□的有 个，形如432□的有1个，形如431□而大于4310的只有4312这1个数，故大于4310的四位偶数共有 （个），因此符合题意的四位偶数共有 （个）.
【变式探究1】若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？
[解析] 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有 个；若个位上是5，不含0，则有 个；若含0，但0不作首位，则0的位置有 种排法，其余各位有 种排法，故共有 （个）能被5整除的五位数.
【变式探究2】若本例条件不变，能组成的所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 ，则240135是第几项？
[解析] 由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有 个数，首位数字为2，万位上为0， ， 中的一个有 个数，所以240135的项数是 ，即240135是数列的第193项.
【变式探究3】若用 ， ， ， ， 这五个数字，则可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？
[解析] 本题可分两类：第一类，0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为 ；第二类，0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排 ， ， 之一，有 （种）.又0不能排在万位位置上，所以，万位位置上只能排5或 ， ， 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有 （种）.十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有 （种）.根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为 .由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有 .
方法总结 排数字问题常见的解题方法：（1）“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.（2）“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏.（3）“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数.（4）“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.
用 ， ， ， ， ， ， 这七个数字组成没有重复数字的四位数.
（1）这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？
（2）这些四位数中大于6500的有多少个？
[解析] （1）偶数的个位数只能是2， ， ，有 种排法，其他位上有 种排法，
由分步乘法计数原理知，这些四位数中偶数共有 （个）.
能被5整除的数个位必须是5，故有 .
（2）当最高位上是7时，大于6500的有 个；
当最高位上是6时，百位上只能是7或5，有 个.
故由分类加法计数原理知，这些四位数中大于 的共有 （个）.
巩固训练
1.从4男3女7名志愿者中，选1女2男分别到 ， ， 地执行任务，则不同的选派方法有
( ).
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
B
[解析] 选1女派往某地有 种方法，选2男派往另外两地有 种方法，则不同的选派方法共有 .
随堂检测·精评价
LONGCHENG NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.5人排成一排，其中甲、乙至少一人在两端的排法种数为( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 5人全排列有 种，甲，乙都不在两端的排法有 种，故甲、乙至少一人在两端共有 （种）不同的排法.
3.用 ， ， ， ， ， ，7组成没有重复数字的七位数，若 ， ， ， 的顺序一定，则有_____个七位数符合条件.
210
[解析] 对 ， ， ， 全排列，有 种排法，故 ， ， ， 的顺序一定的排法数只占总排法数的 ，故有 （个）七位数符合条件.
4.用 ， ， ， ， ， ， 排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
（1）偶数不相邻；
（2）偶数一定在奇数位上；
（3）1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数.
[解析] （1）用插空法，共有 （个）.
（2）先把偶数排在奇数位上有 种排法，再排奇数有 种排法，所以共有 （个）.
（3）在1和2之间放一个奇数有 种方法，把 ， 和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有 种排法，所以共有 （个）.