第七章 随机变量及其分布 章末综合测试——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）

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第七章 随机变量及其分布 章末综合测试
选择性必修第二册高中数学人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第二册第七章 随机变量及其分布；考试范围：150分钟
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙两人打靶，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都不击中目标的概率是　　
A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.06
2．盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中．设此时盒中旧乒乓球的个数为，则等于　　
A． B． C． D．
3．设，随机变量的分布列如下表：则当在内增大时，以下结论正确的是　　
0 1
A．变大 B．变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
4．甲乙两运动员打乒乓球比赛，采用7局4胜．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，乙先发球，则甲以赢下此局的概率为　　
A． B． C． D．
5．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数（例如若，，则，其中二进制数的各位数中，已知，，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在仪器启动一次，则
A． B． C． D．
6．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的定义域为的条件下，满足函数为偶函数”的概率为　　
A． B． C． D．
7．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则　　
附：随机变量服从正态分布，，．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
8．甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
年龄（岁 ， ， ， ， ， 总计
确诊组人数 0 3 7 4 0 14
排除组人数 7 41 15 19 2 84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用，分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③，的取值范围都是，，；
④．
其中，正确结论的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是　　
A．若随机变量的概率分布列为，2，3，4，，则
B．若随机变量，，则
C．若随机变量，则
D．在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有一个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
11．抛掷两颗质地均匀的骰子，记“两颗骰子的点数之和为偶数”为事件，“两颗骰子的点数为一个奇数一个偶数”为事件，“两颗骰子的点数之和为3的倍数”为事件，则　　
A．（A） B．与为互斥事件
C． D．与相互独立
12．某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元件，普通款为10元件，且企业对这款盲盒的零售定价为元件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记为检验结束时所进行的检验次数，则　　
A．
B．
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 　　．
14．设随机变量的分布列为，，2，，则的值为 　　．
15．甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，每局比赛没有平局且相互独立，每局比赛甲胜的概率为，若比赛采取5局3胜制，甲仅用3局就赢得比赛的概率为，则　　．
16．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.5．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布，，请您判断考生成绩在分的人数．
（2）生产工艺工程中产品的尺寸误差（单位：，，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过为合格品，求：
①的密度函数．
②生产的5件产品的合格率不小于的概率．
18．设事件，，是样本空间中的一个完备事件组，为中任一事件，且，，，，，，试求：
（1）（B）；
（2），，．
19．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则没有加分资格；若考核优秀，获得20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核结果相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率；
（Ⅱ）求在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为40分的概率．
20．某电视台举办的中国诗词大会，每一期在进行最后一关之前，会产生一个攻擂者（甲，然后与上期擂主——守擂者（乙进行最后一关的抢答大赛．抢答大赛一共有5道题，攻擂者与守擂者面前各有一个抢答器，每题谁先抢到，谁回答，回答对的得1分，对方得0分，回答错误或者答不上来的自己不得分，对方得1分，先得3分者为胜，本关结束，本期擂主产生．已知甲、乙抢题的成功率均为0.5，答题的正确率分别为0.6和0.8．
（1）在某一题的抢答中，攻擂者的得分记为，求的分布列；
（2）求攻擂者成为本期擂主的概率．
21．近几年越来越多的高学历人才投入到基础教育中，某地教育局招聘中小学教师若干名，已知在初期报名的2880人中，专科生、本科生和研究生的比例为．在参加笔试的2800人的成绩中，随机抽取了100人的成绩作为样本，得到的数据如下：
成绩分段 ， ， ， ， ， ，
频数 2 6 14 24
（1）若从初期报名的人员中，按照学历分层抽样，抽取80人进行问卷调查，则所抽取的人员中研究生学历的有多少？
（2）若样本中成绩在，的频率为0.5．
同一组中的数据以该组区间的中点值为代表，估计这100人笔试成绩的平均分；
研究表明笔试成绩，其中用代替，若规定笔试成绩不低于85分的才能进入面试，试估计参加面试的人数．
22．北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高．某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
第七章 随机变量及其分布 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙两人打靶，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都不击中目标的概率是　　
A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.06
解：甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.7，
甲、乙都不击中目标的概率为．
故选：．
2．盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中．设此时盒中旧乒乓球的个数为，则等于　　
A． B． C． D．
解：设此时盒中旧乒乓球的个数为，说明取出的2个球1新1旧，
则．
故选：．
3．设，随机变量的分布列如下表：则当在内增大时，以下结论正确的是　　
0 1
A．变大 B．变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
解：由频率分布表可得，
则
，
其对称轴方程为，在上单调递减，在，上单调递增，
即先变小后变大．
故选：．
4．甲乙两运动员打乒乓球比赛，采用7局4胜．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，乙先发球，则甲以赢下此局的概率为　　
A． B． C． D．
解：在双方平后，乙先发球，甲以赢下此局分两种情况：
1．后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为，
2．后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，
则甲以赢下此局的概率为，
故选：．
5．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数（例如若，，则，其中二进制数的各位数中，已知，，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在仪器启动一次，则
A． B． C． D．
解：由题意，随机变量的可能取值为1，2，3，4，5，
则，，
，，
，
，
．
故选：．
6．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的定义域为的条件下，满足函数为偶函数”的概率为　　
A． B． C． D．
解：函数的定义域为，则△，
则满足该条件的有：，，，，，，
，，，，，，
，，，，，
，，，，
，，，
，，
共有26个满足函数的定义域为的条件；
函数为偶函数，只需是奇函数，，所以．
函数为偶函数：有，，，，，共6个．
所以则“在函数的定义域为的条件下，满足函数为偶函数”的概率为：．
故选：．
7．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则　　
附：随机变量服从正态分布，，．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
解：由没有零点的概率是0.5，
由无零点得△，得，
可知，故，结合，
．
故选：．
8．甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
年龄（岁 ， ， ， ， ， 总计
确诊组人数 0 3 7 4 0 14
排除组人数 7 41 15 19 2 84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用，分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③，的取值范围都是，，；
④．
其中，正确结论的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
解：对于①：98人中确诊的有14人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，①错误；
对于②：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为，故②错误；
对于③：第一种，有96人，，有2人，
第二种，有82人，，有2人，
故设抽取80岁以上的人数为，则，1，2，
当时，，
当时，，
当时，，
故③正确；
对于④：，
，
，
，
，
故④正确；
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是　　
A．若随机变量的概率分布列为，2，3，4，，则
B．若随机变量，，则
C．若随机变量，则
D．在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则
解：对于，随机变量的概率分布列为，2，3，4，，
，解得，故错误，
对于，随机变量，，
，
，故正确，
对于，随机变量，
，故错误，
对于，在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，
则，故正确．
故选：．
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有一个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
解：对于，2个球都是红球的概率为，所以选项正确；
对于，2个球中恰有一个红球的概率为，所以选项正确；
对于，至少有1个红球的概率为，所以选项错误；
对于，2个球不都是红球的概率为，所以选项正确．
故选：．
11．抛掷两颗质地均匀的骰子，记“两颗骰子的点数之和为偶数”为事件，“两颗骰子的点数为一个奇数一个偶数”为事件，“两颗骰子的点数之和为3的倍数”为事件，则　　
A．（A） B．与为互斥事件
C． D．与相互独立
解：抛掷两颗质地均匀的骰子有种情况，
“两颗骰子的点数之和为偶数”即两个骰子都为奇数或都为偶数，都为奇数有种，都有偶数种情况，共有18种情况，
所以（A），故正确；
“两颗骰子的点数为一个奇数一个偶数”与“两个骰子都为奇数或都为偶数”不能同时发生，
所以与为互斥事件，故正确；
事件与事件同时发生共有，，，，，共5种情况，
所以，故错误；
（B），
事件共有，，，，，，，，，，，共有12种情况，
所以（C），
事件与事件同时发生共有，，，，，共有六种情况，
（B）（C），
所以与相互独立，故正确，
故选：．
12．某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元件，普通款为10元件，且企业对这款盲盒的零售定价为元件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记为检验结束时所进行的检验次数，则　　
A．
B．
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则
解：对于，记检测到隐藏款的概率为，
则，故正确；
对于，由题意得的分布列为，
记，
则，
两式相减得，
故，故正确，
对于，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误，
对于，设总共有件盲盒，
则成本为，解得，
故定价才能保证获利，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是 　　．
解：学生成绩符合正态分布，
故，
故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为．
故答案为：．
14．设随机变量的分布列为，，2，，则的值为 　　．
解；依题意，，解得，
所以的值为．
故答案为：．
15．甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，每局比赛没有平局且相互独立，每局比赛甲胜的概率为，若比赛采取5局3胜制，甲仅用3局就赢得比赛的概率为，则　　．
解：设“甲仅用3局就赢得比赛”的事件为，
则，解得，
所以．
故答案为：．
16．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.5．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为 　0.79　．
解：被第一代感染者传染的概率，
被第二代感染者传染的概率，
被第三代感染者传染的概率，
所以小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触被感染的概率为．
故答案为：0.79．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布，，请您判断考生成绩在分的人数．
（2）生产工艺工程中产品的尺寸误差（单位：，，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过为合格品，求：
①的密度函数．
②生产的5件产品的合格率不小于的概率．
解：（1）考生的成绩，，故，，
，
故考生成绩在分的人数约为人；
（2）①根据题意知，，即，，
所以密度函数；
②设表示5件产品中的合格品数，每件产品为合格品的概率为，
，合格率不小于，即，
．
18．设事件，，是样本空间中的一个完备事件组，为中任一事件，且，，，，，，试求：
（1）（B）；
（2），，．
解：（1），，，，，，
则（B）；
（2），同理可得，，．
19．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则没有加分资格；若考核优秀，获得20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核结果相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率；
（Ⅱ）求在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为40分的概率．
解：（Ⅰ）若甲、乙两名同学都没有获得加分资格，则概率为，
甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率为．
（Ⅱ）甲、乙、丙三名同学所得加分之和为40，则有两名同学获得加分资格，另一名同学没有获得加分资格，
则所求概率为．
20．某电视台举办的中国诗词大会，每一期在进行最后一关之前，会产生一个攻擂者（甲，然后与上期擂主——守擂者（乙进行最后一关的抢答大赛．抢答大赛一共有5道题，攻擂者与守擂者面前各有一个抢答器，每题谁先抢到，谁回答，回答对的得1分，对方得0分，回答错误或者答不上来的自己不得分，对方得1分，先得3分者为胜，本关结束，本期擂主产生．已知甲、乙抢题的成功率均为0.5，答题的正确率分别为0.6和0.8．
（1）在某一题的抢答中，攻擂者的得分记为，求的分布列；
（2）求攻擂者成为本期擂主的概率．
解：（1）设甲、乙答题的正确率分别为（A）和（B），
则（A），（B），，，
由题意知，在某一题的抢答中，攻擂者的得分记为的所有可能取值为1和0，
所以，，
所以的分布列为
1 0
0.4 0.6
（2）解：设攻擂者以，，获胜的概率分别为，，，
由（1）知，，，，
所以攻擂者成为本期擂主的概率．
21．近几年越来越多的高学历人才投入到基础教育中，某地教育局招聘中小学教师若干名，已知在初期报名的2880人中，专科生、本科生和研究生的比例为．在参加笔试的2800人的成绩中，随机抽取了100人的成绩作为样本，得到的数据如下：
成绩分段 ， ， ， ， ， ，
频数 2 6 14 24
（1）若从初期报名的人员中，按照学历分层抽样，抽取80人进行问卷调查，则所抽取的人员中研究生学历的有多少？
（2）若样本中成绩在，的频率为0.5．
同一组中的数据以该组区间的中点值为代表，估计这100人笔试成绩的平均分；
研究表明笔试成绩，其中用代替，若规定笔试成绩不低于85分的才能进入面试，试估计参加面试的人数．
解：（1）由题意可得研究生学历所占比例为，
抽取80人中研究生学历的有人；
（2），
，
分；
，，
，
估计参加面试的人数为人．
22．北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高．某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
解：（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，
参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，
其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，
记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，
“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，
则，，
所以，．
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，，，，
所以的分布列如下表：
0 1 2 3
所以．
（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试．