2006年绍兴市高考教学教学研讨
（不等式、排列、组合、二项式定理、概率与统计）
一、知识研究
不等式：
从近几年的高考试题看，有关不等式的试题每年一般是一道选择题或是一道填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，单独考查不等式的试题较少，多数是与函数、数列、几何、三角、导数等问题相结合的综合型试题。具体地讲有如下特点：
1.不等式的性质的考查常与二次函数、指数函数和对数函数的性质的考查相结合，一般常以选择题的形式出现，有时与充要条件相结合，只要考生基础知识扎实，一般难度不大。
2.解不等式的试题常常以选择题、填空题形式出现，属于容易题，也有以解答题形式出现的，在解答题中，多为字母参数的题目，需要对字母参数进行分类讨论，属于中档难度的题目。
3.证明不等式是理科考查的难点，单独命题最近几年没有出现过，但它常常与函数、数列，三角等问题相结合的综合试题，试题的立意高、难度大、综合性强，但是涉及到不等式部分内容一般难度不大.应用题与不等式结合，此类题目已经不是高考热点问题了。
04年高考数学理科（浙江卷）涉及不等式的内容有
（13）已知则不等式的解集是 .
点评：解一元一次不等式组.
（17）在中，角所对的边分别为，且.
①求的值;
②若，求的最大值.
点评：第二小题涉及到均值不等式.
(20)设曲线在点处的切线与轴、轴所围成的三角形面积为.
①求切线的方程；
②求的最大值.
点评：函数、导数、不等式相结合的综合试题.
(21)已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1.
①若直线的斜率为，且，求实数的取值范围；
②当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程.
点评：第一小题涉及到解绝对值不等式.
04年高考数学文科（浙江卷）涉及不等式的内容有：第（13）题解一元一次不等式，第（18）题第二小题也用到了均值不等式，第（21）题也涉及到解不等式，以及第（22）题的第一小题涉及到解绝对值不等式. 从不等式这一块内容看要求同理科几乎一样.
2005年高考理科（浙江）涉及到不等式的内容有
（10）已知向量满足：对任意，恒有，则
（A） （B） （C） （D）
点评：既可用数形结合思想，又可用二次不等式方法加以解决.
(16)已知函数和的图象关于原点对称，且
①求函数的解析表达式；
② 解不等式.
点评：第二小题涉及到解绝对值不等式的问题.
(17)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴的长为4，左准线与轴的交点为，∶∶1.
①求椭圆的方程；
②若直线为上的动点，使最大的点记为，求点的坐标（用表示）.
点评：第二小题用到了均值不等式.
05年高考数学文科（浙江卷）涉及不等式的内容有：第（19）题第二小题涉及到均值不等式，第（20）题第二小题涉及到解绝对值不等式，第三小题涉及到分类讨论解分式不等到式. 纵观整份文、理科试卷，与04年相比，文、理科的试卷难度差距进一步拉大，完全相同的题目仅有6个，而两份试卷中相同背景但难度不一的“姐妹题”就有8个，这样从实际出发区别对待，对文、理考生不同的要求在05年的试卷中得到了充分体现.
排列、组合和二项式定理及概率与统计
从近几年的高考试题看，有关排列、组合和二项式定理及概率与统计的试题每年一般是一道选择题、一道填空题和一道解答题，二项式问题一般以选择题的形式出现居多，难度不大属于容易题，排列、组合内容主要以填空题形式出现，随着高考命题“小题综合化”要求的提出，它与其它内容综合在一起的题目难度一般较大，解答题近几年多以应用题的形式出现，考查解决实际问题的能力，题目的背景涉及社会生活的各个领域，难度上属于中档题.最近几年考其它类型的应用题没有出现过.
04年高考数学理科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有
（7）若展开式中存在常数项，则的值可以是
(A)8 (B)9 (C)10 (D)12
点评：二项式定理是必考内容
（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）
点评：排列、组合内容
（18）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个.第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为.
①求随机变量的分布列；
②求随机变量的期望E.
点评：考查相互独立事件及随机变量的分布列、数学期望等数学概念，同时考查学生的逻辑思维能力.
04年高考数学文科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有第（7）题的二项式展开，第（16）题的排列、组合问题，第（20）题的排列组合、对立事件、相互独立事件等数学知识.选择题和填空题与理科完全一样，解答题难度比理科的要容易一点.
05年高考数学理科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有
(5)在的展开式中，含的项的系数是
（A）74 （B）121 （C）-74 （D）-121
点评：二项式展开
（14）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是 （用数字作答）.
点评：排列列问题
(19)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为P.
1 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.（ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；（ⅱ）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E
2 若A、B两个袋子中的球数之比为1﹕2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求P的值.
点评：考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念
05年高考数学文科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有第（5）的二项式展开问题，第（14）题的排列问题，第（17）的排列组合、相互独立事件同时发生的概率等问题，文理两份试卷中此三道题目背景相同但难度不一，文科的题目比较容易.
二．复习研究
高考复习是一门学问，复习中究竟该如何把握知识的要点，如何才可以培养学科的综合能力，如何努力提高学生的考试成绩，这就要求我们教师和学生既要认真学习《考试大纲》，又要有一套行之有效的复习方法，我们学校一般采用的是三轮复习法：
第一轮总复习（九月到三月初）基础知识复习阶段
复习资料最近几年都采用了《沙场点兵》这本书，教师带领学生重温高中阶段所学知识，立足课本，迅速激活已学过的各个知识点，把每个知识点落实到实处，注重通性通法，淡化特殊技巧.教师必须对例题进行深入的剖析，对与例题相关的知识点进行发散和归纳，总结出规律性的东西予以拓展提升，使学生实现由点到面、由知识到能力的升华.另外我们备课组团结协作，每一单元怎么安排由备课组统一商量确定进度，每一节课的安排及主要例题大家也基本相同，书中那些例子要讲，那些例子不讲，例子有几种解法，讲解时要注意什么问题，基本得到统一.特别是有些重点例题，大家互相讨论，各抒己见，做到有好的例题，好的解法实现全组老师共享.太难的太偏的作业题毫不犹豫一概删去.
第二轮总复习（三月初到五月初）数学综合能力提高阶段
在内容体例方面，以专题复习为主线，分知识专题和能力专题，全组老师分工协作，分块分任务，在制定的编写要求下统一编写.这一阶段老师在讲解时与第一轮复习要求有所不同，重点对有关的一些知识进行必要的拆分和加工重组，找出某个知识点会在哪一系列题目中出现，某种方法可以解决哪一类问题.讲解时也由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变，使第二轮复习真正起到显著提高综合能力的作用，并适当选做各地的模拟和近几年高考试卷，强调规范解题，俗话说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分“.要求学生逐渐弄清高考试卷的命题思路和结构，充分认识到高考对于知识和能力的考查是并重的.
第三轮总复习（五月初到高考）全面冲刺阶段
在全面冲刺阶段,这时全国各地的新的模拟试卷比较多，老师要有选择地把好的试卷或者是好的题目介绍给学生，实在太难的题目就不要让学生做，免得增加学生的课业负担和精神负担，同时还必须做好以下几点（1）后阶段的查漏补缺问题 在紧跟老师一起冲刺的时候，有一个查漏补缺的过程，老师也会与同学一起查不足，解决平时易错的或不易弄清楚的一些问题，对于这些易错问题我们把它们汇编成册每个学生人手一份，要求同学挤出时间，主动去查漏补缺，但也有少部分同学对这个问题认识不足，或者缺少毅力，总说时间不够，而不去查漏补缺，这在一定程度上影响了水平的整体提高. （2）冲刺时要彻底要坚决 考前一个月是一个人最累、最苦、最紧张的时候，体能与心理的双重压力会压得人喘不过气来，是对一个人意志品质的考验.有的同学就会在困难面前退缩，主动学习性也越来越差，降低对自已的要求.这时的老师要特别细心，也要对学生特别关心，时刻注意学生的情绪变化，一旦发现学生有这种苗头要及时与其交流沟通.当我们鼓足干劲努力学习时，一旦有人出现这样的情绪则打破了学习的一种向前的惯性，这对高考冲刺都是非常有害的. （3）平时的心理调节 当遇到挫折时，如模拟考失败或者题目做不出等，同学们要学会看到自己的进步，积极看待失败与挫折，经常给自己积极的自我暗示，否定消极的自我暗示；多与父母、同学、好友沟通，通过交流、沟通，将紧张的情绪宣泄出去.高考期间同学们会比较敏感，所以一旦有不良情绪一定要注意表达，而不要闷在心里，影响学习.注意学习、生活的规律性，生活的规律性有助于稳定情绪，同时每天花一定的时间做自己喜欢的运动或者休闲一下，可以提高学习效率.最重要的是给自己定一个合理的复习目标，做到心中有数.你不怕干扰，干扰就干扰不了你.（4）考试时的心理调节 有扎实的基础，充分的准备，又有良好的心理素质，都是考出好成绩必须具备的条件，尤其是心理准备，有的考生心理素质良好，而有的考生心理素质较差，老师必须针对这方面的内容有的放矢地进行训练.如平时的选择题限时训练，填空题限时训练，前四道解答题限时训练，而考生也要认识自己的不足，有意识地加强训练，积累考试经验，考前要做好充分准备. 对困难估计得尽量足一点，遇事才不会发慌，考试时才能充分发挥自己的水平，考出理想的成绩来.
三、范例研究
例1．已知函数为常数），且方程 有两个实根为.
1 求函数的解析式；
②设，解关于的不等式：.
解：①将分别代入方程得
解得 所以
2 不等式即为， 可化为
即.
（1）当时，解集为 ；
（2）当时，不等式为 解集为 ；
（3）当时，解集为 .
点评：本题考查方程根的概念、解分式不等式及分类类讨论的数学思想.
例2：已知数列的首项，前项和为，且.
①证明数列是等比数列；
②令，求函数在点处的导数.
（理）并比较与的大小.
解：①由已知，
，
两式相减，得，即
从而．当时，
又．
从而．故总有，
又，，从而．
即是以为首项，为公比的等比数列．
②由①知，
．
从而
（理）由上
．
当时，式等于,
当时，式=-12〈0，；
当时，，
又，
，
即〉0，从而．
或用数学归纳法；时，猜想．
由于，只要证明，事实上，
当时，．不等式成立．
设时（），有，
则
从而．
即时，亦有．
综上知，对，都成立．
时，，
综上时，
时，
时，．
点评：本题考查等比数列的有关知识，不等式的证明方法，及化归与转化、归纳与递推的数学思想，考查思维能力与运算能力.
例3．袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是
.现在有甲、乙两人轮流摸取1球,甲先取,然后乙再取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止时所需要的取球次数.
①求袋中原有的白球个数;
(理) ②求随机变量的概率分布;
(文) ②求取球2次终止的概率;
③求甲取到白球的概率.
解: ①设袋中原有个白球,由题意知:
,
所以,解得(舍去),即袋中原有3个白球.
(理) ②由题意, 的可能取值1,2,3,4,5.
;
;
;
;
所以取球个数的分布列为:
1 2 3 4 5
(文) ②记”取球2次终止”的事件为A,
则.
③因为甲先取,所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A，则.因为事件””” ”” ”两两互斥,所以
.
点评：本题考查了排列组合的知识，等可能事件的概率及互斥事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列及解决实际问题的能力.
例4.甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采取五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响,求
①（文）前三局比赛甲队领先的概率;
②（文）本场比赛乙队以3:2取胜的概率(精确到0.001);
③（理）令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.(精确到0.0001)
解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,乙队胜甲队的概率为.
①记”甲队胜三局”为事件A,”甲队胜二局”为事件B,则
,
所以甲前三局比赛领先的概率为.
②若本场比赛乙队以3:2取胜,则前二局双方应一2:2战平,且第五局乙队胜.所以所求事件的概率为.
③比赛3局结束有两种情况:甲队胜三局或乙队胜三局.因而
.
比赛四局结束有两种情况:前三局中甲队胜两局,第四局甲队胜:或前三局中乙队胜两局,第四局乙队胜.因而
.
比赛五局结束有两种情况:前四局站成2:2平,第五局甲队胜或乙队胜,因而
.
所以的概率分布为:
p 3 4 5
0.28 0.3744 0.3456
的期望
点评：主要考查相互独立事件和互斥事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.(共29张PPT)
——《概率与统计》的高考分析及复习建议
慈溪市三山高级中学(315300) 潘训军
《概率与统计》的高考分析及复习建议
考试内容及要求
试题分析
考题评析
复习建议
一.考试内容及要求
根据2006年《考试大纲》，概率与统计部分的考试内容及考试要求如下：
1. 考试内容
离散型随机变量的分布列．离散型随机变量的期望值和方差．抽样方
法．总体分布的估计．正态分布．线性回归．
2. 考试要求
⑴ 了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．
⑵ 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布求出期望值、方差．
⑶ 会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．
⑷ 会用样本频率分布去估计总体分布．
⑸ 了解正态分布的意义及主要性质．
⑹ 了解线性回归的方法和简单应用．
二.试题分析
1. 2005年全国及各省市高考试题（理科）概率统计部分题型统计表
二.试题分析
2. 试题特点
新增内容的考查力度不断增强.
试题的题量大致为一大一小且为中低档题，约占全卷的10%左右.
试题在试卷中的位置及地位也发生了变化，试题的难度也由易向中等难度靠近，
具有一定的区分度．
重点内容重点考.
试题主要考查基本概念和基本公式．
对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、事件在n次独
立重复试验中恰好发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望及抽样方
法等内容都进行了考查．
密切联系教材．
试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识重新组合、拓广，从而成为
立意高、情境新、设问巧，并赋予时代气息的问题．
二.试题分析
案例1 (2005年重庆)
案例2 (2005年湖南)
以重庆轻轨列车为背景
以旅游为背景
二.试题分析
案例3 (2005年全国Ⅱ)
案例4(2005年重庆)
以排球比赛为素材
以商场购物抽奖为背景
这样的情境让考生感到真实、亲切，体现了人文教育的精神
二.试题分析
案例5 (2005年湖北)
将概率知识与立体几何相结合,注意了学科内知识间的相互联系．
试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际.
二.试题分析
2. 试题特点
新增内容的考查力度不断增强.
试题的题量大致为一大一小且为中低档题，约占全卷的10%左右．
试题在试卷中的位置及地位也发生了变化，
试题的难度也由易向中等难度靠近，具有一定的区分度．
重点内容重点考.
试题主要考查基本概念和基本公式．
对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、事件在n次独
立重复试验中恰好发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望及抽样方
法等内容都进行了考查．
密切联系教材．
试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识重新组合、拓广，从而成
为立意高、情境新、设问巧，并赋予时代气息的问题．
体现了应用功能
概率统计试题区别于其它试题，将以往对应用题的考查通过概率统计试题的形式
来考查，突出了概率统计的应用功能，符合高考新大纲的命题思想．
近几年来主要涉及三种类型：
二.试题分析
类型1：是从生活与生产实际中概括出来的
2005年全国Ⅱ
2005年全国Ⅰ
近几年来主要涉及三种类型：
二.试题分析
类型2：是与学科内其他知识有横向联系的问题
2005年湖北
2005年辽宁
近几年来主要涉及三种类型：
二.试题分析
类型3：是赋予人文精神的数学问题
2005年湖南
2005年重庆
三.考题评析
评析：本小题以农业生产实际为背景，主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法．考查随机变量、数学期望等知识和分类讨论、逆向思维等数学思想方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
三.考题评析
评析：本小题以学生熟悉的体育比赛为背景，考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念及分类讨论等数学思想方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
三.考题评析
评析：本小题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次未击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次未击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解．第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式．
三.考题评析
评析：本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力 ．
三.考题评析
三.考题评析
评析：本小题以工业生产为背景，主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识和数形结合的数学思想方法．考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力．
四.复习建议
落实基础，训练技能，提高综合能力
重视新增内容与传统内容的有机结合
重视教材的基础作用
重视数学思想方法的渗透
重视概率统计的应用功能
四.复习建议
1. 落实基础，训练技能，提高综合能力
牢固掌握基本概念；
正确分析随机试验；
熟悉常见概率模型；
正确计算随机变量的数字特征；
关注等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、独立
重复试验这几种概率与数字特征计算融合在一起构成
的综合问题．
四.复习建议
2.重视新增内容与传统内容的有机结合
新增内容在今后的高考中绝不是数学知识的简单复制，而是趋向于能力的考查.新增知识与传统知识相结合是今后高考命题的总趋势;概率与统计是近代数学的重要分支,在现实中应用广泛.概率统计与排列组合又有着紧密的联系,将它们有机结合是新课程高考的热点和亮点.同时在复习中应加强概率与学科内其他知识的横向联系．
四.复习建议
3.重视教材的基础作用
教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体．纵观新课程卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材,特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，即使是综合题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用．
如：(全国Ⅰ第20题)是由课本第二册（下）P144习题第10题、P151复习参考题
B组第5题、 第三册（选修Ⅱ）P13例5改编而成；
如：(江苏第20题)是由课本第二册（下）P140练习第4题、P138例1、P151复习
参考题第10题、第三册（选修Ⅱ）P8例3通过重新组合、加工、拓展而成的．
四.复习建议
3.重视教材的基础作用
复习阶段必须按《教学大纲》和《考试大纲》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果．
四.复习建议
4.重视数学思想方法的渗透
数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程．在概率统计的内容中蕴涵着丰富的数学思想方法，如全国Ⅱ第19题、江苏第20题、辽宁第20题分别蕴涵了分类讨论、数形结合、逆向思维等多种思想方法．概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具（计算随机事件发生的概率、求随机变量的数学期望与方差），也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间．
四.复习建议
5.重视概率统计的应用功能
由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，重视素质教育与高考的兼容性，概率统计在社会现实中具有很高的应用价值．在复习中要关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展等各个方面，并从中提炼出具有社会价值的数学应用背景．在复习中应加强在不同背景下的训练，培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流．
高考历来坚持稳中求变，不搞巨变、突变．概率与统计作为新增内容在高考中的地位千万不能低估．这部分内容又是应用概率的基础知识考查分析和解决问题的能力、思维能力和运算能力的良好载体，预计以后将继续出现在高考中，并可能比例加大，应引起足够重视．(共19张PPT)
2007年绍兴市高考数学教学研讨
（不等式、排列、组合、二项式定理、概率与统计）
二．复习研究
一、知识研究
三、范例研究
浙江省诸暨中学 楼士平
不等式：
从近几年的高考试题看，有关不等式的试题每年一般是一道选择题或是一道填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，单独考查不等式的试题较少，多数是与函数、数列、几何、三角、导数等问题相结合的综合型试题。具体地讲有如下特点：
1.不等式的性质的考查常与二次函数、指数函数和对数函数的性质的考查相结合，一般常以选择题的形式出现，有时与充要条件相结合，只要考生基础知识扎实，一般难度不大。
2.解不等式的试题常常以选择题、填空题形式出现，属于容易题，也有以解答题形式出现的，在解答题中，多为字母参数的题目，需要对字母参数进行分类讨论，属于中档难度的题目。
3.证明不等式是理科考查的难点，单独命题最近几年没有出现过，但它常常与函数、数列，三角等问题相结合的综合试题，试题的立意高、难度大、综合性强，但是涉及到不等式部分内容一般难度不大.应用题与不等式结合，此类题目已经不是高考热点问题了。
04年高考数学理科（浙江卷）涉及不等式的内容有
（13）已知
则不等式
的解集是 .
点评：解一元一次不等式组.
（17）在 中，角 所对的边分别 为 ，且
①求 的值;
②若 ，求 的最大值.
点评：第二小题涉及到均值不等式.
(20)设曲线 在点 处的切线l 与 轴、 轴所围成的三角形面积为 .
①求切线 l 的方程；
②求 的最大值.
点评：函数、导数、不等式相结合的综合试题.
(21)已知双曲线的中心在原点，右顶点为 ，点 在双曲线的右支上，点 到直线 的距离为1.
①若直线 的斜率为 ，且 ，求实数 的取 值范围；
②当 时， 的内心恰好是点 ，求此双曲线的方程.
点评：第一小题涉及到解绝对值不等式.
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04年高考数学文科（浙江卷）涉及不等式的内容有：第（13）题解一元一次不等式，第（18）题第二小题也用到了均值不等式，第（21）题也涉及到解不等式，以及第（22）题的第一小题涉及到解绝对值不等式. 从不等式这一块内容看要求同理科几乎一样.
2005年高考理科（浙江）涉及到不等式的内容有
（10）已知向量 满足：对任意 ，恒
有 ，则 （A）
（B） （C） （D）
点评：既可用数形结合思想，又可用二次不等式方法加以解决.
(16)已知函数 和 的图象关于原点对称，且
①求函数 的解析表达式；
② 解不等式 .
点评：第二小题涉及到解绝对值不等式的问题.
(17)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 在 轴上，长轴 的长为4，左准线 与 轴的交点为 ，
①求椭圆的方程；
②若直线 为 上的动点，使 最大的点 记为 ，求点 的坐标（用 表示）.
点评：第二小题用到了均值不等式.
05年高考数学文科（浙江卷）涉及不等式的内容有：第（19）题第二小题涉及到均值不等式，第（20）题第二小题涉及到解绝对值不等式，第三小题涉及到分类讨论解分式不等到式. 纵观整份文、理科试卷，与04年相比，文、理科的试卷难度差距进一步拉大，完全相同的题目仅有6个，而两份试卷中相同背景但难度不一的“姐妹题”就有8个，这样从实际出发区别对待，对文、理考生不同的要求在05年的试卷中得到了充分体现.
排列、组合和二项式定理及概率与统计
从近几年的高考试题看，有关排列、组合和二项式定理及概率与统计的试题每年一般是一道选择题、一道填空题和一道解答题，二项式问题一般以选择题的形式出现居多，难度不大属于容易题，排列、组合内容主要以填空题形式出现，随着高考命题“小题综合化”要求的提出，它与其它内容综合在一起的题目难度一般较大，解答题近几年多以应用题的形式出现，考查解决实际问题的能力，题目的背景涉及社会生活的各个领域，难度上属于中档题.最近几年考其它类型的应用题没有出现过.
04年高考数学理科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有
（7）若 展开式中存在常数项,则 的值可以是
(A)8 (B)9 (C)10 (D)12
点评：二项式定理是必考内容
（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）
点评：排列、组合内容
（18）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个.第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为 .
(1)求随机变量的分布列；
(2)求随机变量 的期望E .
点评：考查相互独立事件及随机变量的分布列、数学期望等数学概念，同时考查学生的逻辑思维能力.
04年高考数学文科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有第（7）题的二项式展开，第（16）题的排列、组合问题，第（20）题的排列组合、对立事件、相互独立事件等数学知识.选择题和填空题与理科完全一样，解答题难度比理科的要容易一点.
05年高考数学理科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有
(5)在 的展开式中, 含 的项的系数是
（A）74 （B）121 （C）-74 （D）-12
点评：二项式展开
（14）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种数是 （用数字作答）.
点评：排列问题
(19)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是三分之一，从B中摸出一个红球的概率为P.
①从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.（ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；（ⅱ）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望E
②若A、B两个袋子中的球数之比为1﹕2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是五分之二，求P的值.
点评：考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念
05年高考数学文科（浙江卷）涉及排列、组合和二项式及概率与统计的内容有第（5）题的二项式展开问题，第（14)题的排列问题，第（17）题的排列组合、相互独立事件同时发生的概率等问题，文理两份试卷中此三道题目背景相同但难度不一，文科的题目比较容易.
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高考复习是一门学问，复习中究竟该如何把握知识的要点，如何才可以培养学科的综合能力，如何努力提高学生的考试成绩，这就要求我们教师和学生既要认真学习《考试大纲》，又要有一套行之有效的复习方法，我们学校一般采用的是三轮复习法：
第一轮总复习（九月到三月初）基础知识复习阶段
复习资料最近几年都采用了《沙场点兵》这本书，教师带领学生重温高中阶段所学知识，立足课本，迅速激活已学过的各个知识点，把每个知识点落实到实处，注重通性通法，淡化特殊技巧.教师必须对例题进行深入的剖析，对与例题相关的知识点进行发散和归纳，总结出规律性的东西予以拓展提升，使学生实现由点到面、由知识到能力的升华.另外我们备课组团结协作，每一单元怎么安排由备课组统一商量确定进度，每一节课的安排及主要例题大家也基本相同，书中那些例子要讲，那些例子不讲，例子有几种解法，讲解时要注意什么问题，基本得到统一.特别是有些重点例题，大家互相讨论，各抒己见，做到有好的例题，好的解法实现全组老师共享.太难的太偏的作业题毫不犹豫一概删去.
第二轮总复习（三月初到五月初）数学综合能力提高阶段
在内容体例方面，以专题复习为主线，分知识专题和能力专题，全组老师分工协作，分块分任务，在制定的编写要求下统一编写.这一阶段老师在讲解时与第一轮复习要求有所不同，重点对有关的一些知识进行必要的拆分和加工重组，找出某个知识点会在哪一系列题目中出现，某种方法可以解决哪一类问题.讲解时也由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变，使第二轮复习真正起到显著提高综合能力的作用，并适当选做各地的模拟和近几年高考试卷，强调规范解题，俗话说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分“.要求学生逐渐弄清高考试卷的命题思路和结构，充分认识到高考对于知识和能力的考查是并重的.
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第三轮总复习（五月初到高考）全面冲刺阶段
在全面冲刺阶段,这时全国各地的新的模拟试卷比较多，老师要有选择地把好的试卷或者是好的题目介绍给学生，实在太难的题目就不要让学生做，免得增加学生的课业负担和精神负担，同时还必须做好以下几点
（1）后阶段的查漏补缺问题
在紧跟老师一起冲刺的时候，有一个查漏补缺的过程，老师也会与同学一起查不足，解决平时易错的或不易弄清楚的一些问题，对于这些易错问题我们把它们汇编成册每个学生人手一份，要求同学挤出时间，主动去查漏补缺，但也有少部分同学对这个问题认识不足，或者缺少毅力，总说时间不够，而不去查漏补缺，这在一定程度上影响了水平的整体提高.
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（2）冲刺时要彻底要坚决
考前一个月是一个人最累、最苦、最紧张的时候，体能与心理的双重压力会压得人喘不过气来，是对一个人意志品质的考验.有的同学就会在困难面前退缩，主动学习性也越来越差，降低对自已的要求.这时的老师要特别细心，也要对学生特别关心，时刻注意学生的情绪变化，一旦发现学生有这种苗头要及时与其交流沟通.当我们鼓足干劲努力学习时，一旦有人出现这样的情绪则打破了学习的一种向前的惯性，这对高考冲刺都是非常有害的.
（3）平时的心理调节
当遇到挫折时，如模拟考失败或者题目做不出等，同学们要学会看到自己的进步，积极看待失败与挫折，经常给自己积极的自我暗示，否定消极的自我暗示；多与父母、同学、好友沟通，通过交流、沟通，将紧张的情绪宣泄出去.高考期间同学们会比较敏感，所以一旦有不良情绪一定要注意表达，而不要闷在心里，影响学习.注意学习、生活的规律性，生活的规律性有助于稳定情绪，同时每天花一定的时间做自己喜欢的运动或者休闲一下，可以提高学习效率.最重要的是给自己定一个合理的复习目标，做到心中有数.你不怕干扰，干扰就干扰不了你.
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（4）考试时的心理调节
有扎实的基础，充分的准备，又有良好的心理素质，都是考出好成绩必须具备的条件，尤其是心理准备，有的考生心理素质良好，而有的考生心理素质较差，老师必须针对这方面的内容有的放矢地进行训练.如平时的选择题限时训练，填空题限时训练，前四道解答题限时训练，而考生也要认识自己的不足，有意识地加强训练，积累考试经验，考前要做好充分准备. 对困难估计得尽量足一点，遇事才不会发慌，考试时才能充分发挥自己的水平，考出理想的成绩来.(共19张PPT)
探讨高考方向，提高复习效率
—浅谈立几、解几高考复习
新昌中学 张煜瑞
一、近两年高考特点——三个稳定
稳定的题型：立体几何：2+1
解析几何：3+1
稳定的内容：
立体几何：位置关系的判断+角、距离与体积
（面积）的计算+解答题
解析几何：直线与圆的位置关系+线性规划+圆
锥曲线定义、性质 +解答题
稳定的分值：立体几何：21分 —— 23分——？
解析几何：27分 —— 26分——？
（一）立体几何解答题——三个典型
典型图形：可以建系的多面体
典型知识：定性——平行与垂直的证明
定量 ——角、距离与位置的确定
典型方法：向量法（坐标运算）
（二）解析几何解答题——三个要点
热点： 向量的介入（共线 、垂直 、定比 、角
度 、模长）－利用坐标运算处理条件和目标
难点： 转化和运算
重点： 1、 求轨迹 （直译法和待定系数法）
2、 定值、最值、范围、存在性问题
（三）选择填空题 ——
1、立几 ：位置关系的判断；球、多面体的性
质；角与距离的计算；计数问题
2、 解几 ：直线、直线与圆；线性规划；
圆锥曲线的性质
内容和方法并存，速度与技巧同在
二、如何有效复习
（一） 精选例题，发挥其最大功能
1、 针对性（高考出现可能大）
2、 代表性（一类问题或方法）
3、 综合性（涉及多个知识点）
4、 恰当性（面向大部分学生）
(4)求DE与平面BEF所成角的大小；
(5)求点D到平面BEF的距离；
(6)求异面直线DF与CE所成角的大小；
(7)求异面直线DF与CE间的距离；
(8)在直线AF上确定点G，使G在平
面DBM上的射影恰为△DBM的重心
例1（2004年浙江试题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点。
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)求证：AM⊥平面BDF；
(3)求二面角A－DF－B的大小；
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
举例分析
析1： 两点到抛物线的准线 的距离相等.
∵ 抛物线的准线是x轴的平行线， 不同时为0，∴
∵ ，∴上述条件等价于
即当且仅当 时，l 经过抛物线的焦点F.
;
0
)
)(
(
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
=
-
+
=
=
x
x
x
x
x
x
y
y
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析2：焦点为F, 直线l的斜率不存在时，有
直线l的斜率存在时，设直线：y=kx+b 由已知得：
即 l 的斜率存在时，不可能经过焦点
所以当且仅当 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析3：由题意
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析4：
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
矛盾
这与
得
2
2
1
,
4
1
,
)
8
1
,
0
(
y
y
y
y
l
F
+
-
=
+
Q
)
2
(
)
(
2
1
2
:
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
y
y
y
l
+
-
+
-
=
+
-
则直线
)
(
2
0
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
K
K
AB
AB
+
=
-
-
=
时，
当
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析5：
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。
（1）当且仅当 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）当直线l的斜率为2时，求 l 在y轴上截距的取值范围.
举例分析
1、 韦达定理判别式
2、 中点在抛物线内部
3、 基本不等式整体处理
4、 求中点轨迹几何处理
分析：对（2），可以考虑求解范围问题的各种途径
（二）有目的地设计练习
对易错问题时常练习
对易混淆问题对比练习
对重点问题反复练习
三、学生期待
（二）、重视知识过程的学习探究
（三）、要养成良好的学习习惯
（一）、树立学好数学的自信心
我们确信：
我们提倡：
知识是学出来的，是学生自己建构出来的。学生的动嘴读题、动手做题、动脑反思，这种“动”是教师不能替代的，我们高三教师，是否应当遵循“少讲多练”、“少讲精练”的原则呢？
做一题会十题，而不是做十题会一题！
谢 谢 ！
祝愿各位今年的高考工作 再上新台阶(共19张PPT)
探讨高考方向，提高复习效率
—浅谈立几、解几高考复习
新昌中学 张煜瑞
一、近两年高考特点——三个稳定
稳定的题型：立体几何：2+1
解析几何：3+1
稳定的内容：
立体几何：位置关系的判断+角、距离与体积
（面积）的计算+解答题
解析几何：直线与圆的位置关系+线性规划+圆
锥曲线定义、性质 +解答题
稳定的分值：立体几何：21分 —— 23分——？
解析几何：27分 —— 26分——？
（一）立体几何解答题——三个典型
典型图形：可以建系的多面体
典型知识：定性——平行与垂直的证明
定量 ——角、距离与位置的确定
典型方法：向量法（坐标运算）
（二）解析几何解答题——三个要点
热点： 向量的介入（共线 、垂直 、定比 、角
度 、模长）－利用坐标运算处理条件和目标
难点： 转化和运算
重点： 1、 求轨迹 （直译法和待定系数法）
2、 定值、最值、范围、存在性问题
（三）选择填空题 ——
1、立几 ：位置关系的判断；球、多面体的性
质；角与距离的计算；计数问题
2、 解几 ：直线、直线与圆；线性规划；
圆锥曲线的性质
内容和方法并存，速度与技巧同在
二、如何有效复习
（一） 精选例题，发挥其最大功能
1、 针对性（高考出现可能大）
2、 代表性（一类问题或方法）
3、 综合性（涉及多个知识点）
4、 恰当性（面向大部分学生）
(4)求DE与平面BEF所成角的大小；
(5)求点D到平面BEF的距离；
(6)求异面直线DF与CE所成角的大小；
(7)求异面直线DF与CE间的距离；
(8)在直线AF上确定点G，使G在平
面DBM上的射影恰为△DBM的重心
例1（2004年浙江试题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点。
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)求证：AM⊥平面BDF；
(3)求二面角A－DF－B的大小；
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
举例分析
析1： 两点到抛物线的准线 的距离相等.
∵ 抛物线的准线是x轴的平行线， 不同时为0，∴
∵ ，∴上述条件等价于
即当且仅当 时，l 经过抛物线的焦点F.
;
0
)
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(
2
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-
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x
x
x
x
x
x
y
y
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析2：焦点为F, 直线l的斜率不存在时，有
直线l的斜率存在时，设直线：y=kx+b 由已知得：
即 l 的斜率存在时，不可能经过焦点
所以当且仅当 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析3：由题意
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析4：
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
矛盾
这与
得
2
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则直线
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K
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AB
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当
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析5：
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。
（1）当且仅当 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）当直线l的斜率为2时，求 l 在y轴上截距的取值范围.
举例分析
1、 韦达定理判别式
2、 中点在抛物线内部
3、 基本不等式整体处理
4、 求中点轨迹几何处理
分析：对（2），可以考虑求解范围问题的各种途径
（二）有目的地设计练习
对易错问题时常练习
对易混淆问题对比练习
对重点问题反复练习
三、学生期待
（二）、重视知识过程的学习探究
（三）、要养成良好的学习习惯
（一）、树立学好数学的自信心
我们确信：
我们提倡：
知识是学出来的，是学生自己建构出来的。学生的动嘴读题、动手做题、动脑反思，这种“动”是教师不能替代的，我们高三教师，是否应当遵循“少讲多练”、“少讲精练”的原则呢？
做一题会十题，而不是做十题会一题！
谢 谢 ！
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数列压轴题
（1984年高考）给定数列 ，其中 ， 。
（1）若 ，求证： ，且 ；
（2）若 ，求证： ；
（3）若 ，那么，当 时，必有 。
（1985年高考）设
（1）证明不等式 成立 ；
（2）设 ，用极限定义证明：
（1986年高考）已知 ，且
试证明数列对任意正整数 都满足 或者对任意正整数
都满足 。
（1984年高考）给定数列 ，其中 ， 。
（1）若 ，求证： ，且 ；
（2）若 ，求证： ；
（3）若 ，那么，当 时，必有 。
且证出
（1987年高考）设数列 的前 项的和 与 的关系是
，其中 是与 无关的常数，且
（1）求 和 的关系式；
（2）写出用 和 表示 的表达式；
（3）当 时，求极限 。
（1994年高考）已知数列 是正项数列，其前 项和为 ，
并且对于所有的正整数 ， 与2的等差中项等于 与2的等比中项。
（1）写出数列 的前3项；
（2）求 ；
（3）令 ，求 。
1 . 与 的关系仍要作为重点来抓
2.以高等数学有关数列知识指导数列压轴题的复习
定理：单调有界数列必有极限
日本高考题：
设 ，由
所定义的数列 ，试回答下列各题：
（1）求证 ；
（2）求证 ；
（3）求 。
等差数列 中，
⑴.求公差 的取值范围；
⑵.指出 中，哪个最大，并说明理由。
2002年全国高考压轴题：
设数列 满足 。
（1）当 时，求 ，并猜想 的一个通项公式；
（2）当 时，证明：对所有的 ，有
①. ；
②. 。
正项级数 的前 项和有上界，
故级数 收敛，
其收敛速度大于 的收敛速度。
只要证：
赋值相乘可得。
3.介绍解决递推数列的一种通法---迭代法
，
Ⅰ.2002年高考数列压轴题（2）之②：
设数列 满足 。
（2）当 时，证明：对所有的 ，有
①. ；
②. 。
Ⅱ.2003年高考新课程江苏卷压轴题
设 ，如图，已知直线 及曲线 ， 上的点 的横坐标为 ，从 上的点 作直线平行于 轴交直线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴交曲线 于点 ， 的横坐标构成数列 。
（1）求 与 的关系，并求 的通项公式；
O
（2）当 时，证明：
（3）当 时，证明：
Ⅲ.2003年全国高考新课程卷天津等省市试卷压轴题
设 为常数，且 。
（1）证明对任意
（2）假设对任意 有 ，求 的取值范围。
Ⅳ.2002年全国高考新课程卷压轴题
已知数列 各项都是自然数， ，且
。
（1）求 ；
（2）证明 ；
（3）求数列 的通项公式及前 项和 。
反复迭代可得
当 为偶数时
当 为奇数时
Ⅴ.2002年全国春季高考试卷压轴题
已知点的序列 ，其中
是线段 的中点， 是线段 的中点， ， 是线
段 的中点， ，求数列 的通项。
易得
再用迭代法可得。
一般地，形如：
等常见递推关系的数列的通项均可用迭代法来解。
4.在证明数列不等式中渗透证明不等式的方法
⑴放缩法
Ⅰ.2003年高考新课程江苏卷压轴题
设 ，如图，已知直线 及曲线 ， 上的点 的横坐标为 ，从 上的点 作直线平行于 轴交直线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴交曲线 于点 ， 的横坐标构成数列 。
（1）求 与 的关系，并求 的通项公式；
O
（2）当 时，证明：
（3）当 时，证明：
（1）
Ⅱ.已知点列 都在曲线 上， 为曲线与 轴的交点，数列 成等差数列，公差为1。
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 。问：是否存在正整数 ，使得
成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。
为奇数
为偶数
（3）过点 作 轴的垂线，垂足为 ，求证：
（3）的证明，即证：
Ⅲ.汕头市高考模拟试题
已知数列 的前 项和为 ，且满足
。
（1）问：数列 是否为等差数列？请证明你的结论；
（2）求 和 ；
（3）求证： 。
南昌市高考模拟试卷
条件同上。（1）、（2）略
（3）若 ，求证： 。
（3）即为
数学分析中的一个重要极限
可以证明：
Ⅳ.已知数列 满足 ， 是 的前
项和，且 。
（1）求 ；
（2）证明： 。
⑵数学归纳法
Ⅳ.2005年高考浙江卷压轴题
设点 和抛物线
，其中 ，
由以下方法得到：
点
在抛物线
上，点
到 的距离是
到 上点的最短距离
点 在抛物线 上，
点 到 的距离
是 到 上点的最短距离。
⑴.求 及 的方程；
⑵.证明 是等差数列。
5 .特殊数列与高考、竞赛
（一）与高等数学相结合的矩阵形式
Ⅰ.（竞赛题）有 个正数，排成行列的一张表。
其中每一行成等差数列，每一列成等比数列，并且所有的公比
相等。已知 ，求 的值。
Ⅱ.2004年普通高等学校春季招生考试压轴题
下表给出一个“等差数阵”：
其中每行每列均是等差数列， 表示位于第 行第 列的数。
（1）写出 的值；
（2）写出 的计算公式；
（3）证明：正整数 在该等差数阵中的充要条件是 可以分解成两个不是1的正整数的积。
Ⅲ.2006年北京海淀区高考模拟题压轴题
对某些正整数 ，存在 为集合
的 个不同的子集，满足下列条件：对任意不大于 的
正整数 ，
①. ，且每个 至少含有三个元素；
②. 的充要条件是 （其中 ）。为了
表示这些集合，作 行 列的数表，规定第 行第 列的数
⑴.求该数表中每列至少有多少个1；
⑵.用 表示该数表中1的个数，并证明 ；
⑶.请构造出集合 的7个不同子集
，使得 满足题设（写一种答案即可）。
（二）三角形形式
Ⅰ.将正整数按从小到大排成直角三角形的形式（如图），其中第一行1个数，第二行2个数， ，第 行 个数 。
问100位于第几行中的第几个数？
（第十四行第9个数）
Ⅱ.2003年全国高考压轴题
设 是集合 且 中所有
的数从小到大排成的数列，即
。将数列各项按照上小下大、左小右大
的原则写成三角形数表：
（1）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
（2）求 。
第 项为
这样
（三）著名数列的不同包装形式
Ⅰ.杭州模拟题附加题
把“杨辉三角形”向左对齐如图所示，分别按图中虚线由右上至左下把划到的数相加，其和写在虚线左下端点（左边竖线的左侧）处，把这些和由上至下排列得到一个数列 。
（1）观察数列 ，写出一个你能发现的递推公式（不必证明）
（2）设 ，求 的值，并求 。
1
1
2
3
5
8
13
21
Ⅱ.1981的高考压轴题
已知数列 中，
且 ，
，求证： 。
Ⅲ.2003年安徽省春季高考压轴题
若 为 的两个实根，令 ，
且 。
（1）求 ；
（2）证明： ；
（3）证明： ；
是斐波那契数列
谢谢指导查漏补缺 科学备考
---------2006年数学高考复习建议
绍兴一中数学高级教师 俞渭鑫
当前，许多学校已完成了数学高考的第一轮复习，进入了第二轮、甚至第三轮的综合复习。目前摆在考生面前的是两大挑战：一是如何巩固第一轮复习的成果，二是在现有的基础上继续跃上一个新的层次。面对挑战？如何帮助学生查漏补缺、科学备考，这是我们每位高三数学教师的主要任务，趁此机会，我谈一点粗浅的复习意见：
第一.查漏补缺，巩固已有的成果。
通过第一轮复习，学生已积累了大量的数学知识和方法技巧，但也会产生它们之间的负
迁移现象，即知识与知识之间、方法与方法之间的相互错乱，甚至会有遗忘公式、定理等情况，这就需要及时进行弥补和清理，要做到一碰到此类问题，马上查阅有关资料，直至理清楚，遗忘的马上记住，不能含糊。特别是对于什么题型采用什么针对的解题方法，要进行系统性的整理，以便快速解题。另外在综合复习的过程中，也会有少量的在第一轮复习中没有涉及到的东西，这些也往往是你的知识盲点，需要及时的弥补。
第二.精选、巧练，提高课外练习的有效性
学生进行课外练习，是数学课教与学的特点之一，它是课堂教学的延伸，是提高教学质量的重要一环，通过练习，可以使它们更好地巩固所学知识，提高学生运用所学知识分析问题，解决问题的能力，养成独立思考的良好习惯。
教师精选题目，让学生进行练习，并检查练习的效果，有助于了解学生掌握知识的情况和解题策略，更有助于因材施教。要提高数学练习的有效性，就要注意以思带练、以练促思，经过多年的实践表明：在指导学生进行课外练习时，要注意“五性”。
（1）针对性
题海无边，而学生的精力和时间有限，所以教师一定要精心选择和设计练习题，避免选择那些偏、难，或思路狭窄的题目。这些年来， 我们都在使用外地材料，但是相同的材料，处理的方法不同，其效果也不一样，而应根据我校我班学生的实际，适当地进行取舍，不能让材料牵着鼻子走。
（2）及时性，多变性：
做课外练习题，仅仅满足于做出正确结果，是不可取的，要引导学生一题多解、多题一解、深究本质，一道数学题常常与若干个知识点相关联，变换观察和思维的角度，就可以有几种不同的解法。
引导学生从多个角度观察分析问题，有助于学生认识分析问题，有助于学生认识题目的本质，做会一道题而能够懂一类题，学习效果和思维质量都能得到提高。
数学中很多知识点之间有着密切联系，例如有关二次方程根的讨论、二次不等式的解集问题、二次函数图象、性质、圆锥曲线与直线的相切、相交问题等，从不同的知识点出发，可以有面目各异的练习题，本质的东西没变，这时引导学生透过现象看本质，多题一解，就能使学生在知识的掌握上有群体意识，从题海中解脱出来。
(3)批判性：
数学题中，那些同类不同法，貌似而质异的题出错率很高，而且错误也最隐蔽。
例如：双曲线的切线问题，就是非常典型的例子，学生对此类问题是届届有疑虑，理解不深不透，解题中一定要从定义、公理、定理为依据，不允许相当然、随意扩充、再造定理、提高了学生辨别正误的能力，使学生思维更周密、更深刻、更严谨。
（4） 参与性：
引导学生积极参与讨论问题，可以激发学生的尝试心理和自学需要，有效地利用数学科固有的趣味性，使学生在讨论中学会思考、学会严谨、周密。
（5） 网络性：
数学科中的定义、公理和定理，种类繁多而又非常重要，所以要注意归纳、整理,把分散在各章节中的知识点用专题形式联系起来，可以有效地防止各知识点之间互相干扰、混淆，便于记忆和准确运用。例如：各角的范围可归纳成：
（1） 平面内两条直线所成角 [0，π/2]
（2） 平面内直线L2到L2的角 [0，π]
（3） 直线L的倾斜角 [0，π]
（4） 异面直线a,b所成的角 (0，π/2]
（5） 二面角 （0，π]
…….
将比较分散的知识点串联起来，形成网络，这样可以在比较的基础上进行鉴别、掌握，记忆容量大、效率高、记得准、记得牢，各种解题方法及时总结，形成专题，通过一题多解，多题一解的训练，达到一题优解，提高教学质量。
第三.进行科学备考
因为高考命题专家要以数学思想为中心来“四考能力”，所以我们的科学备考也要以数学思想为中心，盯住三个目标：
1．盯住“优化基础”，建构少而精、最好用的“基础知识系统”，使基础知识熟练化和系统化。这里的“优化基础”与旧办法的“打基础”迥然不同，我们强调用数学思想优化基础，提高思维层次，而不是机械地打基础。
2．盯住“综合训练”、“大众应用”和“探究新题”，总结与提炼五种数学思想（猜证结合思想、化归思想、分类思想、数形结合思想、函数与方程思想），建构“数学思想方法系统”，使解题策略与方法明确化和系统化。
3．盯住“语言转换和逻辑表述”，使其数学化和简明化，学会数学地交流。
考试中心的权威指出：“高考命题要使老办法复习考不好”！现在就来探讨高考复习的“老办法”和“新办法”，这是科学备考的主体，其核心是数学学习方法的问题。
什么是“老办法”？老办法就是“以基础知识为中心的机械记忆、机械模仿和机械练习（题海战术）”，这就是旧社会——工业社会的传统数学，我们称它为“机械数学”，它是逝去了的工业社会的产物，而“新办法”与此相反，“新办法”是以“问题解决——数学思想”为中心的探究学习，其学习方法是归纳式：
“解题实践——学习与探究——反省与总结”
它要求学习者主动参与和创造，自我建构“基知系统”和“数学思想方法系统”，并善于学习与吸收老师与解题专家的辅导，自觉地开发智力，学会数学地思维和数学地交流。我们把这种当今信息社会所需要的数学叫做“智能数学”。所以，我提倡高考数学学习的方法就是所述“智能数学”的方法。智能数学解题的口号是“三最”：
推理最高，
解决最快，
表述最简！
高考问题解决是一种即时性的问题解决，其主要矛盾由过去的“平凡的会与不会的矛盾”发展为“巧解与傻解、快法与慢法的矛盾”。在智能数学看来，不论高考命题如何改变，高考试题的解决都有傻解与巧解、慢法与快法之分。产生这种巨大差别的根源在于考生数学思想的贫困和富有，中学数学思想主要是前述五种数学思想，学习方法的首要问题就是领悟和总结数学思想，开发大脑，即用数学思想武装自己的大脑，擦亮自己的眼睛。(共33张PPT)
“平面向量、导数”考点分析与复习建议
嵊州一中 叶国芳
一、平面向量
1、考试要求
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
（2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用、掌握平移公式．
2、高考追踪
科别
年份
题型
题量
分值
文科
2004
选择、填空题
各1题
5+4
① 向量平行的充要条件
② 向量的数量积
③ 向量的运算
2005
选择题
1
5
理科
2004
填空题
1
4
①向量的数量积
②向量的运算
2005
选择题
1
5
①向量的模的运算
②向量的数量积
③向量垂直的充要条件
考查内容
①向量垂直的充要条件
3、考点解读
由此，本专题的复习从知识要求上要把握住“一个基本、两个充要、五个公式”．
“一个基本”是指平面向量基本定理．把图形中的向量表示为一些基向量的线性组合，是进行向量的几何运算的前提，也是平面向量可用坐标表示的依据．
“两个充要”：
①向量 与非零向量 共线的充要条件是有且
只有一个实数入,使 =λ
或若 =（x1，y1）， = （x2，y2)，则 ∥ x1y2－x2y1=0
与 都是非零向量， ⊥ · =0
x1x2＋y1y2=0
“五个公式”：
①有向线段的定比分点坐标公式
②平面向量的数量积公式及其引申，
· =| |·| |COS , COS = ,
| · |≦| |·| |.
③向量的模及其引申，| |= ， · =| |2
④平面内两点间的距离公式
⑤点的平移公式
从能力要求上要做到“两个方向”、“三类应用”、“四种运算”
“两个方向”是指向量的几何运算与代数运算.向量的加法、减法、数乘等几何运算主要用来处理一些原则性数学问题。代数运算的主力军是向量的数量积及其性质的应用．
“三类应用”是指用向量解决长度、平行（包含共线）和角（包含垂直）等有关问题．通常计算长度用向量的模，处理垂直与角用向量数量积．
“四种运算”是指能熟练进行向量的加法、减法、数乘和数量积运算，其中向量的数量积最为重要．
4、实例评注
从近几年的高考试卷来看，平面向量的考查以容易题、中档题为主．技巧上有移项与提取、添项与减项、分解与合成，平方与开方，取绝对值、取数量积、取特殊图形，整体思想等．
例1：P是△ABC所在平面内的一点，
满足 ，则P是△ABC的 ( )
(A)外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
分析： = ∴ =0
即 =0 ∴
例2：设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知
（ + －2 ）·（ － ）=0，则△ABC的
形状是（ ）
（A）直角三角形 （B）等腰三角形
（C）等腰直角三角形 （C）等边三角形
分析：（ + －2 ）·（ － ）=0
∴（ － + － ）·（ － ）=0
∴（ + ）·（ － ）=0 ∴| |=| |
例3、已知平面上三点A,B,C满足| |=3,| |=4,
| |=5，则 · + · + · 的值等于 ．
解法一： · + · + ·
=0+| |·| |·cos( － )+| |·| | cos( － )
=－20 cos －15 cos
=－20× －15× =－25
分析：本题主要考查向量的基本运算、向量的模、向量的数量积公式、三角函数等知识．
解法二： · + · + ·
= ·( + )= · =－| |2=－25
A
B
C
例4：已知向量 ≠ ,| |=1，满足对任意t∈R，恒有| －t |≥| － |，则
（A） ⊥ （B） ⊥( － )
（C） ⊥( － ) （D) ( + )⊥( － )
分析：本题考查向量的基本运算、向量的几何意义以及基本的数学方法．
解法一：由| －t |≥| － | 两边平方,整理后得
t2－2 · t+2 · －1≥0 由于对于任意的t∈R恒成立,
故△=(－2 · )2－4[2 · －1]≤0即( · －1)2≤0
∴ · =1, · － 2=0; ∴ ·( － )=0; ∴ ⊥( － )
解法二：| －t |≥| － |即|t － |≥| － |
由于t∈R， 图中 ， ， 都可表示为t － ，
其中当 ⊥( － )时， = － 最短（点到直线的垂直距离最短）。
典型错误：对向量减法的几何意义，向量的长度等理解不深入而不会运用数形结合的方法思考问题．或选择代数运算方法求解运算出错．如( · )2= 2· 2.
O
A
B
B1
B2
例5：（2004年湖北）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 与
的夹角 取何值时 · 的值最大？并求出这个最大值．
解法一：∵ ⊥ ，故 · =0．
∵ =－ ， = － ， = － ，
∴ · =（ － ）·（ － ）
= · － · － · + ·
=－a2－ · + · =－a2+ ·( － )
=－a2+ · =－a2+ =－a2+ a2cos
当cos =1时，即 =0时， · 最大，其最大值为0.
A
B
C
P
Q
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
设|AB|=c，|AC|=b，则A(0,0), B(c,0), C(0,b), 且 |PQ|=2a，|BC|=a，设P的坐标为（x，y），则Q（－x，－y）．
=（x－c，y）， =（－x，－y－b），
=（－c，b） =（－2x，－2y）
· =(x－c)(－x)+y(－y－b)=－(x2+y2)+cx－by.
∵cos = = = ,
∴cx－by=a2 cos , ∴ · =－a2+a2 cos .
故当cos =1，即 =0
A
B
C
P
Q
x
y
在高考“注重知识的内在联系和知识的结合，在知识网络的交汇处设计问题”思想的指导下，向量知识的考查将日趋综合化．向量可与数列、函数、不等式、三角、解析几何等结合，更能考查学生综合运用数学知识的应变能力，这样的题型可泛见于各省市的高考卷中．
例6：给定抛物线C：y2=4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点．
（1）设直线L的斜率为1，求 与 夹角的大小．
（2）设 = ，若 ∈[4，9]，求L在y轴上截距的变化范围．
分析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)
· =(x1,y1) ·(x2,y2)= x1x2＋y1y2= 2x1x2－(x1＋x2)+1=－3
| |·| |= = =
∴cos< , >= =－ ,
故 与 夹角为 －arccos
(2) x=my+1
y2=4x
∴y1+y2=4m …… ① y1·y2=－4 …… ②
= 得 (x2－1,y2) = (1－x1,－y1)
y2=－ y1 …… ④
把④代入①、②得
（1－ ）y1=4m …… ⑤ － =－4 …… ⑥
⑤式两边平方，然后除以⑥有 =4m2,
∴4m2= + －2,由 ∈[4，9]得L在y轴上截距的变化
范围是[ ]∪[ ]．
即 x2－1= (1－x1) …… ③
y2－4my－4=0
二、导数
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线，切线的斜率）；掌握函数在一点处的定义和导数的几何意义；理解导数的概念
（2）熟记基本导数公式
掌握两个函数和差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一 般指单峰函数）的最大值和最小值。
1、考试要求
2、高考追踪
课别 年份 题型 题量 分值 考查内容
文科 2004 解答题 1 12 考查求导公式，利用导数求函数最值，利用导数求参数的范围
2005 选择题 1 5 利用导数求曲线切线
理科 2004 选择题
解答题 各1题 5+12 利用导数的几何意义
利用导数求函数最直
2005 解答题 1 7 利用导数求函数的最值
3、考点例析与复习建议
通过研究考试说明，追踪高考热点，可以发现高考对“导数”的要求可以分为三个层次：
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间,证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布等有机地结合在一起，设计综合试题．
第一层次主要考查导数的概念和某些实际背景（如瞬时速度、加速度、切线的斜率等，求导公式）
4、实例评注
(1)、导数的概念
高考对导数概念的考查要求了解其实际背景，掌握函数在某一点处的导数的意义及导数的几何意义．
分析:一般是先求 再将0代入，而本题 不易求得,
可用导数定义来求. = =
=
= !
例1：已知 f(x)=x(x+1)(x+2) (x+2004), 求
a>0 a<0
Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
x0
x
x1
x2
x
x0
x
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
的图象：
x1
x2
x
(2)、利用导数研究函数的性质
例2：a为常数，求函数 = -x３+3ax, x∈[0,1] 的最大值．
解： =－3x2+3a=－3(x2－a)．
若a≤0，则 ＜0，知f(x)单调递减，又x∈[0,1],
∴ =f(0)=0．
若a＞0,令 =0, 则x= ．
∵x∈[0,1], 则只需考虑x= 的情况:
（1） 当0 ＜ ＜1, 即0＜a＜1时,
若 ＜x≤1时,x2－a＞0,则 ＜0；
若0≤x＜ 时，x2－a＜0，则 ＞0．
∴ = 极大值= = ．
（2）当 ≥1，即a≥1时，∵x∈[0,1],∴x2－a＜0，
故 ＞0，知 是增函数．
∴ = =3a－1．
综上所述，当a≤0，x=0时，f(x)的最大值为0；当0＜a＜1，
x= 时，f(x)的最大值为 ；当a≥1, x=1时, f(x)的
最大值为3a－1 。
点评（1）在含参数f(x)中确定 的符号，不仅要考虑参
数的范围分类讨论，而且要结合自变量的范围．
（2）在闭区间上求最值时，要将极值与端点处的函
数值比较后才能确定，特殊情况下函数在一区间内如果
只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最
小值．
例3：若存在正实数x，使不等式 ≥ 成立,
则实数k的取值范围是 ．
分析：lnk≤ln(1+x)－ ,令g(x)=ln(1+x) － ,
= ,当0＜x＜1时， ＞0，
当x＞1时， ＜0,
故 (g(x))max=g(1)=ln2,
∴lnk≤ln2, ∴0＜k≤2
(3)、利用导数的几何意义：
例4：设a＞0，b＞0，e是自然对数的底，若e＜a＜b，
求证，ab＞ba．
证法一：要证ab＞ba，即证blna＞alnb,即证blna－alnb＞0．
设f(x)=xlna－alnx (x≥a), 注意到lna＞1, ≤1,
∴ ＞0,
所以f(x)在〔a,+∞〕上是增函数, ∴f(b)＞f(a)=0,
即blna－alnb＞0, 移项得ab＞ba
证法二：要证ab＞ba，即证blna＞alnb，即证 ,
设f(x)= (x＞e),则 = ＜0,所以f(x)在
(e, +∞)上是减函数, 注意到e＜a＜b,则f(a)＜f(b),
即 , 整理得ab＞ba
(4) 利用导数解应用性问题．
5、容易失误的几个问题
（1）导数与函数图象的切线问题：“过曲线上的点P的切线”与“曲线上的点P处的切线”是两个不同的概念．
（2）导数与函数单调性问题： ＞0（或 ＜0)是函数在某对应区间递增（或递减）的充分不必要条件．
（3）导数与函数的极值、最值问题：可导函数的极值点是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点．
(4) y=0是函数y=x3的图象的一条切线． ?~tQ^貧 Y`N?AmPg檈. p p t(共10张PPT)
与
高考复习
导数及其应用
绍兴市稽山中学 斯国武
1、综观2004、2005年全国及各省市的新课程数学高考试卷，对导数内容的考查分值一般在18分左右，占12％左右；
2、命题热点：通过求导判断函数的单调性，从而研究函数的特征，如求函数的单调区间、极值、最值等；利用导数研究几何中曲线的切线、切点问题；导数在实际中的应用；导数与函数图象、不等式、解析几何等知识相融合的问题。
考点透视
典型例题
f/(x)=3x2-2tx-t2
典型例题
f/(x)=3x2-2tx-t2
典型例题
典型例题
思考题
2、你能判断出方程x3-x2-x+1=0有几个实根吗？
课堂小结
1、 导数的应用主要有两个方面：
（1）通过求导来研究函数单调性，并进一步求得极值、最值，或解决不等式、方程的根等相关问题；
（2）理解导数的几何意义，解决切点、切线问题。
2、 需要注意的是：
（1）“函数f(x)在区间D上单调”与“函数f(x)的单调区间是D”的不同；
（2）明确一个函数有极值点的条件。
（3）切点问题：若函数y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处相切，则有：f(x0)=g(x0)且f/(x0)=g/(x0)。（直线与二次曲线相切可考虑用Δ=0来解。）(共11张PPT)
导数及其应用
上虞中学 朱园园
导数定义：
=
1、
-1
定义回顾：
2、某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=t3-t+2则t=1秒时，汽车的瞬时速度为
导数概念的物理意义:
s/(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时速度v= s/(t0)
2
在点（1，2）处的切线方程____________
与直线x+y=1平行的切线方程____________
导数的几何意义： f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率 k=f/(x0)
3、若点P在曲线f（x）=x3-x+2上移动，在点P处的切线的倾斜角a，则a的取值范是
切线方程：
y=2x
y=-x+2
经过点Q（0，4）的切线方程
y=-x+4
导数定义：
（1）若a=-1，方程f（x）=k恒有一个根，
求K的范围
例1：已知函数f（x）= ，
（2）若f（x）在 上单调递减，求实
数a的取值范围
已知函数f（x）,求单调区间
解不等式
已知函数f（x）的单调区间D，
求f（x）中字母常数的范围
在D上恒成立
题型
方法
导数应用：
例2、已知函数f（x）=x - sinx
（2）
求证：
（1）求f（x）在 上的值域
（3）
猜想：
的大小关系
不等式问题
函数最值问题
导数法
导数定义：
导数的几何意义： f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率 k=f/(x0)
切线方程：
已知函数f（x），求单调区间
解不等式
在D上恒成立
题型
方法
已知函数f（x）的单调区间D，
求f（x）中字母常数的范围
导数单调性应用：
导数的物理意义： s/(t0)表示瞬时速度
1、 能准确求函数的导数
2、有优先使用导数解决问题的意识
思考：吊灯下沿圆半径为 m，通过拉链BC，CA1，CA2，CA3（A1，A2，A3)为圆周上的三等分点）悬挂在B处，圆环成水平状态，并距天花板2m，则求拉链总长的最小值。
B
A2
A3
0
A1
C
O(共48张PPT)
探讨高考方向，提高复习效率
—浅谈立几、解几高考复习
新昌中学
一、近两年高考特点——三个稳定
稳定的题型：立体几何：2+1
解析几何：3+1
稳定的内容：
立体几何：位置关系的判断+角、距离与体积
（面积）的计算+解答题
解析几何：直线与圆的位置关系+线性规划+圆
锥曲线定义、性质 +解答题
稳定的分值：立体几何：21分 —— 23分——？
解析几何：27分 —— 26分——？
（一）立体几何解答题——三个典型
典型图形：可以建系的多面体
典型知识：定性——平行与垂直的证明
定量 ——角、距离与位置的确定
典型方法：向量法（坐标运算）
（二）解析几何解答题——三个要点
热点： 向量的介入（共线 、垂直 、定比 、角
度 、模长）－利用坐标运算处理条件和目标
难点： 转化和运算
重点： 1、 求轨迹 （直译法和待定系数法）
2、 定值、最值、范围、存在性问题
（三）选择填空题 ——
1、立几 ：位置关系的判断；球、多面体的性
质；角与距离的计算；计数问题
2、 解几 ：直线、直线与圆；线性规划；
圆锥曲线的性质
内容和方法并存，速度与技巧同在
二、如何有效复习
（一） 挑选训练
1、 针对性（高考出现可能大）
2、 代表性（一类问题或方法）
3、 综合性（涉及多个知识点）
4、 恰当性（适合自己的能力）
(4)求DE与平面BEF所成角的大小；
(5)求点D到平面BEF的距离；
(6)求异面直线DF与CE所成角的大小；
(7)求异面直线DF与CE间的距离；
(8)在直线AF上确定点G，使G在平
面DBM上的射影恰为△DBM的重心
例1（2004年浙江试题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点。
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)求证：AM⊥平面BDF；
(3)求二面角A－DF－B的大小；
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
举例分析
析1： 两点到抛物线的准线 的距离相等.
∵ 抛物线的准线是x轴的平行线， 不同时为0，∴
∵ ，∴上述条件等价于
即当且仅当 时，l 经过抛物线的焦点F.
;
0
)
)(
(
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
=
-
+
=
=
x
x
x
x
x
x
y
y
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析2：焦点为F, 直线l的斜率不存在时，有
直线l的斜率存在时，设直线：y=kx+b 由已知得：
即 l 的斜率存在时，不可能经过焦点
所以当且仅当 时，直线 l 经过抛物线的焦点 F
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析3：由题意
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析4：
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
矛盾
这与
得
2
2
1
,
4
1
,
)
8
1
,
0
(
y
y
y
y
l
F
+
-
=
+
Q
)
2
(
)
(
2
1
2
:
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
y
y
y
l
+
-
+
-
=
+
-
则直线
)
(
2
0
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
K
K
AB
AB
+
=
-
-
=
时，
当
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。（1）当且仅当
取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
析5：
例2、(05全国卷) 设 两点在抛物线
上，l 是AB的垂直平分线。
（1）当且仅当 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）当直线l的斜率为2时，求 l 在y轴上截距的取值范围.
举例分析
1、 韦达定理判别式
2、 中点在抛物线内部
3、 基本不等式整体处理
4、 求中点轨迹几何处理
分析：对（2），可以考虑求解范围问题的各种途径
（二）针对训练
对易错问题时常练习
对易混淆问题对比练习
对重点问题反复练习
三、数学素质训练
（二）、重视知识过程的学习探究
（三）、要养成良好的学习习惯
（一）、树立学好数学的自信心
我们确信：
我们提倡：
知识是学出来的，是学生自己建构出来的。学生的动嘴读题、动手做题、动脑反思，这种“动”是教师不能替代的。因此，高三数学二轮、三轮复习中学生自主训练、思考是十分重要的。
做一题会十题，而不是做十题会一题！
祝愿各位同学在今年高考中 理想成真！
数列压轴题
鲁迅中学
1 . 与 的关系仍要作为重点来抓
2.以高等数学有关数列知识指导数列压轴题的复习
定理：单调有界数列必有极限
设 ，由
所定义的数列 ，试回答下列各题：
（1）求证 ；
（2）求证 ；
（3）求 。
3.介绍解决递推数列的一种通法---迭代法
2002年全国高考新课程卷压轴题
已知数列 各项都是自然数， ，且
。
（1）求 ；
（2）证明 ；
（3）求数列 的通项公式及前 项和 。
反复迭代可得
当 为偶数时
当 为奇数时
2002年全国春季高考试卷压轴题
已知点的序列 ，其中
是线段 的中点， 是线段 的中点， ， 是线
段 的中点， ，求数列 的通项。
易得
再用迭代法可得。
一般地，形如：
等常见递推关系的数列的通项均可用迭代法来解。
4.在证明数列不等式中渗透证明不等式的方法
⑴放缩法
⑵数学归纳法
5 .特殊数列与高考、竞赛
（一）与高等数学相结合的矩阵形式
2004年普通高等学校春季招生考试压轴题
下表给出一个“等差数阵”：
其中每行每列均是等差数列， 表示位于第 行第 列的数。
（1）写出 的值；
（2）写出 的计算公式；
（3）证明：正整数 在该等差数阵中的充要条件是 可以分解成两个不是1的正整数的积。
（二）三角形形式
将正整数按从小到大排成直角三角形的形式（如图），其中第一行1个数，第二行2个数， ，第 行 个数 。
问100位于第几行中的第几个数？
Ⅱ.2003年全国高考压轴题
设 是集合 且 中所有
的数从小到大排成的数列，即
。将数列各项按照上小下大、左小右大
的原则写成三角形数表：
（1）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
（2）求 。
第 项为
这样
平面向量、导数
嵊州一中
考点解读
本专题的复习从知识要求上要把握住“一个基本、两个充要、五个公式”．
“一个基本”是指平面向量基本定理．把图形中的向量表示为一些基向量的线性组合，是进行向量的几何运算的前提，也是平面向量可用坐标表示的依据．
“两个充要”：
①向量 与非零向量 共线的充要条件是有且
只有一个实数入,使 =λ
或若 =（x1，y1）， = （x2，y2)，则 ∥ x1y2－x2y1=0
与 都是非零向量， ⊥ · =0
x1x2＋y1y2=0
“五个公式”：
①有向线段的定比分点坐标公式
②平面向量的数量积公式及其引申，
· =| |·| |COS , COS = ,
| · |≦| |·| |.
③向量的模及其引申，| |= ， · =| |2
④平面内两点间的距离公式
⑤点的平移公式
从能力要求上要做到“两个方向”、“三类应用”、“四种运算”
“两个方向”是指向量的几何运算与代数运算.向量的加法、减法、数乘等几何运算主要用来处理一些原则性数学问题。代数运算的主力军是向量的数量积及其性质的应用．
“三类应用”是指用向量解决长度、平行（包含共线）和角（包含垂直）等有关问题．通常计算长度用向量的模，处理垂直与角用向量数量积．
“四种运算”是指能熟练进行向量的加法、减法、数乘和数量积运算，其中向量的数量积最为重要．
实例评注
从近几年的高考试卷来看，平面向量的考查以容易题、中档题为主．技巧上有移项与提取、添项与减项、分解与合成，平方与开方，取绝对值、取数量积、取特殊图形，整体思想等．
例1：P是△ABC所在平面内的一点，
满足 ，则P是△ABC的 ( )
(A)外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
分析： = ∴ =0
即 =0 ∴
例2：设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知
（ + －2 ）·（ － ）=0，则△ABC的
形状是（ ）
（A）直角三角形 （B）等腰三角形
（C）等腰直角三角形 （C）等边三角形
分析：（ + －2 ）·（ － ）=0
∴（ － + － ）·（ － ）=0
∴（ + ）·（ － ）=0 ∴| |=| |
例3、已知平面上三点A,B,C满足| |=3,| |=4,
| |=5，则 · + · + · 的值等于 ．
解法一： · + · + ·
=0+| |·| |·cos( － )+| |·| | cos( － )
=－20 cos －15 cos
=－20× －15× =－25
分析：本题主要考查向量的基本运算、向量的模、向量的数量积公式、三角函数等知识．
解法二： · + · + ·
= ·( + )= · =－| |2=－25
A
B
C
例4：已知向量 ≠ ,| |=1，满足对任意t∈R，恒有| －t |≥| － |，则
（A） ⊥ （B） ⊥( － )
（C） ⊥( － ) （D) ( + )⊥( － )
分析：本题考查向量的基本运算、向量的几何意义以及基本的数学方法．
解法一：由| －t |≥| － | 两边平方,整理后得
t2－2 · t+2 · －1≥0 由于对于任意的t∈R恒成立,
故△=(－2 · )2－4[2 · －1]≤0即( · －1)2≤0
∴ · =1, · － 2=0; ∴ ·( － )=0; ∴ ⊥( － )
解法二：| －t |≥| － |即|t － |≥| － |
由于t∈R， 图中 ， ， 都可表示为t － ，
其中当 ⊥( － )时， = － 最短（点到直线的垂直距离最短）。
典型错误：对向量减法的几何意义，向量的长度等理解不深入而不会运用数形结合的方法思考问题．或选择代数运算方法求解运算出错．如( · )2= 2· 2.
O
A
B
B1
B2
例5：（2004年湖北）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 与
的夹角 取何值时 · 的值最大？并求出这个最大值．
解法一：∵ ⊥ ，故 · =0．
∵ =－ ， = － ， = － ，
∴ · =（ － ）·（ － ）
= · － · － · + ·
=－a2－ · + · =－a2+ ·( － )
=－a2+ · =－a2+ =－a2+ a2cos
当cos =1时，即 =0时， · 最大，其最大值为0.
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
设|AB|=c，|AC|=b，则A(0,0), B(c,0), C(0,b), 且 |PQ|=2a，|BC|=a，设P的坐标为（x，y），则Q（－x，－y）．
=（x－c，y）， =（－x，－y－b），
=（－c，b） =（－2x，－2y）
· =(x－c)(－x)+y(－y－b)=－(x2+y2)+cx－by.
∵cos = = = ,
∴cx－by=a2 cos , ∴ · =－a2+a2 cos .
故当cos =1，即 =0
A
B
C
P
Q
x
y
在高考“注重知识的内在联系和知识的结合，在知识网络的交汇处设计问题”思想的指导下，向量知识的考查将日趋综合化．向量可与数列、函数、不等式、三角、解析几何等结合，更能考查学生综合运用数学知识的应变能力，这样的题型可泛见于各省市的高考卷中．
例6：给定抛物线C：y2=4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点．
（1）设直线L的斜率为1，求 与 夹角的大小．
（2）设 = ，若 ∈[4，9]，求L在y轴上截距的变化范围．
分析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)
· =(x1,y1) ·(x2,y2)= x1x2＋y1y2= 2x1x2－(x1＋x2)+1=－3
| |·| |= = =
∴cos< , >= =－ ,
故 与 夹角为 －arccos
(2) x=my+1
y2=4x
∴y1+y2=4m …… ① y1·y2=－4 …… ②
= 得 (x2－1,y2) = (1－x1,－y1)
y2=－ y1 …… ④
把④代入①、②得
（1－ ）y1=4m …… ⑤ － =－4 …… ⑥
⑤式两边平方，然后除以⑥有 =4m2,
∴4m2= + －2,由 ∈[4，9]得L在y轴上截距的变化
范围是[ ]∪[ ]．
即 x2－1= (1－x1) …… ③
y2－4my－4=0
考点例析与复习建议
通过研究考试说明，追踪高考热点，可以发现高考对“导数”的要求可以分为三个层次：
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间,证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布等有机地结合在一起，设计综合试题．
第一层次主要考查导数的概念和某些实际背景（如瞬时速度、加速度、切线的斜率等，求导公式）
容易失误的几个问题
（1）导数与函数图象的切线问题：“过曲线上的点P的切线”与“曲线上的点P处的切线”是两个不同的概念．
（2）导数与函数单调性问题： ＞0（或 ＜0)是函数在某对应区间递增（或递减）的充分不必要条件．
（3）导数与函数的极值、最值问题：可导函数的极值点是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点．
(4) y=0是函数y=x3的图象的一条切线．(共22张PPT)
探析2005年数学高考（浙江）卷
浙江宁波镇海区中兴中学 陈斌
稳 新 导
一 稳
2 难度适中 理科略升
3 梯度合理 多问把关
1
内容稳定
源于课本
◆主干知识的考查与考试说明吻合
◆考查内容的分布与04年大致相同
◆连续二年有多道题目有惊人相似
◆题目常规，源于课本的题目较多
一 稳
1
内容稳定
源于课本
◆主干知识的考查与考试说明吻合
“对数学基础知识的考查，既要全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。”
代数 解几 立几 新增内容
04年 文科 分值 69 39 21 21
比例 46% 26% 14% 14%
理科 分值 74 34 21 21
比例 49% 23% 14% 14%
05年 文科 分值 80 23 23 24
比例 54% 15% 15% 16%
理科 分值 73 23 23 31
比例 49% 15% 15% 21%
表(1)
第1题：
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
课本第三册(选修II)P88 例5
第6题：设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l α,m β ，有如下的两个命题：
①若α∥β ，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β．那么
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题
(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
课本第二册（下A）P32 练习题1
判断下列命题的真假， 对真命题给出证明，对假命题举出反例.
(2)α∥β, m //n;
第5题：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
课本第二册（下A）P116 第7题(2)
在(1+x)3＋(1+x)4＋…+(1+x)n+2的展开式中,求x2项的系数.
第11题：函数y＝ (x∈R，且x≠－2)的反函数是______
课本第一册(上)P66
例1 求下列函数的反函数:
年份 科目 难度系数
2004年 文科 0.57
理科 0.67
2005年 文科 0.63
理科 0.63
表(2)
二 新
1 题量、分值的变化
2 文、理卷差别明显
3 深化数学思维能力
文、理卷完全相同的题目仅6个，而两份试卷中背景相同但难度不一的“姐妹题”有8个.
数学思维能力的考查进一步深化，对数学语言的阅读、理解、转化、表达的能力要求有所提高．
题目 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、
D分别是AC、PC的中点，OP⊥面ABC．
（Ⅰ）求证: OD//面PAB；
（Ⅱ）当k= 时，求直线PA与平面
PBC所成角的大小；
（Ⅲ）当k取何值时，O在面PBC内
的射影恰好为PBC的重心？
三 导
1 立足原教材体现新理念
考查数学探究
强调数学本质
2 蕴数学思想于知识考查
◆数学思想
◆重点热点
函数的“四性”（单调性、奇偶性、周期性、对称性）及相互关系的应用； 用导数研究函数的单调性、最值（文科往往以三次函数为载体）； 解几中的求曲线方程（轨迹）、参数范围、最值； 立几中的求空间角、距离、探索性问题； 概率中至多至少问题； 不等式恒成立问题； 递推数列问题； 不等式证明的常规方法； 法……
3 加大对新增内容的考查
新增内容
04年 文科 分值 21
比例 14%
理科 分值 21
比例 14%
05年 文科 分值 24
比例 16%
理科 分值 31
比例 21%
表(３)
4 加大对知识点整合的考查
◆八大交融
(1)三角与向量交融；
(2)解几与向量交融；
(3)数列与解几交融(点列问题)；
(4)数列与不等式交融(数列不等式问题)；
(5)概率与排列组合、方程交融；
(6)函数与导数交融；
(7)函数与数列交融；
(8)立几与方程交融(立几探索性问题)；
5 认真研究试题的参考答案
已知向量
的夹角为 ， 的夹角为 ,且 .
求 的值。
已知函数 在[0,+∞)上最小值是
求数列 的通项公式；
证明： ；
在点列An(2n, an)中是否存在两点Ai, Aj(i, j∈N+），使直线AiAj的斜率为1？若存在，求出所有的数对(i, j); 若不存在，请说明理由。
课本习题拓展化；函数问题主轴化；
几何问题几何化；几何难化代数化；
文理差异扩大化；高考压轴竞赛化。
