第5章一元函数的导数及其应用 章末综合测试 -2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
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| 名称 | 第5章一元函数的导数及其应用 章末综合测试 -2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 356.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 05:08:03 | ||
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文档简介
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第5章 一元函数的导数及其应用 章末综合测试
选择性必修第二册高中数学人教A版【2019】
考试范围：第5章一元函数的导数及其应用；试卷满分：150分
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
2．曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．（lnx）′＝x B．
C．（cosx）′＝sinx D．（ax）′＝axlna（a＞0，a≠1）
5．已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1（a∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（ ）
A．或 B．x1是f（x）的极小值点
C．x1+x2＝ D．x1x2＝﹣
6．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），满足f（x）﹣xf'（x）＞0，若a＝4f（1），b＝2f（2），c＝f（4），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
7．已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h（x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．[，1]
C．（﹣∞，﹣2）∪[，1） D．[﹣2，）
8．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知定义在区间[a，b]上的函数y＝f（x），f（x）是f（x）的导函数，若存在ξ∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a）．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间（﹣2，2]上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝ex
C．f（x）＝ln（x+3） D．f（x）＝x3﹣x+1
10．已知x2﹣y2＜ex﹣e﹣y，则（ ）
A．ln（x+y+1）＜0 B．（x+y）2+1＜ex+y
C．x+y＞﹣sinx﹣siny D．cosx﹣cosy＞y2﹣x2
11．已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增
B．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
C．f（x）在图象关于直线x＝1对称
D．f（x）的图象关于点（1，0）对称
12．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），f（2x﹣1）+f（3﹣2x）＝f（﹣2），g（﹣1+3x）+g（﹣3x）＝g，则（ ）
A．f（4）＝0 B．g（2）＝g（﹣1）
C．g（）＝0 D．g（2022）＝g（0）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，直线l是曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f′（4）的值等于 ．
14．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣alnx﹣a，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则切线的方程为 ．
15．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，且f（x）﹣f'（x）＞0．则不等式f（x2﹣3x+2）＞0的解集为 ．
16．已知不等式e2x﹣kx2+x≥lnx+lnk（k＞0）恒成立，则k的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求下列函数的导数．
①；②y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
③；④．
18．已知函数f（x）＝exsinx﹣x+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
19.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
20．已知函数f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥xlnx+x在（0，+∞）恒成立，求a的最小值．
21．已知函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，e2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≤xex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝alnx﹣bx，其中a，b∈R．
（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若b＝1，函数f（x）有两个相异的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
第5章 一元函数的导数及其应用 章末综合测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
解：．
故选：A．
2．曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
解：曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5，∴f′（x）＝ex+2x﹣2，
故f′（0）＝﹣1，
即对应切线斜率为﹣1，故曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是．
故选：D．
3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则＝（ ）
A． B． C． D．
解：，
∴，
∴，
∴f（x）＝x+cosx，∴．
故选：D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．（lnx）′＝x B．
C．（cosx）′＝sinx D．（ax）′＝axlna（a＞0，a≠1）
解：∵，A项错误；
∵是个常数，∴，∴B项错误；
∵（cosx）′＝﹣sinx，∴C项错误；
∵（ax）′＝axlna（a＞0，a≠1），∴D项正确．
故选：D．
5．已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1（a∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（ ）
A．或 B．x1是f（x）的极小值点
C．x1+x2＝ D．x1x2＝﹣
解：若函数f（x）＝x3+ax2+x+1（a∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
则f′（x）＝3x2+2ax+1有2个不同零点，
则Δ＝4a2﹣12＞0，解得a＞或a＜﹣，故A正确，
由于3＞0，则函数f′（x）的图像开口向上，
则x1是f（x）的极大值点，故B错误，
由x1 x2＝，x1+x2＝﹣，则CD错误，
故选：A．
6．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），满足f（x）﹣xf'（x）＞0，若a＝4f（1），b＝2f（2），c＝f（4），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
解：因为f（x）满足f（x）﹣xf′（x）＜0，令，
则，所以g（x）在R上是增函数，
所以g（1）＜g（2）＜g（4），即，
所以c＞b＞a．
故选：D．
7．已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h（x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．[，1]
C．（﹣∞，﹣2）∪[，1） D．[﹣2，）
解：因为f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，所以f（x）＝x3﹣3x+b的图象关于点（0，2）对称，
所以b＝2，且函数f（x）＝x3﹣3x+2的零点为﹣2和1，y＝2﹣6x的零点为，
在同一坐标系内分别画出函数f（x）＝x3﹣3x+2与y＝2﹣6x的图象，
当且仅当a＜﹣2或时，函数恰好有1个零点，
因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪．
故选：C．
8．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
解：由，若函数f（x）在区间（1，2）内有最小值．此时函数f（x）必定存在极值点，
由Δ＝a2+4＞0，设x1，x2为一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0的两根，有，
故只需要1＜x2＜2即可，
令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．已知定义在区间[a，b]上的函数y＝f（x），f（x）是f（x）的导函数，若存在ξ∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a）．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间（﹣2，2]上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝ex
C．f（x）＝ln（x+3） D．f（x）＝x3﹣x+1
解：对于A选项，f（2）﹣f（﹣2）＝2sin2，f′（x）＝cosx，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝4cosξ，所以，cos＝，
当ξ∈[﹣2，2]时，cos2≤cosξ≤1，如下图所示：
由图可知，直线y＝与曲线y＝cosξ在[﹣2，2]上的图象有两个交点，A选项满足条件；
对于B选项，f（2）﹣f（﹣2）＝，f′（x）＝ex，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝4eξ，所以，eξ＝，
因为函数y＝ex在[﹣2，2]上单调递增，故方程eξ＝在[﹣2，2]上不可能有两个根，B不满足条件；
对于C选项，f（2）﹣f（﹣2）＝ln5，f′（x）＝，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝ln5，可得＝，解得ξ＝﹣3∈[﹣2，2]，
故函数f（x）在[﹣2，2]上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；
对于D选项，f′（x）＝3x2﹣1，f（2）﹣f（﹣2）＝12，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝12，可得ξ＝∈[﹣2，2]，
故函数f（x）在[﹣2，2]上有两个“中值点”，D满足条件．
故选：AD．
10．已知x2﹣y2＜ex﹣e﹣y，则（ ）
A．ln（x+y+1）＜0 B．（x+y）2+1＜ex+y
C．x+y＞﹣sinx﹣siny D．cosx﹣cosy＞y2﹣x2
解：∵x2﹣y2＜ex﹣e﹣y，即e﹣y﹣（﹣y）2＜ex﹣x2，
对于A：令f（x）＝ex﹣x2，f'（x）＝ex﹣2x，f''（x）＝ex﹣2，
由f''（x）＝0得x＝ln2，由f'（x）＞0得x＞ln2，由f'（x）＜0得x＜ln2，
∴f'（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴当x＝ln2时，f'（x）取得极小值也是最小值，f'（x）min＝f'（ln2）＝2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在R上单调递增，
∵e﹣y﹣（﹣y）2＜ex﹣x2，即f（﹣y）＜f（x），∴﹣y＜x，即x+y＞0，
∴x+y+1＞1，则ln（x+y+1）＞ln1＝0，故A错误；
对于B：要证（x+y）2+1＜ex+y，即证ex+y﹣（x+y）2﹣1＞0，
令t＝x+y，则et﹣t2﹣1＞0，令g（t）＝et﹣t2﹣1，
由选项A得f（x）＝ex﹣x2在R上单调递增，则g（t）＝et﹣t2﹣1在[0，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（0）＝0，故B正确；
对于C：要证x+y＞﹣sinx﹣siny，即证x+sinx＞﹣y+sin（﹣y），
令f（x）＝x+sinx，则f'（x）＝1+cosx≥0，
∴f（x）在R上单调递增，
由选项A得﹣y＜x，即f（﹣y）＜f（x），即x+sinx＞﹣y+sin（﹣y），故C正确；
对于D：要证cosx﹣cosy＞y2﹣x2，即证cosx+x2＞y2+cosy，
令f（x）＝cosx+x2，则f'（x）＝﹣sinx+2x，f''（x）＝2﹣cosx＞0，
∴f'（x）在R上单调递增，
由f'（x）＝0得x＝0，则当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故无法判断f（﹣y）与f（x）的大小，故D错误，
故选：BC．
11．已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增
B．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
C．f（x）在图象关于直线x＝1对称
D．f（x）的图象关于点（1，0）对称
解：由题意得，解得﹣2＜x＜4，即函数f（x）的定义域为（﹣2，4），
f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）＝ln（x+2）（4﹣x）＝ln（﹣x2+2x+8），
令t＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，则t＝﹣x2+2x+8在（﹣2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，
∴f（x）在（﹣2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，故A正确，B错误；
f（1﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x），f（1+x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x），则f（x）在图象关于直线x＝1对称，故C正确，D错误，
故选：AC．
12．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），f（2x﹣1）+f（3﹣2x）＝f（﹣2），g（﹣1+3x）+g（﹣3x）＝g，则（ ）
A．f（4）＝0 B．g（2）＝g（﹣1）
C．g（）＝0 D．g（2022）＝g（0）
解：因为f（2x﹣1）+f（3﹣2x）＝f（﹣2），g（x）＝f′（x），g（﹣1+3x）+g（﹣3x）＝g，
令x＝﹣，则f（﹣2）+f（4）＝f（﹣2），解得f（4）＝0，故A对；
令t＝2x，故f（t﹣1）+f（3﹣t）＝f（﹣2），两边对t求导，则f′（t﹣1）﹣f′（3﹣t）＝0，即g（t﹣1）＝g（3﹣t），所以g（t）关于t＝1对称，
再令t＝3x，则g（﹣1+t）+g（﹣t）＝g（﹣），令t＝得＝0，故C正确；
所以g（﹣1+t）+g（﹣t）＝0，又g（t﹣1）＝g（3﹣t），令t＝1得g（0）+g（﹣1）＝0，g（0）＝g（2），故g（2）＝﹣g（﹣1），故B错；
再由g（﹣1+t）+g（﹣t）＝0，且g（t﹣1）＝g（3﹣t），得g（3﹣t）＝﹣g（﹣t），故g（t）的周期T＝6，故g（2022）＝g（6×337）＝g（0），故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，直线l是曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f′（4）的值等于 ．
解：由函数的图像可得f（4）＝5，直线l过点（0，3）和（4，5），
则直线l的斜率，
又由直线l是曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线，则，
所以．
故答案为：．
14．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣alnx﹣a，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则切线的方程为 x﹣2y＝0 ．
解：由题可知f′（x）＝ex﹣1 ，则f'（1）＝1﹣a，
因为曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝0垂直，
所以1 a＝，解得a＝．
故f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣，f（1）＝1﹣＝，
即切点为（1，），切线的斜率k＝，
所以切线方程为：y﹣＝（x﹣1），即x﹣2y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0．
15．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，且f（x）﹣f'（x）＞0．则不等式f（x2﹣3x+2）＞0的解集为 （1，2） ．
解：函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（0）＝0，令g（x）＝，则g（0）＝0，
则g'（x）＝，
∵f（x）﹣f'（x）＞0，∴g'（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，
不等式f（x2﹣3x+2）＞0，即g（x2﹣3x+2）＞g（0），
∴x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2，
∴不等式f（x2﹣3x+2）＞0的解集为（1，2），
故答案为：（1，2）．
16．已知不等式e2x﹣kx2+x≥lnx+lnk（k＞0）恒成立，则k的最大值为 e2 ．
解：不等式e2x﹣kx2+x≥lnx+lnk（k＞0）恒成立，
等价于e2x+lne2x≥kx2+ln（kx2）（k＞0）恒成立，
令f（x）＝x+lnx（x＞0），
则f′（x）＝1+＞0，f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
∴e2x≥kx2（k＞0）恒成立，化为≤恒成立，
令g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）的极小值，也是最小值为g（1）＝e，
∴≤e，即k≤e2，
∴k的最大值为e2，
故答案为：e2．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求下列函数的导数．
①；②y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
③；④．
解：①．
②∵y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，
∴y'＝（6x3+2x2﹣3x﹣1）′＝18x2+4x﹣3．
③∵，
∴．
④．
18．已知函数f（x）＝exsinx﹣x+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）因为f（x）＝exsinx﹣x+1，
所以f'（x）＝ex（cosx+sinx）﹣1，
又f（0）＝1，f'（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1．
（Ⅱ）当，f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣1，f″（x）＝2ex cosx≥0，
所以y＝f'（x）在区间上递增，
又f'（0）＝0，
故当，f'（x）＜f'（0）＝0，
所以y＝f（x）在上单减，
又当，f'（x）＞f'（0）＝0，
所以y＝f（x）在上单增．
所以f（x）min＝f（0）＝1，．
19．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解析：（1）方程7x﹣4y﹣12=0可化为，当x=2时，，
又，于是，解得，故．
（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即
令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；
令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；
所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为．
故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
20.已知函数f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥xlnx+x在（0，+∞）恒成立，求a的最小值．
解：（1）∵f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）存在两个极值点，
∴f′（x）＝3x2+2ax+1＝0有两个不同的零点，
∴4a2﹣12＞0，解得或，即a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（2）∵x3+ax2+x≥xlnx+x在（0，+∞）上恒成立，即x3+ax2≥xlnx在（0，+∞）上恒成立 a≥（﹣x）max，x＞0．
令g（x）＝﹣x（x＞0），
则g′（x）＝﹣1＝（x＞0），
令t（x）＝﹣x2﹣lnx+1（x＞0），
则t′（x）＝﹣2x﹣＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上单调递减，
又t（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，t′（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝﹣1，
∴a≥﹣1，即a的最小值为﹣1．
21．已知函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，e2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≤xex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）f（x）在（0，e2]上单调递增，
即f′（x）＝≥0在（0，e2]恒成立，即a≤2﹣2lnx，
显然函数y＝2﹣2lnx在（0，e2]上是减函数，故ymin＝y|＝﹣2，
故a≤﹣2即为所求，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2]；
（2）f（x）≤xex+﹣1恒成立，显然x＞0，
故原式可化为a≤x2ex﹣2lnx﹣x+1恒成立，
令g（x）＝x2ex﹣2lnx﹣x+1，则g′（x）＝（x+2）（xex），（x＞0），
令h（x）＝（x＞0），＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）＝e﹣1＞0，h（）＝，
故存在x0＞0，使得h（x0）＝0，即＝①，
且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
故x0是g（x）的极小值点，也是最小值点，
g（x）min＝g（x0）＝﹣2lnx0﹣x0+1②，
由①式得＝，x0＝﹣2lnx0，代入②式得g（x0）＝2，
故a≤2即为所求，所以a的取值范围是（﹣∞，2]．
22．已知函数f（x）＝alnx﹣bx，其中a，b∈R．
（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若b＝1，函数f（x）有两个相异的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
解：（1）若a＝1，则f（x）＝lnx﹣bx的定义域是（0，+∞），f′（x）＝ b＝，
当b≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当b＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝，
当0＜x＜时，f'（x）＞0所以f（x）在（0，）上单调递增，
当x＞时，f'（x）＜0所以f（x）在（，+∞）上单调递减．
综上，当a≤0时，f（x）在0+∞上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
（2）证明：若b＝1，则函数f（x）＝alnx﹣x，
因为f（x）有两个相异的零点，且f（1）＝﹣1，
所以x1≠1且x2≠1，alnx1﹣x1＝0，alnx2﹣x2＝0，所以a＝，a＝，
所以方程a＝有两个不相等实根，
令g（x）＝，g′（x）＝，
故当x∈（0，1）∪（1，e）时，g′（x）＜0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，1），（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
因为x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，
所以要使方程a＝有两个不相等实根，则a＞g（e）＝e，
故不妨设x1＞x2＞0，alnx1＝x1，alnx2＝x2，
所以a（lnx1+lnx2）＝aln（x1x2）＝x1+x2，a（lnx1﹣lnx2）＝x1﹣x2，
要证x1x2＞e2 ln（x1x2）＞2 ＞2，
因为＝，
所以只需证（x1+x2）＝ln＞2，
只需证ln＞2，即（+1）ln＞2（﹣1），
令t＝，则t＞1，所以只要证明（t+1）lnt＞2（t﹣1），t＞1时恒成立，
令h（t）＝（t+1）lnt 2（t﹣1），t＞1，
h′（t）＝lnt+﹣2＝lnt+﹣1，
h″（t）＝﹣＝＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以h′（t）在（1，+∞）上单调递增，
因为h′（1）＝0，
所以h'（t）＞0恒成立，
所以h（t）在（1，+∞）单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0，
所以t＞1时，h（t）＞0恒成立，即（t+1）lnt＞2（t﹣1）恒成立，
所以x1x2＞e2．
第5章 一元函数的导数及其应用 章末综合测试
选择性必修第二册高中数学人教A版【2019】
考试范围：第5章一元函数的导数及其应用；试卷满分：150分
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
2．曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．（lnx）′＝x B．
C．（cosx）′＝sinx D．（ax）′＝axlna（a＞0，a≠1）
5．已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1（a∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（ ）
A．或 B．x1是f（x）的极小值点
C．x1+x2＝ D．x1x2＝﹣
6．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），满足f（x）﹣xf'（x）＞0，若a＝4f（1），b＝2f（2），c＝f（4），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
7．已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h（x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．[，1]
C．（﹣∞，﹣2）∪[，1） D．[﹣2，）
8．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知定义在区间[a，b]上的函数y＝f（x），f（x）是f（x）的导函数，若存在ξ∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a）．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间（﹣2，2]上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝ex
C．f（x）＝ln（x+3） D．f（x）＝x3﹣x+1
10．已知x2﹣y2＜ex﹣e﹣y，则（ ）
A．ln（x+y+1）＜0 B．（x+y）2+1＜ex+y
C．x+y＞﹣sinx﹣siny D．cosx﹣cosy＞y2﹣x2
11．已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增
B．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
C．f（x）在图象关于直线x＝1对称
D．f（x）的图象关于点（1，0）对称
12．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），f（2x﹣1）+f（3﹣2x）＝f（﹣2），g（﹣1+3x）+g（﹣3x）＝g，则（ ）
A．f（4）＝0 B．g（2）＝g（﹣1）
C．g（）＝0 D．g（2022）＝g（0）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，直线l是曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f′（4）的值等于 ．
14．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣alnx﹣a，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则切线的方程为 ．
15．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，且f（x）﹣f'（x）＞0．则不等式f（x2﹣3x+2）＞0的解集为 ．
16．已知不等式e2x﹣kx2+x≥lnx+lnk（k＞0）恒成立，则k的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求下列函数的导数．
①；②y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
③；④．
18．已知函数f（x）＝exsinx﹣x+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
19.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
20．已知函数f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥xlnx+x在（0，+∞）恒成立，求a的最小值．
21．已知函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，e2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≤xex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝alnx﹣bx，其中a，b∈R．
（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若b＝1，函数f（x）有两个相异的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
第5章 一元函数的导数及其应用 章末综合测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
解：．
故选：A．
2．曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
解：曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5，∴f′（x）＝ex+2x﹣2，
故f′（0）＝﹣1，
即对应切线斜率为﹣1，故曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是．
故选：D．
3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则＝（ ）
A． B． C． D．
解：，
∴，
∴，
∴f（x）＝x+cosx，∴．
故选：D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A．（lnx）′＝x B．
C．（cosx）′＝sinx D．（ax）′＝axlna（a＞0，a≠1）
解：∵，A项错误；
∵是个常数，∴，∴B项错误；
∵（cosx）′＝﹣sinx，∴C项错误；
∵（ax）′＝axlna（a＞0，a≠1），∴D项正确．
故选：D．
5．已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1（a∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（ ）
A．或 B．x1是f（x）的极小值点
C．x1+x2＝ D．x1x2＝﹣
解：若函数f（x）＝x3+ax2+x+1（a∈R）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
则f′（x）＝3x2+2ax+1有2个不同零点，
则Δ＝4a2﹣12＞0，解得a＞或a＜﹣，故A正确，
由于3＞0，则函数f′（x）的图像开口向上，
则x1是f（x）的极大值点，故B错误，
由x1 x2＝，x1+x2＝﹣，则CD错误，
故选：A．
6．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），满足f（x）﹣xf'（x）＞0，若a＝4f（1），b＝2f（2），c＝f（4），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
解：因为f（x）满足f（x）﹣xf′（x）＜0，令，
则，所以g（x）在R上是增函数，
所以g（1）＜g（2）＜g（4），即，
所以c＞b＞a．
故选：D．
7．已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h（x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．[，1]
C．（﹣∞，﹣2）∪[，1） D．[﹣2，）
解：因为f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，所以f（x）＝x3﹣3x+b的图象关于点（0，2）对称，
所以b＝2，且函数f（x）＝x3﹣3x+2的零点为﹣2和1，y＝2﹣6x的零点为，
在同一坐标系内分别画出函数f（x）＝x3﹣3x+2与y＝2﹣6x的图象，
当且仅当a＜﹣2或时，函数恰好有1个零点，
因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪．
故选：C．
8．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B． C． D．
解：由，若函数f（x）在区间（1，2）内有最小值．此时函数f（x）必定存在极值点，
由Δ＝a2+4＞0，设x1，x2为一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0的两根，有，
故只需要1＜x2＜2即可，
令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．已知定义在区间[a，b]上的函数y＝f（x），f（x）是f（x）的导函数，若存在ξ∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a）．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间（﹣2，2]上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝ex
C．f（x）＝ln（x+3） D．f（x）＝x3﹣x+1
解：对于A选项，f（2）﹣f（﹣2）＝2sin2，f′（x）＝cosx，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝4cosξ，所以，cos＝，
当ξ∈[﹣2，2]时，cos2≤cosξ≤1，如下图所示：
由图可知，直线y＝与曲线y＝cosξ在[﹣2，2]上的图象有两个交点，A选项满足条件；
对于B选项，f（2）﹣f（﹣2）＝，f′（x）＝ex，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝4eξ，所以，eξ＝，
因为函数y＝ex在[﹣2，2]上单调递增，故方程eξ＝在[﹣2，2]上不可能有两个根，B不满足条件；
对于C选项，f（2）﹣f（﹣2）＝ln5，f′（x）＝，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝ln5，可得＝，解得ξ＝﹣3∈[﹣2，2]，
故函数f（x）在[﹣2，2]上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；
对于D选项，f′（x）＝3x2﹣1，f（2）﹣f（﹣2）＝12，
由f（2）﹣f（﹣2）＝4f′（ξ）＝12，可得ξ＝∈[﹣2，2]，
故函数f（x）在[﹣2，2]上有两个“中值点”，D满足条件．
故选：AD．
10．已知x2﹣y2＜ex﹣e﹣y，则（ ）
A．ln（x+y+1）＜0 B．（x+y）2+1＜ex+y
C．x+y＞﹣sinx﹣siny D．cosx﹣cosy＞y2﹣x2
解：∵x2﹣y2＜ex﹣e﹣y，即e﹣y﹣（﹣y）2＜ex﹣x2，
对于A：令f（x）＝ex﹣x2，f'（x）＝ex﹣2x，f''（x）＝ex﹣2，
由f''（x）＝0得x＝ln2，由f'（x）＞0得x＞ln2，由f'（x）＜0得x＜ln2，
∴f'（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴当x＝ln2时，f'（x）取得极小值也是最小值，f'（x）min＝f'（ln2）＝2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在R上单调递增，
∵e﹣y﹣（﹣y）2＜ex﹣x2，即f（﹣y）＜f（x），∴﹣y＜x，即x+y＞0，
∴x+y+1＞1，则ln（x+y+1）＞ln1＝0，故A错误；
对于B：要证（x+y）2+1＜ex+y，即证ex+y﹣（x+y）2﹣1＞0，
令t＝x+y，则et﹣t2﹣1＞0，令g（t）＝et﹣t2﹣1，
由选项A得f（x）＝ex﹣x2在R上单调递增，则g（t）＝et﹣t2﹣1在[0，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（0）＝0，故B正确；
对于C：要证x+y＞﹣sinx﹣siny，即证x+sinx＞﹣y+sin（﹣y），
令f（x）＝x+sinx，则f'（x）＝1+cosx≥0，
∴f（x）在R上单调递增，
由选项A得﹣y＜x，即f（﹣y）＜f（x），即x+sinx＞﹣y+sin（﹣y），故C正确；
对于D：要证cosx﹣cosy＞y2﹣x2，即证cosx+x2＞y2+cosy，
令f（x）＝cosx+x2，则f'（x）＝﹣sinx+2x，f''（x）＝2﹣cosx＞0，
∴f'（x）在R上单调递增，
由f'（x）＝0得x＝0，则当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故无法判断f（﹣y）与f（x）的大小，故D错误，
故选：BC．
11．已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增
B．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减
C．f（x）在图象关于直线x＝1对称
D．f（x）的图象关于点（1，0）对称
解：由题意得，解得﹣2＜x＜4，即函数f（x）的定义域为（﹣2，4），
f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）＝ln（x+2）（4﹣x）＝ln（﹣x2+2x+8），
令t＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，则t＝﹣x2+2x+8在（﹣2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，
∴f（x）在（﹣2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，故A正确，B错误；
f（1﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x），f（1+x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x），则f（x）在图象关于直线x＝1对称，故C正确，D错误，
故选：AC．
12．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x），f（2x﹣1）+f（3﹣2x）＝f（﹣2），g（﹣1+3x）+g（﹣3x）＝g，则（ ）
A．f（4）＝0 B．g（2）＝g（﹣1）
C．g（）＝0 D．g（2022）＝g（0）
解：因为f（2x﹣1）+f（3﹣2x）＝f（﹣2），g（x）＝f′（x），g（﹣1+3x）+g（﹣3x）＝g，
令x＝﹣，则f（﹣2）+f（4）＝f（﹣2），解得f（4）＝0，故A对；
令t＝2x，故f（t﹣1）+f（3﹣t）＝f（﹣2），两边对t求导，则f′（t﹣1）﹣f′（3﹣t）＝0，即g（t﹣1）＝g（3﹣t），所以g（t）关于t＝1对称，
再令t＝3x，则g（﹣1+t）+g（﹣t）＝g（﹣），令t＝得＝0，故C正确；
所以g（﹣1+t）+g（﹣t）＝0，又g（t﹣1）＝g（3﹣t），令t＝1得g（0）+g（﹣1）＝0，g（0）＝g（2），故g（2）＝﹣g（﹣1），故B错；
再由g（﹣1+t）+g（﹣t）＝0，且g（t﹣1）＝g（3﹣t），得g（3﹣t）＝﹣g（﹣t），故g（t）的周期T＝6，故g（2022）＝g（6×337）＝g（0），故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，直线l是曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f′（4）的值等于 ．
解：由函数的图像可得f（4）＝5，直线l过点（0，3）和（4，5），
则直线l的斜率，
又由直线l是曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线，则，
所以．
故答案为：．
14．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣alnx﹣a，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则切线的方程为 x﹣2y＝0 ．
解：由题可知f′（x）＝ex﹣1 ，则f'（1）＝1﹣a，
因为曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝0垂直，
所以1 a＝，解得a＝．
故f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣，f（1）＝1﹣＝，
即切点为（1，），切线的斜率k＝，
所以切线方程为：y﹣＝（x﹣1），即x﹣2y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0．
15．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，且f（x）﹣f'（x）＞0．则不等式f（x2﹣3x+2）＞0的解集为 （1，2） ．
解：函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（0）＝0，令g（x）＝，则g（0）＝0，
则g'（x）＝，
∵f（x）﹣f'（x）＞0，∴g'（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，
不等式f（x2﹣3x+2）＞0，即g（x2﹣3x+2）＞g（0），
∴x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2，
∴不等式f（x2﹣3x+2）＞0的解集为（1，2），
故答案为：（1，2）．
16．已知不等式e2x﹣kx2+x≥lnx+lnk（k＞0）恒成立，则k的最大值为 e2 ．
解：不等式e2x﹣kx2+x≥lnx+lnk（k＞0）恒成立，
等价于e2x+lne2x≥kx2+ln（kx2）（k＞0）恒成立，
令f（x）＝x+lnx（x＞0），
则f′（x）＝1+＞0，f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
∴e2x≥kx2（k＞0）恒成立，化为≤恒成立，
令g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）的极小值，也是最小值为g（1）＝e，
∴≤e，即k≤e2，
∴k的最大值为e2，
故答案为：e2．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求下列函数的导数．
①；②y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
③；④．
解：①．
②∵y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，
∴y'＝（6x3+2x2﹣3x﹣1）′＝18x2+4x﹣3．
③∵，
∴．
④．
18．已知函数f（x）＝exsinx﹣x+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）因为f（x）＝exsinx﹣x+1，
所以f'（x）＝ex（cosx+sinx）﹣1，
又f（0）＝1，f'（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1．
（Ⅱ）当，f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣1，f″（x）＝2ex cosx≥0，
所以y＝f'（x）在区间上递增，
又f'（0）＝0，
故当，f'（x）＜f'（0）＝0，
所以y＝f（x）在上单减，
又当，f'（x）＞f'（0）＝0，
所以y＝f（x）在上单增．
所以f（x）min＝f（0）＝1，．
19．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解析：（1）方程7x﹣4y﹣12=0可化为，当x=2时，，
又，于是，解得，故．
（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即
令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；
令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；
所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为．
故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
20.已知函数f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥xlnx+x在（0，+∞）恒成立，求a的最小值．
解：（1）∵f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）存在两个极值点，
∴f′（x）＝3x2+2ax+1＝0有两个不同的零点，
∴4a2﹣12＞0，解得或，即a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（2）∵x3+ax2+x≥xlnx+x在（0，+∞）上恒成立，即x3+ax2≥xlnx在（0，+∞）上恒成立 a≥（﹣x）max，x＞0．
令g（x）＝﹣x（x＞0），
则g′（x）＝﹣1＝（x＞0），
令t（x）＝﹣x2﹣lnx+1（x＞0），
则t′（x）＝﹣2x﹣＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上单调递减，
又t（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，t′（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝﹣1，
∴a≥﹣1，即a的最小值为﹣1．
21．已知函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，e2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≤xex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）f（x）在（0，e2]上单调递增，
即f′（x）＝≥0在（0，e2]恒成立，即a≤2﹣2lnx，
显然函数y＝2﹣2lnx在（0，e2]上是减函数，故ymin＝y|＝﹣2，
故a≤﹣2即为所求，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2]；
（2）f（x）≤xex+﹣1恒成立，显然x＞0，
故原式可化为a≤x2ex﹣2lnx﹣x+1恒成立，
令g（x）＝x2ex﹣2lnx﹣x+1，则g′（x）＝（x+2）（xex），（x＞0），
令h（x）＝（x＞0），＞0，
故h（x）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）＝e﹣1＞0，h（）＝，
故存在x0＞0，使得h（x0）＝0，即＝①，
且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
故x0是g（x）的极小值点，也是最小值点，
g（x）min＝g（x0）＝﹣2lnx0﹣x0+1②，
由①式得＝，x0＝﹣2lnx0，代入②式得g（x0）＝2，
故a≤2即为所求，所以a的取值范围是（﹣∞，2]．
22．已知函数f（x）＝alnx﹣bx，其中a，b∈R．
（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若b＝1，函数f（x）有两个相异的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
解：（1）若a＝1，则f（x）＝lnx﹣bx的定义域是（0，+∞），f′（x）＝ b＝，
当b≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当b＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝，
当0＜x＜时，f'（x）＞0所以f（x）在（0，）上单调递增，
当x＞时，f'（x）＜0所以f（x）在（，+∞）上单调递减．
综上，当a≤0时，f（x）在0+∞上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
（2）证明：若b＝1，则函数f（x）＝alnx﹣x，
因为f（x）有两个相异的零点，且f（1）＝﹣1，
所以x1≠1且x2≠1，alnx1﹣x1＝0，alnx2﹣x2＝0，所以a＝，a＝，
所以方程a＝有两个不相等实根，
令g（x）＝，g′（x）＝，
故当x∈（0，1）∪（1，e）时，g′（x）＜0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，1），（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
因为x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，
所以要使方程a＝有两个不相等实根，则a＞g（e）＝e，
故不妨设x1＞x2＞0，alnx1＝x1，alnx2＝x2，
所以a（lnx1+lnx2）＝aln（x1x2）＝x1+x2，a（lnx1﹣lnx2）＝x1﹣x2，
要证x1x2＞e2 ln（x1x2）＞2 ＞2，
因为＝，
所以只需证（x1+x2）＝ln＞2，
只需证ln＞2，即（+1）ln＞2（﹣1），
令t＝，则t＞1，所以只要证明（t+1）lnt＞2（t﹣1），t＞1时恒成立，
令h（t）＝（t+1）lnt 2（t﹣1），t＞1，
h′（t）＝lnt+﹣2＝lnt+﹣1，
h″（t）＝﹣＝＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以h′（t）在（1，+∞）上单调递增，
因为h′（1）＝0，
所以h'（t）＞0恒成立，
所以h（t）在（1，+∞）单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0，
所以t＞1时，h（t）＞0恒成立，即（t+1）lnt＞2（t﹣1）恒成立，
所以x1x2＞e2．