2022-2023学年北师大版数学七年级下册1.5平方差公式（第一课时）课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第一章 整式的乘除
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1.5 平方差公式
第1课时 平方差公式的认识
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导入新知
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？”
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
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学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）
2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点）
探究新知
平方差公式
知识点 1
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①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
算一算：看谁算得又快又准.
合作探究
探究新知
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②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么
规律？
=x2 － 12
=m2－22
=(2m)2－12
=(5y)2－z2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
探究新知
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(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
探究新知
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平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
右边是相同项的平方减去相反项的平方.
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探究新知
练一练：口答下列各题：
(1)(-a+b)(a+b)=_________.
(2)(a-b)(b+a)= __________.
(3)(-a-b)(-a+b)= ________.
(4)(a-b)(-a-b)= _________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
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探究新知
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
典例精析
利用平方差公式计算：（1）( 5+ 6x) ( 5-6x)；
（2）( x-2y) ( x+2y)； （3）(- m+n) (-m-n)
例1
解：（1）( 5 + 6 x) ( 5- 6 x) = 52 - ( 6 x )2
（2）( x - 2y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2
（3）( -m+n ) ( -m-n ) = ( - m )2 - n2
= 25- 36x2；
= x2 - 4y2；
= m2 -n2．
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探究新知
方法总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
巩固练习
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利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25；
(2)原式=(-2a)2-b2=4a2-b2；
(3)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2；
典例精析
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利用平方差公式计算：
（1） ；
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
例2
解：
（1）
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64
= a2b2- 64 ．
巩固练习
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(2)(a+3)(a2+9)(a-3).
计算：
(2)原式=(a+3)(a-3)(a2+9)
=(a2-9)(a2+9)
=(a2)2-92
=a4-81.
解：(1)
典例精析
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例3 先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)，其中x=1，y=2.
解：原式＝4x2-y2-(4y2-x2)
原式＝5×12－5×22＝－15.
＝4x2-y2-4y2+x2
＝5x2-5y2.
当x=1，y=2时，
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巩固练习
先化简,再求值:(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1),其中x=2.
解：(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1)
=9-x2+2(x2-1)
=9-x2+2x2-2
=7+x2
当x=2时，
原式=7+22
=7+4
=11
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中考真题
1.（杭州）（1+y）（1﹣y）＝（　　）
A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2
2.（临沂）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝ ．
C
-1
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课堂检测
基础巩固题
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
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课堂检测
基础巩固题
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2-9；
=4x4－y2.
解：原式=(2a+3)(2a-3)
=a2-9b2 ；
=(2a)2-32
解：原式=(-2x2 )2－y2
解：原式=(a)2-(3b)2
（2）(3+2a)(-3+2a)；
（3）(-2x2-y)(-2x2+y).
4.利用平方差公式计算：
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：原式=(－5+6x)(－5－6x)
=(－5)2－(6x)2
=25－36x2.
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课堂检测
基础巩固题
5.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x－2)=x2－2;
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
不对
改正：x2－4
不对
改正方法1：
原式=－[(3a+2)(3a－2)]
=－(9a2－4)
=－9a2+4;
改正方法2：
原式=(－2－3a)(－2+3a)
=(－2)2－(3a)2
=4－9a2.
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课堂检测
基础巩固题
6．用简便方法计算，将98×102变形正确的是(　　) A．98×102＝1002＋22 B．98×102＝(100－2)2 C．98×102＝1002－22 D．98×102＝(100＋2)2
7.已知m＋n＝12，m－n＝2，则m2－n2＝________.
24
C
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课堂检测
能力提升题
先化简，再求值：(x+1)(x-1)＋x2(1-x)+x3，其中x＝2.
解：原式=x2-1+x2-x3+x3
=2x2-1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
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课堂检测
探索推广题
已知x≠1，计算：(1+x)(1-x)＝1-x2，(1-x)(1+x+x2)＝1-x3，(1-x)(1+x+x2+x3)＝1-x4
(1)观察以上各式并猜想：(1-x)(1+x+x2+…+xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)＝________；
②2+22+23+…+2n＝________(n为正整数)；
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)＝________；
1-xn+1
-63
2n+1-2　
x100-1　
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课堂检测
探索推广题
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a-b)(a+b)＝________；
②(a-b)(a2+ab+b2)＝________；
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)＝________．
a2-b2　
a3-b3　
a4-b4　
ZYT
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
THANKS
ZYT