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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
榆次一中 数学教研组
课时1 平面向量基本定理
学习目标
1.理解平面向量基本定理,了解向量的一个基底的含义.(数学抽象)
2.在平面内,当一个基底选定后,会用这个基底来表示其他向量.(数据分析)
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(数学运算)
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1.如果 , 是两个不共线的确定向量,那么与 , 在同一平面内的任一向量 能否
用 , 表示?依据是什么?
[答案] 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
2.如果 , 是共线向量,那么向量 能否用 , 表示?为什么?
[答案] 不一定,当 与 共线时可以表示,否则不能表示.
3.零向量能否作为基底中的向量?为什么?
[答案] 不能,因为零向量与任何向量都是共线的.
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4.平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示?
[答案] 能.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底. ( )
×
(2) 可以作为基底. ( )
×
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. ( )
×
(4)若 , 是同一平面内两个不共线向量,则 ( , 为实数)可以
表示该平面内所有向量. ( )
√
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2.设 , 是同一平面内的两个向量,则( ).
A. , 一定平行
B. 是该平面的一个基底
C.对该平面内的任一向量 ,都有
D.若 , 不共线,则对该平面内的任一向量 ,都有
D
[解析] D选项符合平面向量基本定理,其他三个选项均不正确.
3.(多选题)设点 是平行四边形 两条对角线的交点,下列向量组中可作为该平面
其他向量基底的是( ).
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
AC
[解析] 基底中的向量不共线,故A,C正确.
4.已知向量 , 不共线,实数 , 满足 ,则
的值为___.
3
[解析] , 不共线,∴由平面向量基本定理可得 故 .
探究1 平面向量基本定理
如图(1),设 , 是同一平面内两个不共线的向量, 是这一平面内与 ,
都不共线的向量,如图(2),在平面内任取一点 ,作 , , .
情境设置
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问题1:上图中将 按 , 的方向分解,你有什么发现?
[答案] 如图, .
问题2:若向量 与 或 共线, 还能用 表示吗?
[答案] 能,当向量 与 共线时, ;
当向量 与 共线时, .
问题3:当 是零向量时, 还能用 表示吗?
[答案] 能, .
问题4:设 , 是同一平面内两个不共线的向量,在 中, , 是否
唯一?
[答案] 假设 ,则 ,即 ,所以 ,且 ,即 ,且 ,所以 , 唯一.
新知生成
1.平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
内的任意一个向量 ,有且只有一对实数 , ,使 .
2.基底:若 , 不共线,把 叫作表示这一平面内所有向量的一个______.平面内
任一向量都可以用同一个基底唯一表示.
3.如果 , , 三点共线, 是平面内任意一点,若 ,则 .
基底
新知运用
一、对基底的理解
例1 (多选题)设 是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,能作为基
底的是( ).
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
ACD
[解析] 选项B中,∵ ,∴ 与 共线,∴不能
作为基底;
选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.
&1& 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
若向量 , 不共线,则 , ,试判断 能否作为基底.
[解析] 设存在实数 ,使 ,
则 ,即 ,
由于向量 , 不共线,所以 ,这样的 是不存在的,
所以 , 不共线,故 能作为基底.
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二、用基底表示向量
例2 如图,已知在梯形 中, , , , 分别是 ,
的中点,设 , ,试用 为基底表示 , , .
[解析] 因为 , , , 分别是 , 的中点,
所以 , .
【变式探究】本例中若取 的中点 ,则 _ ________.
[解析] ,
所以 .
&2& 平面向量基本定理的作用及注意点
(1)根据平面向量基本定理,任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活,必要时可以建立方程(组),通过方程(组)求出要表示的向量.
如图,在正方形 中,设 , , ,则以 为基底
时, 可表示为______,以 为基底时, 可表示为_______.
[解析] 以 为基底时, ;
以 为基底时,将 平移,使 与 重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得 .
巩固训练
三、平面向量基本定理的应用
例3 如图所示, , , 分别为 的边 , , 上的点,且
, , ,若 ,求证: .
方法指导 设出基底,表示 , , ,然后根据已知建立等式,结合平面向量基本定理证明.
[解析] 令 , 为一组基底,
根据已知有 , .
,则有 ,
, ,
.又 ,
.
根据平面向量基本定理,有 ,故 .
&3& 平面向量基本定理是向量法的理论基础,它不仅提供了向量的几何表示方法,而且使向量用坐标来表示成为可能,从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁,这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具.
如图,在 中,AD=2,AC=3, 是 的中点,点 满足 , 与 交于
点 .
(1)设 ,求实数 的值;
(2)设 是 上一点,且 ,求 的值.
巩固训练
[解析] 设 , .
(1)因为 , 是 的中点,
所以 . ①
设 , ,
故 ,整理得 ,
又 ,即 ,
所以 . ②
联立①②,根据平面向量基本定理,得
解得
所以实数 的值为 .
(2)因为 ,所以 ,即 ,
所以
.
1.如果 是平面 内所有向量的一个基底,那么下列说法正确的是( ).
A.若存在实数 , 使 ,则
B.对空间任意向量 都可以表示为 ,其中 ,
C. 不一定在平面 内
D.对于平面 内任意向量 ,使 的实数 , 有无数对
A
[解析] B错误,这样的 只能与 , 在同一平面内,不能是空间任意向量;C错误,在
平面 内任意向量都可表示为 的形式,故 一定在平面 内;D错
误,这样的 , 是唯一的,而不是无数对.
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2.在 中, 是 的中点, ,点 在 上且满足 ,
则 等于( ).
A
A. B. C. D.
[解析] ,且 , .
.
3.在 中,若 ,则下列关系式正确的是( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 由 得 ,
即 ,即 , .
4.如图, , 是 的边 的三等分点,设 , ,以
, 为基底来表示 _ _________, __________.
[解析]
,
.