6.3 平面向量基本定理及坐标表示(课时1 平面向量基本定理)(同步课件) (共31张PPT)

文档属性

名称 6.3 平面向量基本定理及坐标表示(课时1 平面向量基本定理)(同步课件) (共31张PPT)
格式 zip
文件大小 1.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-01-30 18:50:35

图片预览

文档简介

(共31张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
榆次一中 数学教研组
课时1 平面向量基本定理
学习目标
1.理解平面向量基本定理,了解向量的一个基底的含义.(数学抽象)
2.在平面内,当一个基底选定后,会用这个基底来表示其他向量.(数据分析)
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(数学运算)
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.如果 是两个不共线的确定向量,那么与 在同一平面内的任一向量 能否
表示?依据是什么?
[答案] 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
2.如果 是共线向量,那么向量 能否用 表示?为什么?
[答案] 不一定,当 共线时可以表示,否则不能表示.
3.零向量能否作为基底中的向量?为什么?
[答案] 不能,因为零向量与任何向量都是共线的.
预学忆思
自主预习·悟新知
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
4.平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示?
[答案] 能.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底. ( )
×
(2) 可以作为基底. ( )
×
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. ( )
×
(4)若 是同一平面内两个不共线向量,则 为实数)可以
表示该平面内所有向量. ( )

自学检测
2.设 是同一平面内的两个向量,则( ).
A. 一定平行
B. 是该平面的一个基底
C.对该平面内的任一向量 ,都有
D.若 不共线,则对该平面内的任一向量 ,都有
D
[解析] D选项符合平面向量基本定理,其他三个选项均不正确.
3.(多选题)设点 是平行四边形 两条对角线的交点,下列向量组中可作为该平面
其他向量基底的是( ).
A. B. C. D.
AC
[解析] 基底中的向量不共线,故A,C正确.
4.已知向量 不共线,实数 满足 ,则
的值为___.
3
[解析] 不共线,∴由平面向量基本定理可得 .
探究1 平面向量基本定理
如图(1),设 是同一平面内两个不共线的向量, 是这一平面内与
都不共线的向量,如图(2),在平面内任取一点 ,作 , , .
情境设置
合作探究·提素养
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
问题1:上图中将 的方向分解,你有什么发现?
[答案] 如图, .
问题2:若向量 共线, 还能用 表示吗?
[答案] 能,当向量 共线时, ;
当向量 共线时, .
问题3:当 是零向量时, 还能用 表示吗?
[答案] 能, .
问题4:设 是同一平面内两个不共线的向量,在 中, , 是否
唯一?
[答案] 假设 ,则 ,即 ,所以 ,且 ,即 ,且 ,所以 , 唯一.
新知生成
1.平面向量基本定理:如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
内的任意一个向量 ,有且只有一对实数 ,使 .
2.基底:若 不共线,把 叫作表示这一平面内所有向量的一个______.平面内
任一向量都可以用同一个基底唯一表示.
3.如果 , , 三点共线, 是平面内任意一点,若 ,则 .
基底
新知运用
一、对基底的理解
例1 (多选题)设 是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,能作为基
底的是( ).
A. B.
C. D.
ACD
[解析] 选项B中,∵ ,∴ 共线,∴不能
作为基底;
选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.
&1& 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
若向量 不共线,则 ,试判断 能否作为基底.
[解析] 设存在实数 ,使
,即
由于向量 不共线,所以 ,这样的 是不存在的,
所以 不共线,故 能作为基底.
巩固训练
二、用基底表示向量
例2 如图,已知在梯形 中, 分别是
的中点,设 ,试用 为基底表示 .
[解析] 因为 分别是 的中点,
所以 .

【变式探究】本例中若取 的中点 ,则 _ ________.

[解析]
所以 .
&2& 平面向量基本定理的作用及注意点
(1)根据平面向量基本定理,任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活,必要时可以建立方程(组),通过方程(组)求出要表示的向量.
如图,在正方形 中,设 ,则以 为基底
时, 可表示为______,以 为基底时, 可表示为_______.


[解析] 以 为基底时,
为基底时,将 平移,使 重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得 .
巩固训练
三、平面向量基本定理的应用
例3 如图所示, 分别为 的边 上的点,且
,若 ,求证: .
方法指导 设出基底,表示 ,然后根据已知建立等式,结合平面向量基本定理证明.
[解析] 令 为一组基底,
根据已知有 .
,则有 ,

.又 ,
.
根据平面向量基本定理,有 ,故 .
&3& 平面向量基本定理是向量法的理论基础,它不仅提供了向量的几何表示方法,而且使向量用坐标来表示成为可能,从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁,这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具.
如图,在 中,AD=2,AC=3, 的中点,点 满足 交于

(1)设 ,求实数 的值;
(2)设 上一点,且 ,求 的值.
巩固训练
[解析] 设 .
(1)因为 的中点,
所以 . ①

,整理得
,即
所以 . ②
联立①②,根据平面向量基本定理,得
解得
所以实数 的值为
(2)因为 ,所以 ,即
所以


1.如果 是平面 内所有向量的一个基底,那么下列说法正确的是( ).
A.若存在实数 使 ,则
B.对空间任意向量 都可以表示为 ,其中
C. 不一定在平面
D.对于平面 内任意向量 ,使 的实数 有无数对
A
[解析] B错误,这样的 只能与 , 在同一平面内,不能是空间任意向量;C错误,在
平面 内任意向量都可表示为 的形式,故 一定在平面 内;D错
误,这样的 是唯一的,而不是无数对.
随堂检测·精评价
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.在 中, 的中点, ,点 上且满足
等于( ).
A
A. B. C. D.
[解析] ,且 .
.
3.在 中,若 ,则下列关系式正确的是( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 由
,即 .
4.如图, 的边 的三等分点,设 ,以
为基底来表示 _ _________, __________.


[解析]


.