第六章 平面向量及其应用 章节综合测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

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第六章 平面向量及其应用 章节综合测试
必修第二册高中数学人教A版（2019）
考试范围：必修第二册第六章 平面向量及其应用；考试满分：150分
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量与的夹角为，则＝（　　）
A．6 B． C．3 D．
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b＝4c，则＝（　　）
A． B． C． D．2
3．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），与的夹角为120°，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，若P为CD上一点，且，则x＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知在平行四边形ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠ADC＝120°，，，则m＝（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．已知△ABC中，，若CP＝1，则的最小值为（　　）
A．7 B．9 C．16 D．25
7．在以下命题中，真命题的是（　　）
A．||﹣||＝||是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数λ，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，，，点O、H分别为△ABC的外心和重心，则|OH|的值为（　　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．下面四个结论正确的是（　　）
A．若A＜B，则sinA＜sinB
B．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
C．若，则A＝45°
D．若A＝30°，a＝4，b＝3，则△ABC有两解
10．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．和能构成一组基底
11．已知△ABC中，，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（　　）
A．△ABC的面积为 B．
C． D．
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M在直线BC上
B．若＝+，则点M是三角形的重心
C．若，则点M在边BC的中线上
D．若，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则＝　 　．
14．已知向量，，且，则m＝　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，，BC＝4，CD＝5，，，则AD＝　 　．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝15，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，不共线，且＝2 ，＝3+，＝+λ．
（Ⅰ）将用，表示；
（Ⅱ）若∥，求λ的值；
（Ⅲ）若λ＝ 3，求证：A，B，C三点共线．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）已知，若△ABC是锐角三角形，求a的值．
19．已知，．
（1）t＝0时，求的取值范围；
（2）若存在t，使得，求t的取值范围．
20．在①ccosA＝asinC，②这两个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足_____．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为，点D在边AB上，且，求CD的最小值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）
21．如图．游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B．在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C．假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为1170米，经测量，cosA＝，cosC＝．
（1）求观光车路线AB的长；
（2）乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短．
22．在四边形ABCD中，对角线AC＝4，BCsin∠ABC＝ACcos∠BAC．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）若△ACD是锐角三角形，，，求△ACD的面积；
（Ⅲ）当AD＝2时，是否存在实数λ，使得的最小值为，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
第六章 平面向量及其应用 章节综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量与的夹角为，则＝（　　）
A．6 B． C．3 D．
解：∵向量与的夹角为，
∴，
∴
＝．
故选：A．
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b＝4c，则＝（　　）
A． B． C． D．2
解：若a＝b＝4c，
则＝．
故选：C．
3．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），与的夹角为120°，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．
解：因为，0，0）+λ（0，﹣1，1）＝（1，﹣λ，λ），，
所以，，，
因为与的夹角为120°，
所以，
所以λ＜0，且，解得．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，若P为CD上一点，且，则x＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵C，P，D三点共线，
∴设，又，
∴，
∴，
∴，∴λ＝，x＝．
故选：A．
5．已知在平行四边形ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠ADC＝120°，，，则m＝（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
解：因为ABCD为平行四边形，
所以，，
又，
则＝，
又因为AB＝m，AD＝2，∠ADC＝120°，则，
因为m＞0，解得m＝4．
故选：B．
6．已知△ABC中，，若CP＝1，则的最小值为（　　）
A．7 B．9 C．16 D．25
解：建立如图所示平面直角坐标系，
则A（0，0），B（6，0），
以C为圆心，以1为半径的圆的方程为x2+（y﹣4）2＝1，
可设P（cosθ，4+sinθ），则，，
∴＝8sinθ﹣6cosθ+17＝10sin（θ﹣φ）+17．
∴的最小值为7．
故选：A．
7．在以下命题中，真命题的是（　　）
A．||﹣||＝||是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数λ，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量
解：对A选项，∵||﹣||＝||，
∴（||﹣||）2＝||2，
∴﹣||||＝，
∴与反向共线，
∴||﹣||＝||是、共线的充分不必要条件，∴A选项错误；
对B选项，∵，当时，显然 λ∈R，都有；
当，时，显然不存在实数λ，使得，∴B选项错误；
对C选项，∵，
∴2+（﹣2）+（﹣1）≠1，
∴P、A、B、C四点不共面，∴C选项错误；
对D选项，∵、、是不共面的向量，
∴、、三向量任意两向量都不共线，
∴{、、}可以作为空间向量的一组基底，
即、、的线性组合可以表示空间中的所有向量，∴D选项正确．
故选：D．
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，，，点O、H分别为△ABC的外心和重心，则|OH|的值为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，取AB，AC的中点N，D，作CM⊥AB交AB于M，过点N作PN⊥AB，连接CN，BD，MD，OH，
根据三角形重心的定义可知CN∩BD＝H，
△ABC中，，则，
所以△ACM和△OMN均为等腰直角三角形，AM＝CM，
则MD⊥AC，
根据三角形外心的定义可知PN∩MD＝O，
由a＝2，则，
则，
则，则，
因为CM⊥AB，PN⊥AB，
所以CM∥PN，所以∠CNP＝∠MCN，
则，
在△ONH中，OH2＝NH2+ON2﹣2NH ONcos∠CNP＝，
所以．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．下面四个结论正确的是（　　）
A．若A＜B，则sinA＜sinB
B．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
C．若，则A＝45°
D．若A＝30°，a＝4，b＝3，则△ABC有两解
解：对于A，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得sinA＜sinB，故正确；
对于B，a＝2，A＝30°，由正弦定理可得R＝＝＝2，则△ABC的外接圆半径是2，故错误；
对于C，若＝，由正弦定理得，则cosA＝sinA，
因为A为三角形内角，所以A＝45°，故正确；
对于D，若A＝30°，a＝4，b＝3，则由余弦定理可得
解得c＝（舍负），所以c有一解，
即△ABC有一解，故错误．
故选：AC．
10．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．和能构成一组基底
解：对于A选项，，A选项错误．
对于B选项，，B选项正确．
对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，
故，所以选项C正确．
对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确．
故选：BCD．
11．已知△ABC中，，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（　　）
A．△ABC的面积为 B．
C． D．
解：在△ABC中，由余弦定理得，
因为∠BAC∈（0，π），所以．
所以，故A正确；
在△ABE中，BE2＝AE2+AB2﹣2AE ABcos∠BAE＝3，所以，故B正确；
在△ABC中，，
又∠ACB∈（0，π），故，故C错误；
因为AD为∠BAC的角平分线，
由等面积法得，
整理得，解得，故D正确；
故选：ABD．
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M在直线BC上
B．若＝+，则点M是三角形的重心
C．若，则点M在边BC的中线上
D．若，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
解：对选项A，，所以，即．
所以，又因为B为公共点，所以B，C，M三点共线，即点M在直线BC上，故A正确．
对选项B，设D为BC的中点，所以，
所以点M是△ABC的重心，故B正确．
对选项C，因为，则M在∠BAC的平分线上，M不一定在BC的中线上，故C错误．
对选项D，因为，且，
所以，且2x+2y＝1，
设，则，且2x+2y＝1，
即N，B，C三点共线．
又因为，所以M为AN的中点，如图所示：
所以，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则＝　　．
解：∵，，且，
∴﹣2λ﹣（λ+6）＝0，解得λ＝﹣2，
∴，∴．
故答案为：．
14．已知向量，，且，则m＝　2　．
解：因为，，
所以，
因为，所以，
所以3+3（3﹣2m）＝0，解得m＝2．
故答案为：2．
15．如图，在四边形ABCD中，，BC＝4，CD＝5，，，则AD＝　　．
解：连接BD，如下所示：
在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2+CD2﹣2BC×CD×cos∠BCD，
可得，故可得，
则，又∠DBC∈（0，π），故；
又，又∠ABC∈（0，π），故可得；
则cos∠ABD＝cos（∠ABC﹣∠DBC）＝cos∠ABCcos∠DBC+sin∠ABCsin∠DBC＝，
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2+BD2﹣2AB×BD×cos∠ABD
即，故．
故答案为：．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝15，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积为 　　．
解：∵，
∴，化简得：，
∴，
∴，
又∵，
∴BM＝6，MC＝9
∵∠MAB＝∠MBA，
∴，
在△MAC中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，不共线，且＝2 ，＝3+，＝+λ．
（Ⅰ）将用，表示；
（Ⅱ）若∥，求λ的值；
（Ⅲ）若λ＝ 3，求证：A，B，C三点共线．
（Ⅰ）解：因为＝2 ，＝3+，
所以＝﹣＝（3+）﹣（2 ）＝+2．
（Ⅱ）解：若∥，则2 ＝x（+λ），
所以，解得λ＝﹣．
（Ⅲ）证明：若λ＝ 3，则＝﹣3，
所以＝﹣＝（﹣3）﹣（2 ）＝﹣﹣2，
由（Ⅰ）知，＝+2，
所以＝﹣，
故A，B，C三点共线．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）已知，若△ABC是锐角三角形，求a的值．
解：（1）由正弦定理化简得，即c2﹣bc＝a2﹣b2，
而a2＝b2+c2﹣2bccosA，得，
而A∈（0，π），
得，
（2）由△ABC是锐角三角形，故，
则，
而，c＝4，解得．
19．已知，．
（1）t＝0时，求的取值范围；
（2）若存在t，使得，求t的取值范围．
解：（1）t＝1时，＝sinα+cosα+sinαcosα，
令sinα+cosα＝x∈[ ，]，则sinαcosα＝，
＝+x ＝（x+1）2 1，
函数y＝（x+1）2﹣1，x∈[ ，]，x＝﹣1时取得最小值，x＝时取得最大值+，
所以∈[ 1，+]．
（2）由题意得，存在t，使得＝t（sinα+cosα）+sinαcosα＝ 1，
当sinα+cosα＝0时，sinαcosα＝﹣1，此时不存在t使得方程有解，
当sinα+cosα≠0时， t＝＝＝（x+），
x∈[ ，0）时，（x+）∈（ ∞， 1]，x∈（0，]时，（x+）∈[1，+∞），
∴﹣t≤﹣1或﹣t≥1，
∴t的取值范围为{t|t≤﹣1或t≥1}．
20．在①ccosA＝asinC，②这两个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足_____．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为，点D在边AB上，且，求CD的最小值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）
解：（1）选条件①，
∵，
∴，
∴，
∵角A、B、C为△ABC的内角，
∴＝π﹣（A+C），
∴sinB＝sin（A+C），
∴，
∴，
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴，即，
∵C∈（0，π），
∴；
选条件②，∵，
∴，化简整理可得，a2﹣c2＝ab﹣b2，即a2+b2﹣c2＝ab，
∴，
又∵C∈（0，π），
∴；
（2）∵△ABC的面积为，
∴，
∴CA CB＝4，
又∵点D在边AB上，，
∴，
∴，
当且仅当时，等号成立，
∴故CD的最小值为．
21．如图．游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B．在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C．假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为1170米，经测量，cosA＝，cosC＝．
（1）求观光车路线AB的长；
（2）乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短．
解：（1）在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，
所以sinA＝，sinC＝，
从而sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝，
由正弦定理＝，得AB＝1000 m．
所以观光车路线AB的长为1000m．
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，
此时甲行走了（100+50t）m，乙距离A处250tm，
由余弦定理得d2＝（100+50t）2+（250t）2 2×250t×（100+50t）×＝1000（41t2 38t+10）＝1000[41（t ）2+，
因为t∈[0，]，即t∈[0，4]，
故当t＝min时，甲乙游客的距离最短．
22．在四边形ABCD中，对角线AC＝4，BCsin∠ABC＝ACcos∠BAC．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）若△ACD是锐角三角形，，，求△ACD的面积；
（Ⅲ）当AD＝2时，是否存在实数λ，使得的最小值为，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：（I）在△ABC中，由正弦定理得，即．
因为BC sin∠ABC＝AC cos∠BAC，且sin∠ABC≠0，
所以，所以．
所以sin∠BAC＝cos∠BAC，所以tan∠BAC＝1．
因为0＜∠BAC＜π，所以．
（II）因为，所以．
在△ACD中，，
由余弦定理得CD2＝AC2+AD2﹣2AC ADcos∠CAD．
所以．
所以．解得，或．
当时，由余弦定理得AC2＝CD2+AD2﹣2CD ADcos∠ADC．
所以．
所以此时△ACD是钝角三角形，不合题意，舍去．
所以．
所以AD边上的高．
所以△ACD的面积为．
（III）因为AC＝4，AD＝2，
所以
＝
＝16+4λ2+16λcos∠CAD
＝4（λ+2cos∠CAD）2+16﹣16cos2∠CAD
≥16﹣16cos2∠CAD．
所以当λ+2cos∠CAD＝0，
即λ＝﹣2cos∠CAD时，取得最小值是．
所以．
所以，或．
所以λ＝﹣1，或λ＝1．
所以存在实数λ，使得的最/值为．