6.2 排列与组合 课时1 排列、排列数（同步课件） （共29张PPT）

(共29张PPT)
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
龙城一中 数学教研组
课时1 排列、排列数
学习目标
1.理解排列和排列数的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.（逻辑推理）
2.能够用列举法、树状图求排列的方法种数.（直观想象）
3.理解排列数公式及简单应用.（数学运算）
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1.甲、乙、丙3名同学排成一行照相，共有多少种排法？
[答案] 根据分步乘法计数原理，3名同学排成一行照相，共有 （种）排法.
2.北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请列举岀所有机票的情况，并指出共有多少种机票.
[答案] 由列举法列出，如图所示：
根据分步乘法计数原理，共有 （种）机票.
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3.问题1， 中的元素是如何排列的？
[答案] 这些问题都是对给定的 个元素或者其中的一些元素按照一定的顺序进行排列.
4.若两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列吗？
[答案] 不是，因为相同的两个排列不仅需要元素相同，而且元素的排列顺序也需要相同.
5.什么是排列数？
[答案] 从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示.
6.排列数公式有什么应用？
[答案] 排列数公式 适用于 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从 起写出连续 个数的乘积即可.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在一个排列中，同一个元素不能重复出现. ( )
√
（2）从 ， ， ， 中任选两个元素，就组成一个排列. ( )
×
（3）用 ， ， 构成的所有不同排列的个数为3. ( )
×
（4） 可以表示为 . ( )
×
自学检测
2.已知 ，则 ( ).
A. B. C. D.
B
[解析] ， .
3.从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，则不同的送书方法的种数为( ).
A. B. C. D.
C
[解析] 此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有 （种）不同的送书方法.
4.从 ， ， ， ， 五个数字中任取三个组成空间直角坐标系中一个点的坐标，试用画树形图的方法求这样的点有多少个？
[解析] 按“横”“纵”“竖”坐标的顺序确定点的坐标，画出横坐标为 的点的坐标对应的树形图如图：
由图可知点的坐标为
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共有 （个）点，
类比可知，横坐标为0， ， ， 的点也各有12个，所以共有 （个）点.
探究1 排列的概念
问题1：《拆弹专家2》中经典的破解密码锁片段：密码开关由四个元件构成，每个元件要五选一，也就是有625种可能.请问625是怎么得来的？
[答案] 开密码锁可以分为四个步骤，每一个步骤都有5种可能，总共四个步骤就有 （种）不同的可能.
情境设置
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问题2：宣城市与黄山市在地图上相邻，为了区分两者的地界，在红、黄、蓝三种颜料中取两种颜料，一种涂在黄山市地图上，一种涂在宣城市地图上，一共有多少种方法？
[答案] 完成涂色只需要分两个步骤，第一步先给黄山市涂色，有三种颜色可供选择，第二步给宣城市涂色，这里还剩两种颜色可选择，由分步乘法计数原理可知共有 （种）方法.
问题3：某校庆祝建党百年朗诵活动中， ， ， 三位朗诵员站成一排面向观众，一共有多少种不同的站法？
[答案] 完成站位这件事需要有三个步骤，第一步选出最左边站的朗诵员，有三种情况，其次选出中间的朗诵员，再选出最右边的朗诵员，由分步乘法计数原理可知共有 （种）不同的站法.
问题4：问题1， ， 的共同特征是什么？
[答案] 三道题目的共同特征就是从一些不同元素中，取出部分元素，再按照顺序排成一列.
新知生成
1.排列
一般地，从 个不同的元素中取出 （ ，且 ， ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 个不同的元素中取出 个元素的一个排列.
2.排列问题
把有关求排列的个数的问题叫作排列问题.
新知运用
一、排列概念的理解
例1 判断下列问题是否为排列问题.
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
（2）选2个小组分别去植树和种菜；
（3）选2个小组去种菜；
（4）选10人组成一个学习小组；
（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
（6）某班40名学生在假期相互通信.
[解析] （1）虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题.
（5）中每个人的职务不同，存在顺序问题，属于排列问题.
（6） 给 写信与 给 写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题.
综上，（2）（5）（6）属于排列问题,（1）（3）（4）不属于排列问题.
方法总结 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.这就说明，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题.
给出以下问题：
（1）从 ， ， ， 四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数，有多少个不同的值？
（2）从0到9这十个数字中任取两个数，组成点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？
其中是排列问题的是____________.（只填序号）
（1）（2）
[解析] （1）是.对数值与底数和真数的取值不同有关系，与顺序有关.同理（2）也是排列问题.
巩固训练
二、写出简单排列问题的排列
例2 ， ， ， 四个人坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来.
[解析] 先安排 有4种坐法，安排 有3种坐法，安排 有2种坐法，安排 有1种坐法，由分步乘法计数原理得，共有 （种）坐法.
画出树形图如图所示：
.&1& &2& .
由树形图可知，所有坐法为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
【变式探究】对本例，若加上限制条件“ 不能在‘排头’（即每个排列的最左端不是 ）”,则这样的排列有几个？
[解析] 由例2的树形图可知这样的排列共有 （个）.
， ， ， 四名同学排成一排照相，要求自左向右， 不排第一， 不排第四，共有____种不同的排列方法.
14
[解析] 因为 不排第一，所以排第一的情况有3种（可从 ， ， 中任选一人排），而此时兼顾分析 的排法，列树形图如图所示.
所以符合题意的所有排列有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共14种.
巩固训练
探究2 排列数与排列数公式
小明和小宁两个同学从写有数字 ， ， ， 的卡片中选取卡片进行组数字游戏.
问题1：从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？
[答案] 从这4个数字中选出2个能构成 个无重复数字的两位数；若选出3个能构成 个无重复数字的三位数.
情境设置
问题2：由问题1知 ， ，你能否得出 的意义和 的值？
[答案] 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从 个元素 ， ， ， 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任何一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 .由分步乘法计数原理知，完成上述填空共有 种填法，所以 .
问题3：你能写出 的值吗？有什么特征？若 呢？
[答案] .
（1）公式特征：第一个因数是 ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是 ，共有 个因数；
（2）当 时，即 个不同元素全部取出的一个排列，即 .
问题4：排列与排列数有何区别？
[答案] “一个排列”是指从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列.
新知生成
1.排列数与排列数公式
排列数的定义 从 个不同元素中取出 （ ，且 ， ）个元素的所有排列的个数，叫作从 个不同元素中取出 个元素的排列数
排列数的表示法
排列数公式
性质 ，
2.知识拓展
排列数公式的阶乘形式： .（此公式主要用于证明或排列数公式的化简）
新知运用
例3 计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） .
方法指导 对于（1）（2），直接用排列数的连乘形式公式计算；对于（3），可利用排列数阶乘形式的公式求解.
[解析] （1） .
（2）（法一） .
（法二） .
（3） .
方法总结 排列数的计算方法：（1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.（2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量.
（1）计算 ；
[解析] .
（2）解方程 .
[解析] 由 ，得 ，
化简得 ，解得 ， .
又因为 ，且 ，所以原方程的解是 .
巩固训练
1.甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( ).
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
C
[解析] 由排列的定义得，共有 （种）排列方法.
2. 可以表示为( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 由排列数公式得原式为 ，故选B.
3.已知 ，则 的值为___.
7
[解析] 由排列数公式，得 ， ，
，解得 或 （舍去）.
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