6.3 平面向量基本定理及坐标表示（课时2 正交分解及其加、减运算的坐标表示）（同步课件） （共31张PPT）

(共31张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
榆次一中 数学教研组
课时2 平面向量的正交分解及其加、减运算的坐标表示
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.（数学抽象）
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.（数学运算）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.若向量 与 的夹角是 ，则称向量 与 垂直，记作 .同一平面内，互相
垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一个基底？
[答案] 同一平面内，互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一个基底.
2.如图，向量 ， 是两个互相垂直的单位向量，向量 与 的夹角是 ，且
，以 为基底，向量 如何表示？
[答案] .
预学忆思
自主预习·悟新知
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3.已知点 ， ，那么向量 的坐标是什么？
[答案] .任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）零向量的坐标是 . ( )
√
（2）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( )
×
（3）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
√
（4）向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. ( )
×
自学检测
2.已知向量 ， ，则 ( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 由题意得 .
3.已知向量 ， ，则向量 的坐标是( ).
A. B. C. D.
C
[解析] .
4.若 ， ， ，则 ________.
（2,3）
[解析] .
探究1 平面向量的正交分解及坐标表示
卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向,为了便于分析,需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度.
问题1：如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？
[答案] 将飞行速度分别向坐标轴投影,在 平面上分解为 , 轴上的向量即可.
情境设置
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问题2：我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示,那么如何表示坐标平面内的一个向量呢？
[答案] 在平面直角坐标系中,分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 作为基底,对于平面内的任意一个向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 , ，使得 .
新知生成
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相______的向量,叫作把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,设与 轴、 轴方向______的两个______向量分别为 , ,取 作
为______.对于平面内的任意一个向量 ,由平面向量基本定理可知,__________一对实数 ,
,使得 .我们把有序数对______叫作向量 的坐标,记作 ,其中 叫作
在 轴上的坐标, 叫作 在 轴上的坐标, 叫作向量 的坐标表示.
垂直
相同
单位
基底
有且只有

3.向量坐标与点的坐标之间的联系
在平面直角坐标系中,以原点 为起点作 ,设 ,则向量 的坐标
就是_______的坐标;反过来,终点 的坐标 也就是向量 的坐标.
特别提醒：（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两
个基向量 和 互相垂直.
（2）由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即
且 ,其中 , .
（3）向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.
（4）当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
终点
新知运用
例1 如图,在平面直角坐标系 中, , , ,
, , ，四边形 为平行四边形.求向量 , 的坐
标.
[解析] 如图，作 轴于点 ,则 ,
,
, .
, , .
又 , ,
,
即 .
&1& 求点、向量坐标的常用方法
（1）求点的坐标:可利用已知条件,求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
（2）求向量的坐标:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.
如图，在平面直角坐标系 中， ， ，求 .
[解析] 在平面直角坐标系 中，设 ，因为 ，所
以 .
又 ，所以 ， ，
所以点 的坐标为 ，所以 .
巩固训练
探究2 平面向量的运算
设 ， 分别是与 轴、 轴同向的两个单位向量,若 , ,则
, .
问题1：根据向量的线性运算性质,分别用基底 ， 表示向量 , .
[答案] , .
问题2：向量的加、减运算,可以类比数的运算进行吗？
[答案] 向量加、减的坐标运算可以完全类比数的运算进行.
情境设置
新知生成
设向量 , ,则有
加法
减法
重要结论 已知点 , ,则
新知运用
一、平面向量加、减运算的坐标表示
例2 已知点 ， ，向量 ，则向量 ( ).
A. B. C. D.
A
[解析] 设 ，则 ，即 ， ，故 ，则 .
&2& 平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则.
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算.
在 中， 为一条对角线，若 ， ，求 的坐标.
[解析] ， ，
.
巩固训练
二、向量坐标运算的应用
例3 如图，已知 的三个顶点 ， ， 的坐标分别是 ，
， ，求顶点 的坐标.
[解析] （法一）设顶点 的坐标为 .
因为 ，
，
又 ，所以 .
即 解得
所以顶点 的坐标为 .
（法二）如图，由向量加法的平行四边形法则知，
（ ， ，
而 .
所以顶点 的坐标为 .
&3& 应用向量的坐标运算求解平面几何问题的步骤
已知点 ， 及 ， .求点 ， 和 的坐标.
[解析] ， ， ， ，
.
则 ，
.
， 的坐标分别为 ， .
因此 .
巩固训练
1.已知 ,则下列说法正确的是( ).
A.点 的坐标是 B.点 的坐标是
C.当 是原点时,点 的坐标是 D.当 是原点时,点 的坐标是
D
[解析] 当向量起点与原点重合时,向量坐标与向量终点坐标相同.故选D.
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2.已知向量 , ,则 ( ).
A. B. C. D.
D
[解析] .
3.在平面直角坐标系中, ,向量 的方向为相对于 轴正方向的逆时针转角 ,
则向量 的坐标为_______.

[解析] 因为 , ,所以向量 的坐标为 .
4.已知平面上三个点的坐标为 , , ,求点 的坐标,使得这四个点为构成
平行四边形的四个顶点.
[解析] 设点 的坐标为 ,
①当平行四边形为 时, ,
,
即 解得 ;
②当平行四边形为 时,同①可得 ;
③当平行四边形为 时,同①可得 .
综上所述,点 的坐标可能为 或 或 .