第三章 圆锥曲线的方程 章末综合测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 章末综合测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 789.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 05:00:22 | ||
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文档简介
绝密★启用前
第三章 圆锥曲线的方程 章末综合测试
选择性必修第一册高中数学人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程；考试满分：150分钟
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．双曲线
C．一个点 D．一条直线和一条射线
3．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米 B．（8﹣4）米 C．米 D．米
4．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．已知直线l经过抛物线x2＝32y的焦点为F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点T（0，t），使得∠MTN为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣8，0） B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若，则线段PF的长度为（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．设F1、F2椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为k（k＞0）直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若|AF|＝3|BF|，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C．3x﹣y﹣9＝0 D．x﹣3y﹣3＝0
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P（x0，y0）为C上一动点，点A（2，1），则（ ）
A．当x0＝2时，|PF|＝3
B．当y0＝1时，C在点P处的切线方程为2x﹣2y+1＝0
C．|PA|+|PF|的最小值为3
D．|PA|﹣|PF|的最大值为
10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，若A、B两点在准线上的射影分别为M、N，线段MN的中点为C，则下列叙述正确的是（ ）
A．AC⊥BC
B．四边形AMCF的面积等于
C．|AF|+|BF|＝|AF| |BF|
D．直线AC与抛物线相交
11．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一．关于曲线C给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于y轴对称
B．图形关于x轴对称
C．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
D．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
12．若直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于M，N两点，F1，F2分别是椭圆Γ的左、右焦点，P是动点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ．
14．直线l：y＝x﹣1过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，则＝ ．
15．已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|MF||NF|＝4，∠MFN＝60°，则的最小值为 ．
16．已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知双曲线，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点P（x0，y0）为抛物线上一点．
（1）求双曲线的离心率和渐近线方程；
（2）求抛物线的方程和抛物线的准线方程；
（3）若点P到抛物线的焦点的距离是5，求x0的值．
18．已知动圆E与直线x+＝0相切，且与圆x2+y2﹣2x+＝0外切．
（1）求动圆E的圆心轨迹M的方程；
（2）过点S（2，0）斜率为k1的直线交轨迹M于A，B两点，点Q（1，0），延长AQ，BQ分别与轨迹M交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．
19．已知抛物线：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
（1）求抛物线方程；
（2）是否存在直线AB，使得|CD|是|FA|与|FB|的等比中项，若存在，请求出AB的方程及a；若不存在，请说明理由．
20．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且双曲线C过点G（，）， ＝0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知过点（0，﹣1）的直线l交双曲线C左、右两支于M，N两点，交双曲线C的渐近线于P，Q（点Q位于y轴的右侧）两点，求的取值范围．
21．已知椭圆的左右焦点F1，F2分别是双曲线的左右顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设P是第一象限内C1上的一点，PF1，PF2的延长线分别交C1于点Q1，Q2，设r1，r2分别为△PF1Q2、△PF2Q1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．
22．已知椭圆Γ：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（2）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2﹣S1的最大值．
第三章 圆锥曲线的方程 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
解：由题知在椭圆中c2＝40﹣15＝25，
∴焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），
∴双曲线中，焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），c＝5，
∵，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2﹣a2＝16．
故双曲线的方程为．
故选：A．
2．方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．双曲线
C．一个点 D．一条直线和一条射线
解：由（2x+3y）（2x﹣3y）＝0，得2x+3y＝0或2x﹣3y＝0，
故方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是两条直线，
故选：A．
3．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米 B．（8﹣4）米 C．米 D．米
解：由题意得M（0，﹣4），，即，解得m＝4，
∴，
当水面宽度为米时，即时，，
拱顶M到水面的距离为，
故选：D．
4．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
解：依题意，F（1，0）是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，故，则p＝2，y2＝4x．
根据已知条件如图所示，A在x轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1，
过B作AA1的垂线，垂足为P，设|BF|＝x，|AF|＝kx，
根据抛物线的定义知|BB1|＝x，|AA1|＝kx，
所以直角梯形AA1B1B中|A1P|＝x，|AP|＝|AA1|﹣|A1P|＝（k﹣1）x，|AB|＝（k+1）x，
又直线AB的倾斜角45°，故，
解得，即，
故选：A．
5．已知直线l经过抛物线x2＝32y的焦点为F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点T（0，t），使得∠MTN为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣8，0） B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）
解：抛物线x2＝32y的焦点F（0，8），显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+8，
由消去y得：x2﹣32kx﹣256＝0，
由于直线l交抛物线于M，N两点，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝﹣256，
，当且仅当|x1|＝|x2|＝16且x1x2＜0时取等号，
因为T（0，t），
所以，
则＝，
而存在一点T（0，t），使得∠MTN为钝角，
则，所以t2﹣16t﹣192＜0，
解得﹣8＜t＜0，
所以t的取值范围为（﹣8，0）．
故选：A．
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若，则线段PF的长度为（ ）
A．4 B． C．2 D．
解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），
设N（x1，y1），P（x2，y2），
∵，
∴x1+1＝2（1﹣x1），解得x1＝．
∴|NF|＝x1+＝+1＝，
∴|MF|＝3|NF|＝4，
∴yM＝＝2＝y2，
∴＝4x2，解得x2＝3，
∴|PF|＝x2+＝3+1＝4，
故选：A．
7．设F1、F2椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n；
在△MF1F2 中，由正弦定理有：＝；
＝＝e，则e＝＝；
解得：n＝；
由于a﹣c＜|MF2|＜a+c；
即（a+c）（a﹣c）＜2a2＜（a+c）2；
又a2﹣c2＜2a2 成立；则有a＜a+c ；
∴离心率：﹣1＜e＜1；
故选：C．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为k（k＞0）直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若|AF|＝3|BF|，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C．3x﹣y﹣9＝0 D．x﹣3y﹣3＝0
解：因为椭圆的方程，
所以c2＝25﹣16＝9，即c＝3，
所以右焦点为（3，0），
因为抛物线的方程为y2＝2px，
所以抛物线的焦点为（，0），
所以＝3，即p＝6，
所以抛物线方程为y2＝12x，
所以直线l的方程为y＝k（x﹣3），
所以|CF|＝6，
过点A，B分别作准线x＝﹣3的垂线，垂足为M，N，
取AB的中点E，过E作准线的垂线，垂足为H，
由|AF|＝3|BF|，
所以|AB|＝4|BF|，
又E为AB的中点，
所以|AB|＝2|BE|，
所以|BE|＝2|BF|，即F为BE的中点，
设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|BM|＝|BF|＝m，|AN|＝|AF|＝3m，
所以|EH|＝2m，
所以|CF|＝＝＝6，
所以m＝4，
所以B点的横坐标为1，
代入抛物线的方程可知B点的纵坐标为﹣2，
所以B（1，﹣2），
把B点坐标代入直线l的方程：y＝k（x﹣3），
所以﹣2＝k（1﹣3），即k＝，
所以直线l的方程为y＝（x﹣3），即x﹣y﹣3＝0，
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P（x0，y0）为C上一动点，点A（2，1），则（ ）
A．当x0＝2时，|PF|＝3
B．当y0＝1时，C在点P处的切线方程为2x﹣2y+1＝0
C．|PA|+|PF|的最小值为3
D．|PA|﹣|PF|的最大值为
解：因为抛物线C：y2＝4x，所以准线l的方程是x＝﹣1．
对于A，当x0＝2时，2p＝4，由抛物线的定义可得，故A正确；
对于B，当y0＝1时，，令切线方程为：，与y2＝4x联立得，y2﹣4my+4m﹣1＝0，
由于相切，则Δ＝16m2﹣16m+4＝0，解得，
即切线方程为：，即4x﹣2y+1＝0，故B错误；
对于C，过点P，A分别作准线l的垂线，垂足为Q，B，
由抛物线定义可知，|PF|＝|PQ|，
则|PA|+|PF|＝|PA|+|PQ|≥|AB|＝3，所以|PA|+|PF|的最小值为3，故C正确．
对于D，因为焦点F（1，0），所以，
当且仅当P、A、F三点共线时等号成立，
所以|PA|﹣|PF|的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，若A、B两点在准线上的射影分别为M、N，线段MN的中点为C，则下列叙述正确的是（ ）
A．AC⊥BC
B．四边形AMCF的面积等于
C．|AF|+|BF|＝|AF| |BF|
D．直线AC与抛物线相交
解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1．
因为A，B在抛物线上且过焦点F，
设，设直线AB的方程为x＝ty+1，
联立，可得y2﹣4ty﹣4＝0，
所以y1y2＝﹣4，
因为线段MN的中点为C，所以．
所以，
，所以，AC⊥BC，A选项正确；
对于B选项，因为M（﹣1，y1），所以，所以，
所以AC⊥MF，所以四边形AMCF的面积等于，B选项正确；
对于C选项，根据抛物线的定义知，
所以，，所以，|AF|+|BF|＝|AF| |BF|，C选项正确；
对于D选项，直线AC的斜率为，
抛物线y2＝4x在点A处的切线方程为，
联立，消去x可得，
由题意可得，可得ky1＝2，即，则k＝kAC．
所以直线AC与抛物线y2＝4x相切，D选项错误．
故选：ABC．
11．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一．关于曲线C给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于y轴对称
B．图形关于x轴对称
C．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
D．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
解：若点（x0，y0）在曲线C上，则有，
∵（﹣x0，y0）也满足曲线C的方程，∴图形关于y轴对称，∴A正确；
∵点（x0，﹣y0）不满足曲线C的方程，∴图形不关于x轴对称，∴B错误；
当x＞0时，方程可写为x2+y2＝1+xy，
由重要不等式x2+y2≥2xy，可得，
∴，
∴x2+y2≤2，
∴曲线上的点（x，y）到原点的距离等于，∴C正确；
作出心形图如图，可知心形图上半部分面积大于长为2，宽为1的矩形面积，
下半部分大于腰长为的等腰直角三角形的面积，
∴心形面积大于3，∴D正确．
故选：ACD．
12．若直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于M，N两点，F1，F2分别是椭圆Γ的左、右焦点，P是动点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由椭圆，得a＝2，b＝，c＝1，F1（﹣1，0），F2（1，0），
|MF1|+|MF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，
cos∠F1MF2＝＝＝＝﹣1，
∵4＝|MF1|+|MF2|≥2，则|MF1||MF2|≤4，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时等号成立，
∴cos∠F1MF2＝﹣1≥，故A正确；
联立方程，消去x得（3+4k2）y2﹣12k2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
解得y1＝﹣，y2＝，
则S＝|F1F2||y1﹣y2|＝2＝2，
∵k2＞0，∴+4＞4，0＜2＜2，则S＜2，故B正确；
由题意F1N∥MF2，则∠MF1N+∠F1MF2＝π，则cos∠MF1N＝﹣cos∠F1MF2≤﹣，故C正确；
因为P是动点，则当P与O重合时，|PM|2+|PN|2＝2|OM|2，|PF1|2+|PF2|2＝2|OF2|2，由|OM|＞|OF2|＝1，可知D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 （﹣6，﹣1） ．
解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
可得4﹣m＞6+m＞0，解得m∈（﹣6，﹣1）．
故答案为：（﹣6，﹣1）．
14．直线l：y＝x﹣1过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，则＝ 1 ．
解：直线y＝x﹣1过点（1，0），所以F（1，0），
所以，
所以抛物线方程为y2＝4x，
不妨设，
所以，，
所以．
故答案为：1．
15．已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|MF||NF|＝4，∠MFN＝60°，则的最小值为 ．
解：已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，
设双曲线的左焦点为F1，
由双曲线的性质可得：四边形MF1NF为平行四边形，
又∠MFN＝60°，
则∠F1MF＝120°，
在△MFF1中，由余弦定理可得，
又||MF1|﹣|MF||＝2a，|MF||MF1|＝4，
则4c2＝4a2+12，
即c2＝a2+3，
则＝，
当且仅当时取等号，
则的最小值为，
故答案为：．
16．已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为 ．
解：因为（x﹣2）2+y2＝9与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），
又圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，
所以a＝1，c＝5，
因为P为C右支上任意一点，根据双曲线的定义有|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
即|PF1|＝|PF2|+2，令t＝|PF2|∈[4，+∞），
则，
因为y＝在[4，+∞）上为增函数，所以，
所以，所以，即．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知双曲线，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点P（x0，y0）为抛物线上一点．
（1）求双曲线的离心率和渐近线方程；
（2）求抛物线的方程和抛物线的准线方程；
（3）若点P到抛物线的焦点的距离是5，求x0的值．
解：（1）由双曲线，可得a＝1，b＝，c＝＝2，∴e＝＝2，渐近线方程为y＝±x．
（2）由题意可得＝2，解得p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x，准线方程为x＝﹣2．
（3）∵点P到抛物线的焦点的距离是5，
∴x0+2＝5，解得x0＝3．
18．已知动圆E与直线x+＝0相切，且与圆x2+y2﹣2x+＝0外切．
（1）求动圆E的圆心轨迹M的方程；
（2）过点S（2，0）斜率为k1的直线交轨迹M于A，B两点，点Q（1，0），延长AQ，BQ分别与轨迹M交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．
解：（1）圆x2+y2﹣2x+＝0的标准方程为圆，
设动圆E的圆心坐标为（x，y），
由动圆与直线x+＝0相切，且与圆外切，
故有，
两边平方化简得y2＝4x，
所以动圆E的圆心轨迹方程为y2＝4x．
证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由题意可知直线AB的方程为x＝ty+2，其中t＝，
代入抛物线y2＝4x中，消去x得y2﹣4ty﹣8＝0，则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣8，
，故直线AC的方程为，
整理得4x﹣（y1+y3）y+y1y3＝0，
又因为直线AC过点Q（1，0），故有4+y1y3＝0，可得y1y3＝﹣4，
∴，
同理，由直线BD过点Q（1，0），可得，
于是，
即证为定值2，命题得证．
19．已知抛物线：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
（1）求抛物线方程；
（2）是否存在直线AB，使得|CD|是|FA|与|FB|的等比中项，若存在，请求出AB的方程及a；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得y2﹣2pmy﹣p2＝0，
则，，，
又，
所以p2＝4，
又p＞0，
所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x；
（2）由（1）可知：F（1，0），|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
所以，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
由，得（m2+a2）y2+2my+1﹣a2＝0，
则，
所以，
若|CD|是|FA|与|FB|的等比中项，
则|CD|2＝|FA| |FB|，
即，
所以，即，
所以m4+m2a2+a2＝0，
因为m4≥0，m2≥0，a2≥1，
所以m4+m2a2+a2≥1，
所以方程m4+m2a2+a2＝0无解，
所以不存在直线AB，使得|CD|是|FA|与|FB|的等比中项．
20．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且双曲线C过点G（，）， ＝0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知过点（0，﹣1）的直线l交双曲线C左、右两支于M，N两点，交双曲线C的渐近线于P，Q（点Q位于y轴的右侧）两点，求的取值范围．
解：（1）设双曲线的半焦距为c，
∵G（，）， ＝0．
∴（﹣c﹣，﹣） （c﹣，﹣）＝0，
∴c2＝3，又﹣＝1，又∵a2+b2＝c2，解得a＝1．b＝，
∴双曲线C的方程为x2﹣＝1；
（2）由题意可设直线l的方程为y＝kx﹣1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
联立，解得xP＝，同理得xQ＝，
∴|PQ|＝|xP﹣xQ|＝|﹣|＝，
联立，得（2﹣k2）x2+2kx﹣3＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
由，
|MN|＝＝，
＝+﹣1＝﹣1＝﹣1
＝×﹣1＝﹣1．
又0＜k2＜2，∴1＜3﹣k2≤3，∴0＜﹣1≤﹣1，
∴的取值范围为（0，﹣1]．
21．已知椭圆的左右焦点F1，F2分别是双曲线的左右顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设P是第一象限内C1上的一点，PF1，PF2的延长线分别交C1于点Q1，Q2，设r1，r2分别为△PF1Q2、△PF2Q1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．
解：（1）设椭圆的左右焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵双曲线的顶点分别为（﹣1，0），（1，0），∴c＝1，
又椭圆的上顶点为（0，b），而双曲线的一条渐近线为y＝3x，
则有＝，解得b＝1，
∴a2＝12+12＝2，∴椭圆C1的方程为+y2＝1；
（2）设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），P（x0，y0），直线PF1的方程为y＝（x+1），
与椭圆方程联立方程组可得+（）2（x+1）2＝1，
整理可得（2x0+3）x2+4y02x﹣3x02﹣4x0＝0，
则x0x1＝，得x1＝﹣，y1＝（﹣+1）＝﹣，故Q1（﹣，﹣），
当x0≠1时，直线PF2的方程为y＝（x﹣1），
与椭圆方程联立方程组可得（﹣2x0+3）x2﹣4y02x﹣3x02+4x0＝0，
可得Q2（，），
∵＝×4r1，＝×4r2，
∴r1﹣r2＝＝＝＝（﹣﹣，）＝
＝≤＝．当且仅当x0＝，y0＝时等号成立，
若PF2⊥x轴时，易知P（1，），y1＝﹣，y2＝﹣．
此时r1﹣r2＝＝×＝，
综上所述：r1﹣r2的最大值为．
22．已知椭圆Γ：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（2）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2﹣S1的最大值．
解：（1）由椭圆Γ：＝1的方程可得a2＝4，b2＝3，可得c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，
可得a＝2，c＝1，可得F1（﹣1，0），F2（1，0），当PF2垂直于x轴时，则Q2的纵坐标为y＝﹣＝﹣，
所以Q2（1，﹣），P（1，），
∴k＝，直线PF1的方程为：y＝（x+1），
联立，解得或，则Q1（﹣，﹣），
∴k＝＝﹣，
∴直线Q1Q2的方程为y+＝﹣（x﹣1），即3x+10y+12＝0；
（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），设直线PF1的方程为x+1＝ty，其中t＝，
联立，消去x并整理可得，（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0，
由韦达定理可得y0y1＝＝，
又+＝1，则3x02+4y02＝12，
∴y1＝×＝＝，
同理可得y2＝，
∴S2﹣S1＝S S＝|F1F2|×|y2|﹣|F1F2|×|y1|＝，
令x0＝2cosθ，y0＝sinθ，0＜θ＜，
则S2﹣S1＝＝≤＝，当且仅当25sin2θ＝9cos2θ时等号成立，
∴S2﹣S1的最大值为．
第三章 圆锥曲线的方程 章末综合测试
选择性必修第一册高中数学人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程；考试满分：150分钟
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．双曲线
C．一个点 D．一条直线和一条射线
3．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米 B．（8﹣4）米 C．米 D．米
4．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．已知直线l经过抛物线x2＝32y的焦点为F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点T（0，t），使得∠MTN为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣8，0） B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若，则线段PF的长度为（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．设F1、F2椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为k（k＞0）直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若|AF|＝3|BF|，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C．3x﹣y﹣9＝0 D．x﹣3y﹣3＝0
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P（x0，y0）为C上一动点，点A（2，1），则（ ）
A．当x0＝2时，|PF|＝3
B．当y0＝1时，C在点P处的切线方程为2x﹣2y+1＝0
C．|PA|+|PF|的最小值为3
D．|PA|﹣|PF|的最大值为
10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，若A、B两点在准线上的射影分别为M、N，线段MN的中点为C，则下列叙述正确的是（ ）
A．AC⊥BC
B．四边形AMCF的面积等于
C．|AF|+|BF|＝|AF| |BF|
D．直线AC与抛物线相交
11．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一．关于曲线C给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于y轴对称
B．图形关于x轴对称
C．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
D．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
12．若直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于M，N两点，F1，F2分别是椭圆Γ的左、右焦点，P是动点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ．
14．直线l：y＝x﹣1过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，则＝ ．
15．已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|MF||NF|＝4，∠MFN＝60°，则的最小值为 ．
16．已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知双曲线，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点P（x0，y0）为抛物线上一点．
（1）求双曲线的离心率和渐近线方程；
（2）求抛物线的方程和抛物线的准线方程；
（3）若点P到抛物线的焦点的距离是5，求x0的值．
18．已知动圆E与直线x+＝0相切，且与圆x2+y2﹣2x+＝0外切．
（1）求动圆E的圆心轨迹M的方程；
（2）过点S（2，0）斜率为k1的直线交轨迹M于A，B两点，点Q（1，0），延长AQ，BQ分别与轨迹M交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．
19．已知抛物线：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
（1）求抛物线方程；
（2）是否存在直线AB，使得|CD|是|FA|与|FB|的等比中项，若存在，请求出AB的方程及a；若不存在，请说明理由．
20．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且双曲线C过点G（，）， ＝0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知过点（0，﹣1）的直线l交双曲线C左、右两支于M，N两点，交双曲线C的渐近线于P，Q（点Q位于y轴的右侧）两点，求的取值范围．
21．已知椭圆的左右焦点F1，F2分别是双曲线的左右顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设P是第一象限内C1上的一点，PF1，PF2的延长线分别交C1于点Q1，Q2，设r1，r2分别为△PF1Q2、△PF2Q1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．
22．已知椭圆Γ：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（2）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2﹣S1的最大值．
第三章 圆锥曲线的方程 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
解：由题知在椭圆中c2＝40﹣15＝25，
∴焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），
∴双曲线中，焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），c＝5，
∵，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2﹣a2＝16．
故双曲线的方程为．
故选：A．
2．方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是（ ）
A．两条直线 B．双曲线
C．一个点 D．一条直线和一条射线
解：由（2x+3y）（2x﹣3y）＝0，得2x+3y＝0或2x﹣3y＝0，
故方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是两条直线，
故选：A．
3．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米 B．（8﹣4）米 C．米 D．米
解：由题意得M（0，﹣4），，即，解得m＝4，
∴，
当水面宽度为米时，即时，，
拱顶M到水面的距离为，
故选：D．
4．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
解：依题意，F（1，0）是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，故，则p＝2，y2＝4x．
根据已知条件如图所示，A在x轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1，
过B作AA1的垂线，垂足为P，设|BF|＝x，|AF|＝kx，
根据抛物线的定义知|BB1|＝x，|AA1|＝kx，
所以直角梯形AA1B1B中|A1P|＝x，|AP|＝|AA1|﹣|A1P|＝（k﹣1）x，|AB|＝（k+1）x，
又直线AB的倾斜角45°，故，
解得，即，
故选：A．
5．已知直线l经过抛物线x2＝32y的焦点为F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点T（0，t），使得∠MTN为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣8，0） B．（﹣∞，﹣8） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）
解：抛物线x2＝32y的焦点F（0，8），显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+8，
由消去y得：x2﹣32kx﹣256＝0，
由于直线l交抛物线于M，N两点，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝﹣256，
，当且仅当|x1|＝|x2|＝16且x1x2＜0时取等号，
因为T（0，t），
所以，
则＝，
而存在一点T（0，t），使得∠MTN为钝角，
则，所以t2﹣16t﹣192＜0，
解得﹣8＜t＜0，
所以t的取值范围为（﹣8，0）．
故选：A．
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为C上一点，且N在第一象限，直线FN与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若，则线段PF的长度为（ ）
A．4 B． C．2 D．
解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），
设N（x1，y1），P（x2，y2），
∵，
∴x1+1＝2（1﹣x1），解得x1＝．
∴|NF|＝x1+＝+1＝，
∴|MF|＝3|NF|＝4，
∴yM＝＝2＝y2，
∴＝4x2，解得x2＝3，
∴|PF|＝x2+＝3+1＝4，
故选：A．
7．设F1、F2椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n；
在△MF1F2 中，由正弦定理有：＝；
＝＝e，则e＝＝；
解得：n＝；
由于a﹣c＜|MF2|＜a+c；
即（a+c）（a﹣c）＜2a2＜（a+c）2；
又a2﹣c2＜2a2 成立；则有a＜a+c ；
∴离心率：﹣1＜e＜1；
故选：C．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为k（k＞0）直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若|AF|＝3|BF|，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C．3x﹣y﹣9＝0 D．x﹣3y﹣3＝0
解：因为椭圆的方程，
所以c2＝25﹣16＝9，即c＝3，
所以右焦点为（3，0），
因为抛物线的方程为y2＝2px，
所以抛物线的焦点为（，0），
所以＝3，即p＝6，
所以抛物线方程为y2＝12x，
所以直线l的方程为y＝k（x﹣3），
所以|CF|＝6，
过点A，B分别作准线x＝﹣3的垂线，垂足为M，N，
取AB的中点E，过E作准线的垂线，垂足为H，
由|AF|＝3|BF|，
所以|AB|＝4|BF|，
又E为AB的中点，
所以|AB|＝2|BE|，
所以|BE|＝2|BF|，即F为BE的中点，
设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|BM|＝|BF|＝m，|AN|＝|AF|＝3m，
所以|EH|＝2m，
所以|CF|＝＝＝6，
所以m＝4，
所以B点的横坐标为1，
代入抛物线的方程可知B点的纵坐标为﹣2，
所以B（1，﹣2），
把B点坐标代入直线l的方程：y＝k（x﹣3），
所以﹣2＝k（1﹣3），即k＝，
所以直线l的方程为y＝（x﹣3），即x﹣y﹣3＝0，
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P（x0，y0）为C上一动点，点A（2，1），则（ ）
A．当x0＝2时，|PF|＝3
B．当y0＝1时，C在点P处的切线方程为2x﹣2y+1＝0
C．|PA|+|PF|的最小值为3
D．|PA|﹣|PF|的最大值为
解：因为抛物线C：y2＝4x，所以准线l的方程是x＝﹣1．
对于A，当x0＝2时，2p＝4，由抛物线的定义可得，故A正确；
对于B，当y0＝1时，，令切线方程为：，与y2＝4x联立得，y2﹣4my+4m﹣1＝0，
由于相切，则Δ＝16m2﹣16m+4＝0，解得，
即切线方程为：，即4x﹣2y+1＝0，故B错误；
对于C，过点P，A分别作准线l的垂线，垂足为Q，B，
由抛物线定义可知，|PF|＝|PQ|，
则|PA|+|PF|＝|PA|+|PQ|≥|AB|＝3，所以|PA|+|PF|的最小值为3，故C正确．
对于D，因为焦点F（1，0），所以，
当且仅当P、A、F三点共线时等号成立，
所以|PA|﹣|PF|的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，若A、B两点在准线上的射影分别为M、N，线段MN的中点为C，则下列叙述正确的是（ ）
A．AC⊥BC
B．四边形AMCF的面积等于
C．|AF|+|BF|＝|AF| |BF|
D．直线AC与抛物线相交
解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1．
因为A，B在抛物线上且过焦点F，
设，设直线AB的方程为x＝ty+1，
联立，可得y2﹣4ty﹣4＝0，
所以y1y2＝﹣4，
因为线段MN的中点为C，所以．
所以，
，所以，AC⊥BC，A选项正确；
对于B选项，因为M（﹣1，y1），所以，所以，
所以AC⊥MF，所以四边形AMCF的面积等于，B选项正确；
对于C选项，根据抛物线的定义知，
所以，，所以，|AF|+|BF|＝|AF| |BF|，C选项正确；
对于D选项，直线AC的斜率为，
抛物线y2＝4x在点A处的切线方程为，
联立，消去x可得，
由题意可得，可得ky1＝2，即，则k＝kAC．
所以直线AC与抛物线y2＝4x相切，D选项错误．
故选：ABC．
11．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一．关于曲线C给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于y轴对称
B．图形关于x轴对称
C．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
D．曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
解：若点（x0，y0）在曲线C上，则有，
∵（﹣x0，y0）也满足曲线C的方程，∴图形关于y轴对称，∴A正确；
∵点（x0，﹣y0）不满足曲线C的方程，∴图形不关于x轴对称，∴B错误；
当x＞0时，方程可写为x2+y2＝1+xy，
由重要不等式x2+y2≥2xy，可得，
∴，
∴x2+y2≤2，
∴曲线上的点（x，y）到原点的距离等于，∴C正确；
作出心形图如图，可知心形图上半部分面积大于长为2，宽为1的矩形面积，
下半部分大于腰长为的等腰直角三角形的面积，
∴心形面积大于3，∴D正确．
故选：ACD．
12．若直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于M，N两点，F1，F2分别是椭圆Γ的左、右焦点，P是动点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由椭圆，得a＝2，b＝，c＝1，F1（﹣1，0），F2（1，0），
|MF1|+|MF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，
cos∠F1MF2＝＝＝＝﹣1，
∵4＝|MF1|+|MF2|≥2，则|MF1||MF2|≤4，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时等号成立，
∴cos∠F1MF2＝﹣1≥，故A正确；
联立方程，消去x得（3+4k2）y2﹣12k2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
解得y1＝﹣，y2＝，
则S＝|F1F2||y1﹣y2|＝2＝2，
∵k2＞0，∴+4＞4，0＜2＜2，则S＜2，故B正确；
由题意F1N∥MF2，则∠MF1N+∠F1MF2＝π，则cos∠MF1N＝﹣cos∠F1MF2≤﹣，故C正确；
因为P是动点，则当P与O重合时，|PM|2+|PN|2＝2|OM|2，|PF1|2+|PF2|2＝2|OF2|2，由|OM|＞|OF2|＝1，可知D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 （﹣6，﹣1） ．
解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
可得4﹣m＞6+m＞0，解得m∈（﹣6，﹣1）．
故答案为：（﹣6，﹣1）．
14．直线l：y＝x﹣1过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，则＝ 1 ．
解：直线y＝x﹣1过点（1，0），所以F（1，0），
所以，
所以抛物线方程为y2＝4x，
不妨设，
所以，，
所以．
故答案为：1．
15．已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|MF||NF|＝4，∠MFN＝60°，则的最小值为 ．
解：已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，
设双曲线的左焦点为F1，
由双曲线的性质可得：四边形MF1NF为平行四边形，
又∠MFN＝60°，
则∠F1MF＝120°，
在△MFF1中，由余弦定理可得，
又||MF1|﹣|MF||＝2a，|MF||MF1|＝4，
则4c2＝4a2+12，
即c2＝a2+3，
则＝，
当且仅当时取等号，
则的最小值为，
故答案为：．
16．已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为 ．
解：因为（x﹣2）2+y2＝9与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），
又圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，
所以a＝1，c＝5，
因为P为C右支上任意一点，根据双曲线的定义有|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
即|PF1|＝|PF2|+2，令t＝|PF2|∈[4，+∞），
则，
因为y＝在[4，+∞）上为增函数，所以，
所以，所以，即．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知双曲线，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点P（x0，y0）为抛物线上一点．
（1）求双曲线的离心率和渐近线方程；
（2）求抛物线的方程和抛物线的准线方程；
（3）若点P到抛物线的焦点的距离是5，求x0的值．
解：（1）由双曲线，可得a＝1，b＝，c＝＝2，∴e＝＝2，渐近线方程为y＝±x．
（2）由题意可得＝2，解得p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x，准线方程为x＝﹣2．
（3）∵点P到抛物线的焦点的距离是5，
∴x0+2＝5，解得x0＝3．
18．已知动圆E与直线x+＝0相切，且与圆x2+y2﹣2x+＝0外切．
（1）求动圆E的圆心轨迹M的方程；
（2）过点S（2，0）斜率为k1的直线交轨迹M于A，B两点，点Q（1，0），延长AQ，BQ分别与轨迹M交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．
解：（1）圆x2+y2﹣2x+＝0的标准方程为圆，
设动圆E的圆心坐标为（x，y），
由动圆与直线x+＝0相切，且与圆外切，
故有，
两边平方化简得y2＝4x，
所以动圆E的圆心轨迹方程为y2＝4x．
证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由题意可知直线AB的方程为x＝ty+2，其中t＝，
代入抛物线y2＝4x中，消去x得y2﹣4ty﹣8＝0，则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣8，
，故直线AC的方程为，
整理得4x﹣（y1+y3）y+y1y3＝0，
又因为直线AC过点Q（1，0），故有4+y1y3＝0，可得y1y3＝﹣4，
∴，
同理，由直线BD过点Q（1，0），可得，
于是，
即证为定值2，命题得证．
19．已知抛物线：y2＝2px（p＞0），过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
（1）求抛物线方程；
（2）是否存在直线AB，使得|CD|是|FA|与|FB|的等比中项，若存在，请求出AB的方程及a；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得y2﹣2pmy﹣p2＝0，
则，，，
又，
所以p2＝4，
又p＞0，
所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x；
（2）由（1）可知：F（1，0），|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
所以，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
由，得（m2+a2）y2+2my+1﹣a2＝0，
则，
所以，
若|CD|是|FA|与|FB|的等比中项，
则|CD|2＝|FA| |FB|，
即，
所以，即，
所以m4+m2a2+a2＝0，
因为m4≥0，m2≥0，a2≥1，
所以m4+m2a2+a2≥1，
所以方程m4+m2a2+a2＝0无解，
所以不存在直线AB，使得|CD|是|FA|与|FB|的等比中项．
20．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且双曲线C过点G（，）， ＝0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知过点（0，﹣1）的直线l交双曲线C左、右两支于M，N两点，交双曲线C的渐近线于P，Q（点Q位于y轴的右侧）两点，求的取值范围．
解：（1）设双曲线的半焦距为c，
∵G（，）， ＝0．
∴（﹣c﹣，﹣） （c﹣，﹣）＝0，
∴c2＝3，又﹣＝1，又∵a2+b2＝c2，解得a＝1．b＝，
∴双曲线C的方程为x2﹣＝1；
（2）由题意可设直线l的方程为y＝kx﹣1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
联立，解得xP＝，同理得xQ＝，
∴|PQ|＝|xP﹣xQ|＝|﹣|＝，
联立，得（2﹣k2）x2+2kx﹣3＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
由，
|MN|＝＝，
＝+﹣1＝﹣1＝﹣1
＝×﹣1＝﹣1．
又0＜k2＜2，∴1＜3﹣k2≤3，∴0＜﹣1≤﹣1，
∴的取值范围为（0，﹣1]．
21．已知椭圆的左右焦点F1，F2分别是双曲线的左右顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设P是第一象限内C1上的一点，PF1，PF2的延长线分别交C1于点Q1，Q2，设r1，r2分别为△PF1Q2、△PF2Q1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．
解：（1）设椭圆的左右焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵双曲线的顶点分别为（﹣1，0），（1，0），∴c＝1，
又椭圆的上顶点为（0，b），而双曲线的一条渐近线为y＝3x，
则有＝，解得b＝1，
∴a2＝12+12＝2，∴椭圆C1的方程为+y2＝1；
（2）设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），P（x0，y0），直线PF1的方程为y＝（x+1），
与椭圆方程联立方程组可得+（）2（x+1）2＝1，
整理可得（2x0+3）x2+4y02x﹣3x02﹣4x0＝0，
则x0x1＝，得x1＝﹣，y1＝（﹣+1）＝﹣，故Q1（﹣，﹣），
当x0≠1时，直线PF2的方程为y＝（x﹣1），
与椭圆方程联立方程组可得（﹣2x0+3）x2﹣4y02x﹣3x02+4x0＝0，
可得Q2（，），
∵＝×4r1，＝×4r2，
∴r1﹣r2＝＝＝＝（﹣﹣，）＝
＝≤＝．当且仅当x0＝，y0＝时等号成立，
若PF2⊥x轴时，易知P（1，），y1＝﹣，y2＝﹣．
此时r1﹣r2＝＝×＝，
综上所述：r1﹣r2的最大值为．
22．已知椭圆Γ：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（2）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2﹣S1的最大值．
解：（1）由椭圆Γ：＝1的方程可得a2＝4，b2＝3，可得c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，
可得a＝2，c＝1，可得F1（﹣1，0），F2（1，0），当PF2垂直于x轴时，则Q2的纵坐标为y＝﹣＝﹣，
所以Q2（1，﹣），P（1，），
∴k＝，直线PF1的方程为：y＝（x+1），
联立，解得或，则Q1（﹣，﹣），
∴k＝＝﹣，
∴直线Q1Q2的方程为y+＝﹣（x﹣1），即3x+10y+12＝0；
（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），设直线PF1的方程为x+1＝ty，其中t＝，
联立，消去x并整理可得，（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0，
由韦达定理可得y0y1＝＝，
又+＝1，则3x02+4y02＝12，
∴y1＝×＝＝，
同理可得y2＝，
∴S2﹣S1＝S S＝|F1F2|×|y2|﹣|F1F2|×|y1|＝，
令x0＝2cosθ，y0＝sinθ，0＜θ＜，
则S2﹣S1＝＝≤＝，当且仅当25sin2θ＝9cos2θ时等号成立，
∴S2﹣S1的最大值为．