第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 651.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 05:08:44 | ||
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文档简介
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第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试
选择性必修第一册人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何；考试时间：150分钟
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量＝3+5+，＝5+﹣4，则向量＝2﹣3的模为（ ）
A． B． C． D．
2．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．不确定
3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足．若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心．若＝x+y+z（x、y、z∈R），则x+y+z的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．设x，y∈R，向量＝（x，2，2），＝（1，y，1），＝（1，﹣2，1），且⊥，∥，则|+|＝（ ）
A． B． C． D．
6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则二面角D1﹣BC﹣D的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AD＝1，则直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则＝（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2），B（1，2，﹣1），C（﹣1，1，﹣3），D（3，﹣5，3），那么以下说话中正确的是（ ）
A．
B．
C．AC的中点坐标为（﹣2，0，﹣1）
D．四边形ABCD是一个梯形
10．已知空间向量，，构成的平面记为α，则下列说法正确的是（ ）
A．向量与α垂直
B．向量与α平行
C．若与分别是l1与l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角的余弦值为
D．向量在向量上的投影向量为（0，﹣2，0）
11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．两个非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
12．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，下底面ABCD边长为4，上底面边长为2，侧棱长为2，则（ ）
A．它的表面积是
B．它的外接球球心在该四棱台的内部
C．侧棱与下底面所成的角为
D．它的体积比半径为的球的体积小
三．填空题（共4小题）
13．已知空间中三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为 ．
14．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是CC1，D1A1的中点，则cos ＝ ．
15．已知向量，，，则的坐标为 ．
16．已知空间向量，，都是单位向量，且⊥，⊥，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且||＝1，满足| |≤| |≤| |，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）若，，求；
（2）求，夹角的余弦值．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F，G分别为A1B1，CC1，BB1的中点，分别记，，为，，．
（1）用，，表示；
（2）若AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，求|+2|．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．
（1）求证：平面DFM⊥平面PBC；
（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值．
20． 如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，ED∥AC，AB⊥AC，．
（1）若AB＝1，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；
（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长．
21．已知直角三角形ABC中∠BAC＝90°，CA＝2AB＝4，D，E分别是AC，BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥P﹣ADE，M是AD中点．
（1）证明：PM⊥平面ADE；
（2）若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝BC＝1，E是棱PB上一点．
（1）若PD∥平面ACE，证明：E是PB的中点；
（2）线段PB上是否存在点E，使二面角P﹣AC﹣E的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量＝3+5+，＝5+﹣4，则向量＝2﹣3的模为（ ）
A． B． C． D．
解：因为向量＝3+5+，＝5+﹣4，
则＝（3，5，1），＝（5，1，﹣4），
所以向量＝2﹣3＝2（3，5，1）﹣3（5，1，﹣4）＝（﹣9，7，14），
所以||＝＝．
故选：B．
2．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．不确定
解：建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0），P（0，1，x）（0≤x≤1），O（，，0），
∴＝（﹣1，1，x）（0≤x≤1），＝（﹣，，0），
∴＝ 1×（ ）+1×＝1．
故选：A．
3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足．若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足．若，，，
所以．
故选：C．
4．如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心．若＝x+y+z（x、y、z∈R），则x+y+z的值为（ ）
A． B．1 C． D．
解：由于M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心，
所以，
利用向量的线性运算，
即．
故选：C．
5．设x，y∈R，向量＝（x，2，2），＝（1，y，1），＝（1，﹣2，1），且⊥，∥，则|+|＝（ ）
A． B． C． D．
解：向量，且，
∴，解得，
∴，
∴．
故选：C．
6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则二面角D1﹣BC﹣D的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥平面CC1D1D，
CD1 平面CC1D1D，所以BC⊥CD1，又CD⊥BC，
所以∠DCD1为二面角D1﹣BC﹣D的平面角，
因为DD1＝AA1＝1，CD＝AB＝3，所以CD1＝，
所以cos∠DCD1＝＝＝，
即二面角D1﹣BC﹣D的余弦值为．
故选：D．
7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AD＝1，则直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
则A1（1，0，），B（1，，0），C1（0，，），
＝（1，0，），＝（1，，0），＝（﹣1，0，）
设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），
则，
令x＝，y＝﹣1，z＝﹣1，∴＝（，﹣1，﹣1），
直线BC1与平面A1BD所成的角为α，
sinα＝|cos＜，＞|＝||＝||＝．
故选：C．
8．在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则＝（ ）
A． B．
C． D．
解：三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：
延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，
因为S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以＝＝，
所以P为△B1C1D的重心，所以++＝，
即+2+3＝，
所以（﹣）+2（﹣）+3（﹣）＝，
所以＝++．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2），B（1，2，﹣1），C（﹣1，1，﹣3），D（3，﹣5，3），那么以下说话中正确的是（ ）
A．
B．
C．AC的中点坐标为（﹣2，0，﹣1）
D．四边形ABCD是一个梯形
解：∵A（3，﹣1，2），B（1，2，﹣1），C（﹣1，1，﹣3），D（3，﹣5，3），
∴，，故A正确，B错误，AC的中点坐标为（1，0，），故C错误，
，和共线，即AB∥CD，
，，与不共线，即AD与BC不平行，
故四边形ABCD为梯形．
故选：AD．
10．已知空间向量，，构成的平面记为α，则下列说法正确的是（ ）
A．向量与α垂直
B．向量与α平行
C．若与分别是l1与l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角的余弦值为
D．向量在向量上的投影向量为（0，﹣2，0）
解：对于A，∵，，
∴，，
又与不平行，
∴，A正确；
对于B，∵，
∴共面，则与α平行，B正确；
对于C，∵，
∴l1，l2所成角的余弦值为，C错误；
对于D，∵，，
∴在上的投影向量为，D错误．
故选：AB．
11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．两个非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
解：对于A，非零向量，，若，则，故A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有，
因为，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，
所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点P，A，B，C，，
由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确，
故选：ABD．
12．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，下底面ABCD边长为4，上底面边长为2，侧棱长为2，则（ ）
A．它的表面积是
B．它的外接球球心在该四棱台的内部
C．侧棱与下底面所成的角为
D．它的体积比半径为的球的体积小
解：如图，
正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，O1，O2分别是上下底面的中心，点E1，E分别是棱B1C1，BC的中点，
在直角梯形O1O2BB1中，，则正四棱台高，
在直角梯形O1O2EE1中，O1E1＝1，O2E＝2，则正四棱台斜高，
对于A，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1表面积，A正确；
对于B，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的外接球球心O在直线O1O2上，
设球半径为R，
点O到平面A1B1C1D1的距离，
点O到平面ABCD的距离，
由d2≥0，得R2≥8，
因此，即点O在线段O1O2的延长线上，B不正确；
对于C，侧棱与下底面所成的角为，C不正确；
对于D，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1体积，
半径为的球的体积为，D正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题）
13．已知空间中三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为 7 ．
解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
∴＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），||＝，||＝，
∴cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴S＝×sin60°＝7．
故答案为：7．
14．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是CC1，D1A1的中点，则cos ＝ ﹣ ．
解：如图建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），
点E，F分别是CC1，D1A1的中点，
，，
所以，，
所以，，，
所以．
故答案为：．
15．已知向量，，，则的坐标为 （10，﹣3，17） ．
解：向量，，，
则．
故答案为：（10，﹣3，17）．
16．已知空间向量，，都是单位向量，且⊥，⊥，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且||＝1，满足| |≤| |≤| |，则 的最大值为 ．
解：由题知，，，
再设，且x，y，z＞0，x2+y2+z2＝1，
代入已知的不等式得，可得，z≥y，
所以，解得，
故＝y．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）若，，求；
（2）求，夹角的余弦值．
解：（1）B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），
则，
∵，
∴可设，λ≠0，
∵，
∴，解得λ＝±2，
∴或；
（2）∵A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），
∴，，
∴＝＝＝．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F，G分别为A1B1，CC1，BB1的中点，分别记，，为，，．
（1）用，，表示；
（2）若AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，求|+2|．
解：（1）＝﹣＝+﹣＝﹣﹣＝﹣﹣，
＝+＝﹣＝﹣．
（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，且AB⊥AC，
所以 ＝ ＝ ＝0，
所以|+2|2＝|﹣﹣+2×（﹣）|2＝|﹣+|2＝2+2+2+ ﹣3 ﹣ ＝2+2+2＝×4+4+×4＝14，
所以|+2|＝．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．
（1）求证：平面DFM⊥平面PBC；
（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值．
证明：（1）依题意可得：PD⊥DA，DP＝DA＝DC＝2，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PD⊥AD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC 平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵BC⊥DC，PD∩DC＝D，DC、PD 平面PDC，
∴BC⊥平面PDC，又DF 平面PDC，
∴BC⊥DF，
又在Rt△PDC中，F是PC中点，则有DF⊥PC，
∵DF⊥BC，DF⊥PC，PC∩BC＝C，且BC、PC 平面PBC，
∴DF⊥平面PBC，
又∵DF 平面DFM，
∴平面DFM⊥平面PBC；
解：（2）取CD的中点N，连接FN、MN，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
∵FN⊥平面ABCD，∴直线MF与平面ABCD所成角为∠FMN，
∵直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，
∴，则MN＝，
∴CM＝＝，
可得M是BC靠近C的三等分点，则，
∴＝（﹣1，0，﹣1），＝（，2，0），
设平面EDM的法向量为＝（x，y，z），
则 ，
令x＝﹣3，则平面EDM的法向量为＝（﹣3，1，3），
同理平面DMF的法向量，
∴，
所以锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值是．
20． 如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，ED∥AC，AB⊥AC，．
（1）若AB＝1，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；
（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长．
解：（1）因为平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，平面ABC∩平面ACDE＝AC，AB 平面ABC，
所以AB⊥平面ACDE，
连接AD，可得BD与平面ACDE所成角为∠BDA．
由等腰梯形ACDE，DE＝1，AC＝2，CD＝1，可得CH＝，高DH＝，
AD＝＝，
又AB＝1，所以tan∠BDA＝＝，则∠BDA＝，
即BD与平面ACDE所成角的正弦值为；
（2）由面面垂直的性质定理可得DH⊥平面ABC，
以A为坐标原点，以AC，AB所在的直线为x，y轴，以过A平行于DH的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
设AB＝c，则B（0，c，0），C（2，0，0），E（，0，），D（，0，），
可得＝（2，﹣c，0），＝（，﹣c，），＝（﹣1，0，0），
设平面BCD的法向量为＝（x1，y1，z1），由 ＝0，且 ＝0，即2x1﹣cy1＝0，x1﹣cy1+z1＝0，
取x1＝c，则y1＝2，z1＝c，即＝（c，2，c），
设平面BDE的法向量为＝（x2，y2，z2，由 ＝0， ＝0，可得﹣x2＝0，x2﹣cy2+z2＝0，
可令z2＝c，则y2＝，即有＝（0，，c），
则cos＜，＞＝＝，解得c＝，
即AB＝．
21．已知直角三角形ABC中∠BAC＝90°，CA＝2AB＝4，D，E分别是AC，BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥P﹣ADE，M是AD中点．
（1）证明：PM⊥平面ADE；
（2）若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值．
（1）证明：由题意知，PA＝BA＝2，PD＝CD＝CA＝2，
所以PA＝PD＝2，
又M为AD中点，所以PM⊥AD，
因为D，E分别是AC，BC边中点，所以DE∥AB，
因为∠BAC＝90°，所以DE⊥AD，DE⊥CD，即DE⊥PD，
因为AD∩PD＝D，AD、PD 平面PAD，所以DE⊥平面PAD，
又PM 平面PAD，所以PM⊥DE，
因为AD∩DE＝D，AD、DE 平面ADE，
所以PM⊥平面ADE．
（2）解：以M为坐标原点，MD，MP分别为x，z轴，作My∥DE，建立如图所示的空间直角坐标系，
由PD＝2，PA＝2，DE＝AB＝1，
得A（﹣1，0，0），D（1，0，0），P（0，0，），E（1，1，0），
所以＝（﹣1，0，﹣），＝（2，1，0），
设平面PAE的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝﹣1，则x＝，y＝﹣2，所以＝（，﹣2，﹣1），
设Q（0，0，t），则，
因为QE与平面PAE所成角的正弦值为，所以，解得，
所以Q（0，0，），
故．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝BC＝1，E是棱PB上一点．
（1）若PD∥平面ACE，证明：E是PB的中点；
（2）线段PB上是否存在点E，使二面角P﹣AC﹣E的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接EO，
∵ABCD是正方形，∴O是BD的中点，
又PD∥平面ACE，PD 平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EO，
∴PD∥EO，
∵O为BD的中点，∴E是PB的中点；
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
设（0＜λ＜1），设E（a，b，c），
∴，，，则a＝λ，b＝0，c＝1﹣λ，
则E（λ，0，1﹣λ），，，
由BD⊥AC且BD⊥PC，可知是平面PAC的一个法向量．
设为平面EAC的法向量，
则，即，取，
∴，
解得，即．
第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试
选择性必修第一册人教A版（2019）
考试范围：选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何；考试时间：150分钟
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量＝3+5+，＝5+﹣4，则向量＝2﹣3的模为（ ）
A． B． C． D．
2．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．不确定
3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足．若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心．若＝x+y+z（x、y、z∈R），则x+y+z的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．设x，y∈R，向量＝（x，2，2），＝（1，y，1），＝（1，﹣2，1），且⊥，∥，则|+|＝（ ）
A． B． C． D．
6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则二面角D1﹣BC﹣D的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AD＝1，则直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则＝（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2），B（1，2，﹣1），C（﹣1，1，﹣3），D（3，﹣5，3），那么以下说话中正确的是（ ）
A．
B．
C．AC的中点坐标为（﹣2，0，﹣1）
D．四边形ABCD是一个梯形
10．已知空间向量，，构成的平面记为α，则下列说法正确的是（ ）
A．向量与α垂直
B．向量与α平行
C．若与分别是l1与l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角的余弦值为
D．向量在向量上的投影向量为（0，﹣2，0）
11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．两个非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
12．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，下底面ABCD边长为4，上底面边长为2，侧棱长为2，则（ ）
A．它的表面积是
B．它的外接球球心在该四棱台的内部
C．侧棱与下底面所成的角为
D．它的体积比半径为的球的体积小
三．填空题（共4小题）
13．已知空间中三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为 ．
14．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是CC1，D1A1的中点，则cos ＝ ．
15．已知向量，，，则的坐标为 ．
16．已知空间向量，，都是单位向量，且⊥，⊥，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且||＝1，满足| |≤| |≤| |，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）若，，求；
（2）求，夹角的余弦值．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F，G分别为A1B1，CC1，BB1的中点，分别记，，为，，．
（1）用，，表示；
（2）若AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，求|+2|．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．
（1）求证：平面DFM⊥平面PBC；
（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值．
20． 如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，ED∥AC，AB⊥AC，．
（1）若AB＝1，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；
（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长．
21．已知直角三角形ABC中∠BAC＝90°，CA＝2AB＝4，D，E分别是AC，BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥P﹣ADE，M是AD中点．
（1）证明：PM⊥平面ADE；
（2）若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝BC＝1，E是棱PB上一点．
（1）若PD∥平面ACE，证明：E是PB的中点；
（2）线段PB上是否存在点E，使二面角P﹣AC﹣E的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量＝3+5+，＝5+﹣4，则向量＝2﹣3的模为（ ）
A． B． C． D．
解：因为向量＝3+5+，＝5+﹣4，
则＝（3，5，1），＝（5，1，﹣4），
所以向量＝2﹣3＝2（3，5，1）﹣3（5，1，﹣4）＝（﹣9，7，14），
所以||＝＝．
故选：B．
2．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．不确定
解：建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0），P（0，1，x）（0≤x≤1），O（，，0），
∴＝（﹣1，1，x）（0≤x≤1），＝（﹣，，0），
∴＝ 1×（ ）+1×＝1．
故选：A．
3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足．若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足．若，，，
所以．
故选：C．
4．如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心．若＝x+y+z（x、y、z∈R），则x+y+z的值为（ ）
A． B．1 C． D．
解：由于M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心，
所以，
利用向量的线性运算，
即．
故选：C．
5．设x，y∈R，向量＝（x，2，2），＝（1，y，1），＝（1，﹣2，1），且⊥，∥，则|+|＝（ ）
A． B． C． D．
解：向量，且，
∴，解得，
∴，
∴．
故选：C．
6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则二面角D1﹣BC﹣D的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥平面CC1D1D，
CD1 平面CC1D1D，所以BC⊥CD1，又CD⊥BC，
所以∠DCD1为二面角D1﹣BC﹣D的平面角，
因为DD1＝AA1＝1，CD＝AB＝3，所以CD1＝，
所以cos∠DCD1＝＝＝，
即二面角D1﹣BC﹣D的余弦值为．
故选：D．
7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AD＝1，则直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
则A1（1，0，），B（1，，0），C1（0，，），
＝（1，0，），＝（1，，0），＝（﹣1，0，）
设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），
则，
令x＝，y＝﹣1，z＝﹣1，∴＝（，﹣1，﹣1），
直线BC1与平面A1BD所成的角为α，
sinα＝|cos＜，＞|＝||＝||＝．
故选：C．
8．在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则＝（ ）
A． B．
C． D．
解：三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：
延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，
因为S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以＝＝，
所以P为△B1C1D的重心，所以++＝，
即+2+3＝，
所以（﹣）+2（﹣）+3（﹣）＝，
所以＝++．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2），B（1，2，﹣1），C（﹣1，1，﹣3），D（3，﹣5，3），那么以下说话中正确的是（ ）
A．
B．
C．AC的中点坐标为（﹣2，0，﹣1）
D．四边形ABCD是一个梯形
解：∵A（3，﹣1，2），B（1，2，﹣1），C（﹣1，1，﹣3），D（3，﹣5，3），
∴，，故A正确，B错误，AC的中点坐标为（1，0，），故C错误，
，和共线，即AB∥CD，
，，与不共线，即AD与BC不平行，
故四边形ABCD为梯形．
故选：AD．
10．已知空间向量，，构成的平面记为α，则下列说法正确的是（ ）
A．向量与α垂直
B．向量与α平行
C．若与分别是l1与l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角的余弦值为
D．向量在向量上的投影向量为（0，﹣2，0）
解：对于A，∵，，
∴，，
又与不平行，
∴，A正确；
对于B，∵，
∴共面，则与α平行，B正确；
对于C，∵，
∴l1，l2所成角的余弦值为，C错误；
对于D，∵，，
∴在上的投影向量为，D错误．
故选：AB．
11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．两个非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
解：对于A，非零向量，，若，则，故A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有，
因为，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，
所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点P，A，B，C，，
由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确，
故选：ABD．
12．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，下底面ABCD边长为4，上底面边长为2，侧棱长为2，则（ ）
A．它的表面积是
B．它的外接球球心在该四棱台的内部
C．侧棱与下底面所成的角为
D．它的体积比半径为的球的体积小
解：如图，
正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，O1，O2分别是上下底面的中心，点E1，E分别是棱B1C1，BC的中点，
在直角梯形O1O2BB1中，，则正四棱台高，
在直角梯形O1O2EE1中，O1E1＝1，O2E＝2，则正四棱台斜高，
对于A，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1表面积，A正确；
对于B，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的外接球球心O在直线O1O2上，
设球半径为R，
点O到平面A1B1C1D1的距离，
点O到平面ABCD的距离，
由d2≥0，得R2≥8，
因此，即点O在线段O1O2的延长线上，B不正确；
对于C，侧棱与下底面所成的角为，C不正确；
对于D，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1体积，
半径为的球的体积为，D正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题）
13．已知空间中三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为 7 ．
解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
∴＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），||＝，||＝，
∴cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴S＝×sin60°＝7．
故答案为：7．
14．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是CC1，D1A1的中点，则cos ＝ ﹣ ．
解：如图建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），
点E，F分别是CC1，D1A1的中点，
，，
所以，，
所以，，，
所以．
故答案为：．
15．已知向量，，，则的坐标为 （10，﹣3，17） ．
解：向量，，，
则．
故答案为：（10，﹣3，17）．
16．已知空间向量，，都是单位向量，且⊥，⊥，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且||＝1，满足| |≤| |≤| |，则 的最大值为 ．
解：由题知，，，
再设，且x，y，z＞0，x2+y2+z2＝1，
代入已知的不等式得，可得，z≥y，
所以，解得，
故＝y．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）若，，求；
（2）求，夹角的余弦值．
解：（1）B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），
则，
∵，
∴可设，λ≠0，
∵，
∴，解得λ＝±2，
∴或；
（2）∵A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），
∴，，
∴＝＝＝．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F，G分别为A1B1，CC1，BB1的中点，分别记，，为，，．
（1）用，，表示；
（2）若AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，求|+2|．
解：（1）＝﹣＝+﹣＝﹣﹣＝﹣﹣，
＝+＝﹣＝﹣．
（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，且AB⊥AC，
所以 ＝ ＝ ＝0，
所以|+2|2＝|﹣﹣+2×（﹣）|2＝|﹣+|2＝2+2+2+ ﹣3 ﹣ ＝2+2+2＝×4+4+×4＝14，
所以|+2|＝．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．
（1）求证：平面DFM⊥平面PBC；
（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值．
证明：（1）依题意可得：PD⊥DA，DP＝DA＝DC＝2，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PD⊥AD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC 平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵BC⊥DC，PD∩DC＝D，DC、PD 平面PDC，
∴BC⊥平面PDC，又DF 平面PDC，
∴BC⊥DF，
又在Rt△PDC中，F是PC中点，则有DF⊥PC，
∵DF⊥BC，DF⊥PC，PC∩BC＝C，且BC、PC 平面PBC，
∴DF⊥平面PBC，
又∵DF 平面DFM，
∴平面DFM⊥平面PBC；
解：（2）取CD的中点N，连接FN、MN，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
∵FN⊥平面ABCD，∴直线MF与平面ABCD所成角为∠FMN，
∵直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，
∴，则MN＝，
∴CM＝＝，
可得M是BC靠近C的三等分点，则，
∴＝（﹣1，0，﹣1），＝（，2，0），
设平面EDM的法向量为＝（x，y，z），
则 ，
令x＝﹣3，则平面EDM的法向量为＝（﹣3，1，3），
同理平面DMF的法向量，
∴，
所以锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值是．
20． 如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，ED∥AC，AB⊥AC，．
（1）若AB＝1，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；
（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长．
解：（1）因为平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，平面ABC∩平面ACDE＝AC，AB 平面ABC，
所以AB⊥平面ACDE，
连接AD，可得BD与平面ACDE所成角为∠BDA．
由等腰梯形ACDE，DE＝1，AC＝2，CD＝1，可得CH＝，高DH＝，
AD＝＝，
又AB＝1，所以tan∠BDA＝＝，则∠BDA＝，
即BD与平面ACDE所成角的正弦值为；
（2）由面面垂直的性质定理可得DH⊥平面ABC，
以A为坐标原点，以AC，AB所在的直线为x，y轴，以过A平行于DH的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
设AB＝c，则B（0，c，0），C（2，0，0），E（，0，），D（，0，），
可得＝（2，﹣c，0），＝（，﹣c，），＝（﹣1，0，0），
设平面BCD的法向量为＝（x1，y1，z1），由 ＝0，且 ＝0，即2x1﹣cy1＝0，x1﹣cy1+z1＝0，
取x1＝c，则y1＝2，z1＝c，即＝（c，2，c），
设平面BDE的法向量为＝（x2，y2，z2，由 ＝0， ＝0，可得﹣x2＝0，x2﹣cy2+z2＝0，
可令z2＝c，则y2＝，即有＝（0，，c），
则cos＜，＞＝＝，解得c＝，
即AB＝．
21．已知直角三角形ABC中∠BAC＝90°，CA＝2AB＝4，D，E分别是AC，BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥P﹣ADE，M是AD中点．
（1）证明：PM⊥平面ADE；
（2）若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值．
（1）证明：由题意知，PA＝BA＝2，PD＝CD＝CA＝2，
所以PA＝PD＝2，
又M为AD中点，所以PM⊥AD，
因为D，E分别是AC，BC边中点，所以DE∥AB，
因为∠BAC＝90°，所以DE⊥AD，DE⊥CD，即DE⊥PD，
因为AD∩PD＝D，AD、PD 平面PAD，所以DE⊥平面PAD，
又PM 平面PAD，所以PM⊥DE，
因为AD∩DE＝D，AD、DE 平面ADE，
所以PM⊥平面ADE．
（2）解：以M为坐标原点，MD，MP分别为x，z轴，作My∥DE，建立如图所示的空间直角坐标系，
由PD＝2，PA＝2，DE＝AB＝1，
得A（﹣1，0，0），D（1，0，0），P（0，0，），E（1，1，0），
所以＝（﹣1，0，﹣），＝（2，1，0），
设平面PAE的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝﹣1，则x＝，y＝﹣2，所以＝（，﹣2，﹣1），
设Q（0，0，t），则，
因为QE与平面PAE所成角的正弦值为，所以，解得，
所以Q（0，0，），
故．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝BC＝1，E是棱PB上一点．
（1）若PD∥平面ACE，证明：E是PB的中点；
（2）线段PB上是否存在点E，使二面角P﹣AC﹣E的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接EO，
∵ABCD是正方形，∴O是BD的中点，
又PD∥平面ACE，PD 平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EO，
∴PD∥EO，
∵O为BD的中点，∴E是PB的中点；
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
设（0＜λ＜1），设E（a，b，c），
∴，，，则a＝λ，b＝0，c＝1﹣λ，
则E（λ，0，1﹣λ），，，
由BD⊥AC且BD⊥PC，可知是平面PAC的一个法向量．
设为平面EAC的法向量，
则，即，取，
∴，
解得，即．
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