【新课标】1.1.1等腰三角形 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.1.1等腰三角形
北师版八年级下册
教学目标
1. 回顾全等三角形的判定和性质;
2. 理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；
3. 能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.
新知导入
想一想：在“三角形”这一章中，我们认识了全等三角形及其判定方法. 那么证明两个三角形全等的基本事实有哪些呢？
我们可以用基本事实和已经证明的定理来证明有关三角形的一些结论.
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)；
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)；
（3）三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).
想一想
你能证明“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”这个命题吗？
已知：如图所示,在△ABC 和△A′B ′C ′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
新知讲解
证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C ′（已知）
∴∠B=∠B ′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B ′C ′中
∴ △ABC≌△A′B ′C ′（ASA）.
归纳总结
全等三角形判定定理:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
符号语言：
在△ABC与△A′B′C′中
∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）.
新知讲解
根据全等三角形的定义，我们可以得到
符号语言：
∵△ABC≌△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′,∠B=∠B′ ,∠C=∠C′
AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
新知讲解
观察下图的三角形是什么三角形？
我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？
新知讲解
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.等腰三角形两底角相等（等边对等角）.
3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）.
4.等腰三角形两底角的平分线相等.
5.等腰三角形两腰上的高相等.
6.等腰三角形两腰上的中线相等.
7.等边三角形三条边相等，三个角都是60°.
......
你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
新知讲解
证明：等腰三角形的两底角相等.
已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .
A
B
C
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等. 实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
新知讲解
A
B
C
证明：取BC的中点D ，连接AD，
∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SSS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） .
D
你还有其他证明的方法吗
归纳总结
定理：等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
几何语言：
∵AB=AC（已知）
∴ B= C（等边对角）
想一想
在前面的证明中，线段AD还具有怎样的性质呢？
D
线段AD即是这个等腰三角形底边上的中线，也是顶角的平分线，同时也是底边上的高.
三线合一
新知讲解
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，线段AD是△ABC的中线.
求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
证明：∵ AD是△ABC的中线,
∴BD=CD，
∵AB=AC，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(SSS),
∴ ∠BAD=∠CAD ,∠ADB=∠ADC (全等三角形的对应角相等),
∵∠ADB+∠ADC =180 °,
∴∠ADB=90 °,即AD⊥BC.
D
新知讲解
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
符号语言:
∵AB=AC，
∴
AD⊥BC.
BD＝CD.
∠BAD=∠CAD.
·
D
新知讲解
(1)∵AB=AC，AD⊥BC
∴ (三线合一)
(2)∵AB=AC，BD=CD
∴_____________________ (三线合一)
(3)∵AB=AC， ∠BAD=∠CAD
∴____________________ (三线合一)
BD=CD，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，BD=CD
A
B
C
D
典例精析
例 (1)在△ABC 中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
典例精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为 .
若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．
因此顶角为90°.
归纳总结
1．在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理．
2．若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，则下列结论不正确的是(　　)。
A. AB=2BD B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. ∠B=∠C
2.下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是(　　)
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
A
B
课堂练习
3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C 的度数为________度.
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课堂练习
4.如图，在△ABC中，AD=BD=BC, 若∠DBC=28°,求∠ABC和∠C的度数.
解：∠A=x°.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x°, ∴∠BDC=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x°.
∵∠DBC=28°,∠BDC+∠C+∠DBC=180°,
∴2x+2x+28=180,
∴x=38,
∴∠C=76°,∠ABC=∠ABD+∠DBC=38°+28°=66°.
课堂练习
5.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，∠ABC的平分线BG 交AC 于点G，交AD 于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C 的度数；
(2)求证：EF＝ED.
解：∵AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°－∠BAC )
＝ (180°－50°)＝65°.
课堂练习
5.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，∠ABC的平分线BG 交AC 于点G，交AD 于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C 的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(2)证明：∵AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，
∴ED⊥BC.
又∵BG 平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
课堂总结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
板书设计
1.1.1 等腰三角形
1.全等三角形的判定定理——角角边
2.全等三角形的性质
3.等腰三角形的性质
作业布置
【必做题】
教材第4页习题1.1的1、2、3.
【选做题】
教材第4页习题1.1的4题.
谢谢
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