第十章 概率 章末综合测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

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第十章 概率 章末综合测试
必修第二册高中数学人教A版（2019）
考试范围：必修第二册第十章 概率；考试满分：150分
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．若P是一个质数，则像2P﹣1这样的正整数被称为梅森数．从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．现有分别来自三个地区的10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最可能是（　　）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率
D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1，2，3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1，2，3，4，5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1，2，3，4，5，6，7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i个盒子中取出的卡片的号码为xi（i＝1，2，3），则x1+x2+x3为奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列叙述正确的是（　　）
A．某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件
B．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件
C．抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于
D．气象部门预报明天下雨的概率为80%，说明该地区有80%的地方下雨，其余20%的地方不下
10．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（　　）
A．事件A与事件B互斥 B．
C．事件A与事件相互独立 D．
11．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3，下列判断正确的是（ ）
A. 3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为0.675
B. 4个臭皮匠能顶个诸葛亮
C. 5个臭皮匠能顶个诸葛亮
D. 6个臭皮匠能顶个诸葛亮
12．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（　　）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如表所示．
胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数
307 120 73
则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于 　 　．
14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 　 　．
15．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.5．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为 　 　．
16．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作．否则就需要维修，则集成电路E需要维修的概率为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求：
（1）该选手射击一次，命中不足9环的概率；
（2）该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环的概率；
（3）该选手射击两次（两次结果互不影响），两次命中之和不低于18环的概率．
18．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．
（1）若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率；
（2）求恰好打完2局结束比赛的概率．
19．江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率．
20．体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：
等级 优 良 中 不及格
人数 5 19 23 3
（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；
（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．
① 写出所有等可能的基本事件；
② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．
21．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件．已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；
（2）已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求从中任意抽取一件零件为一等品的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）
22．高二年级有甲、乙、丙、丁4支辩论队进行辩论比赛，赛程如图的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两支辩论队，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i“，第6场为决赛，获胜的是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每支辩论队胜负的可能性相同．
（1）求甲获得冠军的概率；
（2）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
第十章 概率 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，设五种字体分别对应字母a,b,c,d,e，所有可能的选择情况有五种字体任意选两种有：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10种，其中恰好不选草书体的情况有ab,ac,ad, bc,bd, cd共6种，
故恰好不选草书体的概率为．
故选：A．
2．若P是一个质数，则像2P﹣1这样的正整数被称为梅森数．从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：50以内的所有质数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47共15个，
梅森数有22﹣1＝3，23﹣1＝7，25﹣1＝31三个，
从50以内的所有质数中任取两个数分类完成，共有14种情况： 包含2的质数有14个， 包含3的质数13个， 包含4的质数有12个，…… 包含41的质数有2种，包含43的质数有1种，共有14+13+12+……+2+1=105种情况，
两个数都为梅森数有3种情况，所以两个数都为梅森数的概率为．
故选：A．
3．现有分别来自三个地区的10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：设A＝“所取到的是女生报名表”，Bi＝“取到第i个地区的报名表”，i＝1，2，3，
则有．
故所取到的是女生报名表的概率为．
故选：D．
4．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：设A事件为第一次抽到理科试题，B事件为第二次抽到理科试题，
所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是P（AB）＝P（A）P（B）＝＝．
故选：D．
5．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意各路口没有遇到红灯的概率分别为，，，
所以经过三个路口没有遇到红灯的概率P＝．
故选：A．
6．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最可能是（　　）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率
D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
对于A，抛一枚硬币，正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
对于B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
对于C，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率为，故此选项不符合题意；
对于D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意，
故选：D．
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，
又2x+y≤16＝24，则x+y≤4，
则满足事件“2x+y≤16”的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）共6种，
则事件“2x+y≤16”的概率为，
故选：C．
8．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1，2，3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1，2，3，4，5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1，2，3，4，5，6，7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i个盒子中取出的卡片的号码为xi（i＝1，2，3），则x1+x2+x3为奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成，
第一步从第一个盒子中取一张卡片，有3种方法，
第二步从第二个盒子中取一张卡片，有5种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有7种方法，
由分步乘法计数原理可得共有3×5×7种方法，
事件x1+x2+x3为奇数等价于x1，x2，x3都为奇数或x1，x2，x3中有一个为奇数，两个为偶数，其中事件x1，x2，x3都为奇数包含2×3×4个基本事件，即24个基本事件，事件x1为奇数，x2，x3为偶数包含2×2×3个基本事件，即12个基本事件，事件x2为奇数，x1，x3为偶数包含3×1×3个基本事件，即9个基本事件，事件x3为奇数，x2，x1为偶数包含1×2×4个基本事件，即8个基本事件，
所以事件x1+x2+x3为奇数包含的基本事件数为24+12+9+8，即53个基本事件，
所以，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列叙述正确的是（　　）
A．某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件
B．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件
C．抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于
D．气象部门预报明天下雨的概率为80%，说明该地区有80%的地方下雨，其余20%的地方不下
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不会同时发生，是互斥事件，A正确；
对于B，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”即“甲乙都射中目标”、“只有甲射中目标”和“只有乙射中目标”，与“没有人射中目标”是对立事件，B正确；
对于C，抛掷一枚硬币，第5次出现反面向上的概率等于，C错误；
对于D，气象部门预报明天下雨的概率为80%，说明该地区有80%的可能下雨，D错误；
故选：AB．
10．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝18，n（A）＝9，n（B）＝6，n（A∪B）＝12，则（　　）
A．事件A与事件B互斥 B．
C．事件A与事件相互独立 D．
解：由题意可得：P（A）＝＝，P（B）＝＝，
则P（）＝1﹣P（B）＝，
∵n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（AB），
∴n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝3≠0，即事件A与事件B不互斥，A错误；
可得：n（∪B）＝n（Ω）﹣n（A）+n（AB）＝12，
故P（AB）＝＝，
P（∪B）＝＝，
P（AB）＝1﹣P（∪B）＝，
P（）＝1﹣P（AB）＝，
可知B正确，D错误；
又∵P（A）＝P（A）P（），
∴事件A与事件相互独立，C正确．
故选：BC．
11．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3，下列判断正确的是（ ）
A. 3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为0.675
B. 4个臭皮匠能顶个诸葛亮
C. 5个臭皮匠能顶个诸葛亮
D. 6个臭皮匠能顶个诸葛亮
11.解析：当有3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）3=0.657＜0.8，
当有4个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）4=0.7599＜0.8，
当有5个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）5=0.83193＞0.8，
故至少要5个臭皮匠能顶个诸葛亮．
故选：ACD．
12．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（　　）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
解：当至少选择一个选项，所有可能的选择情况有15种，分别为：A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，
A，甲同学仅随机选一个选项有4种情况，能得5分有2种情况为C，D，则能得5分的概率是＝，故A正确，
B，乙同学仅随机选两个选项有6种情况，能得10分有1种情况为CD，则能得10分的概率，故B正确，
C，丙同学仅随机选择选项有15种情况，能得分有3种情况为C，D，CD，则能得分的概率是＝，故C正确，
D，丁同学随机至少选择两个选项有11种情况，能得分有1种情况为CD，则能得分的概率是，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如表所示．
胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数
307 120 73
则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于 　　．
解：依题意使用药物后胆固醇降低的人数为307，又试验总次数为500，
所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于．
故答案为：．
14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 　　．
解：由题意可知，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个数，有6×6＝36种不同的结果，
则满足|a﹣b|≤1的情况有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）共16种，
所以他们“心有灵犀”的概率为．
故答案为：．
15．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.5．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为 　0.79　．
解：被第一代感染者传染的概率P1＝×0.9＝0.45，
被第二代感染者传染的概率P2＝×0.8＝0.24，
被第三代感染者传染的概率P3＝×0.5＝0.1，
所以小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触被感染的概率为P＝P1+P2+P3＝0.45+0.24+0.1＝0.79．
故答案为：0.79．
16集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作．否则就需要维修，则集成电路E需要维修的概率为__________.
解：三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
① 3个元件都不能正常工作，概率为
P1＝P()＝P()P()P()＝××＝；
② 3个元件中的2个不能正常工作，概率为
P2＝P(A ＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝＝.
所以集成电路E需要维修的概率为P1＋P2＝＋＝.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求：
（1）该选手射击一次，命中不足9环的概率；
（2）该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环的概率；
（3）该选手射击两次（两次结果互不影响），两次命中之和不低于18环的概率．
解：（1）用P（i）表示该选手射击一次命中环数为i的概率（0≤i≤10，i∈N），
则该选手射击一次，命中不足9环的概率为：P（i＜9）＝1﹣P（10）﹣P（9）＝0.4；
（2）该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环，
分为两种情形：“第一次命中10环，第二次命中8环”，或者“第一次命中8环，第二次命中10环”，将上述事件分别记作事件A和事件B，则A、B互斥，
又事件A中“第一次命中10环”与“第二次命中8环”相互独立，
所以P（A）＝P（10） P（8）＝0.0576，同理P（B）＝0.0576，
所以该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环的概率是P（A）+P（B）＝0.1152；
（3）该选手射击两次（两次结果互不影响），两次命中之和不低于18环的概率P＝P（10） P（10）+P（10） P（9）+P（10） P（8）+P（9） P（10）+P（9） P（9）+P（8） P（10）＝0.4752．
18．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．
（1）若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率；
（2）求恰好打完2局结束比赛的概率．
解：（1）记“甲”表示甲赢，“乙”表示乙赢，“丙”表示丙赢，
则丙成为优胜者的情形为：甲丙丙，乙丙丙，
①甲赢乙，丙赢甲，丙赢乙的概率，
②乙赢甲，丙赢乙，丙赢甲的概率，
∴丙成为优胜者的概率为．
故甲、乙两人打第一局，丙成为优胜者的概率为；
（2）若甲乙先比赛，2局结束比赛的情形分为甲赢乙，甲赢丙；乙赢甲，乙赢丙，对应概率为．
若甲丙先比赛，2局结束比赛情形分为甲赢丙，甲赢乙；丙赢甲，丙赢乙，对应概率为
若乙丙先比赛，2局结束比赛的情形分为乙赢丙，乙赢甲；丙赢乙，丙赢甲，对应概率为．
∴恰打完2局结束比赛的概率．
故恰好打完2局结束比赛的概率为．
19．江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率．
解：（1）用a、b分别表示“选择物理”，“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”，“选择生物”，“选择思想政治”，“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bef，bde，bdf，bef}，共12种，
设A＝“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”，
则 A＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共5种，
∴P（A）＝；
（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是M，N，Q，
由题意知事件M，N，Q相互独立，由（1）知P（M）＝P（N）＝P（Q）＝，
记Z＝“甲、乙、丙三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求“，
则Z＝MN∪MQ∪NQ∪MNQ，
易知以上子事件两两互斥，
根据互斥事件概率加法公式得P（Z）＝P（MN）+P（MQ）+P（NQ）+P（MNQ）＝××（1﹣）×3+××＝．
20．体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：
等级 优 良 中 不及格
人数 5 19 23 3
（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；
（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．
① 写出所有等可能的基本事件；
② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．
解（1）记“测试成绩为良或中”为事件，“测试成绩为良”为事件，“测试成绩为中”为事件，事件，是互斥的．　　 　　　
由已知，有．　　　　 　　 　　　　
因为当事件，之一发生时，事件发生，
所以由互斥事件的概率公式，得
．　
（2）① 有10个基本事件：，，，，，，
，，，．
② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件．在上述等可能的10个基本事件中， 事件包含了，，，，，．　　　　　　　　
故所求的概率为．　　　　　　　
答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为．　　
21．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件．已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；
（2）已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求从中任意抽取一件零件为一等品的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）
解：（1）根据题意，设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，则A、B、C相互独立，
设P（A）＝x，P（B）＝y，P（C）＝z，
则有，解得，故甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为，，．
（2）设乙机床加工的零件数为2a，则甲、丙机床加工的零件数分别为4a，3a，则一等品的零件数总数为4a +2a +3a ＝5a．
则将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率为＝．
22．高二年级有甲、乙、丙、丁4支辩论队进行辩论比赛，赛程如图的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两支辩论队，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i“，第6场为决赛，获胜的是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每支辩论队胜负的可能性相同．
（1）求甲获得冠军的概率；
（2）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
解：（1）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜
所以甲获得冠军的概率为．
（2）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；
甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜．
所以甲与乙在决赛相遇的概率为，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：
乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；
乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜．
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，
乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为＝，
丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为＝．