第六章 计数原理 章末综合测试-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理 章末综合测试-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 222.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 05:04:11 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理 章末综合测试
选择性必修第三册高中数学人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第三册第六章 计数原理 ；考试满分：150分
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的二项展开式中的常数项是（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
2．为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择．现已知甲、乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
3．今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过8100天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
4．在（1﹣x）（2﹣x）（3﹣x）（4﹣x）（5﹣x）的展开式中，x4的系数为（ ）
A．15 B．﹣15 C．11 D．﹣11
5．已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种．
A．30 B．40 C．50 D．80
6．设n∈N*，xn＝a0+a1（x﹣1）+ +an（x﹣1）n＝b0+b1（x﹣2）+ +bn（x﹣2）n，则（ ）
A．b0﹣a0+b1﹣a1+ +bn﹣an＝3n﹣2n
B．＝2（a0+a1+ +an）
C．a0+a1+ +an＝（a0+a1+ +an）
D．b1+4b2+ +n2bn＝（a0+a1+ +an）
7．若（1﹣ax+x2）（1﹣x）8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
8．为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城 生态志愿行”为主题的生态活动日．现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ）
A．50种 B．60种 C．70种 D．80种
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24
10．若（x∈R），则下列判断正确的有（ ）
A．a0＝1
B．
C．
D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
12．甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2022年北京冬奥会期间，为了保障运动员健康，需要从北京某医院运动损伤科的5名男医生（含1名主任医师）、3名女医生（含1名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答）
14．（a+）3+（a﹣）4的展开式中的系数为 （用数字作答）．
15．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有 种．
16．已知，则a1+a2+a3+ +a2020的值为 ；a1+2a2+3a3+ +2020a2020的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
18.“渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位“渐升数”）．
（1）求五位“渐升数”的个数；
（2）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”．
19.从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）其中的A，B必须当选；
（2）A，B恰有一人当选；
（3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
20．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
21．设m，n∈N，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n．
（1）当m＝n＝5时，若，求a0+a2+a4的值；
（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．
22．设n∈N*，且n≥3，记集合M＝{1，2，3，…，n}的所有3个元素的子集为A1，A2，…，，mi为Ai中的最大元素，i＝1，2，……，．
（1）当n＝4时，求m1+m2+m3+m4的值；
（2）求m1+m2+…+的值．
第六章 计数原理 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的二项展开式中的常数项是（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
解：展开式第r+1项：
，
3﹣＝0，可得r＝2时，
的二项展开式中的常数项是，
故选：C．
2．为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择．现已知甲、乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
解：不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为a、b、c，
则这两位同学的报名方案有aa，ab，ac，ba，bb，bc，ca，cb，cc，共9种．
故选：C．
3．今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过8100天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
解：8100＝（7+1）100＝7100+C799+C798+...+C7+1，
因为7100+C799+C798+...+C7能被7整除，所以8100除以7的余数为1，
故经过8100天后是星期六．
故选：D．
4．在（1﹣x）（2﹣x）（3﹣x）（4﹣x）（5﹣x）的展开式中，x4的系数为（ ）
A．15 B．﹣15 C．11 D．﹣11
解：展开式中含x4的项为：
在1﹣x，2﹣x，3﹣x，4﹣x，5﹣x这5个代数式中4个取﹣x，其余1个代数式取常数，
∴展开式中x4的系数为1+2+3+4+5＝15，
故选：A．
5．已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种．
A．30 B．40 C．50 D．80
解：由题可知共有三类：①2人看喜剧片，2人看动作片，1人看动画片，方案数为：＝30；
②3人看喜剧片，2人看动作片，0人看动画片，方案数为：＝10；
③2人看喜剧片，3人看动作片，0人看动画片，方案数为：＝10，
共有30+10+10＝50种方案．
故选：C．
6．设n∈N*，xn＝a0+a1（x﹣1）+ +an（x﹣1）n＝b0+b1（x﹣2）+ +bn（x﹣2）n，则（ ）
A．b0﹣a0+b1﹣a1+ +bn﹣an＝3n﹣2n
B．＝2（a0+a1+ +an）
C．a0+a1+ +an＝（a0+a1+ +an）
D．b1+4b2+ +n2bn＝（a0+a1+ +an）
解：由二项式定理知：
xn＝[（x﹣1）+1]n＝C+C（x﹣1）+C（x﹣1）2+ +C（x﹣1）n，
∴ai＝C（i＝0，1，2...n），令x＝2，则有a0+a1+ +an＝2n；
xn＝[（x﹣2）+2]n＝C 2n+C 2n﹣1 （x﹣2）+C 2n﹣2 （x﹣2）2+ +C（x﹣2）n，
∴bi＝C2n﹣i （i＝0，1，2，...，n），令x＝3，则有b0+b1+ +bn＝3n；
故有b0﹣a0+b1﹣a1+ +bn﹣an＝3n﹣2n，A正确；
令n＝2，则有a0＝1，a1＝2，a2＝1，b0＝4，b1＝4，b2＝1，
分别代入B，C，D选项：
＝4+2+1＝7，2（a0+a1+a2）＝8，B错误；
a0+a1+a2＝1+1+＝，（a0+a1+a2）＝，C错误；
b1+4b2＝4+4＝8，（a0+a1+a2）＝6，D错误；
故选：A．
7．若（1﹣ax+x2）（1﹣x）8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
解：分三种情况：
（1）当因式（1﹣ax+x2）中取1时，含x2的项为，其系数为28；
（2）当因式（1﹣ax+x2）中取﹣ax时，含x2的项为（﹣ax） ，其系数为8a；
（3）当因式（1﹣ax+x2）中取x2时，含x2的项为x2 ，其系数为1，
所以展开式中含x2的项的系数为28+8a+1＝21，解得a＝﹣1．
故选：C．
8．为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城 生态志愿行”为主题的生态活动日．现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ）
A．50种 B．60种 C．70种 D．80种
解：携带工具方案有两类：
第一类，1个勾子，1个夹子，3把铁锹，所以携带工具的方案数有＝20种；
第二类，1个勾子，2个夹子，2把铁锹，所以携带工具的方案数有CC＝30种；
所以不同的安排方案共有20+30＝50种．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24
解：用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，
对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A不正确；
对于B，将三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有种，②个位数为2或4，则有＝2×3×3＝18种，
所以在组成的三位数中，偶数的个数为12+18＝30，故B正确；
对于C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有种，
②十位为1，则有种，
③十位为2，则有种，
所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12+6+2＝20，故C正确，D不正确．
故选：BC．
10．若（x∈R），则下列判断正确的有（ ）
A．a0＝1
B．
C．
D．
解：由题意，当x＝0时，a0＝12009＝1，
当x＝1时，a0+a1+a2+a3+…+a2009＝（ 1）2009＝ 1，
当x＝﹣1时，a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2009＝32009，
所以，a0+a2+a4+…+a2008＝，
，
故选：ACD．
11．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
解：对于A，＝（1+2）50＝350，故A正确；
对于B，若，
则令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a50＝，故B正确；
对于C，因为m＝＝＝n，即m＝n，
所以+3+5+ +101＝+++ ++2+4+ +100
＝250+2（+2+ +50）＝250+2（50+50+…+50）
＝250+2×50×249＝51×250，故C错误；
对于D，因为m＝n，所以
＝50（++…+），
而++…+＝++…++＝×249，
所以＝50××249＝25×249，故D正确．
故选：ABD．
12．甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
解：甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
则共有种安排方法，故A正确；
甲志愿者被安排到A学校，
若A学校只有一个人，则有种安排方法，
若A学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校有36+24＝60种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；
若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；
甲志愿者被安排到A学校有60种安排方法，
在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2022年北京冬奥会期间，为了保障运动员健康，需要从北京某医院运动损伤科的5名男医生（含1名主任医师）、3名女医生（含1名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 26 种．（用数字作答）
解：根据题意，从5名男医生（含一名主任医师）、3名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，
共有CC＝10×3＝30种选派方案，
如果所选的男女主任都没有参加，共有C×C＝4种选派方案，
所以至少有一名主任医师参加有30﹣4＝26种，
故答案为：26．
14．（a+）3+（a﹣）4的展开式中的系数为 9 （用数字作答）．
解：对于，根据二项展开式：，
当r＝1时，系数为；
对于，根据二项展开式：，
当r＝2时，系数为；
故（a+）3+（a﹣）4的展开式中的系数为3+6＝9．
故答案为：9．
15．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有 840 种．
解：先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，
此时空位一共还剩3个，若将这三个连在一起插入4人之间和两侧的空位上，有5种放法；
若将这三个分成两组，一组两个，一组一个，插入4人之间和两侧的空位上，有种放法；
若将这三个分成三组插入4人之间和两侧的空位上，有种放法，
故不同的就坐方法为种．
故答案为：840．
16．已知，则a1+a2+a3+ +a2020的值为 ﹣1 ；a1+2a2+3a3+ +2020a2020的值为 0 ．
解：令x＝0，则a0＝1，
令x＝1，则a0+a1+a2+a3+ +a2020＝0，
∴a1+a2+a3+ +a2020＝﹣1，
∵，
∴f′（x）＝﹣2020（1﹣x）1999＝a1+2a2x+3a3x2+ +2020a2020x1999，
令x＝1，则a1+2a2+3a3+ +2020a2020＝0，
故答案为：﹣1；0．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
解：（1），
则，
则（10﹣x）（9﹣x）＜6，
即7＜x＜12，
又，
即x＝8，
即不等式的解集为{8}；
（2）已知，
则，
即n（n﹣1）（n﹣2）＝364×6＝14×13×12，
即n＝14.
18. “渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位“渐升数”）．
（1）求五位“渐升数”的个数；
（2）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”．
解：（1）根据题意，五位“渐升数”要求除万位数字之外，每一个数字均比其左边的数字大，
故要求的五位“渐升数”中不能有0．
只需在其他9个数字中任取5个，将其从小到大排列，即可得一个五位“渐升数”，故每种取法对应1个“渐升数”，
则五位“渐升数”共有个
（2）对于所有的五位“渐升数”，1在最高数位的有个，
2在最高数位的有个，
3在最高数位的有个，
因为70+35+15＝120，
所以第120个“渐升数”是最高数位为3的最大的五位“渐升数”，为36789．
19．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）其中的A，B必须当选；
（2）A，B恰有一人当选；
（3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解：（1）根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人，
共有种选法；
（2）根据题意，先在AB中选出1人，再从剩下的10人中选4人，
共有种选法；
（3）根据题意，选出一名男生担任体育委员共有种情况，
选出一名女生担任班长共有种情况．
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，共有种情况，
所以共有种选法．
20．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
解：（1）根据题意，先将5个小球分为4组，再将4组放入4个盒子即可，
有种放法；
（2）根据题意，先将6个小球分为4组，有+C种分组方法，
再将4组放入4个盒子，有A种放法，
则有（+C）×A＝1560种放法；
（3）根据题意，由于小球相同，将6个小球分为4组，依次放入4个盒子即可，
利用挡板法分析：将6个小球排成一排，中间有5个空位，
在其中任选3个空位，插入挡板，可以将6个小球分为4组，
进而依次放入4个盒子，有C＝10种放法；
（4）根据题意，先将6个小球分为3组，有CCC++C种分组方法，
再从4个盒子中任选3个，放入分好的3组，有A种放法，
则有（CCC++C）×A＝2160种放法．
21.设m，n∈N，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n．
（1）当m＝n＝5时，若，求a0+a2+a4的值；
（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．
解：（1）当m＝n＝5时，f（x）＝2（1+x）5，令x＝0时，f（0）＝a5+a4+…+a1+a0＝2，
令x＝2时，f（2）＝﹣a5+a4+…﹣a1+a0＝2×35，
相加可得：a0+a2+a4＝＝244．
（2）由题意可得：＝m+n＝9．
x2系数＝＝＝＝＝+．
又m，n∈N，∴m＝4或5，其最小值为16．
即或时，x2系数的最小值为16．
22．设n∈N*，且n≥3，记集合M＝{1，2，3，…，n}的所有3个元素的子集为A1，A2，…，，mi为Ai中的最大元素，i＝1，2，……，．
（1）当n＝4时，求m1+m2+m3+m4的值；
（2）求m1+m2+…+的值．
解：（1）当n＝4时，A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4}，A3＝{1，3，4}，A4＝{2，3，4}，∴m1+m2+m3+m4＝3+4+4+4＝15．
故m1+m2+m3+m4的值为15；
（2）当n≥3时，集合M＝{1，2，3， ，n}，所有3个元素的子集为：A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4}，A3＝{1，3，4}，A4＝{2，3，4}，…，＝{1，2，3， ，n}，
∴当最大元素为3时，共有个集合；
当最大元素为4时，共有个集合；
当最大元素为5时，共有个集合；
当最大元素为n时，共有个集合．
∴m1+m2+…+＝3+4+5+…+n．
又∵（r+1）＝（r+1）＝3＝3，r＝2，3， ，n﹣1，
∴m1+m2+…+＝3（+++ +）＝3＝．
故m1+m2+…+的值为：．
第六章 计数原理 章末综合测试
选择性必修第三册高中数学人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第三册第六章 计数原理 ；考试满分：150分
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的二项展开式中的常数项是（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
2．为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择．现已知甲、乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
3．今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过8100天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
4．在（1﹣x）（2﹣x）（3﹣x）（4﹣x）（5﹣x）的展开式中，x4的系数为（ ）
A．15 B．﹣15 C．11 D．﹣11
5．已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种．
A．30 B．40 C．50 D．80
6．设n∈N*，xn＝a0+a1（x﹣1）+ +an（x﹣1）n＝b0+b1（x﹣2）+ +bn（x﹣2）n，则（ ）
A．b0﹣a0+b1﹣a1+ +bn﹣an＝3n﹣2n
B．＝2（a0+a1+ +an）
C．a0+a1+ +an＝（a0+a1+ +an）
D．b1+4b2+ +n2bn＝（a0+a1+ +an）
7．若（1﹣ax+x2）（1﹣x）8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
8．为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城 生态志愿行”为主题的生态活动日．现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ）
A．50种 B．60种 C．70种 D．80种
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24
10．若（x∈R），则下列判断正确的有（ ）
A．a0＝1
B．
C．
D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
12．甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2022年北京冬奥会期间，为了保障运动员健康，需要从北京某医院运动损伤科的5名男医生（含1名主任医师）、3名女医生（含1名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答）
14．（a+）3+（a﹣）4的展开式中的系数为 （用数字作答）．
15．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有 种．
16．已知，则a1+a2+a3+ +a2020的值为 ；a1+2a2+3a3+ +2020a2020的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
18.“渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位“渐升数”）．
（1）求五位“渐升数”的个数；
（2）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”．
19.从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）其中的A，B必须当选；
（2）A，B恰有一人当选；
（3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
20．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
21．设m，n∈N，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n．
（1）当m＝n＝5时，若，求a0+a2+a4的值；
（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．
22．设n∈N*，且n≥3，记集合M＝{1，2，3，…，n}的所有3个元素的子集为A1，A2，…，，mi为Ai中的最大元素，i＝1，2，……，．
（1）当n＝4时，求m1+m2+m3+m4的值；
（2）求m1+m2+…+的值．
第六章 计数原理 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的二项展开式中的常数项是（ ）
A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20
解：展开式第r+1项：
，
3﹣＝0，可得r＝2时，
的二项展开式中的常数项是，
故选：C．
2．为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择．现已知甲、乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
解：不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为a、b、c，
则这两位同学的报名方案有aa，ab，ac，ba，bb，bc，ca，cb，cc，共9种．
故选：C．
3．今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过8100天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
解：8100＝（7+1）100＝7100+C799+C798+...+C7+1，
因为7100+C799+C798+...+C7能被7整除，所以8100除以7的余数为1，
故经过8100天后是星期六．
故选：D．
4．在（1﹣x）（2﹣x）（3﹣x）（4﹣x）（5﹣x）的展开式中，x4的系数为（ ）
A．15 B．﹣15 C．11 D．﹣11
解：展开式中含x4的项为：
在1﹣x，2﹣x，3﹣x，4﹣x，5﹣x这5个代数式中4个取﹣x，其余1个代数式取常数，
∴展开式中x4的系数为1+2+3+4+5＝15，
故选：A．
5．已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种．
A．30 B．40 C．50 D．80
解：由题可知共有三类：①2人看喜剧片，2人看动作片，1人看动画片，方案数为：＝30；
②3人看喜剧片，2人看动作片，0人看动画片，方案数为：＝10；
③2人看喜剧片，3人看动作片，0人看动画片，方案数为：＝10，
共有30+10+10＝50种方案．
故选：C．
6．设n∈N*，xn＝a0+a1（x﹣1）+ +an（x﹣1）n＝b0+b1（x﹣2）+ +bn（x﹣2）n，则（ ）
A．b0﹣a0+b1﹣a1+ +bn﹣an＝3n﹣2n
B．＝2（a0+a1+ +an）
C．a0+a1+ +an＝（a0+a1+ +an）
D．b1+4b2+ +n2bn＝（a0+a1+ +an）
解：由二项式定理知：
xn＝[（x﹣1）+1]n＝C+C（x﹣1）+C（x﹣1）2+ +C（x﹣1）n，
∴ai＝C（i＝0，1，2...n），令x＝2，则有a0+a1+ +an＝2n；
xn＝[（x﹣2）+2]n＝C 2n+C 2n﹣1 （x﹣2）+C 2n﹣2 （x﹣2）2+ +C（x﹣2）n，
∴bi＝C2n﹣i （i＝0，1，2，...，n），令x＝3，则有b0+b1+ +bn＝3n；
故有b0﹣a0+b1﹣a1+ +bn﹣an＝3n﹣2n，A正确；
令n＝2，则有a0＝1，a1＝2，a2＝1，b0＝4，b1＝4，b2＝1，
分别代入B，C，D选项：
＝4+2+1＝7，2（a0+a1+a2）＝8，B错误；
a0+a1+a2＝1+1+＝，（a0+a1+a2）＝，C错误；
b1+4b2＝4+4＝8，（a0+a1+a2）＝6，D错误；
故选：A．
7．若（1﹣ax+x2）（1﹣x）8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
解：分三种情况：
（1）当因式（1﹣ax+x2）中取1时，含x2的项为，其系数为28；
（2）当因式（1﹣ax+x2）中取﹣ax时，含x2的项为（﹣ax） ，其系数为8a；
（3）当因式（1﹣ax+x2）中取x2时，含x2的项为x2 ，其系数为1，
所以展开式中含x2的项的系数为28+8a+1＝21，解得a＝﹣1．
故选：C．
8．为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城 生态志愿行”为主题的生态活动日．现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ）
A．50种 B．60种 C．70种 D．80种
解：携带工具方案有两类：
第一类，1个勾子，1个夹子，3把铁锹，所以携带工具的方案数有＝20种；
第二类，1个勾子，2个夹子，2把铁锹，所以携带工具的方案数有CC＝30种；
所以不同的安排方案共有20+30＝50种．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24
解：用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，
对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A不正确；
对于B，将三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有种，②个位数为2或4，则有＝2×3×3＝18种，
所以在组成的三位数中，偶数的个数为12+18＝30，故B正确；
对于C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有种，
②十位为1，则有种，
③十位为2，则有种，
所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12+6+2＝20，故C正确，D不正确．
故选：BC．
10．若（x∈R），则下列判断正确的有（ ）
A．a0＝1
B．
C．
D．
解：由题意，当x＝0时，a0＝12009＝1，
当x＝1时，a0+a1+a2+a3+…+a2009＝（ 1）2009＝ 1，
当x＝﹣1时，a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2009＝32009，
所以，a0+a2+a4+…+a2008＝，
，
故选：ACD．
11．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
解：对于A，＝（1+2）50＝350，故A正确；
对于B，若，
则令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a50＝，故B正确；
对于C，因为m＝＝＝n，即m＝n，
所以+3+5+ +101＝+++ ++2+4+ +100
＝250+2（+2+ +50）＝250+2（50+50+…+50）
＝250+2×50×249＝51×250，故C错误；
对于D，因为m＝n，所以
＝50（++…+），
而++…+＝++…++＝×249，
所以＝50××249＝25×249，故D正确．
故选：ABD．
12．甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
解：甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
则共有种安排方法，故A正确；
甲志愿者被安排到A学校，
若A学校只有一个人，则有种安排方法，
若A学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校有36+24＝60种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；
若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；
甲志愿者被安排到A学校有60种安排方法，
在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2022年北京冬奥会期间，为了保障运动员健康，需要从北京某医院运动损伤科的5名男医生（含1名主任医师）、3名女医生（含1名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 26 种．（用数字作答）
解：根据题意，从5名男医生（含一名主任医师）、3名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，
共有CC＝10×3＝30种选派方案，
如果所选的男女主任都没有参加，共有C×C＝4种选派方案，
所以至少有一名主任医师参加有30﹣4＝26种，
故答案为：26．
14．（a+）3+（a﹣）4的展开式中的系数为 9 （用数字作答）．
解：对于，根据二项展开式：，
当r＝1时，系数为；
对于，根据二项展开式：，
当r＝2时，系数为；
故（a+）3+（a﹣）4的展开式中的系数为3+6＝9．
故答案为：9．
15．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有 840 种．
解：先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，
此时空位一共还剩3个，若将这三个连在一起插入4人之间和两侧的空位上，有5种放法；
若将这三个分成两组，一组两个，一组一个，插入4人之间和两侧的空位上，有种放法；
若将这三个分成三组插入4人之间和两侧的空位上，有种放法，
故不同的就坐方法为种．
故答案为：840．
16．已知，则a1+a2+a3+ +a2020的值为 ﹣1 ；a1+2a2+3a3+ +2020a2020的值为 0 ．
解：令x＝0，则a0＝1，
令x＝1，则a0+a1+a2+a3+ +a2020＝0，
∴a1+a2+a3+ +a2020＝﹣1，
∵，
∴f′（x）＝﹣2020（1﹣x）1999＝a1+2a2x+3a3x2+ +2020a2020x1999，
令x＝1，则a1+2a2+3a3+ +2020a2020＝0，
故答案为：﹣1；0．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
解：（1），
则，
则（10﹣x）（9﹣x）＜6，
即7＜x＜12，
又，
即x＝8，
即不等式的解集为{8}；
（2）已知，
则，
即n（n﹣1）（n﹣2）＝364×6＝14×13×12，
即n＝14.
18. “渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位“渐升数”）．
（1）求五位“渐升数”的个数；
（2）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”．
解：（1）根据题意，五位“渐升数”要求除万位数字之外，每一个数字均比其左边的数字大，
故要求的五位“渐升数”中不能有0．
只需在其他9个数字中任取5个，将其从小到大排列，即可得一个五位“渐升数”，故每种取法对应1个“渐升数”，
则五位“渐升数”共有个
（2）对于所有的五位“渐升数”，1在最高数位的有个，
2在最高数位的有个，
3在最高数位的有个，
因为70+35+15＝120，
所以第120个“渐升数”是最高数位为3的最大的五位“渐升数”，为36789．
19．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）其中的A，B必须当选；
（2）A，B恰有一人当选；
（3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解：（1）根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人，
共有种选法；
（2）根据题意，先在AB中选出1人，再从剩下的10人中选4人，
共有种选法；
（3）根据题意，选出一名男生担任体育委员共有种情况，
选出一名女生担任班长共有种情况．
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，共有种情况，
所以共有种选法．
20．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
解：（1）根据题意，先将5个小球分为4组，再将4组放入4个盒子即可，
有种放法；
（2）根据题意，先将6个小球分为4组，有+C种分组方法，
再将4组放入4个盒子，有A种放法，
则有（+C）×A＝1560种放法；
（3）根据题意，由于小球相同，将6个小球分为4组，依次放入4个盒子即可，
利用挡板法分析：将6个小球排成一排，中间有5个空位，
在其中任选3个空位，插入挡板，可以将6个小球分为4组，
进而依次放入4个盒子，有C＝10种放法；
（4）根据题意，先将6个小球分为3组，有CCC++C种分组方法，
再从4个盒子中任选3个，放入分好的3组，有A种放法，
则有（CCC++C）×A＝2160种放法．
21.设m，n∈N，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n．
（1）当m＝n＝5时，若，求a0+a2+a4的值；
（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．
解：（1）当m＝n＝5时，f（x）＝2（1+x）5，令x＝0时，f（0）＝a5+a4+…+a1+a0＝2，
令x＝2时，f（2）＝﹣a5+a4+…﹣a1+a0＝2×35，
相加可得：a0+a2+a4＝＝244．
（2）由题意可得：＝m+n＝9．
x2系数＝＝＝＝＝+．
又m，n∈N，∴m＝4或5，其最小值为16．
即或时，x2系数的最小值为16．
22．设n∈N*，且n≥3，记集合M＝{1，2，3，…，n}的所有3个元素的子集为A1，A2，…，，mi为Ai中的最大元素，i＝1，2，……，．
（1）当n＝4时，求m1+m2+m3+m4的值；
（2）求m1+m2+…+的值．
解：（1）当n＝4时，A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4}，A3＝{1，3，4}，A4＝{2，3，4}，∴m1+m2+m3+m4＝3+4+4+4＝15．
故m1+m2+m3+m4的值为15；
（2）当n≥3时，集合M＝{1，2，3， ，n}，所有3个元素的子集为：A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4}，A3＝{1，3，4}，A4＝{2，3，4}，…，＝{1，2，3， ，n}，
∴当最大元素为3时，共有个集合；
当最大元素为4时，共有个集合；
当最大元素为5时，共有个集合；
当最大元素为n时，共有个集合．
∴m1+m2+…+＝3+4+5+…+n．
又∵（r+1）＝（r+1）＝3＝3，r＝2，3， ，n﹣1，
∴m1+m2+…+＝3（+++ +）＝3＝．
故m1+m2+…+的值为：．