【新课标】1.1.2等腰三角形 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
1.1.2等腰三角形
北师版八年级下册
教学目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
新知导入
我们研究等腰三角形（三角形）的问题时，一般围绕边、角、其他线段展开，尤其注重研究特殊的线段及其关系。
等腰三角形中，除了顶角的角平分线、底边上的高及底边中线外，还有
哪些特殊的线段？
底角的角平分线、腰上的中线、腰上的高.
那么，这些线段之间是否具有特殊的关系呢？
画一画
在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高.
猜想：作出的这些线段有什么关系？
新知讲解
猜想：底角的两条角平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
你能证明你的猜想吗？
典例精析
例1：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
新知讲解
在△BDC和△CEB中，
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD，CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB
∴ ∠1＝∠2.
新知讲解
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线.
求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD= AC，BE=AB，∴CD= BE.
在△BDC和△CEB 中，
BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的高.
求证：BD=CE.
又∵BD，CE是△ABC的高，
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠CDB=∠BEC=90°．
在△BDC与△CEB中，
∠ACB=∠ABC, ∠CDB=∠BEC， BC=CB,
∴△BDC≌△CEB（AAS）．
∴BD=CE.
归纳总结
1.等腰三角形两底角的平分线相等；
2.等腰三角形两腰上的中线相等；
3.等腰三角形两腰上的高相等．
议一议
A
C
B
D
E
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
（1）如果∠ABD=∠ABC ，∠ACE=∠ACB，
那么BD=CE吗 为什么？
BD=CE
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠CBD=∠ABC，∠ECB =∠ACB，∴∠CBD=∠ ECB .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB，
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
（2）如果∠ABD=∠ABC ，
∠ACE=∠ACB 呢
由此你能得到一个什么结论
如果∠ABD=∠ABC ，
∠ACE=∠ACB ， 那么BD=CE.
BD=CE
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
归纳总结
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)如果AD=AC, AE=AB,那么BD=CE吗 为什么？
A
C
B
D
E
证明： ∵ AB=AC，AD=AC，AE=AB，
∴AD=AE.
在△ABD 和△ACE中，
AB=AC，∠BAD= ∠CAE，AD=AE，
∴ △ABD ≌△ACE（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
归纳总结
(2)如果AD=AC, AE=AB,那么BD=CE吗
如果AD=AC, AE=AB,那么BD=CE
BD=CE
这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
由此你能得到一个什么结论
想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理？
新知讲解
证明：∵ AB=AC， ∴∠ B=∠C （等边对等角）.
又∵ AC=BC，∴∠ A=∠B （等边对等角）.
∴∠A=∠B=∠C .
在△ABC 中，
∵∠A+∠B+∠C =180°，
∴∠A=∠B=∠C =60°.
证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证： ∠A=∠B=∠C=60°.
新知讲解
边：三边相等
角：三个内角相等，每个内角都等于60°
重要线段：
（1）每边上“三线合一”
（2）三个内角平分线、三边中线、三条高线都相等
等边三角形作为特殊的等腰三角形，它又会有怎样的性质呢？
课堂练习
1.下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是(　　)
A．三条边相等 B．三个内角相等
C．有三条对称轴 D．是轴对称图形
2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为( )
A. 7.5 B. 5 C. 4 D. 不能确定
D
B
课堂练习
3.如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 .
4.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为 .
60°
课堂练习
5.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：由题意易知，BD＝DE＝AD，
∴∠DBA＝∠BAD.
又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE
＝30°＋60°＋30°＝120°.
课堂练习
6.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:△ABE≌△CAD.
证明:∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，
在△ABE和△CAD中,
∴△ABE≌△CAD（SAS）.
课堂练习
(2)求∠PBQ的度数.
解:∵△BAE≌△ACD,
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BPQ为△ABP的外角,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD,
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°.
课堂总结
知识
1.等腰三角形中对应线段相等
2.等边三角形性质：边、角、重要线段
等腰三角形
数学
思想
1.转化 “三种”语言转化
2.“特殊”—“一般”
板书设计
1.1.2 等腰三角形
1.等腰三角形中对应线段相等
2.等边三角形性质：边、角、重要线段
作业布置
【必做题】
教材第7页习题1.2的1、2、3.
【选做题】
教材第7页习题1.2的4题.
谢谢
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