第二章 直线和圆的方程 章末综合测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）
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| 名称 | 第二章 直线和圆的方程 章末综合测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 494.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 05:06:43 | ||
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文档简介
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第二章 直线和圆的方程 章末综合测试
选择性必修第一册高中数学人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程；考试满分：150分钟
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l过A（﹣1，1）、B（1，3）两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
3．已知圆和圆，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．相离
4．已知圆M经过点A（﹣1，﹣4），B（6，3），且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣3）2+（y+1）2＝25 B．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25
C．（x﹣3）2+（y+1）2＝5 D．（x+3）2+（y+1）2＝25
5．一束光线，从点A（﹣3，3）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝4上的最短路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使，则x0的取值范围为（ ）
A．[﹣1，1] B． C． D．
7．已知A，B是圆C：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0）上两点，且．若存在a∈R，使得直线l1：ax﹣y＝0与l2：x+ay+2a﹣4＝0的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点P（﹣1，0），圆（x﹣1）2+y2＝9上的两个不同的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足＝λ（λ∈R），则|4x1+3y1﹣25|+|4x2+3y2﹣25|的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16，点A（4，0），B（0，2），则（ ）
A．点A在圆C外 B．直线x＝1与圆C相切
C．直线AB与圆C相切 D．圆x2+y2＝49与圆C相离
10．已知圆C：x2+y2﹣6x＝0，若直线x＝my﹣3上存在点p，使过P所做的两条切线互相垂直，则实数m的值可以是（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣2 D．
11．设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．|PA|的取值范围为[1，+∞）
B．四边形PACB的最大值为
C．满足∠APB＝60°的点P有两个
D．△CAB的面积最大值为
12．设圆O：x2+y2＝4，直线l：2x+y+5＝0，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线l与圆O相交
B．直线AB恒过定点
C．当P的坐标为（﹣2，﹣1）时，∠APB最大
D．当|PO| |AB|最小时，直线AB的方程为2x+y+4＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x﹣ay+1＝0，a∈R若l1⊥l2，则a的值为 ．
14．已知圆O：x2+y2＝4与圆C：x2+y2﹣x+y﹣3＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
15．大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点C（2，0）和一动点P满足|CP|＝2，若过点的直线l将动点P的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y﹣3＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于M，N两点，且∠MCN为锐角，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为．
（1）求直线l的方程；
（2）直线，点P在l'上，求|PA|+|PB|的最小值．
18．在△ABC中，已知点A（﹣1，﹣1），B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线MN的一般式方程；
（3）判断△ABC形状，说明理由；并求出△ABC外接圆的标准方程．
19．某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是AB＝12米，建立如图所示的直角坐标系．
（1）写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程；
（2）若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由．
20．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，点P是直线l：x+2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）过点的直线l1被圆M截得的弦最短，求l1的方程；
（2）若△PAM的外接圆圆心为C，试问：当P运动时，圆C是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．①圆C与直线l1：x+y﹣1＝0相切；②圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．
已知圆C经过点A（1，0），圆心C在直线l：x+y﹣5＝0上，且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知圆C'与圆C关于直线l1对称，过原点O的直线m交圆C'于M，N两点，求弦MN中点Q的轨迹方程．
22．已知点（2，1）在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为（0，3），O为坐标原点．
（1）若直线m：2x+y﹣2＝0也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．
第二章 直线与圆的方程 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l过A（﹣1，1）、B（1，3）两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
解：直线l过A（﹣1，1）、B（1，3）两点，
则直线l的斜率，
故直线的倾斜角为．
故选：A．
2．已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
解：根据题意，若方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，
则有（﹣2）2+m2﹣4m＞0，m2﹣4m+4＝（m﹣2）2＞0，解可得m≠2，
即m的取值范围为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；
故选：D．
3．已知圆和圆，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．相离
解：由题意可知，圆的圆心为C1（2，3），半径r＝1；
圆的圆心为C2（3，4），半径R＝4；
两圆心距离为，此时
所以，圆C1与圆C2的位置关系为内含．
故选：A．
4．已知圆M经过点A（﹣1，﹣4），B（6，3），且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣3）2+（y+1）2＝25 B．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25
C．（x﹣3）2+（y+1）2＝5 D．（x+3）2+（y+1）2＝25
解：设圆心的坐标为C（a，b），设圆的半径为r，故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
由于圆经过点A（﹣1，﹣4），B（6，3），且圆心在x﹣y﹣4＝0上；
故，解得．
故圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝25．
故选：A．
5．一束光线，从点A（﹣3，3）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝4上的最短路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
解：从点A（﹣3，3）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝4，
作点A关于x轴对称的点B，所以B（﹣3，﹣3），
如图所示：
所以最小路径的线段为BD，即BD＝．
故选：A．
6．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使，则x0的取值范围为（ ）
A．[﹣1，1] B． C． D．
解：已知点M（x0，1）在直线y＝1上，设圆O：x2+y2＝1与直线y＝1的交点为T，显然假设存在点N使得，只需满足，
由于T（0，1），所以只需在RtΔOMT中，tan＝，
解得，且x0≠0，当x0＝0时，显然满足条件，
故．
故选：B．
7．已知A，B是圆C：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0）上两点，且．若存在a∈R，使得直线l1：ax﹣y＝0与l2：x+ay+2a﹣4＝0的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0），半径r＝2，
因为M恰为AB的中点，直线与圆相交弦长，所以|MC|＝1，
∴M的轨迹方程是（x﹣2）2+（y﹣m）2＝1．
又直线l1：ax﹣y＝0过定点Q（0，0），直线l2：x+ay+2a﹣4＝0过定点S（4，﹣2），且l1⊥l2，
则点P是两垂线的交点，所以P在以QS为直径的圆上，则圆心（2，﹣1），半径为，
∴P的轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2＝5由于l1的斜率存在，
所以点P的轨迹要除去点（0，﹣2），
由已知得圆M与圆P有公共点，
∴，即，
又m＞0，
所以，解得．
∴实数m的取值范围为．
故选：B．
8．已知点P（﹣1，0），圆（x﹣1）2+y2＝9上的两个不同的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足＝λ（λ∈R），则|4x1+3y1﹣25|+|4x2+3y2﹣25|的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
解：圆（x﹣1）2+y2＝9的圆心坐标为（1，0），半径为3，
A（x1，y1）、B（x2，y2）为圆上的两点，
又P（﹣1，0），且＝λ（λ∈R），可得P，A，B共线，
即A，B是过P（﹣1，0）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝9的两交点．
设AB的中点为（x0，y0），
+的几何意义为A，B两点到直线3x+4y﹣25＝0的距离和，
则+＝2 ，
由A，B在圆（x﹣1）2+y2＝9上，得（x1﹣1）2+y12＝9，（x2﹣1）2+y22＝9，
两式作差可得＝﹣，即得＝﹣，
又＝，∴＝﹣，即x02+y02＝1．
则AB的中点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，
则（x0，y0）到直线4x+3y﹣25＝0的距离的最大值为+1＝6．
∴+的最大值为2×6＝12．
∴|4x1+3y1﹣25|+|4x2+3y2﹣25|的最大值为60．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16，点A（4，0），B（0，2），则（ ）
A．点A在圆C外 B．直线x＝1与圆C相切
C．直线AB与圆C相切 D．圆x2+y2＝49与圆C相离
解：由已知得圆C的圆心坐标为C（5，5），半径为r＝4，
对于A项，因为（4﹣5）2+（0﹣5）2＝26＞16，所以点A在圆C外，故A正确；
对于B项，圆心到直线x＝1的距离为d1＝|5﹣1|＝4＝r，故直线x＝1与圆C相切，故B项正确；
对于C项，直线AB的方程为+＝1，整理得x+2y＝4，则圆心C到直线AB的距离为d2＝＝＞4，
所以直线AB与圆C相离，故C错误；
对于D项，圆x2+y2＝49的圆心坐标为O（0，0），半径为R＝7，则圆心间的距离为|OC|＝＝5，
因为R﹣r＝3＜|OC|＜10＝R+r，所以圆x2+y2＝49与圆C相交，故D错误．
故选：AB．
10．已知圆C：x2+y2﹣6x＝0，若直线x＝my﹣3上存在点p，使过P所做的两条切线互相垂直，则实数m的值可以是（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣2 D．
解：根据题意，由x2+y2﹣6x＝0，得（x﹣3）2+y2＝9，
圆心C（3，0），半径r＝3，若过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则P，C及两切点构成正方形，则|PC|＝3，
又P在直线x＝my﹣3上，则圆心到直线的距离d＝≤3．
解得：m≤﹣1或m≥1，
故选：AC．
11．设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．|PA|的取值范围为[1，+∞）
B．四边形PACB的最大值为
C．满足∠APB＝60°的点P有两个
D．△CAB的面积最大值为
解：圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3＝0的距离d＝＝2，
所以|PC|＞d＝2，因为圆的半径为r＝，
根据切线长公式可得|PA|＝≥1，
当PC⊥l时取得等号，所以|PA|的取值范围为[1，+∞），故A正确；
因为PA⊥AC，所以四边形PACB的面积等于2×S△PAC＝|PA|×|AC|＝|PA|≥，
四边形PACB的最小值为，故B错误；
因为∠APB＝60°，所以∠APC＝30°，
在直角三角形APC中，＝sin30°＝，所以|CP|＝2，
设P（a，﹣），因为|CP|＝＝2，
整理得25a2+10a﹣127＝0，
则有Δ＝100+12700＞0，所以满足条件的点P有两个，故C正确；
因为S△CAB＝|CA||CB|sin∠ACB＝sin∠ACB，
所以当sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，面积有最大值为，
此时四边形PACB为正方形，则|PC|＝＝＞2，满足要求，故D错误，
故选：AC．
12．设圆O：x2+y2＝4，直线l：2x+y+5＝0，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线l与圆O相交
B．直线AB恒过定点
C．当P的坐标为（﹣2，﹣1）时，∠APB最大
D．当|PO| |AB|最小时，直线AB的方程为2x+y+4＝0
解：如图所示：
A选项：圆心O（0，0）到直线l的距离d＝＝＞2，
∴直线l与圆O相离，因此A选项不正确；
B选项：由题意可知点A，B，在以OP为直径的圆上，
设P（a，﹣2a﹣5），其圆的方程为：（x﹣）2+（y+）2＝（）2+（）2，化简为x2+y2﹣ax+（2a+5）y＝0，
与方程x2+y2＝4相减可得：ax﹣（2a+5）y＝4，
则直线AB的方程为a（x﹣2y）﹣（5y+4）＝0，
令x﹣2y＝0，则5y+4＝0，解得y＝，x＝，因此直线AB恒过定点（﹣，），因此B选项正确；
C选项：当OP⊥l时，∠APB最大，此时直线OP的方程为y＝，即x﹣2y＝0，
联立，解得，∴P（﹣2，﹣1），因此C选项正确；
D选项：|OP| |AB|＝4S△PAO＝4×|PA| |AO|＝4|PA|，|PA|＝，
当OP⊥l时，|PA|最小，|PO| |AB|最小，此时P（﹣2，﹣1），a＝﹣2，直线l的方程为2x+y+4＝0，因此D选项正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x﹣ay+1＝0，a∈R若l1⊥l2，则a的值为 ﹣1 ．
解：若l1⊥l2，
则（a﹣1）×1+2×（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知圆O：x2+y2＝4与圆C：x2+y2﹣x+y﹣3＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
解：因为圆O：x2+y2＝4与圆相交于A，B两点，
所以直线AB的方程为：，即，
圆心O（0，0）到弦AB的距离，
所以．
故答案为：．
15．大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点C（2，0）和一动点P满足|CP|＝2，若过点的直线l将动点P的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
解：依题意可知，动点P的轨迹是以C为圆心，r＝2为半径的圆，即⊙C：（x﹣2）2+y2＝4，
因为，故点M在⊙C内，
当劣弧所对的圆心角最小时，CM⊥l，因为直线CM的斜率，
所以所求直线l的斜率．
故答案为：．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y﹣3＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于M，N两点，且∠MCN为锐角，则实数m的取值范围为 ．
解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（2，1），半径为2，
取MN中点H，直线l：mx+y﹣3＝0过定点（0，3），且∠MCN为锐角，
则∠MCH＜45°，即，
又直线与圆相交，所以，
圆心C（2，1）到直线l：mx+y﹣3＝0的距离，所以，
化简得，解得或．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为．
（1）求直线l的方程；
（2）直线，点P在l'上，求|PA|+|PB|的最小值．
解：（1）由题意可设直线方程为y＝﹣x+b（b＞0），
令x＝0可得y＝b，令y＝0可得x＝，
所以△AOB的面积S＝＝，
所以b＝4，
故直线l的方程为y＝﹣；
（2）由（1）得B（0，4），A（4，0），
设B（0，4）关于y＝﹣x对称的点为B′（a，b），
则，解得a＝﹣2，b＝2，
故B′（﹣2，2），
所以|PA|+|PB|＝|PA|+|PB′|≥|AB′|＝＝4．
18．在△ABC中，已知点A（﹣1，﹣1），B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线MN的一般式方程；
（3）判断△ABC形状，说明理由；并求出△ABC外接圆的标准方程．
解：（1）设点C（x，y），M（0，y0），N（x0，0），
根据中点坐标公式可得，解得，所以C（1，﹣3）；
（2）由（1）知M（0，﹣2），N（4，0），根据斜截式方程可得，
整理得直线MN的一般式方程为x﹣2y﹣4＝0；
（3）由题可知，
所以|AB|＝|AC|2+|BC|2，即AC⊥BC，
所以△ABC为直角三角形，
由题可知，线段AB中点坐标为（3，1），
所以线段AB的中垂线的直线方程为，
即2x+y﹣7＝0．kAC＝﹣1，线段AC中点坐标为（0，﹣2），
所以线段AC的中垂线的直线方程为，即x﹣y﹣2＝0，
联立解得，即△ABC外接圆的圆心为（3，1），
又因为（3，1）到点A（﹣1，﹣1）的距离等于，
所以△ABC外接圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝20．
19．某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是AB＝12米，建立如图所示的直角坐标系．
（1）写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程；
（2）若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由．
解：（1）如图所示：
依题意知：圆的直径是AB＝12米，所以r＝6，
所以：圆O的圆心为（0，0），半径r＝6的上半圆，C（0，6）；
故圆C的方程是x2+y2＝36（y≥0）．
（2）当x＝3时，利用勾股定理，
所以：米，
因此正常行驶时卡车可以顺利通过．
20．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，点P是直线l：x+2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）过点的直线l1被圆M截得的弦最短，求l1的方程；
（2）若△PAM的外接圆圆心为C，试问：当P运动时，圆C是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）因为圆M：x2+（y﹣2）2＝1，，
所以，
所以Q在圆内，
所以过点且与MQ垂直的弦长最短，
因为圆心M点坐标为M（0，2），所以，
所以所求直线l1的斜率k＝1，
所以l1的方程为，即x﹣y+1＝0；
（2）由题意，设P（﹣2b，b），
因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径的圆，
其方程为，即（2x﹣y+2）b+（x2+y2﹣2y）＝0，
由，解得或，
所以圆过定点（0，2），．
21．①圆C与直线l1：x+y﹣1＝0相切；②圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．
已知圆C经过点A（1，0），圆心C在直线l：x+y﹣5＝0上，且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知圆C'与圆C关于直线l1对称，过原点O的直线m交圆C'于M，N两点，求弦MN中点Q的轨迹方程．
解：（1）选①圆C与直线l1：x+y﹣1＝0相切：
设圆心C（x，5﹣x），r＝|CA|＝，圆心C到l1的距离d＝＝2＝r，
∴r＝|CA|＝＝2，解得x＝3，
∴圆心C的坐标为（3，2），∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝8；
选②圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为：
设圆心C（x，5﹣x），圆心C到l2的距离d＝＝，
∵圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为，r＝＝2，
又圆C经过点A（1，0），∴|CA|＝＝2，解得x＝3，
∴圆心C的坐标为（3，2），∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝8；
（2）设圆心（3，2）关于ll的对称点为C′（x，y），则，
解得，∴C′的坐标为（﹣1，﹣2），
此时圆C'：（x+1）2+（y+2）2＝8，因为过原点O的直线m交圆C′于M，N两点，弦MN中点为Q，
所以OQ⊥C′Q，
所以Q在以C′O为直径的圆上，
设P（x，y），则Q轨迹方程为（x+1）x+（y+2）y）＝0，即x2+y2+x+2y＝0．
22．已知点（2，1）在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为（0，3），O为坐标原点．
（1）若直线m：2x+y﹣2＝0也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．
解：（1）由直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，可设直线l的方程为x﹣y﹣a＝0，
又点（2，1）在直线l上，所以2﹣1﹣a＝0，即a＝1，
所以直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，
联立，解得x＝1，y＝0，
所以圆C的圆心为（1，0），半径为1，
当切线的斜率不存在时，因为切线过点A（0，3），所以其方程为x＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设其方程为y＝kx+3，
由＝1，解得k＝﹣，
所以切线方程为y＝﹣x+3，即4x+3y﹣9＝0，
综上，切线方程为x＝0或4x+3y﹣9＝0．
（2）由（1）知，圆C的圆心在直线x﹣y﹣1＝0上，
故可设点C的坐标为（t，t﹣1），
设M（x，y），
因为，即|MA|2＝4|OM|2，
所以x2+（y﹣3）2＝4（x2+y2），即x2+（y+1）2＝4，
原问题等价于圆x2+（y+1）2＝4与圆C有交点，
所以2﹣1≤≤2+1，解得≤t≤，
故圆心C的横坐标的取值范围为[，]．
第二章 直线和圆的方程 章末综合测试
选择性必修第一册高中数学人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程；考试满分：150分钟
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l过A（﹣1，1）、B（1，3）两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
3．已知圆和圆，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．相离
4．已知圆M经过点A（﹣1，﹣4），B（6，3），且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣3）2+（y+1）2＝25 B．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25
C．（x﹣3）2+（y+1）2＝5 D．（x+3）2+（y+1）2＝25
5．一束光线，从点A（﹣3，3）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝4上的最短路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使，则x0的取值范围为（ ）
A．[﹣1，1] B． C． D．
7．已知A，B是圆C：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0）上两点，且．若存在a∈R，使得直线l1：ax﹣y＝0与l2：x+ay+2a﹣4＝0的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点P（﹣1，0），圆（x﹣1）2+y2＝9上的两个不同的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足＝λ（λ∈R），则|4x1+3y1﹣25|+|4x2+3y2﹣25|的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16，点A（4，0），B（0，2），则（ ）
A．点A在圆C外 B．直线x＝1与圆C相切
C．直线AB与圆C相切 D．圆x2+y2＝49与圆C相离
10．已知圆C：x2+y2﹣6x＝0，若直线x＝my﹣3上存在点p，使过P所做的两条切线互相垂直，则实数m的值可以是（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣2 D．
11．设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．|PA|的取值范围为[1，+∞）
B．四边形PACB的最大值为
C．满足∠APB＝60°的点P有两个
D．△CAB的面积最大值为
12．设圆O：x2+y2＝4，直线l：2x+y+5＝0，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线l与圆O相交
B．直线AB恒过定点
C．当P的坐标为（﹣2，﹣1）时，∠APB最大
D．当|PO| |AB|最小时，直线AB的方程为2x+y+4＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x﹣ay+1＝0，a∈R若l1⊥l2，则a的值为 ．
14．已知圆O：x2+y2＝4与圆C：x2+y2﹣x+y﹣3＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
15．大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点C（2，0）和一动点P满足|CP|＝2，若过点的直线l将动点P的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y﹣3＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于M，N两点，且∠MCN为锐角，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为．
（1）求直线l的方程；
（2）直线，点P在l'上，求|PA|+|PB|的最小值．
18．在△ABC中，已知点A（﹣1，﹣1），B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线MN的一般式方程；
（3）判断△ABC形状，说明理由；并求出△ABC外接圆的标准方程．
19．某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是AB＝12米，建立如图所示的直角坐标系．
（1）写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程；
（2）若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由．
20．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，点P是直线l：x+2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）过点的直线l1被圆M截得的弦最短，求l1的方程；
（2）若△PAM的外接圆圆心为C，试问：当P运动时，圆C是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．①圆C与直线l1：x+y﹣1＝0相切；②圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．
已知圆C经过点A（1，0），圆心C在直线l：x+y﹣5＝0上，且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知圆C'与圆C关于直线l1对称，过原点O的直线m交圆C'于M，N两点，求弦MN中点Q的轨迹方程．
22．已知点（2，1）在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为（0，3），O为坐标原点．
（1）若直线m：2x+y﹣2＝0也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．
第二章 直线与圆的方程 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l过A（﹣1，1）、B（1，3）两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
解：直线l过A（﹣1，1）、B（1，3）两点，
则直线l的斜率，
故直线的倾斜角为．
故选：A．
2．已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
解：根据题意，若方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，
则有（﹣2）2+m2﹣4m＞0，m2﹣4m+4＝（m﹣2）2＞0，解可得m≠2，
即m的取值范围为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；
故选：D．
3．已知圆和圆，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．相离
解：由题意可知，圆的圆心为C1（2，3），半径r＝1；
圆的圆心为C2（3，4），半径R＝4；
两圆心距离为，此时
所以，圆C1与圆C2的位置关系为内含．
故选：A．
4．已知圆M经过点A（﹣1，﹣4），B（6，3），且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣3）2+（y+1）2＝25 B．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25
C．（x﹣3）2+（y+1）2＝5 D．（x+3）2+（y+1）2＝25
解：设圆心的坐标为C（a，b），设圆的半径为r，故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
由于圆经过点A（﹣1，﹣4），B（6，3），且圆心在x﹣y﹣4＝0上；
故，解得．
故圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝25．
故选：A．
5．一束光线，从点A（﹣3，3）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝4上的最短路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
解：从点A（﹣3，3）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝4，
作点A关于x轴对称的点B，所以B（﹣3，﹣3），
如图所示：
所以最小路径的线段为BD，即BD＝．
故选：A．
6．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使，则x0的取值范围为（ ）
A．[﹣1，1] B． C． D．
解：已知点M（x0，1）在直线y＝1上，设圆O：x2+y2＝1与直线y＝1的交点为T，显然假设存在点N使得，只需满足，
由于T（0，1），所以只需在RtΔOMT中，tan＝，
解得，且x0≠0，当x0＝0时，显然满足条件，
故．
故选：B．
7．已知A，B是圆C：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0）上两点，且．若存在a∈R，使得直线l1：ax﹣y＝0与l2：x+ay+2a﹣4＝0的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0），半径r＝2，
因为M恰为AB的中点，直线与圆相交弦长，所以|MC|＝1，
∴M的轨迹方程是（x﹣2）2+（y﹣m）2＝1．
又直线l1：ax﹣y＝0过定点Q（0，0），直线l2：x+ay+2a﹣4＝0过定点S（4，﹣2），且l1⊥l2，
则点P是两垂线的交点，所以P在以QS为直径的圆上，则圆心（2，﹣1），半径为，
∴P的轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2＝5由于l1的斜率存在，
所以点P的轨迹要除去点（0，﹣2），
由已知得圆M与圆P有公共点，
∴，即，
又m＞0，
所以，解得．
∴实数m的取值范围为．
故选：B．
8．已知点P（﹣1，0），圆（x﹣1）2+y2＝9上的两个不同的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足＝λ（λ∈R），则|4x1+3y1﹣25|+|4x2+3y2﹣25|的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
解：圆（x﹣1）2+y2＝9的圆心坐标为（1，0），半径为3，
A（x1，y1）、B（x2，y2）为圆上的两点，
又P（﹣1，0），且＝λ（λ∈R），可得P，A，B共线，
即A，B是过P（﹣1，0）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝9的两交点．
设AB的中点为（x0，y0），
+的几何意义为A，B两点到直线3x+4y﹣25＝0的距离和，
则+＝2 ，
由A，B在圆（x﹣1）2+y2＝9上，得（x1﹣1）2+y12＝9，（x2﹣1）2+y22＝9，
两式作差可得＝﹣，即得＝﹣，
又＝，∴＝﹣，即x02+y02＝1．
则AB的中点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，
则（x0，y0）到直线4x+3y﹣25＝0的距离的最大值为+1＝6．
∴+的最大值为2×6＝12．
∴|4x1+3y1﹣25|+|4x2+3y2﹣25|的最大值为60．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16，点A（4，0），B（0，2），则（ ）
A．点A在圆C外 B．直线x＝1与圆C相切
C．直线AB与圆C相切 D．圆x2+y2＝49与圆C相离
解：由已知得圆C的圆心坐标为C（5，5），半径为r＝4，
对于A项，因为（4﹣5）2+（0﹣5）2＝26＞16，所以点A在圆C外，故A正确；
对于B项，圆心到直线x＝1的距离为d1＝|5﹣1|＝4＝r，故直线x＝1与圆C相切，故B项正确；
对于C项，直线AB的方程为+＝1，整理得x+2y＝4，则圆心C到直线AB的距离为d2＝＝＞4，
所以直线AB与圆C相离，故C错误；
对于D项，圆x2+y2＝49的圆心坐标为O（0，0），半径为R＝7，则圆心间的距离为|OC|＝＝5，
因为R﹣r＝3＜|OC|＜10＝R+r，所以圆x2+y2＝49与圆C相交，故D错误．
故选：AB．
10．已知圆C：x2+y2﹣6x＝0，若直线x＝my﹣3上存在点p，使过P所做的两条切线互相垂直，则实数m的值可以是（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣2 D．
解：根据题意，由x2+y2﹣6x＝0，得（x﹣3）2+y2＝9，
圆心C（3，0），半径r＝3，若过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则P，C及两切点构成正方形，则|PC|＝3，
又P在直线x＝my﹣3上，则圆心到直线的距离d＝≤3．
解得：m≤﹣1或m≥1，
故选：AC．
11．设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．|PA|的取值范围为[1，+∞）
B．四边形PACB的最大值为
C．满足∠APB＝60°的点P有两个
D．△CAB的面积最大值为
解：圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3＝0的距离d＝＝2，
所以|PC|＞d＝2，因为圆的半径为r＝，
根据切线长公式可得|PA|＝≥1，
当PC⊥l时取得等号，所以|PA|的取值范围为[1，+∞），故A正确；
因为PA⊥AC，所以四边形PACB的面积等于2×S△PAC＝|PA|×|AC|＝|PA|≥，
四边形PACB的最小值为，故B错误；
因为∠APB＝60°，所以∠APC＝30°，
在直角三角形APC中，＝sin30°＝，所以|CP|＝2，
设P（a，﹣），因为|CP|＝＝2，
整理得25a2+10a﹣127＝0，
则有Δ＝100+12700＞0，所以满足条件的点P有两个，故C正确；
因为S△CAB＝|CA||CB|sin∠ACB＝sin∠ACB，
所以当sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，面积有最大值为，
此时四边形PACB为正方形，则|PC|＝＝＞2，满足要求，故D错误，
故选：AC．
12．设圆O：x2+y2＝4，直线l：2x+y+5＝0，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线l与圆O相交
B．直线AB恒过定点
C．当P的坐标为（﹣2，﹣1）时，∠APB最大
D．当|PO| |AB|最小时，直线AB的方程为2x+y+4＝0
解：如图所示：
A选项：圆心O（0，0）到直线l的距离d＝＝＞2，
∴直线l与圆O相离，因此A选项不正确；
B选项：由题意可知点A，B，在以OP为直径的圆上，
设P（a，﹣2a﹣5），其圆的方程为：（x﹣）2+（y+）2＝（）2+（）2，化简为x2+y2﹣ax+（2a+5）y＝0，
与方程x2+y2＝4相减可得：ax﹣（2a+5）y＝4，
则直线AB的方程为a（x﹣2y）﹣（5y+4）＝0，
令x﹣2y＝0，则5y+4＝0，解得y＝，x＝，因此直线AB恒过定点（﹣，），因此B选项正确；
C选项：当OP⊥l时，∠APB最大，此时直线OP的方程为y＝，即x﹣2y＝0，
联立，解得，∴P（﹣2，﹣1），因此C选项正确；
D选项：|OP| |AB|＝4S△PAO＝4×|PA| |AO|＝4|PA|，|PA|＝，
当OP⊥l时，|PA|最小，|PO| |AB|最小，此时P（﹣2，﹣1），a＝﹣2，直线l的方程为2x+y+4＝0，因此D选项正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x﹣ay+1＝0，a∈R若l1⊥l2，则a的值为 ﹣1 ．
解：若l1⊥l2，
则（a﹣1）×1+2×（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知圆O：x2+y2＝4与圆C：x2+y2﹣x+y﹣3＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
解：因为圆O：x2+y2＝4与圆相交于A，B两点，
所以直线AB的方程为：，即，
圆心O（0，0）到弦AB的距离，
所以．
故答案为：．
15．大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点C（2，0）和一动点P满足|CP|＝2，若过点的直线l将动点P的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
解：依题意可知，动点P的轨迹是以C为圆心，r＝2为半径的圆，即⊙C：（x﹣2）2+y2＝4，
因为，故点M在⊙C内，
当劣弧所对的圆心角最小时，CM⊥l，因为直线CM的斜率，
所以所求直线l的斜率．
故答案为：．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y﹣3＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于M，N两点，且∠MCN为锐角，则实数m的取值范围为 ．
解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（2，1），半径为2，
取MN中点H，直线l：mx+y﹣3＝0过定点（0，3），且∠MCN为锐角，
则∠MCH＜45°，即，
又直线与圆相交，所以，
圆心C（2，1）到直线l：mx+y﹣3＝0的距离，所以，
化简得，解得或．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为．
（1）求直线l的方程；
（2）直线，点P在l'上，求|PA|+|PB|的最小值．
解：（1）由题意可设直线方程为y＝﹣x+b（b＞0），
令x＝0可得y＝b，令y＝0可得x＝，
所以△AOB的面积S＝＝，
所以b＝4，
故直线l的方程为y＝﹣；
（2）由（1）得B（0，4），A（4，0），
设B（0，4）关于y＝﹣x对称的点为B′（a，b），
则，解得a＝﹣2，b＝2，
故B′（﹣2，2），
所以|PA|+|PB|＝|PA|+|PB′|≥|AB′|＝＝4．
18．在△ABC中，已知点A（﹣1，﹣1），B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线MN的一般式方程；
（3）判断△ABC形状，说明理由；并求出△ABC外接圆的标准方程．
解：（1）设点C（x，y），M（0，y0），N（x0，0），
根据中点坐标公式可得，解得，所以C（1，﹣3）；
（2）由（1）知M（0，﹣2），N（4，0），根据斜截式方程可得，
整理得直线MN的一般式方程为x﹣2y﹣4＝0；
（3）由题可知，
所以|AB|＝|AC|2+|BC|2，即AC⊥BC，
所以△ABC为直角三角形，
由题可知，线段AB中点坐标为（3，1），
所以线段AB的中垂线的直线方程为，
即2x+y﹣7＝0．kAC＝﹣1，线段AC中点坐标为（0，﹣2），
所以线段AC的中垂线的直线方程为，即x﹣y﹣2＝0，
联立解得，即△ABC外接圆的圆心为（3，1），
又因为（3，1）到点A（﹣1，﹣1）的距离等于，
所以△ABC外接圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝20．
19．某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是AB＝12米，建立如图所示的直角坐标系．
（1）写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程；
（2）若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由．
解：（1）如图所示：
依题意知：圆的直径是AB＝12米，所以r＝6，
所以：圆O的圆心为（0，0），半径r＝6的上半圆，C（0，6）；
故圆C的方程是x2+y2＝36（y≥0）．
（2）当x＝3时，利用勾股定理，
所以：米，
因此正常行驶时卡车可以顺利通过．
20．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，点P是直线l：x+2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）过点的直线l1被圆M截得的弦最短，求l1的方程；
（2）若△PAM的外接圆圆心为C，试问：当P运动时，圆C是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）因为圆M：x2+（y﹣2）2＝1，，
所以，
所以Q在圆内，
所以过点且与MQ垂直的弦长最短，
因为圆心M点坐标为M（0，2），所以，
所以所求直线l1的斜率k＝1，
所以l1的方程为，即x﹣y+1＝0；
（2）由题意，设P（﹣2b，b），
因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径的圆，
其方程为，即（2x﹣y+2）b+（x2+y2﹣2y）＝0，
由，解得或，
所以圆过定点（0，2），．
21．①圆C与直线l1：x+y﹣1＝0相切；②圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．
已知圆C经过点A（1，0），圆心C在直线l：x+y﹣5＝0上，且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知圆C'与圆C关于直线l1对称，过原点O的直线m交圆C'于M，N两点，求弦MN中点Q的轨迹方程．
解：（1）选①圆C与直线l1：x+y﹣1＝0相切：
设圆心C（x，5﹣x），r＝|CA|＝，圆心C到l1的距离d＝＝2＝r，
∴r＝|CA|＝＝2，解得x＝3，
∴圆心C的坐标为（3，2），∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝8；
选②圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为：
设圆心C（x，5﹣x），圆心C到l2的距离d＝＝，
∵圆C被直线l2：x+y﹣3＝0截得的弦长为，r＝＝2，
又圆C经过点A（1，0），∴|CA|＝＝2，解得x＝3，
∴圆心C的坐标为（3，2），∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝8；
（2）设圆心（3，2）关于ll的对称点为C′（x，y），则，
解得，∴C′的坐标为（﹣1，﹣2），
此时圆C'：（x+1）2+（y+2）2＝8，因为过原点O的直线m交圆C′于M，N两点，弦MN中点为Q，
所以OQ⊥C′Q，
所以Q在以C′O为直径的圆上，
设P（x，y），则Q轨迹方程为（x+1）x+（y+2）y）＝0，即x2+y2+x+2y＝0．
22．已知点（2，1）在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为（0，3），O为坐标原点．
（1）若直线m：2x+y﹣2＝0也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．
解：（1）由直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，可设直线l的方程为x﹣y﹣a＝0，
又点（2，1）在直线l上，所以2﹣1﹣a＝0，即a＝1，
所以直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，
联立，解得x＝1，y＝0，
所以圆C的圆心为（1，0），半径为1，
当切线的斜率不存在时，因为切线过点A（0，3），所以其方程为x＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设其方程为y＝kx+3，
由＝1，解得k＝﹣，
所以切线方程为y＝﹣x+3，即4x+3y﹣9＝0，
综上，切线方程为x＝0或4x+3y﹣9＝0．
（2）由（1）知，圆C的圆心在直线x﹣y﹣1＝0上，
故可设点C的坐标为（t，t﹣1），
设M（x，y），
因为，即|MA|2＝4|OM|2，
所以x2+（y﹣3）2＝4（x2+y2），即x2+（y+1）2＝4，
原问题等价于圆x2+（y+1）2＝4与圆C有交点，
所以2﹣1≤≤2+1，解得≤t≤，
故圆心C的横坐标的取值范围为[，]．