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6.2.1-6.2.3 平面向量的运算（1）-向量的加法、减法与数乘
【学习要求】
1.掌握平面向量的加法、减法运算及其运算规律；
2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意义；
3.掌握向量的数乘运算及几何意义；
4.掌握向量的数乘运算律，并会运用它们进行计算；
5.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线。
【思维导图】
【知识梳理】
1.向量加法的定义及其运算法则、运算律
1）向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2）向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3）向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2. 相反向量
1）定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2）性质：(1)零向量的相反向量仍是零向量；(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
3. 向量的减法
1）定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2）几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3）文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
4. 向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
5向量数乘的运算律
1）运算律：(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2）向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
6. 向量共线定理：向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【高频考点】
高频考点1. 向量加法法则及运算律
【方法点拨】向量加法的平行四边形法则和三角形法则
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．
向量加法的交换律：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．
如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
1.（2022·高一课时练习）如图，已知，求作.
（1）； （2）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）在平面内任取一点，如图所示
作则.
（2）在平面内任取一点，如图所示
作则.
2．（2022·山东·高一课时练习）如图，为正六边形的中心，作出下列向量：
（1）； （2） （3）．
【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析
（1）因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．
（2）因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．
（3）因为与是一对相反向量，所以．
3．（2022·安徽·定远高一阶段练习）如图，、、分别是的边、、的中点，则下列等式中错误的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋＝
C．＋＋＝ D．＋＋＝
【答案】D
【详解】＋＋＝＋，A正确；
＋＋＝＋＋＝，B正确；
＋＋＝＋＝＋＝，C正确；
＋＋＝＋0＝＝≠，D错误，故选：D．
4．（2022·广东·高一期末）如图所示，正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：正六边形中，，；
．故选：．
5.（2022·重庆高一课时练习）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由平面向量的运算法则，可得.故选：A.
6．（2022·河南·信阳高一阶段练习）化简（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
高频考点2. 向量减法法则及运算律
【方法点拨】向量的减法运算有如下方法：
（1）利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
（2）运用减法公式-=(正用或逆用均可)；
（3）运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.
1.（2022·山东高一课时练习）如图，已知向量，，求作向量．
【答案】如图，（1） （2）
【解析】（1）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
（2）如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
2．（2022·湖北·高一课时练习）化简下列式子：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）原式．
（2）原式.
3.（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①；
②；③；
④；以上各式化简后结果均为,故选:D
4.（2022秋·广东广州·高一华南师大附中校考期中）下列向量运算结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确；故选：A
5、（2022·江苏连云港·高一期中）八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B
高频考点3. 平面向量的混合运算
【方法点拨】解决向量的线性运算问题的基本方法：
向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解代数方程(组)的方法求解.
1.（2022·浙江·高一专题练习）化简：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
2.（2022·山东高一课时练习）已知，，求，与．
【答案】，，.
【解析】因为，，则，
，
.
3.（2022·北京·高一专题练习）设向量，，求．
【答案】
【解析】
4.（2022·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）已知，是两个平面向量，
（1）化简：；
（2）若，，求向量，（都用，表示）．
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）
．
（2），由①+②得，即③，
将③代入①，得，∴．
将代入③，得，故，．
5.（2022·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接AC，BD相交于点O，则，故选C
6.（2022·河南高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即A不正确；
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示 由其性质有
∴，即B不正确；
，即C正确；
同理
，即∴，即D不正确；故选：C.
高频考点4. 向量的线性运算在几何图形中的应用
【方法点拨】
1.（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（ ）
A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】C
【解析】根据平面向量的加法的平行四边形法则，若＝，
则四边形是平行四边形.故选：C.
2.（2022·江苏高一课时练习）若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】由于，|，，
所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D.
3.（2022·北京高一课时练习）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】C
【解析】由，所以四边形ABCD是平行四边形，
由，所以平行四边形ABCD的对角线相等，
因此该四边形是矩形，故选：C
4.（2022秋·山西长治·高一校考期中）在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】C
【解析】以为邻边作平行四边形，则
由m，n的长度相等可知，两对角线相等，
因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．故选：C.
5、（2022·湖北高一单元测试）在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，∴ 四边形一定是梯形．故选：B.
高频考点5. 已知向量表示其他向量
【方法点拨】用已知向量表示相关向量的基本思路：
用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即,或 (M，N均是同一平面内的任意点).
1.（2022·湖南·高一期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
2．（2023·四川绵阳·高三阶段练习）设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，，
所以，故选：B.
3.（2022·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，在△ABC中，，，＝3，＝2，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由平面向量的三角形法则，
可知.故选：D.
4.（2022·河北石家庄·高一期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
5.（2022·辽宁·高一校联考阶段练习）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
即，∴．故选：A．
6.（2022秋·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）如图所示，平行四边形中，，，，，试用向量，来表示，．
【答案】，
【解析】由，即，所以，
由，则，所以.
高频考点6. 利用向量运算证明等式
【方法点拨】
1.（2022·湖南高一课时练习）如图，在中，、、分别是、、的中点，是三角形内一点.求证：（1）若是的重心，则；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）是的重心，，，则.
（2）、、分别是、、的中点，
，，，
2.（2022·全国·高一专题练习）如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：．
【答案】证明过程见解析
【解析】,① ,②
∴①+②,得.
∵M,N分别是AB,CD的中点,,
.
3.（2022·全国·高一专题练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：由向量加法的三角形法则，
因为，所以.
（2）证明：由向量加法的平行四边形法则，
因为，
所以
.
4.（2022·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.
求证：＋＋＋＝4.
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵＋＋＋
，
＋＋＋＝4.
5.（2022·高一课时练习）已知、、分别是的边、、的中点，是平面内任意一点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】如下图所示：
由已知可得，所以，，
同理可得，，所以，，
因此，.
高频考点7. 利用向量证明三点共线
【方法点拨】三点共线的证明问题及求解思路：
1）证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.
2）若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据.
1.（2022秋·吉林长春·高一校考期中）已知向量与向量不共线，，，，则一定共线的三点是（ ）
A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q
【答案】A
【解析】题设中三个向量显然不共线，
，，，
这些向量中只有，即，所以三点共线．
其他没有两个向量满足（是实数）的形式．故选：A．
2.（2022秋·江苏盐城·高一校考期中）已知，，则（ ）
A．共线 B．共线 C．共线 D．共线
【答案】C
【解析】对于A，若共线，则，即，方程组无解，则A错误；
对于B，若共线，则，即，方程组无解，则B错误；
对于C，若共线，则，即解得，共线，C正确；
对于D，若共线，则，即，方程组无解，则D错误.故选：C.
3.（2022秋·湖北·高一联考阶段练行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，（1）以，为基底表示；（2）求证：M、N、C三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）；
（2）证明：∵，，
∴，∴且与有公共点，所以、、三点共线.
4.（2022·高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
（1）用向量与表示向量，；（2）若，求证：三点共线.
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】（1）∵，，∴，
；
（2）证明：∵，∴与平行，
又∵与有公共点，∴三点共线.
5.（2022·山东高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为在中，D，F分别是边BC，AC的中点，
所以，，
所以，
因为，所以，所以，所以．
又与有公共点B，所以B，E，F三点共线．
高频考点8. 利用向量共线求参数
【方法点拨】解决向量共线的参数问题的基本方法：
向量共线的参数问题一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得，则向量与非零向量共线解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此求出参数.
1.（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，
，
又因为A，B，C三点共线，所以，即，
所以，解得，故选：A
2.（2022秋·福建福州·高一校考期末）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：C．
3.（2022·全国·高一）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】B
【解析】由于与反向共线，则存在实数k，使得，
则有，即，
又向量，不共线，所以，
整理得，因为，解得.故选：B
4.（2022秋·安徽亳州·高一校考期末）设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由向量共线定理得存在一个实数使成立，即
则，解得或，
又因为向量与同方向，所以，即，故选：.
5.（2022秋·浙江宁波·高一校考期末）设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，
使得．故选：A．
高频考点9. 向量共线定理推论
【方法点拨】
1.（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）设均为实数，已知不共线，点满足.
（1）若，求证：三点共线；（2）若三点共线，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）依题意均为实数， 不共线，点满足，
若，则，
，
所以三点共线.
（2）若三点共线，存在实数，使,
即,,，
所以，两式相加并化简得.
2.（2022秋·广东深圳·高一统考期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
因为三点共线，所以，解得，则
所以.故选：A.
3.（2022·全国·高一假期作业）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.故选：A．
4.（2022秋·河南新乡·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足，则m=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，为的中点，，，
因为、、三点共线，
设
，
又，，解得．故选：A．
5.（2022·山东高一课时练习）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于三点共线，所以，
所以，
当且仅当.故选：C
6.（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）设G为的重心，过点G作直线分别交AB AC于P，Q.已知，，求的值.
【答案】3
【解析】连接AG并延长交BC于M，因为G是重心，所以M为BC的中点.
，，
因为，，所以，
又因为P，G，Q三点共线，所以，所以.
高频考点10. 三角形的心的向量表示
【方法点拨】三角形的“四心：
(1)三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线交点，内心到三角形三边的距离相等.
(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点，满足，则点M为△ABC的外心.
(3)三角形的垂心：三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心：三角形三条中线的交点.若G是△ABC内一点，且满足，则G是△ABC的重心.
1．（2022春·河南许昌·高一统考期末）已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【分析】由向量模的定义结合三角形的四心定义判断．
【详解】表示到三点距离相等，为外心．故选：A．
2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果.
【详解】因为，且D为中点，，则，
又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心 故选:A
3.（2022·山东高一课时练习）O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，且λ≠1，则点P的轨迹一定通过△ABC的 （填重心，垂心，外心或内心）
【解析】解：设BC的中点为M．由已知原式可化为2λ．
即2λ2，所以λ，所以P，A，M三点共线．
所以P点在边BC的中线AM上．故P点的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为：重心．
4.（2022·山东高一课时练习）O是平面上一定点，△ABC中AB＝AC，一动点P满足：λ（），λ∈（0，+∞），则直线AP通过△ABC的 （请在横线上填入正确的编号）
①外心 ②内心 ③重心 ④垂心．
【解析】解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，
由向量的运算法则可得，
可得2，可得A、P、D三点共线，
又AB＝AC，所以点P一定过△ABC的重心、外心、内心、垂心，答案为：①②③④．
5.（2022·湖北高一课时练习）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为△ABC内一点，若分别满足下列四个条件：①abc ②tanA tanB tanC
③sin2A sin2B sin2C ④
则点O分别为△ABC的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【解析】解：先考虑直角三角形ABC，可令a＝3，b＝4，c＝5，
可得A（0，4），B（3，0），C（0，0），设O（m，n），
①abc，即为3（﹣m，4﹣n）+4（3﹣m，﹣n）+5（﹣m，﹣n）＝（0，0），
即有﹣12m+12＝0，﹣12n+12＝0，解得m＝n＝1，即有O到x，y轴的距离为1，O在角BCA的平分线上，且到AB的距离也为1，则O为△ABC的内心；
③sin2A sin2B sin2C ，
即为（﹣m，4﹣n）（3﹣m，﹣n）+0（﹣m，﹣n）＝（0，0），
可得3﹣2m＝0，4﹣2n＝0，解得m，n＝2，由|OA|＝|OB|＝|OC|，故O为△ABC的外心；
④，可得（﹣m，4﹣n）+（3﹣m，﹣n）+（﹣m，﹣n）＝（0，0），
即为3﹣3m＝0，4﹣3n＝0，解得m＝1，n，
由AC的中点D为（0，2），|DB|，|OB|，即O分中线DB比为2：3，
故O为△ABC的重心；考虑等腰三角形ABC，底角为30°，
设C（﹣1，），B（2，0），A（0，0），O（x，y），
②tanA tanB tanC ，
即为（﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）（﹣1﹣x，y）＝（0，0），
可得x0，y+1＝0，解得x＝﹣1，y，即O（﹣1，），由OC⊥AB，kOA kBC （）＝﹣1，即有OA⊥BC，故O为△ABC的垂心．故选：D．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加减法运算，即可求解.
【详解】.故选：B
2．（2022春·天津红桥·高一统考期末）向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减运算法则，即可求得答案.
【详解】,故选：B
3．（2022春·陕西铜川·高二校考期末）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.
【详解】因为，所以四边形是平行四边形，
所以，互相平分，所以，即与为相反向量.故选：B
4．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取中点，连,根据三角形重心定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
取中点，连,则点为的重心，，即，故选：D.
5．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）在中，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算逐项判断作答.
【详解】在中，满足，，
，B不正确；
，，A不正确；
，C正确；
，，，D不正确.故选：C
6．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考开学考试）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】在在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数.
【详解】连接，，且，在上取一点，使得，
则四边形为平行四边形，.设，则，
由图可知，故.故选：D.
【点睛】方法点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量的和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值.
7．（2022秋·河南安阳·高二校考开学考试）若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加法的交换律、结合律，对数乘的分配律判断ABC，由向量共线的条件判断D.
【详解】对于A，根据向量加法的交换律知成立，故A正确；
对于B，根据向量数乘的分配律知成立，故B正确；
对于C，根据向量加法的结合律知成立，故C正确；
对于D，当共线，且或时，才有，故D错误.故选：D
8.（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三点共线，可得存在实数t，使
又由三点共线，可得存在实数m，使得
则，解之得，则
又，()，则，由三点共线，可得
则
（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：D
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】利用平面向量的线性运算可判断AB选项；取，可判断C选项；取，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则、不一定相等，C错；
对于D选项，若，则、不一定相等，D错.故选：AB.
10．（2022春·浙江杭州·高一联考阶段练习）设＝(＋)＋(＋)，是任一非零向量，则在下列结论中正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】先计算，根据平面向量的共线定理，线性运算法则进行判断即可．
【详解】
A．与任一非零向量共线，故，所以Ａ正确，
B．，故，所以B正确，
C．，故，因为为任一非零向量，故，所以C错误，
D．，故，，所以，所以D不正确.
故选：AB．
11．（2022春·山东东营·高一统考期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．和能构成一组基底
【答案】BCD
【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于A选项，，A选项错误.
对于B选项，，B选项正确.
对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，
故，所以选项C正确.
对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确.故选：BCD.
12．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上
C． D．
【答案】BC
【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；
根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.
【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；
设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.故选：BC.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
【答案】4
【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出.
【详解】由题意可知与共线，所以存在实数使，
因为不共线，所以解得或，
因为向量与的方向相同，所以，即，故答案为：4
14．（2022春·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．
【答案】
【分析】由重心的性质以及向量的加法运算法则列式求解.
【详解】在中，取中点，连接，
由重心的性质可得为的三等分点，且，
又为的中点，所以，
所以，所以. 故答案为：
15．（2022春·湖北·高一校联考期中）给出下列命题：①若，同向，则有；②若，不共线，则有；③恒成立；④对任意两个向量、，总有；其中正确的命题是__________（填序号）．
【答案】①④
【分析】由向量模的性质判断．
【详解】①由向量的加法法则，当若，同向，则有，正确；
②若，不共线，则有，②错误；③当时，，③错误；
④由向量加法的三角形法则，知对任意两个向量、，总有，正确．
故答案为：①④．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有，则△AOC的面积为__________.
【答案】1
【分析】设AC中点为M，BC中点为N，由向量加法运算的几何意义可得，即有O为中位线MN的中点，即可利用几何关系求△AOC的面积.
【详解】如图，设AC中点为M，BC中点为N.
因为，所以，即，所以O为中位线MN的中点，
所以.故答案为：1
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高三专题练习）计算：
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
【详解】（1）原式=.
（2）原式=
.
18.（2022·高一课时练习）如图，在五边形中，四边形是平行四边形，且，，，试用，，分别表示，，，及．
【答案】答案见解析
【解析】，，，
. 因为四边形为平行四边形，
所以,.
综上，，，，及.
19.（2022·高一课时练习）设两个不共线的向量，若向量，，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？
【答案】存在，λ＝－2μ
【解析】∵
要使与共线，则存在实数k使，即：.
由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使与共线．
20．（2022·高一单元测试）如图所示，在中，与相交于点.
(1)用和分别表示和；(2)若，求实数和的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案；
（2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案.
【详解】（1）由，可得.
（2）（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即.
21．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；
（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.
【详解】（1）由题图，，
.
（2）由，
又，所以，故三点共线.
22.（2022·全国·高一假期作业）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点.（1）求证：；（2）设，，，，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为，所以，
又因为的中点，所以，
所以；
（2）因为，，，，
所以，，又因，
所以，又因，，三点共线，所以，即.
所以
当且仅当，即时，等号成立，此时
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6.2.1-6.2.3 平面向量的运算（1）-向量的加法、减法与数乘
【学习要求】
1.掌握平面向量的加法、减法运算及其运算规律；
2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意义；
3.掌握向量的数乘运算及几何意义；
4.掌握向量的数乘运算律，并会运用它们进行计算；
5.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线。
【思维导图】
【知识梳理】
1.向量加法的定义及其运算法则、运算律
1）向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2）向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3）向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2. 相反向量
1）定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2）性质：(1)零向量的相反向量仍是零向量；(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
3. 向量的减法
1）定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2）几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3）文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
4. 向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
5向量数乘的运算律
1）运算律：(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2）向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
6. 向量共线定理：向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【高频考点】
高频考点1. 向量加法法则及运算律
【方法点拨】向量加法的平行四边形法则和三角形法则
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．
向量加法的交换律：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．
如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
1.（2022·高一课时练习）如图，已知，求作.
（1）； （2）
2．（2022·山东·高一课时练习）如图，为正六边形的中心，作出下列向量：
（1）； （2） （3）．
3．（2022·安徽·定远高一阶段练习）如图，、、分别是的边、、的中点，则下列等式中错误的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋＝
C．＋＋＝ D．＋＋＝
4．（2022·广东·高一期末）如图所示，正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·重庆高一课时练习）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·信阳高一阶段练习）化简（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）.
高频考点2. 向量减法法则及运算律
【方法点拨】向量的减法运算有如下方法：
（1）利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
（2）运用减法公式-=(正用或逆用均可)；
（3）运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.
1.（2022·山东高一课时练习）如图，已知向量，，求作向量．
2．（2022·湖北·高一课时练习）化简下列式子：（1）；（2）．
3.（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（2022秋·广东广州·高一华南师大附中校考期中）下列向量运算结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
5、（2022·江苏连云港·高一期中）八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点3. 平面向量的混合运算
【方法点拨】解决向量的线性运算问题的基本方法：
向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解代数方程(组)的方法求解.
1.（2022·浙江·高一专题练习）化简：
（1）；（2）；（3）．
2.（2022·山东高一课时练习）已知，，求，与．
3.（2022·北京·高一专题练习）设向量，，求．
4.（2022·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）已知，是两个平面向量，
（1）化简：；
（2）若，，求向量，（都用，表示）．
5.（2022·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·河南高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点4. 向量的线性运算在几何图形中的应用
【方法点拨】
1.（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（ ）
A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形
2.（2022·江苏高一课时练习）若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
3.（2022·北京高一课时练习）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4.（2022秋·山西长治·高一校考期中）在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形
5、（2022·湖北高一单元测试）在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
高频考点5. 已知向量表示其他向量
【方法点拨】用已知向量表示相关向量的基本思路：
用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即,或 (M，N均是同一平面内的任意点).
1.（2022·湖南·高一期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川绵阳·高三阶段练习）设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，在△ABC中，，，＝3，＝2，则＝（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·河北石家庄·高一期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·辽宁·高一校联考阶段练习）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6.（2022秋·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）如图所示，平行四边形中，，，，，试用向量，来表示，．
高频考点6. 利用向量运算证明等式
【方法点拨】
1.（2022·湖南高一课时练习）如图，在中，、、分别是、、的中点，是三角形内一点.求证：（1）若是的重心，则；（2）.
2.（2022·全国·高一专题练习）如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：．
3.（2022·全国·高一专题练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：（1）；（2）.
4.（2022·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.求证：＋＋＋＝4.
5.（2022·高一课时练习）已知、、分别是的边、、的中点，是平面内任意一点．求证：．
高频考点7. 利用向量证明三点共线
【方法点拨】三点共线的证明问题及求解思路：
1）证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.
2）若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据.
1.（2022秋·吉林长春·高一校考期中）已知向量与向量不共线，，，，则一定共线的三点是（ ）
A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q
2.（2022秋·江苏盐城·高一校考期中）已知，，则（ ）
A．共线 B．共线 C．共线 D．共线
3.（2022秋·湖北·高一联考阶段练行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，（1）以，为基底表示；（2）求证：M、N、C三点共线.
4.（2022·高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.（1）用向量与表示向量，；（2）若，求证：三点共线.
5.（2022·山东高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．
高频考点8. 利用向量共线求参数
【方法点拨】解决向量共线的参数问题的基本方法：
向量共线的参数问题一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得，则向量与非零向量共线解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此求出参数.
1.（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2.（2022秋·福建福州·高一校考期末）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
3.（2022·全国·高一）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
4.（2022秋·安徽亳州·高一校考期末）设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022秋·浙江宁波·高一校考期末）设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则( )
A． B． C． D．
高频考点9. 向量共线定理推论
【方法点拨】
1.（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）设均为实数，已知不共线，点满足.
（1）若，求证：三点共线；（2）若三点共线，求证：.
2.（2022秋·广东深圳·高一统考期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·全国·高一假期作业）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
4.（2022秋·河南新乡·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足，则m=（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·山东高一课时练习）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）设G为的重心，过点G作直线分别交AB AC于P，Q.已知，，求的值.
高频考点10. 三角形的心的向量表示
【方法点拨】三角形的“四心：
(1)三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线交点，内心到三角形三边的距离相等.
(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点，满足，则点M为△ABC的外心.
(3)三角形的垂心：三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心：三角形三条中线的交点.若G是△ABC内一点，且满足，则G是△ABC的重心.
1．（2022春·河南许昌·高一统考期末）已知P在所在平面内，满足，则P是的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
2．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
3.（2022·山东高一课时练习）O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，且λ≠1，则点P的轨迹一定通过△ABC的 （填重心，垂心，外心或内心）
4.（2022·山东高一课时练习）O是平面上一定点，△ABC中AB＝AC，一动点P满足：λ（），λ∈（0，+∞），则直线AP通过△ABC的 （请在横线上填入正确的编号）
①外心 ②内心 ③重心 ④垂心．
5.（2022·湖北高一课时练习）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为△ABC内一点，若分别满足下列四个条件：①abc ②tanA tanB tanC
③sin2A sin2B sin2C ④
则点O分别为△ABC的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·天津红桥·高一统考期末）向量（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·陕西铜川·高二校考期末）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
4．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）在中，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考开学考试）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2022秋·河南安阳·高二校考开学考试）若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
8.（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
10．（2022春·浙江杭州·高一联考阶段练习）设＝(＋)＋(＋)，是任一非零向量，则在下列结论中正确的为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春·山东东营·高一统考期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．和能构成一组基底
12．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上
C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
14．（2022春·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．
15．（2022春·湖北·高一校联考期中）给出下列命题：①若，同向，则有；②若，不共线，则有；③恒成立；④对任意两个向量、，总有；其中正确的命题是__________（填序号）．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有，则△AOC的面积为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高三专题练习）计算：
(1)；(2).
18.（2022·高一课时练习）如图，在五边形中，四边形是平行四边形，且，，，试用，，分别表示，，，及．
19.（2022·高一课时练习）设两个不共线的向量，若向量，，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？
20．（2022·高一单元测试）如图所示，在中，与相交于点.
(1)用和分别表示和；(2)若，求实数和的值.
21．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
22.（2022·全国·高一假期作业）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点.（1）求证：；（2）设，，，，求的最小值.
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