第九章 统计 章末综合测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

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第九章 统计 章末综合测试
必修第二册高中数学人教A版（2019）
考试范围：必修第二册第九章 统计；考试满分：150分
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取100人进行问卷调查．已知高一年级有270名男生，从男生中抽取了60名，则该校高一年级共有学生（　　）
A．445人 B．450人 C．520人 D．540人
2．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出90户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是（　　）
A．按家庭分层抽样 B．按收入分层抽样
C．简单随机抽样 D．各种方法均可
3．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则第四袋牛奶的标号是（　　）
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75531 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98301 07185 12867 35807 44395 23879 33211
A．358 B．301 C．071 D．206
4．某日某火锅店进货了四种食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是（　　）
A．7 B．13 C．8 D．9
5．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 7 8
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第50百分位数分别是（　　）
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
6．已知数据x1，x2，…xn是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（　　）
A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变
7．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图（如图），则下列结论中不正确的是（　　）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%
D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前从事互联网行业的人数多
8．已知一组数据x1，x2， ，xn的平均数为，标准差为s．若3x1﹣2，3x2﹣2， ，3xn﹣2的平均数与方差相等，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．﹣2
第Ⅱ卷（非选择题）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数据x1，x2，x3，…，xn的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是a1，b1，c1，d1，数据y1，y2，y3，…，yn的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是a2，b2，c2，d2，且满足yi＝3xi﹣1（i＝1，2，3， ，n），则下列结论正确的是（　　）
A．b2＝3b1﹣1 B．a2＝a1 C．c2＝9c1 D．d2＝3d1﹣1
10．为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（　　）
A．a＝0.010
B．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75
C．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时
D．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为3：1
11．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有（　　）
A．中位数为3，众数为3 B．平均数为3，众数为4
C．平均数为3，中位数为3 D．平均数为2，方差为2.4
12．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论正确的是（　　）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲、乙两组数据的标准差满足s甲＜s乙，则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则数据yi＝axi﹣b（i＝1，2，3，…，n）的平均数为a﹣b
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一组数据a1，a2，a3，…，an的方差为4，则3a1﹣1，3a2﹣1，3a3﹣1，…，3an﹣1的标准差为 　 　．
14．用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有 　 　石．
15．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 　 　．
16．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了1000名市民，结果显示：使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人，两种都使用的有298人．
（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？
（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）
18．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的得分情况如下：
甲：15，17，14，23，22，24，32；
乙：12，13，11，23，27，31，30．
（1）分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；
（2）分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定？
19．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示．
（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；
（2）用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a、b、c，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当三人的体育成绩方差s2最小时，写出a、b、c的所有可能取值．（不要求证明）
20．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%．登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．
（1）试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数；
（3）如果游泳组中抽取的样本经调查得知青年人的平均满意度为75%，中年人的平均满意度为80%，老年人的平均满意度为90%，试估计游泳组中的职工的平均满意度．
21．开学以来30天内的课外作业时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查．将样本中的“小学生”和“初中学生”按学生的课外作业时间（单位：小时）各分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）试估计全校学生中课外作业时间在[30，40）内的总人数；
（Ⅱ）从课外作业时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有两个小学生的概率；
（Ⅲ）国家规定：小学生（3～6年级）平均每人每天课外作业时间不超过1小时．若该校小学生课外作业时间大于国家标准，则学校应适当减少课外作业时间．试根据以上抽样调查数据，判断该校小学生（3～6年级）是否需要减少课外作业时间．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
22．随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分
1 78 11 88 21 79 31 93
2 73 12 86 22 83 32 78
3 81 13 95 23 72 33 75
4 92 14 76 24 74 34 81
5 95 15 97 25 91 35 84
6 85 16 78 26 66 36 77
7 79 17 88 27 80 37 81
8 84 18 82 28 83 38 76
9 63 19 76 29 74 39 85
10 86 20 89 30 82 40 89
（1）请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；
（2）若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差s2；
（3）在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．
（参考数据：，，）
第九章 统计 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取100人进行问卷调查．已知高一年级有270名男生，从男生中抽取了60名，则该校高一年级共有学生（　　）
A．445人 B．450人 C．520人 D．540人
解：由题意计算抽样比例为＝，
所以该校高一年级共有学生270×＝450（人）．
故选：B．
2．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出90户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是（　　）
A．按家庭分层抽样 B．按收入分层抽样
C．简单随机抽样 D．各种方法均可
解：因为社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，
而社区中各个家庭收入差别明显，
故应采用的最佳抽样方法是分层抽样．
故选：B．
3．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则第四袋牛奶的标号是（　　）
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75531 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98301 07185 12867 35807 44395 23879 33211
A．358 B．301 C．071 D．206
解：由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件，
即随机选取的第一袋牛奶标号是206，
以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数，下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071，
所以第四袋牛奶的标号为071．
故选：C．
4．某日某火锅店进货了四种食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是（　　）
A．7 B．13 C．8 D．9
解：由题意，抽样的比例为＝，
则应抽取的毛肚份数与莴笋份数之和为（700+200）×＝9，
故选：D．
5．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 7 8
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第50百分位数分别是（　　）
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
解：由图表可知众数为8，
共6+10+9+7+8＝40人，
40×50%＝20，
所以第50百分位数为9．
故选：D．
6．已知数据x1，x2，…xn是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（　　）
A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变
解：因为数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，
由于数据的集中程度也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大．
故选：B．
7．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图（如图），则下列结论中不正确的是（　　）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%
D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前从事互联网行业的人数多
解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图知，
互联网行业从业人员中90后占56%，
故选项A不符合题意；
∵56%×39.6%≈22.17%，
∴互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，
故选项B不符合题意；
∵56%×6.5%＝3.64%，
∴互联网行业中从事产品岗位的90后人数不到总人数的5%，
故选项C符合题意；
∵56%×17%＝9.52%，
∴互联网行业中从事运营岗位的90后人数占总人数的9.52%，
而80前从事互联网行业的人数占总人数的3%，
故互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前从事互联网行业的人数多，
故选项D不符合题意．
故选：C．
8．已知一组数据x1，x2， ，xn的平均数为，标准差为s．若3x1﹣2，3x2﹣2， ，3xn﹣2的平均数与方差相等，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．﹣2
解：由题意可得3﹣2＝9s2，则s＝．因为s2≥0，所以3﹣2≥0，解得．
令y＝s﹣＝﹣（）．
设t＝，则＝（t≥0），
从而＝≤﹣，故．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数据x1，x2，x3，…，xn的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是a1，b1，c1，d1，数据y1，y2，y3，…，yn的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是a2，b2，c2，d2，且满足yi＝3xi﹣1（i＝1，2，3， ，n），则下列结论正确的是（　　）
A．b2＝3b1﹣1 B．a2＝a1 C．c2＝9c1 D．d2＝3d1﹣1
解：由题意可知，两组数据满足yi＝3xi﹣1（i＝1，2，3， ，n），
由平均数计算公式得×（y1+y2+...+yn）＝×[（3x1﹣1）+（3x2﹣1）+…+（3xn﹣1）]＝3××（x1+x2+…+xn）﹣1，
所以b2＝3b1﹣1，故A正确；
由它们的众数也满足yi＝3xi﹣1（i＝1，2，3， ，n），
则有a2＝3a1﹣1，故B错误；
由方差的性质得c2＝9c1，故C正确；
对于数据x1，x2，x3，…，xn，假设其第80百分位数为d1，
当0.8n＝k是整数时，d1＝，
当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则d1＝xk+1，
所以对于数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3xn﹣1，假设其第80百分位数为d2，
当0.8n＝k是整数时，d2＝＝3d1﹣1，
当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则d2＝3xk+1﹣1＝3d1﹣1，
所以d2＝3d1﹣1，故D正确．
故选：ACD．
10．为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（　　）
A．a＝0.010
B．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75
C．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时
D．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为3：1
解：对于A，10a+10×0.020+10×0.035+10×0.020+10a+10×0.005＝1，解得，a＝0.010，
对于B，a＝0.010，前两个小矩形面积之和为0.3，即中位数在[60，70）内，设为m，
则，解得，
该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为65.7，
对于C，根据频率分布直方图可得，男生中每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为10×（0.035+0.020+0.010+0.005）＝0.700，
人数为120×0.7＝84，
女生中每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为10×（0.030+0.010+0.005）＝0.450，人数为80×0.450＝36，
故学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为，
故该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时，
对于D，男生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为10×（0.010+0.005）＝0.15，人数为120×0.15＝18，
女生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为10×0.005＝0.050，人数为80×0.050＝4，
所以每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为，
所以该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为9：2．
故选：AC．
11．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有（　　）
A．中位数为3，众数为3 B．平均数为3，众数为4
C．平均数为3，中位数为3 D．平均数为2，方差为2.4
解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，
满足中位数为3，众数为3，所以A不可以判断；
对于B，若平均数为3，且出现点数为6，则其余4个数的和为9，
而众数为4，故其余4个数的和至少为10，所以B可以判断；
对于C，当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时，
满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，所以C不能判断；
对于D，若平均数为2，且出现点数6，
则方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，
所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6．
故选：BD．
12．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论正确的是（　　）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲、乙两组数据的标准差满足s甲＜s乙，则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则数据yi＝axi﹣b（i＝1，2，3，…，n）的平均数为a﹣b
解：对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查　方式为抽样调查，故A正确；
对于B，根据分层抽样抽样比可知样本容量为×（480+420）＝135，故B正确；
对于C，∵S甲＜S乙，∴甲的数据更稳定，故C错误；
对于D，根据平均数的性质，yi＝axi﹣b（i＝1，2，3， ，n）的平均数为﹣b，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一组数据a1，a2，a3，…，an的方差为4，则3a1﹣1，3a2﹣1，3a3﹣1，…，3an﹣1的标准差为 　6　．
解：因为a1，a2，a3，…，an的方差为4，
所以3a1﹣1，3a2﹣1，3a3﹣1，…，3an﹣1的方差为32×4＝36，
所以3a1﹣1，3a2﹣1，3a3﹣1，…，3an﹣1的标准差为6．
故答案为：6．
14．用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有 　160　石．
解：依题意，设这批米内所夹的谷有x石，
则，解得x＝160，
所以估计这批米内所夹的谷有160石．
故答案为：160．
15．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 　7　．
解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，
＝6.4，故组数为7组，
故答案为：7．
16．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是 　12　．
解：依题意，平均数＝中位数＝众数＝8，所以偏态系数为0，数据分布对称，
因为存在众数且众数唯一，
所以可设这8个整数为x1，x2，x3，8，8，x4，x5，x6，
且x1＜x2＜x3＜8＝8＜x4＜x5＜x6，
所以，解得x6＝12．
故答案为：12．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了1000名市民，结果显示：使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人，两种都使用的有298人．
（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？
（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）
解：（1）因为“使用支付宝”的有456人，“两种支付方式都使用”的有298人，
所以“只使用支付宝不使用微信支付”的有456﹣298＝158（人）．
（2）同（1）有，“只使用微信支付不使用支付宝”的有783﹣298＝485（人），
所以，“至少使用一种移动支付方式”的有485+158+298＝941（人），
故“两种移动支付方式都不使用”有1000﹣941＝59（人）．
18．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的得分情况如下：
甲：15，17，14，23，22，24，32；
乙：12，13，11，23，27，31，30．
（1）分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；
（2）分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定？
解：（1）设甲、乙的平均分别记为，，
则，，
故甲、乙两名运动员得分的平均数均为21；
（2）设甲、乙两名运动员得分的方差分别为，
则＝，＝，
∵，
∴甲运动员的成绩更稳定．
19．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示．
（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；
（2）用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a、b、c，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当三人的体育成绩方差s2最小时，写出a、b、c的所有可能取值．（不要求证明）
解：（1）根据折线图体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13＝30（人），
所以该校高一年级学生“体育良生”的人数为（人）．
（2）用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分为．
（3）由于甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70，80），b∈[80，90），其中a，b，c∈N，当三人的体育成绩方差s2最小时，a、b、c的所有可能取值79.84，90或79，85，90．
20．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%．登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．
（1）试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数；
（3）如果游泳组中抽取的样本经调查得知青年人的平均满意度为75%，中年人的平均满意度为80%，老年人的平均满意度为90%，试估计游泳组中的职工的平均满意度．
解：（1）设登山组人数为x人，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，
则有＝47.5%，＝10%，
解得b＝50%，c＝10%．
故a＝100%﹣50%﹣10%＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%．
（2）游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60（人）；
抽取的中年人数为200××50%＝75（人）；
抽取的老年人数为200××10%＝15（人）．
（3）∵游泳组中，青年人、中年人、老年人分别抽取的人数为：60，75，15人；
∴职工的平均满意度的估计值为：×100%＝79%，
∴估计游泳组中的职工的平均满意度为79%．
21．开学以来30天内的课外作业时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查．将样本中的“小学生”和“初中学生”按学生的课外作业时间（单位：小时）各分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）试估计全校学生中课外作业时间在[30，40）内的总人数；
（Ⅱ）从课外作业时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有两个小学生的概率；
（Ⅲ）国家规定：小学生（3～6年级）平均每人每天课外作业时间不超过1小时．若该校小学生课外作业时间大于国家标准，则学校应适当减少课外作业时间．试根据以上抽样调查数据，判断该校小学生（3～6年级）是否需要减少课外作业时间．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
解：（I）小学生中，课外作业时间在[30，40）小时内的频率为1﹣（0.003+0.005+0.03+0.04）×10＝0.22；
∴所有的小学生中，课外作业时间在[30，40）小时内的学生约有0.22×1800＝396人；
初中生中，课外作业时间在[30，40）小时内的频率为1﹣（0.005+0.025+0.035+0.005）×10＝0.30，
∴所有的初中生中，课外作业时间在[30，40）小时内的学生约有0.30×1200＝360人；
则该校所有学生中，课外作业时间在[30，40）小时内的学生人数约有396+360＝756人．
（II）记“从课外作业时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名小学生”为事件A．
由分层抽样知，抽取的小学生有名，初中生有100﹣60＝40名．
小学生中，课外作业时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，则样本人数为0.05×60＝3人；
初中生中，课外作业时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×40＝2人．
记这3名小学生为A，B，C，这2名初中生为d，e，
则从课外作业时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果为：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde，共10种；
其中事件A的结果为：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共7种；
∴至少抽到2名小学生的概率为．
（III）小学生平均每人课外作业时间（小时）为：5×0.05+15×0.3+25×0.4+35×0.22+45×0.03＝23.8，30×1＝30．
∵23.8＜30，
∴该校不需要减少小学生课外作业时间．
22．随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分
1 78 11 88 21 79 31 93
2 73 12 86 22 83 32 78
3 81 13 95 23 72 33 75
4 92 14 76 24 74 34 81
5 95 15 97 25 91 35 84
6 85 16 78 26 66 36 77
7 79 17 88 27 80 37 81
8 84 18 82 28 83 38 76
9 63 19 76 29 74 39 85
10 86 20 89 30 82 40 89
（1）请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；
（2）若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差s2；
（3）在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．
（参考数据：，，）
解：（1）这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，95，97，
得到，，
可知这40个用户评分的25%，95%分位数分别为第10项和第11项数据的平均数，第38项和第39项数据的平均数，分别为76.5，95，
据此估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数分别约为76.5，95．
（2）＝83，+（83﹣83）2+（78﹣83）2+（77﹣83）2+（89﹣83）2]＝33．
（3）由题意知评分在，即（77.26，88.74）内的满意度等级为“A级”，样本中评分在（77.26，88.74）内的有5人，则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．