第六章 平面向量及其应用 单元检测-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第六章 平面向量及其应用单元检测
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向 B．
C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等
2．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
3．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．化简后等于（ ）
A． B． C． D．
5．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
6．已知向量，满足，，则（ ）
A． B．1 C． D．3
7．已知向量，向量满足，且，则与夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
8．为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为（ ）
A．100m B． C． D．200m
二、多选题
9．如图，在中，分别是的中点，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．与共线 D．与共线
10．下列选项中，错误的是（ ）
A．若存在实数使成立，则与共线
B．若，则
C．若（M、A、B、C四点不同），则A、B、C三点共线
D．若，则或
11．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．存在，使得
12．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则的面积是15
D．若，则外接圆半径是
三、填空题
13．下列各量中，向量有：______．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
14．设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________．
15．若向量与的方向相反，且，，则点B坐标为______．
16．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，，点D在线段BC上，，过点D作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是______.
四、解答题
17．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
18．如图，已知向量、、、、．
(1)用、、表示；
(2)用、表示；
(3)用、、表示；
(4)用、表示．
19．已知，，与的夹角为．求：
(1)；
(2)；
(3)．
20．已知向量，，．
(1)若，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若与夹角为锐角，求m的取值范围．
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求证：；
(2)若，点D为边AB上的一点，CD平分，，求边长.
22．在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
(1)若，求的大小；
(2)求的最小值.
答案
1．B
2．B
3．B
4．B
5．D
6．D
7．D
8．A
9．BD
10．BD
11．BD
12．AD
13．③⑤⑥⑧⑩
14．0.25
15．
16．.
17．（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
18.（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
19．（1）因为，，与的夹角为，
所以；
（2）由（1），
所以；
（3）由（1），
所以.
20．（1）因为向量，，，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，解得；
（3）夹角为锐角，且不同向，，
解得：且，的取值范围为.
21．（1）因为，由正弦定理可得：，
由二倍角公式可得：，
所以，
则有,
展开整理可得：，
又，∴，
∴，∴或，
又，∴，，∴
（2）∵，∴，，
∴.又，所以.
∴，
∴，∴，∴，
∴.
在中，由正弦定理可得：，
也即
∴，∴.
22．（1）在中， ，
进而，
，
，
又不为直角，则，，
，.
（2）由(1)知，
转化为，又，，.
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为.