6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（同步课件） （共33张PPT）

(共33张PPT)
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
龙城一中 数学教研组
学习目标
1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.（数学抽象）
2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.（数学抽象）
3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.（数学运算）
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1.计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢？是什么计数法？
[答案] 能，是分类计数法和分步计数法.
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2.使用分类加法计数原理的关键是什么？有什么要求？
[答案] 使用分类加法计数原理的关键是分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法.要求是分类要做到“不重复”“不遗漏”.
3.使用分步乘法计数原理的关键是什么？有什么要求？
[答案] 使用分步乘法计数原理的关键是明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事.要求是各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在加法原理中，两类办法中的某两种方法可以相同. ( )
×
（2）在加法原理中，任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. ( )
√
（3）在乘法原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. ( )
√
（4）在乘法原理中，如果事情是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成. ( )
√
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2.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，则共有不同走法的种数是( ).
A. B. C. D.
A
[解析] 由分类加法计数原理知，有 （种）不同走法.
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的配法种数为____.
12
[解析] 要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选1件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选1条，有3种不同选法.故共有 （种）不同的配法.
4.多项式 的展开式共有____项.
10
[解析] 多项式的展开式共有 .
探究1 分类加法计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
[答案] 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出 （种）不同的号码.
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问题2：在 ， ， ， 四个数字中任取两个及以上的数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和有多少种？
[答案] 第一类：取两个数，则 ， ， ， （舍去）， ， ，共5种.
第二类：取三个数，则 （舍去）， （舍去）， ， ，共2种.
第三类：取四个数，则 ，共1种.
故取出这些数得到不同的和有 （种）.
问题3：你能说说解决以上问题的步骤吗？
解决以上问题的步骤如下：
（1）求完成一件事的所有方法数，这些方法可以分成 类，且类与类之间两两不相交；
（2）求每一类中的方法数；
（3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.
新知生成
1.分类加法计数原理
完成一件事，可以有 类办法，在第一类办法中有 种方法，在第二类办法中有 种方法， ，在第 类办法中有 种方法.那么，完成这件事共有 种方法.（也称“加法原理”）
注意：完成这件事的若干种方法可以分成 类，且类与类之间两两不相交.
2.使用分类加法计数原理计数的两个条件
（1）根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，在这个标准下进行分类.
（2）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分别属于不同类的两种方法是不同的方法，满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
新知运用
例1 （1）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本.已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？
（2）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
[解析] （1）设购买笔 支，笔记本 本，
则 得
将 的取值分为三类：
①当 时， ，因为 为整数，
所以 可取 ， ， ， ，共有4种方案.
②当 时， ，因为 为整数，
所以 可取 ， ，共有2种方案.
③当 时， ，因为 为整数，
所以 只能取2，只有1种方案.
由分类加法计数原理得不同的购买方案有 （种）.
（2）设个位数字为 ，十位数字为 ，且 .
当 时， ， ， ， ， ， ， ， ， ，有9个；
当 时， ， ， ， ， ， ， ， ，有8个；
当 时， ， ， ， ， ， ， ，有7个；

当 时， ，有1个.
由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 （个）.即个位数字小于十位数字的两位数共有45个.
【变式探究】将本例（2）中的“小于”改为“大于”，其他条件不变，两位数共有多少个？若把“小于”改为“不大于”，怎样求解？
[解析] 当把“小于”改为“大于”时，设个位数字为 ，十位数字为 ，且 .当 时， ，有1个；当 时， ， ，有2个；当 时， ， ， ，有3个； ；当 时， ， ， ， ， ， ， ， ，有8个，所以这样的两位数共有 （个）.
把“小于”改为“不大于”时，因为所有两位数共有90个，而个位数字大于十位数字的两位数有36个，所以个位数字不大于十位数字的两位数有 .
方法总结 利用分类加法计数原理计数时的解题流程
警示：确定分类标准时要确保每一类都能独立完成这件事.
设椭圆 的焦点在 轴上，其中 ， ，求满足上述条件的椭圆的个数.
[解析] 因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，
则当 时， 可取 ， ， ， ， ， ，有6种取法；
当 时， 可取 ， ， ， ， ，有5种取法；
当 时， 可取 ， ， ， ，有4种取法；
当 时， 可取 ， ， ，有3种取法；
当 时， 可取 ， ，有2种取法.
由分类加法计数原理知，共有 （个）满足条件的椭圆.
巩固训练
探究2 分步乘法计数原理
如图，小明从街道的 处出发，先到 处与小红会合，再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活动.
问题1：小明从 处到 处的最短路径有多少条？
[答案] 由题意可知， 共有6条最短路径.
问题2：小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条？
[答案] 由题意可知， 共有6种走法， 共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有 （条）可选择的最短路径.
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分步乘法计数原理
完成一件事需要经过 个步骤，缺一不可，做第一步有 种方法，做第二步有 种方法， ，做第 步有 种方法.那么，完成这件事共有 种方法.
新知运用
例2 已知集合 ， 表示平面上的点 ，问：
（1） 可表示平面上多少个不同的点？
（2） 可表示平面上多少个第二象限的点？
（3） 可表示多少个不在直线 上的点？
方法指导 确定点 ，需要依次确定点 的横坐标和纵坐标，故用分步乘法计数原理求解.
[解析] （1）确定平面上的点 可分两步完成：第一步确定 的值，共有6种方法；第二步确定 的值，也有6种方法.根据分步乘法计数原理，得到 可表示平面上 不同的点.
（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 ，因为 ，所以有3种方法；第二步确定 ，因为 ，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到 可表示平面上 第二象限的点.
（3）分两步：第一步确定 ，有6种方法；第二步确定 ，有5种方法.根据分步乘法计数原理，得到不在直线 上的点共有 （个）.
方法总结 利用分步乘法计数原理解题的一般思路
（1）将完成这件事的过程分成若干步；
（2）求出每一步中的方法数；
（3）将每一步中的方法数相乘得最终结果.
已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成，且英文字母在前.其中英文字母可以是 ， ， ， ， ， 这6个字母中的1个，数字可以是1， ， ， 这9个数字中的1个，那么共有多少种不同的编号？
[解析] 根据题意，分两步完成：
第1步，从6个英文字母中选1个，有6种方法；
第2步，从9个数字中选1个，有9种方法.
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数有 .
所以共有54种不同的编号.
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探究3 两个计数原理的应用
问题：如何区分“完成一件事”需要分类还是分步？
[答案] 区分“完成一件事”是需要分类还是分步，关键是看能否一步完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步.
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两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
新知运用
例3 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成，第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中，序号的编码规则
为：（1）由10个阿拉伯数字和除 ， 之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
[解析] 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌的张数为 .
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌的张数为 .
同理，其余四个子类号牌也各有240000张.
根据分类加法计数原理，这类号牌的张数共有
.
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1～2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌的张数为 ，同理，其余九个子类号牌也各有576000张.
根据分类加法计数原理，号牌的张数为 .
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌的张数为 .
方法总结 利用两个计数原理解题时的三个注意点：
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法； 类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律； 混合型问题一般是先分类再分步.
现有高二年级四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.若推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
[解析] 分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有 种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有 种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有 种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有 种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有 种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有 种不同的选法.
所以共有不同的选法 （种）.
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1.已知两条异面直线 ， , 上有5个点, 上有8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( ).
A. B. C. D.
C
[解析] 分两类情况讨论：第1类，直线 分别与直线 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线 分别与直线 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理，共可以确定 （个）不同的平面.
随堂检测·精评价
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2.有3名新冠肺炎疫情防控的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有( ).
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
C
[解析] 每名新冠肺炎疫情防控的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步乘法计数原理可知，不同的选择方法共有 （种）.
3.如图所示，在 ， 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现 ， 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有____种.
13
[解析] 按照焊接点脱落的个数进行分类：
第1类，脱落1个，有 ， ，共2种；
第2类，脱落2个，有 ， ， ， ， ， ，共6种；
第3类，脱落3个，有 ， ， ， ，共4种；
第4类，脱落4个，有 ，共1种.
根据分类加法计数原理，共有 （种）焊接点脱落的情况.