【核心素养目标】1.1.2等腰三角形 教学设计

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1.1.2等腰三角形教学设计
课题 1.1.2等腰三角形 单元 1 学科 数学 年级 八
教材分析 “等腰三角形（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版） 数学》八年级下册第一章第二节。从图形的观察到猜想再到严谨的证明进一步研究等腰三角形的特殊性质，丰富了学生实践探究的过程体验，为发展学生数学实践探究能力提供了平台. 本节课主要研究等腰三角形的特殊性质，特殊的等腰三角形（等边三角形）的性质，这是在已经学习了等腰三角形的性质、轴对称图形、全等三角形的知识上进行的，它既是拓展前面所学的知识，又为后面的几何证明打下更牢固的基础。本节课是继八上《平行线的证明》后再次让学生感受了证明的必要性，深刻体验了“探索——发现——猜想——证明”的全过程。学生通过学习本节课的知识掌握了用综合法证明相关命题，感受了数学的严谨性，对缜密思维、探究能力的培养有着举足轻重的作用.
核心素养分析 探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；在图形的观察中，揭示等腰三角形对称性的本质，发展几何直观，体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性.
学习 目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质; 2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
重点 等边三角形判定定理的发现与证明。
难点 经过探索、猜想、证明、归纳等数学活动过程，发展逻辑推理能力。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 我们研究等腰三角形（三角形）的问题时，一般围绕边、角、其他线段展开，尤其注重研究特殊的线段及其关系。 等腰三角形中，除了顶角的角平分线、底边上的高及底边中线外，还有哪些特殊的线段？ 底角的角平分线、腰上的中线、腰上的高. 那么，这些线段之间是否具有特殊的关系呢？ 思考，回答问题 通过回顾等腰三角形的性质,为其特殊性质及等边三角形性质的探究做好铺垫。
讲授新课 画一画：在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高. 作出的这些线段有什么关系？ 答案：如图，作图观察，可以猜想：等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰上的中线、两腰上的高相等. 典例精讲 例1：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB. 在△BDC和△CEB中， ∵∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠1=∠2， ∴△BDC≌△CEB（ASA） ∴BD=CE. 即等腰三角形两底角的角平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流. 等腰三角形的两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC两腰上的中线. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵BD，CE分别平分AC和AB， ∴CD=AC，BE=AB， 在△BDC和△CEB中， ∵CD=BE，∠ABC=∠ACB，BC=BC， ∴△BDC≌△CEB（SAS） ∴BD=CE. 即等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的高. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 又∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠CDB=∠BEC=90°． 在△BDC与△CEB中， ∠ACB=∠ABC, ∠CDB=∠BEC， BC=CB, ∴△BDC≌△CEB（AAS）． ∴BD=CE. 归纳总结 1.等腰三角形两底角的平分线相等； 2.等腰三角形两腰上的中线相等； 3.等腰三角形两腰上的高相等． 议一议： 已知:如图,在△ABC中,AB=AC. （1）如果∠ABD=∠ABC ，∠ACE=∠ACB， 那么BD=CE吗 为什么？ BD=CE 证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB. ∵ ∠CBD=∠ABC，∠ECB =∠ACB， ∴∠CBD=∠ ECB . 在△BDC 和△CEB 中， ∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB， ∴ △BDC≌△CEB（ASA）. ∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）. （2）如果∠ABD=∠ABC ，∠ACE=∠ACB 呢 BD=CE 由此你能得到一个什么结论 如果∠ABD=∠ABC ， ∠ACE=∠ACB ， 那么BD=CE 简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. 2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. (1)如果AD=AC, AE=AB,那么BD=CE吗 为什么？ 证明： ∵ AB=AC，AD=AC，AE=AB， ∴AD=AE. 在△ABD 和△ACE中， AB=AC，∠BAD= ∠CAE，AD=AE， ∴ △ABD ≌△ACE（SAS）. ∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）. (2)如果AD=AC, AE=AB,那么BD=CE吗 BD=CE 由此你能得到一个什么结论 如果AD=AC, AE=AB,那么BD=CE 思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 猜想：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC. 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 又∵AC=BC， ∴∠A=∠B(等边对等角). ∴∠A=∠B=∠C. 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A=∠B=∠C＝60°. 归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都等于60° 符号语言：∵△ABC是等边三角形（或AB=AC=BC）， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 等边三角形作为特殊的等腰三角形，它又会有怎样的性质呢？ 边：三边相等 角：三个内角相等，每个内角都等于60° 重要线段： （1）：每边上“三线合一” （2）：三内角平分线、三边中线、三条高线都相等 学生动手画图，并根据作图找出相等的线段，并得出猜想. 在教师的引导下对猜想所得出的结论进行证明，证明完成后组内交流，并认真听教师讲评. 学生独立完成对猜想的证明，然后组内并派小组成员分享证明过程. 学生口述回答并作简要证明. 学生根据等腰三角形的性质进行猜想，然后对所猜想的结论进行证明，完成后班内交流. 通过动手操作、观察探究等活动得到猜想. 探究等腰三角形的特殊性质。 通过猜想、证明的过程培养学生的几何推理能力和表达能力. 通过对等腰三角形特殊性质的拓展，引导学生在图形的观察和证明的过程中揭示等腰三角形对称性的本质. 通过猜想、验证活动让学生体会等边三角形的性质及几何语言的规范表达.
课堂练习 1.下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是(　　) A．三条边相等 B．三个内角相等 C．有三条对称轴 D．是轴对称图形 2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为( ) A. 7.5 B. 5 C. 4 D. 不能确定 3.如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 . 4.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为 . 5.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数. 6.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q. (1)求证:△ABE≌△CAD. (2)求∠PBQ的度数. 学生定时训练，自主解答，老师订正 通过练习调动学生学习的积极性，使学生思维处于积极状态，达到了培养学生思维的灵活性和创造性，解决问题的目的。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。 训练学生总结归纳能 力；升华知识，拓展知识面，开阔思维。
板书 1.1.2 等腰三角形 1.等腰三角形中对应线段相等 2.等边三角形性质：边、角、重要线段
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