2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系同步练习（含解析）

《2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系》同步练习
一、基础巩固
1.若0A.无实数根
B.有两个正根
C.有两个根,且都大于-3m
D.有两个根,其中一根大于-m
2.若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是(　　)
A.(-1,+∞) B.(-∞,0)
C.(-1,0) D.[-1,0)
3.已知x1,x2是方程x2-x+1=0的两根,则=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
4.若m,n满足m2+5m-3=0,n2+5n-3=0,且m≠n,则的值为(　　)
A. B.-
C.- D.
5.已知x为实数,且满足(x2+3x)2+2(x2+3x)-3=0,则x2+3x的值为　　　　.
6.(2022上海浦东高一期末)已知α,β是关于x的方程x2-2mx+m2-4=0(m∈R)的两个根,则|α-β|=　　　　　.
7.已知关于x的方程x2-mx+m-1=0的两根为x1,x2,且=5,则m=　　　　.
8.已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且x2-4x-k=0与x2+mx+1=0有一个根相同,求此时m的值.
二、能力提升
9.已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为(　　)
A.-1 B.9
C.23 D.27
10.(多选题)关于x的方程mx2-4x-m+5=0,以下说法正确的是(　　)
A.当m=0时,方程只有一个实数根
B.当m=1时,方程有两个相等的实数根
C.当m=-1时,方程没有实数根
D.当m=2时,方程有两个不相等的实数根
11.在解方程x2+px+q=0时,甲同学看错了p,解得方程的根为x1=1,x2=-3;乙同学看错了q,解得方程的根为x1=4,x2=-2,则方程中的p=　　　　,q=　　　　.
12.关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实数根分别是x1,x2且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是　　　　.
13. 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=16 cm,BC=8 cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2 cm/s的速度运动,另一动点Q从点A出发沿着AC边以4 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t(单位:s).
(1)若△PCQ的面积是△ABC面积的,求t的值;
(2)△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的面积相等 若能,求出t的值;若不能,说明理由.
14.当k为何值时,关于x的方程x2+2(k-3)x+4k=0分别满足:
(1)无实数根;
(2)有两个正实数根.
15.关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,存不存在这样的实数k,使得|x1|-|x2|= 若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.A　方程整理为x2+7mx+3m2+37=0,
Δ=49m2-4(3m2+37)=37(m2-4),
∵0∴Δ<0,∴方程没有实数根.
2.D　∵关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根a,b之和大于-4,∴a+b=-=-(2k+4)>-4,∴k<0.
由Δ=[2(k+2)]2-4×1·k2=16(k+1)≥0,解得k≥-1,即k的取值范围是[-1,0).故选D.
3.D　∵x1,x2是方程x2-x+1=0的两根,∴x1+x2=,x1x2=1,则=(x1+x2)2-2x1x2=7-2=5.故选D.
4.D　由题得,m,n可看作方程x2+5x-3=0的两个根.
∴m+n=-5,mn=-3,∴.
故选D.
5.1　设x2+3x=y,则方程化为y2+2y-3=0,即(y-1)(y+3)=0,解得y1=1,y2=-3,即x2+3x=1或x2+3x=-3.
又x2+3x=x+2-≥-,∴x2+3x=1.
6.4　因为α,β是关于x的方程x2-2mx+m2-4=0(m∈R)的两个根,所以α+β=2m,αβ=m2-4,所以|α-β|==4.
7.-1或3　由题可得x1+x2=m,x1x2=m-1,=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2m+2=5,解得m=-1或m=3,经检验m=-1或m=3均符合题意,所以实数m=-1或3.
8.解(1)由题意Δ=(-4)2-4k=4(4-k)>0,∴k<4.
即k的取值范围为(-∞,4).
(2)∵k∈(-∞,4),∴符合条件的最大整数为k=3.
∴方程x2-4x-k=0即x2-4x-3=0,其解集为{2-,2+}.
设方程x2+mx+1=0的两根为x1,x2,则
若方程x2+mx+1=0的一个根为2-,
则另一个根为=-,
此时m=-(x1+x2)=-.
若方程x2+mx+1=0的一个根为2+,则另一个根为,
此时m=-(x1+x2)=-=-.
二、能力提升
9.D　由根与系数的关系,得
则α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=52+2=27.
10.AB　当m=0时,方程化为-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,A正确;
当m=1时,方程化为x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以此时方程有两个相等的实数根,B正确;
当m=-1时,方程化为-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以此时方程有两个不相等的实数根,C错误;
当m=2时,方程化为2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以此时方程无实数根,D错误.
11.-2　-3　甲同学看错了p,但没有看错q,乙同学看错了q,但没有看错p,所以根据根与系数的关系,得q=(-3)×1=-3,p=-(-2+4)=-2.
12.(-∞,0)∪0,　因为一元二次方程有实数根,所以Δ=4(m-1)2-4m2=4-8m≥0,所以m≤.
因为x1+x2=-2(m-1)>0,所以m<1.
因为x1x2=m2>0,所以m≠0.
综上,m≤且m≠0.
13.解(1)∵S△PCQ=×2t(16-4t),S△ABC=×8×16=64,∴×2t(16-4t)=64×,
整理得t2-4t+4=0,解得t=2.
∴当t=2 s时△PCQ的面积为△ABC面积的.
(2)不能.理由如下:当△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等,即当S△PCQ=S△ABC时,×2t(16-4t)=64×,整理,得t2-4t+8=0,Δ=(-4)2-4×1×8=-16<0,
∴此方程没有实数根,∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等.
14.解(1)∵关于x的方程x2+2(k-3)x+4k=0无实数根,
∴Δ=4(k-3)2-4×4k<0,
∴k2-10k+9<0,
解得1(2)∵关于x的方程x2+2(k-3)x+4k=0有两个正实数根,
∴
解得015.解(1)由题意,Δ=[-(2k-1)]2-4(k2-2k+3)=4k-11>0,解得k>,即k的取值范围为,+∞.
(2)存在.
由根与系数的关系知,x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3=(k-1)2+2>0,
将|x1|-|x2|=两边平方可得-2x1x2+=5,
即(x1+x2)2-4x1x2=5,
代入得(2k-1)2-4(k2-2k+3)=5,
即4k-11=5,解得k=4.