5.4.3 正切函数的性质与图像 课件（共40张PPT）

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5.4.3　正切函数的性质与图像
教师：李越琪
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？
我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.
导语
问题1　请同学们回忆角的正切是如何定义的？
问题2　角α是任意的吗？
问题3　由以上，你能定义正切函数吗？
问题4　你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？
提示　tan(π＋α)＝tan α，tan(－α)＝－tan α.
y
x
O
一、正切函数y=tan x的性质
一、正切函数y=tan x的性质
一、正切函数y=tan x的性质
正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象会有什么帮助？
y
x
O
B
T
M
A(1,0)
x
二、正切函数y=tan x的图象
x
y
1
-1
知识点　正切函数的图象与性质
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=tan x在其定义域上是增函数.(　　)
(2)函数y=tan x的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).(　　)
(3)函数y=tan 2x的周期为π.(　　)
×
×
×
2.正切曲线是中心对称图形吗 若是,对称中心是什么 是轴对称图形吗
提示正切曲线是中心对称图形,对称中心为 (k∈Z),不是轴对称图形.
探究点一
正切函数的定义域与值域问题
【例1】 求下列函数的定义域和值域:
规律方法　求正切函数定义域的方法及注意点:
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.
(2)解形如tan x>a的不等式的步骤:
变式训练1
求函数y= 的定义域.
探究点二
正切函数的单调性及其应用
角度1求正切函数的单调区间
规律方法　y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解- +kπ<ωx+φ< +kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
变式训练2
角度2比较大小
【例3】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.
规律方法　运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;
(2)运用单调性比较大小关系.
变式训练3
探究点三
正切函数的周期性与奇偶性
(2)已知函数f(x)=asin x+btan x+2 021,若f(2 022)=-1,求f(-2 022)的值.
(2)令g(x)=asin x+btan x,则f(x)=g(x)+2 021.因为x∈R,
g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),所以g(x)是奇函数.
因为f(2 022)=g(2 022)+2 021=-1,
所以g(2 022)=-2 022,则g(-2 022)=2 022,
故f(-2 022)=g(-2 022)+2 021=2 022+2 021=4 043.
规律方法　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性:
(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T= ,常利用此公式来求与正切函数有关的周期.
(2)函数y=tan x是奇函数,其图象关于原点对称.若函数y=tan(ωx+φ)是奇函数,则φ= (k∈Z).
变式训练4
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
答案 (1)A　(2)±2　
探究点四
正切函数图象与性质的综合应用
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个最小正周期内的简图.
变式训练5
画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.
其图象如图.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)正切函数的图象的画法.
(2)正切函数的性质.
(3)正切函数图象和性质的应用.
2.方法归纳:整体代换、换元法.
学以致用 随堂检测全达标
答案 C　
答案 C　
答案 B　
答案 >