浙江省温州地区2005年高三数学专题教学-人教版[上学期]

平面向量及应用
温州八中　　　林胜杰　
向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。
【考点梳理】
一、考试内容
1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。
2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。
3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。
4．平移及平移公式。
二、考试要求
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2．掌握向量的加法与减法。
3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
三、考点精析
1．平面向量知识结构
2．向量的概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。
（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
（3）表示法
①几何法：画有向线段表示，记为或a。
②坐标法：=xi+yj=(x,y)；=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
3．向量的运算
运算名称 定义（法则） 运算性质 坐标运算
加法运算a+b ①a+b=b+a②(a+b)+c=a+(b+c)③a+0=0+a=a 设a=(x1,y1),　b=(x2,y2)，则 a+b=　(x1+x2,y1+y2)
减法运算a－b 设a=(x1,y1),　b=(x2,y2)，则a-b=　(x1-x2,y1-y2)
实数与向量的积λa ①λ>0时，λa与a同向，|λa|=λ|a|②λ<0时，λa与a反向，|λa|=－λ|a|③0·a=0 ①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb 设a=(x,y)则λa=(λx, λy)
平面向量的数量积a·b a·b=|a||b|cosθ(a≠0,b≠0,0≤θ≤π) ①a·b=b·a②(λa)·b=a·(λb)= λ（a·b）③(a+b)·c=a·c+b·c 设a=(x1,y1),　b=(x2,y2)则 a·b= x1x2+y1y2
4．定理与公式
（1）共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa
（2）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2
（3）两个非零向量平行和垂直的充要条件：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)
①a∥ba＝λbx1y2-x2y1=0
②a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0
（4）数值计算公式
①两点间的距离公式：
若a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|=；
若设P1(),P2(x2,y2)，则||=
②线段的定比分点坐标公式：
设P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y), =λ，则
③中点坐标公式：设P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y)为P1P2的中点，则
④两向量的夹角公式：设a =(x1,y1),b=(x2,y2)，a，b的夹角为θ，
则cosθ==
⑤图形变换公式
平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，则
（6）有关结论
①线段中点的向量表示： 若M是线段AB的中点，O是平面内任一点，则(+);
②向量加法的多边形法则：有限个向量a1,a2,…,an相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1, =a2,…, =an,则向量即这些向量的和，即
a1+a2+…+an=++…+=（向量加法的多边形法则）。
当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。
注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。
5．向量的应用
（1）向量在几何中的应用
（2）向量在物理中的应用
四、思想方法
向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。
【热点透视及命题趋向】
本部分高考的热点是向量的概念、加法、减法，平面向量的坐标运算，平面向量的数量积；两个非零向量平行及垂直的充要条件；图形的平移，线段定比分点公式的应用；正、余弦定理及其在解斜三角形中的应用等。
试题多以选择题、填空题为主，考查基本概念、基本运算。在解答题中，一般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度适中。
【例题讲解】
一．向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。
［例1］已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　.
方法一 设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知
，故填 (,-)或(,-)
方法二　与向量b= (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，
故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。
注 ①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。
②与a平行的单位向量e=±
［例2］已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°, x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？
分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值。计算时要注意计算的准确性。
解： 由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=。
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值。
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ
∴cosθ=－，θ=π－arccos。
即x与y的夹角是π－arccos
注：①本题利用模的性质|a| 2=a2
②在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°。由向量减法的几何意义，得=－=2a－b。由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.
［例3］如图所示，向量i， j ，e1， e2均为单位向量，且i⊥j，e1⊥e2；
①用i， j表示e1， e2；
②若=xi+y j ,且xy=1；=x1 e1+y1 e2；当θ=时，求关于x1 、y1的表达式，并说明方程表达的曲线形状；
分析：利用平面向量的基本定理对向量进行分解，中间包含向量的基本运算可得
①
②方程为：x12-y12=2 曲线为双曲线。
注：本题要求学生对平面向量的基本定理有较深刻的理解，基向量的选择，就是坐标系的选择。利用向量的运算，可以研究在不同坐标系下同一曲线的不同方程，体现了坐标变换的思想，使初等数学与高等数学平稳过渡，这是新“课改”的一个方向。
二．平面向量与三角函数的交汇
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。
［例4］已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，
（1）求证： a+b与a-b互相垂直；
（2）若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α
（1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）
∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）, a-b＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ）
∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ）
=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0
∴(a+b)⊥(a-b)
证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）　　　∴|a|＝1，|b|＝1
∴(a+b)·(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0　　　　　　　　　　∴(a+b)⊥(a-b)
证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,
记＝a，＝b，则||＝||=1,
又α≠β，∴O、A、B三点不共线。
由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)
（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,
又∵|ka+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),
|ka+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),
∴2kcos(β－α)= -2kcos(β－α)
又∵k≠0　　　∴cos(β－α)＝0
∵0<α<β<π　　∴0<β－α<π, ∴β－α=
注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。
［例5］（2004年高考·浙江）已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4，||=5,则的值等于　　　　。
分析：本题主要是向量与解三角形的结合，解题时应注意两个向量的夹角与三角形的内角的关系，如<>=π-C。答案：－25
三．平面向量与解析几何的交汇
平面向量与解析几何集代数与几何于一身的共同特性决定了它们之间的必然联系，因此平面向量与解析几何的交汇成为高考复习的重点，通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
［例6］平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A (3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β，其中∈R且α+β＝1，则C点的轨迹方程为（　　）
A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0
分析：　设C(x,y)，则=(x,y)
由=(x,y)= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)
∴, （可从中解出α、β）
又∵α+β＝1　　　　　　消去α、β得x+2y-5=0
［例7］将函数y=2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y=－2x2+4x+2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式。
解法一 设平移向量a=(h,k)，则将y=2x2按a平移之后得到的图像的解析式为y=2(x－h)2+k。
设M′(m,n)和M′(－m,－n)是y=－2x2+4x+2与y=2(x－h)2+k的两个交点，则：　　　　解得：或
∴点（1，4）和点（－1，－4）在函数y=2(x－h)2+k的图像上
∴
故所求解析式为：y=2(x+1)2－4，即y=2x2+4x－2
解法二 将y=2x2按向量a=(h,k)平移，设P（x,y）为y=2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P′(x′,y′)，则故
∴y－k=2(x－h)2是平移之后的函数图像解析式。
由消去y得：4x2－4(h+1)x+2h2+k－2=0
又∵两交点关于原点对称　　∴x1+x2=0,即=0,h=－1
又y1+y2=0,　　　　　　　　∴2x12－4hx1+2+k+2x22－4hx2+2+k=0
∴2(x12+x22)+4(x1+x2)=－4－2k
∴2(x1+x2)2+4(x1+x2)－4x1·x1=－4－2k
∵x1·x2=，
∴－4×=－4－2k,　　　　∴k=－4
∴y=2(x+1)2－4,即y=2x2+4x－2。
注：定比分点和向量平移是向量中的两个重要内容，通过它们可以和平面解析几何、函数图像等其它章节辞知识相联系，成为知识的交汇点。在处理这类问题中，最关键的是“顺序”（定比分点中，要分清起点和终点；图像平移中，要分清哪一个到哪一个，然后结合公式解题）。
由平移公式可知，平移前的函数解析式y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的函数解析式是y=f(x-h)+k
四．平面向量解决物理问题
向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等。用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象。
［例8］设炮弹被以初速v0和仰角α抛出（空气阻力忽略不计）。当初速度v0的大小一定时，发射角α多大时，炮弹飞行的距离最远。
解：将v0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v1和v2，则| v1|=| v0|cosα, | v2|=| v0|sinα 由物理学知识可知，
炮弹在水平方向飞行的距离S=| v1|·t=| v0|cosα·t（t是飞行时间） ①
炮弹在垂直方向的位移是0=| v2|·t-gt2（g是重力加速度） ②
由②得t=,③代入①得S=
由于| v0|一定，所以当α=45°时，S有最大值。
故发射角α=45°时，炮弹飞行的距离最远。
注：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把v0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解。
【思维能力训练】
1．（2004年高考·广东）已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x等于（ ）
A．3 B．1 C．－1 D．－3
2．（2004年高考·浙江）已知向量a=(3,4), b =(sinα,cosα),且a∥b,，则tanα等于（　　）
A． B．－ C． D．－
3．若a=(2,3)，b=(-4,7)，则a在b方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．
4．将函数y=2sin(x+)的图象按向量a=(,1)平移后得到的函数为（　　）
A．y=2sinx+1 B．y=sin(x+)-1 C．y=2sinx-1 D．y=sin(x+)+1
5．设F1、F2是双曲线(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，=0，=2，则a的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
6．设0≤θ<2，=(cosθ,sinθ), =(2+sinθ,2-cosθ)，则向量的长度的最大值是（　　）
A． B． C．3 D．2
7．已知a,b是两个非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，则a与b的夹角等于 。
8．已知a是单位向量，b=(-3,4)，且a·b=5，则向量a=　　　　。
9．设两向量e1、e2，满足| e1|=2,| e2|=1， e1、e2的夹角是60°，若向量2t e1+7 e2与向量e1+t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围。
10．已知△ABC的顶点坐标为A(1,0)、B(5,8)、C(7,-4)，在AB边上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分。
11．（2004年高考·福建）设函数f(x)= a·b，其中向量a=(2cosx,1), b =(cosx, sin2x),x∈R
（1）若f(x)=1-，且x∈[-,]，求x；
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m,n的值。
θ
i
j
e2
e1
O导数及其应用
乐清中学 叶乐琴
【知能目标】
1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【综合脉络】
1.知识网络
2.考点综述
有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。
【例题探究】
例1 (2003年烟台统考)已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 。
【考查目的】
考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。
解：∵f′(x)=3x2+6ax+3a+6，令f′(x)=0，则x2+2ax+a+2=0
又∵f(x)既有极大值又有极小值
∴f′(x)=0必有两解，即△=4a2-4a-8＞0
解得a＜-1或a＞2。
探究：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。
【启迪迁移】
已知f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1，试讨论函数y=f(x)的单调性
提示：按分△＞O，△=O，△例2 设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。
(1)求a、b、c、d的值；
(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤。
【考查目的】
本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。
解(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. ∴f′(x)=3ax2+c.
∵x=1时,f(x)取极小值-. ∴f′(1)=0且f(1)=- ,
即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.
(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在
两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，
则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,
且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)
∵x1、x2∈[-1,1], ∴x12-1≤0，x22-1≤0
∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.
(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.
当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0; 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.
∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.
于是x1,x2∈[-1,1]时，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.
故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤.
探究：①若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.
例3 已知平面向量=(,-1).=(,).
(1)证明⊥；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，⊥，试求
函数关系式k=f(t)；
(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
【考查目的】
本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力。
解(1)∵=×+(-1)×=0 ∴⊥.
(2)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0.
整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0
∵=0，=4，=1，
∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)
(3)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k
的交点个数.
于是f′(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞)
f′(t) + 0 - 0 +
F(t) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.
当t=-1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-.
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
(1)当k＞或k＜-时,方程f(t)-k=0有且只有一解；
(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解；
(3) 当-＜k＜时,方程f(t)-k=0有三解.
探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径。
例4 (2004·全国卷·22)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)设0＜a＜b,证明：0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2.
【考查目的】
本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平均值不等式知识以及综合推理论证的能力。
解：(1)函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=-1.
令f′(x)=0，解得x=0.
当-1＜x＜0时，f′(x)＞0; 当x＞0时， f′(x)＜0.
又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值,最大值为0.
（2）证法一：g(a)+g(b)-2g()
=alna+blnb-(a+b)ln
=aln
由（1）结论知ln(1+x)-x<0(x>-1，且x≠0)
由题设0因此，，
.
又，
.
综上 .
证法二：.
设，则
.
当0当x>a时，，因此F(x)在上为增函数.
从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a).
即.
设，则
当x>0时，，因此上为减函数。
即，综上，原不等式得证。
【启迪迁移】
1．证明：当x>0时，有
2．（2004 温州市一模 21）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任
意的n∈N*，都有4Sn=(an+1)2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若2n≥tSn对于任意的n∈N*成立，求实数t的最大值。
分析：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则问（2）转化为t≤恒成
立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：
法一：研究数列{bn}的单调性。
法二：数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故
（注：不能直接对求导，为什么？）
探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。
特别提示：例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4还说明了一点：欲用导数，得先构造函数。
例5 已知双曲线与点M（1，1），如图所示.
（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；
（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，
求m的值及切点坐标。
【考查目的】
本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的勾通。
（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。
，且t≠0，t≠1。
设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。
（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而
，即线段AB的中点在直线上。
又，AB与直线垂直。
故A与B关于对称，
设，则
有t2-2mt+m=0 ①
由及夹角公式知
，即 ②
由①得 ③
从而
由②知，代入③知
因此，。
探究：求切线方程的常见方法有：1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、利用导数的几何意义。
小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。
实 战 演 练
一、选择题
1．函数，则等于 （ D ）
A B
C D
2．设，则（0）为 （ B ）
A 0 B 1 C -1 D 不存在
3．已知曲线，这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则
（ D ）
A k14．已知a>0，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（ D ）
A 0 B 1 C 2 D 3
5．已知（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在
[-2，2]上的最小值为 （ A ）
A -37 B -29 C -5 D -11
6．（2004年浙江高考）设是函数的导函数，的图象
如图所示，则的图象最有可能的是 （ C）
二、填空题
7．曲线与曲线在交点处的切线的夹角为 90° 。
8．已知且，则的取值范围是（-∞，-1）。
三、解答题
9．已知曲线，求与C1、C2均相切的直线l的方程。
解答：由得，由 ，得；
设直线l与的切点为的切点为
根据已知条件
①+②整理得
由③得
即，代入④与①联立可解得x1=0或x1=2
当x1=0时，x2=2；当x1=2时，x2=0
∴直线l过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，-4）点因此所求直线方
程为y=0或y=4x-4。
10．函数，过曲线上的点的切线方程为
y=3x+1
（1）若时有极值，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在[-3，1]上的最大值；
（3）若函数在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围。
解：（1）由求导数得过上点
的切线方程为：
，
而过上，的切线方程为
故 即
在x=-2时有极值，故=0 ③
由①②③式联立解得，
（2）
-2
+ 0 — 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
，
，在[-3，1]上最大值为13。
（3）在区间 [-2，1]上单调递增，又，
由（1）知，
依题意在[-2，1]上恒有在[-2，1]上恒成立。
1 当时，，
2 当时，，
③当时，，∴0≤b≤6
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。
11．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25
微克时，治疗疾病有效。
①求服药一次治疗疾病有效的时间？
②当t=5时，第二次服药，问t时，药效是否连续？
解答：（1）当0≤t≤1时，y=4t，
当t≥1时，，此时M（1，4）在曲线上，
，这时 所以
（2）① 解得
∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时。
②设，5小时第二次服药后，血液中含药量g(t)为：第二次产生的含药量4（t-5）毫克以及第一次的剩余量毫克，即g(t)=4(t-5)+
只要证明，当g(t)≥0.25即可
，在R上是增函数，
上有，上是增函数，
故g(t)≥g(5)=0.25，∴当t=5时，第二次服药，时，药效连续。
导数的实际背景
导数定义
导数的几何意义
导函数
四则运算
求导法则
复合函数
求导法则
基本求
导公式
求简单函数的导数
导数的应用
求函数的
最大(小)值
求函数的
极大(小)值
判断函数
的单调性
①
②
③
④
①②
1最值问题
钱库二高 钱云赞
一、点击高考
　　最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。
　　回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。
　　由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。
　　可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。
二、考点回顾:
分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种：
1、函数的最值；
2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等；
3、字母的取值范围；
4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如：
　　f(x)≥0对x∈R恒成立 f(x)的最小值≥0成立，
　　f(x)≤0对x∈R恒成立f(x)的最大值≤0成立；
5、实际应用问题：
　　实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。
三、知识概要
1、求函数最值的方法：
“数”和“形”，数形结合：
　　　　　　　　　　　配方法
　　　　　　　直接法　均值不等式法
　　　　　　　　　　　单调性
　　代数方法　　　　　导数法
　　　　　　　　　　　判别式法
　　　　　　　间接法
　　　　　　　　　　　有界性
　　　　　　　函数的图像
　　　　　　　平面几何知识
　　几何方法　　　　　　线性规划　　　　　
　　　　　　　解析几何　斜率
　　　　　　　　　　　　两点间距离
2、求几类重要函数的最值方法；
（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；
（2）:均值不等式法和单调性加以选择；
（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型：
　　　　　能直接判断　　　　　　　　　　　
线性规划
　　　　　建立目标函数　　　　　　　　　　　　　
曲函数的最值
四、典型例题分析
函数的最值
例1(2002·全国卷·理·21) 设a为实数，，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。
【考查目的】
本题主要考查函数的概念，函数的概念，函数的奇偶性和分段函数的最值等基础知识，考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。
【例题详解】
(1)解法一：常规思路：利用定义。
＋，
若
都不成立，故不是奇函数；
若为偶函数，则，即＋此等式对恒成立，只能是.
故时，为偶数；时，既不是奇函数也不是偶函数。
解法二：从特殊考虑：
又，故不可能是奇函数。
若，则，为偶函数；
若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数。
（2）当时，，由二次函数图象及其性质知：
若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；
若，函数在上的最小值为，且。
当时，函数。
若，函数在上的最小值为，且；
若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为。
综上所述，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值是。
【特别提示】
1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证。
2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论。
3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论。
例2、已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。
【考察目的】
本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。
【例题详解】
（1）当时，。
　　，
　　。
　　在区间上为增函数。
　　在区间上的最小值为。
（2）在区间上恒成立；
　　在区间上恒成立；
　　在区间上恒成立；
　　函数在区间上的最小值为3
　　
即　　
【特别提示】
1．第（1）题中，这类函数，若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。
2．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。
例3、设P为圆+=1上的动点，则点P到直线的距离的最小值为＿＿＿＿。
【考查目的】
本题考查直线和圆的基础知识，解几中的最值问题及多元函数的最值问题，考查数形结合这一重要数学思想方法。
【例题详解】
解法一：设点P，则点P到直线的距离为：
又，令，则
　
　　＝
　　＝
当时，有最小值1。
解法二：圆心O到直线的距离为2，故圆上的点P到直线的距离的最小值为2－1＝1。
【特别提示】
1．本题是解析几何中的最值问题，可借助于形的直观性直接求解，如解法二；也可建立目标函数，转而求函数的最值，如解法一。
2．解法一涉及到求多元函数的最值，一般是通过消元转化为一元函数。3．函数的最小值，有很多同学误以为：当cos(取
最小值－1时，函数有最小值，忽视了绝对值。
例4、设曲线在点处的切线与轴，轴所围成的三角形面积为。
（1）求切线的方程；
（2）求的最大值。
【考查目的】
本题考查导数公式，导数的几何意义，以及导数的应用等导数的基础知识，考查综合应用能力。
【例题详解】
（1）
在点M（t,e）处的切线的斜率为－
切线的方程为
（2）令得
令得
　　
　
令
又
【特别提示】
1.由导数的几何意义知，函数在点M处的导数值就是曲线在点M处的切线的全斜率，这是本题的突破口
2.建立目标函数，转而求目标函数的最值，这是通法。
3.导数法是求函数最值的通法，但不一定是最佳方法，注意选择。
最值的实际应用
例1（2004·江苏卷·19）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。
某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【考查目的】
本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
【例题详解】
设投资人分别用万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）是可行域
作直线的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时纵截距最大，这里点M是直线。
解方程组
得　
此时(万元)。
时取得最大值。
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保可能的亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。
【特别提示】
1.有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值。
2.本题的条件是一组二元一次不等式组，所求目标函数是二元一次线性函数，所以考虑应用线性规划的知识来求解最值。
3.应用线性规划求解最值，关键是目标函数相应的直线的倾角的大小，角的大小不一样，直线经过可行域上的最大值点就不一样。
例2（2003·北京卷·理·19）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点，且今计划俣建一个中心医院，为同时方便三镇居民就医，准备建在的垂直平分线上的处（建立坐标系如图），
（1）若希望点到三镇距离的平方和为最小，点应位于何处？
（2）若希望点到三镇的最远距离为最小，点P位于何处？
【考查目的】
本题主要考查二次函数、分段函数的最值、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查分数讨论、数形结合等数学思想方法。
【例题详解】
（1）由题设可知，，设点的坐标为（），则点至三镇距离的平方和为
　　
当时，函数取得最小值。
点的坐标是（）。
（2）解法一：至三镇的最远距离为
由
记
当即时，
在上是增函数，
而在上是减函数。
由此可知，
当时，函数取得最小值
当即时，
函数在上先减后增，当时，取得最小值，而
可见，当时，函数取得最小值
当时，点P的坐标为；
当时，点的坐标为（0，0）。其中。
解法二：点至三镇的最远距离为
由
于是
当的图象如图（1）所示。
当时，函数取得最小值。
当的图象如图（2）所示
当时，函数取得最小值。
当时，点的坐标为
当点的坐标为（0，0），其中
【特别提示】
1.有关涉及用料最省，成本最低，利润最大，距离和最大（小）等应用问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数最值问题来解决。
2.解决第（2）问首先要理解“点到三镇的最远距离”的含义，才能分两种情形列式。
3.函数的单调性在求最值中有着重要作用，运用函数的单调性求函数的最值，是函数中常用的技巧之一。
4.第（2）问的解法二，借助图象比较大小，直观有效，新颖别致，望加以体会。
【例3】如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.新长城公司准备投资建一个大型炬形游乐园（如图所示）问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积.
【考查目的】
本题考查解析几何，函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能力，考查数形结合的数学思想方法。
【例题详解】
以为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，依题意可设抛物线方程。
　四边形ABCD是边长为4的正方形，M为AB中点，
点D坐标为（4,　2）
由此得4＝2·4
　
　抛物线方程为
设是曲线MD上任一点，则
矩形游乐园面积
S＝
对S求导，得
　　　　　
令，得
　　　　　
解之得 或
　　
　　
当时，，函数为增函数；
当时， ，函数为减函数；
所以当时，S有最大值。
此时，
游乐园最大面积为
【特别提示】
1.通过建系，可把形的问题转化为数的问题来解决。
2.商次整式函数的最值通常应用导数来求解。
五、能力训练
(一)、选择题
1、已知，则的最小值是( )
A.-2 B.2 C.- D.
2、下列的函数中，最小值为4的是( )
A. B.
C. D.
3、函数在闭区间上的最大值、最小值分别是( )
A.1，-1 B.1，-17 C.23，-17 D.9，-19
函数的最小值是( ) .
A. B. C. D.3
5.在区间上，已知函数与在同一点取得相同的最小值，那么在上的最大值( )
A. B.4 C.8 D.
6、某汽车运输公司为增强市场竞争力，购买了一批豪华客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润(万元)与营运年数为二次函数关系(如图) .若使每辆客车营运的年平均利润最大，则每辆客车营运的年数为( ) .
A.3 B.4 C.5 D.6
(二)、填空题
7、已知，则的最小值是__________.
8、若函数且在上的最大值为14，则实数的值为________.
(三)、解答题
9、设二次函数).
（1）已知求的最小值;
（2）对一切实数的值恒为非负实数，求的最小值.
10、在直角坐标平面上给定一曲线.
（1）设点的坐标为，求曲线上距点最近的点的坐标及相应的距离；
（2）设点的坐标为，，求曲线上的点到的距离的最小值
11、已知.
（1）若同时满足下列条件：①②当时，有③当时，最大值为2.求的解析式；
（2）当时，对于给定的负数有一个最大的正数，使得，时，都有，问为何值时，最大，并求出这个最大值.　　　　　　　　　　　　　　
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1导数及其应用
温州八中 陈杰
一.设计立意及思路：
导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进，而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知识和方法，
二.高考考点回顾：
1.考试要求：
(1) 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
2.近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：
科别 年份 题型 题量 分值 考查内容
文科 2000 解答题 1 14 导数在实际中的应用
2001 解答题 1 12 利用导数求函数的单调区间
2002 解答题 1 12 综合运用导数的几何意义证明不等式
2003 解答题 1 12 利用导数求曲线的切线方程
2004(浙江卷) 解答题 1 12 求函数导数。利用导数求最值，解有关单调性问题。
理科 2000 解答题 1 12 导数在实际中的应用
2001 选择、解答题 各1题 5+12 利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。
2002 解答题 1 12 综合运用导数的几何意义证明不等式
2003 选择、解答题 各1题 5+12 导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间
2004(浙江卷) 选择、解答题 各1题 5+12 导函数的概念，；利用导数求曲线的切线方程，求函数的最值。
三.基础知识梳理：
1.导数的有关概念。
(1)定义：
函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
(3)几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。
2.求导的方法：
(1)常用的导数公式：
C/=0（C为常数）；
(xm)/=mxm-1(m∈Q);
(sinx)/=cosx;
(cosx)/= -sinx ;
(ex)/=ex;
(ax)/=axlna
;
.
(2)两个函数的四则运算的导数：
(3)复合函数的导数：
3.导数的运用：
(1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)>0，则f(x)为增函数；如果f/(x)<0，则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
四.例题讲解：
例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；
(2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。
(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比，当时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作。
(2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x)
∴
当时，有
∴
∴。
解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对x求导，得
∴
∴。
评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？
例2. 设f(x)在点x0处可导，a为常数，则 等于( )
A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0
解：
故选(C)
评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的导数的定义的掌握。
例3.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。（人教版高三数学教材（选修Ⅱ）第三章复习参考题B组第6题）
解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系系（如图），t时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，
则两汽车和气球的距离
令t=1,
故1h后它们彼此分离的速度为。
（例3图）
评析：本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。2004年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。
例4.已知抛物线C：y=x2+2x，按下列条件求切线方程：
(1) 切线过曲线上一点（1，3）。
拓展：已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y= -x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，当a取何值时，C1和C2有且仅有一条切线？写出此公切线的方程。（2003年全国高考卷新课程（数学文科））
(2) 切线过抛物线外的一点（1，1）。
(3) 切线的斜率为2。
拓展：点P为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P到直线y=2x-2的最小距离为_______。
评析：本题考查曲线y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第（3）小题的拓展与第（3）小题解法类似，只是在出题上换个角度，属多题一解的类型。
例5.设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则y=f(x) 的图象最有可能是（ ）
（2004年全国高考浙江卷（数学理科）第11 题）
答案：（C）
评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。令，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：
(1)求f(x)的极值；
在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下列说法是否正确：①极大值一定比极小值大；②区间的端点一定是极值点；③导数为0的点一定是极值点；④极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。
(2)求y=f(x)在x∈[0,3]上的最值；
让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数最值的基本思路。
(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少是容器的容积最大？并求出它的最大容积。（2002年全国新课程高考卷（理科）第20题）
此题为题（2）的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。
(4)解不等式f(x)≥1。
导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等式、解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理，进而用导数方法求解。
例6.设函数，其中a>0。
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 解不等式f(x)≤1。
解：(1)
1 当a≥1时，有，此时f/(x)<0，
∴函数f(x)在区间上是单调递减函数。
2 当0解不等式f/(x)<0得，
∴f(x)在区间上是单调递减函数。
解不等式f/(x)>0得，
∴f(x)在区间上是单调递增函数。
(2)当a≥1时,∵函数f(x)在区间上是单调递减函数,
由f(0)=1,
∴当且仅当x≥0时f(x)≤1.
当0∵f(x)在区间上是单调递减函数,
f(x)在区间上是单调递增函数,
由f(x)=1得x=0或，
且,
∴当且仅当时，f(x)≤1.
综上可得：
当a≥1时，f(x)≤1的解集为{x|x≥0};
当0评析：本题是将2000年全国高考新课程卷（理科）第19题稍作改动而得到。使学生在例5中题(4)的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。
五.思维能力训练：
（一）选择题：
x2 x≥0
1.已知函数y=f(x)= 那么y/|x=0的值为（ ）
x x<0
A.0 B.1 C.1或0 D.不存在
2.已知曲线C:y=3x-x3及点P(2,2)，则过点P可向C引切线的条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列求导的式子中正确的是( )
A.[cos(1-x)]/=-sin(-x) B.
C.(ax)/=xax-1 D.
4．函数在处有极值，则（ ）
A.a=2 B.a=1 C. D.a= -2
5.函数y=x3-3x，的最小值是a2-1，则实数a的值是( )
A.0 B. C. D.1
6.若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a>0）为增函数，则( )
A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0
（二）填空题：
7.对函数f(x)，已知f(3)=2，f/(3)=-2，则___________。
8.某日中午12时整，6船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_______km/h。（2004年全国高考湖北卷（理科）16题）
（三）解答题：
9.设抛物线C:y=x2(x≥0)上的点P0(x0,y0)，过P0做曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1,y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线交于P2(x2,y2)，仿此作出以下各点：P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3…,Pn,Qn+1,…,已知x0=1。
(1) 求过P0的切线方程；
(1) 求的值。
10.如果f(x)=x2+1，g(x)=f[f(x)],设，问是否存在适当的，使f(x)在上是减函数，在上是增函数？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。
11.在半径为R的球内，内接一个圆柱，问该圆柱的高为多少时，其体积最大？
参考答案：（一）1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(A) 6.(D)
（二）7.8 8.-1.6
（三）9.(1)2x-y-1=0; (2)2
10. =3
11.，即圆柱的高为时圆柱的体积最大。
[参考文献]
1.《热点重点难点专题透析》，吉林文史出版社，2003年10月
2.《高中新教材导教导学》，北京师范大学出版社，2003年4月
3．《数学通讯》，2004年11月
x
y
汽车
气球用向量方法求空间角和距离
瑞安中学 戴雪燕
在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．
1 求空间角问题
空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．
（１）求异面直线所成的角
设、分别为异面直线a、b的方向向量,
则两异面直线所成的角=
（２）求线面角
设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，
则斜线l与平面所成的角=
（３）求二面角　　　
法一、在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角=
法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=
2 求空间距离问题
构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．
（１）求点面距离
法一、设是平面的法向量，在内取一点B, 则 A到的距离
法二、设于O,利用和点O在内　　　　　　的向量表示，可确定点O的位置，从而求出．
（２）求异面直线的距离
法一、找平面使且，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．
法二、在a上取一点A, 在b上取一点B, 设、分别为异面直线a、b的方向向量,求（，），则异面直线a、b的距离（此方法移植于点面距离的求法）．
例１．如图，在棱长为２的正方体中，E、F分别是棱的中点．
（Ⅰ）求异面直线所成的角；
（II）求和面EFBD所成的角；
（III）求到面EFBD的距离
解：（Ⅰ）记异面直线所成的角为，
则等于向量的夹角或其补角，
（II）如图建立空间坐标系，
则，
设面的法向量为　　由
得　又　　　
记和面EFBD所成的角为
则　
∴ 和面EFBD所成的角为．
（III）点到面EFBD的距离ｄ等于
向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，
设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．
２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．
３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，
向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．
例2．如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形
是矩形，
（Ⅰ）若＝１，求直线AB到面的距离．
（II） 试问：当的长度为多少时，二面角
的大小为
解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系，
则　　
设面的法向量为　　则　
得　
直线AB到面的距离ｄ就等于点Ａ到面的距离，
也等于向量在面的法向量上的投影的绝对值，
（II）易得面的法向量
向量的夹角为
由 得　
当＝１时，二面角的大小为．
设计说明：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．
２．通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．
例３．正三棱柱的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱上任意一点．
（Ⅰ）求证： 直线不可能与平面垂直；
（II）当时，求二面角的大小．
证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系，设
则的坐标分别为
，不垂直
直线不可能与平面垂直．
（II），由，得
即　
又　
是面的法向量
设面的法向量为，由
得,设二面角的大小为
则
二面角的大小为．
设计说明：１．前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题ｘ、ｚ轴需要自己添加（也可不这样建立）．
２．第（１）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行．
通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性．向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具．充分体现出新教材新思想、新方法的优越性．这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现．
练习：
１．在正四面体中，棱长为，E,Ｆ分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成的角．（）
２．在边长为１的菱形ABCD中，，将菱形沿对角线AC折起，使 折起后BD＝１，求二面角的余弦值．（）
３．在四棱锥中，底面为矩形，底面，且，问平面与平面能否垂直？试说明理由．（不垂直）
４．在直三棱柱中，，
分别为的中点，且．
（1） 求到面的距离；（）
（2） 求到面的距离．（）
５.如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点.
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求AB与平面BDF所成角的大小. （arcsin）
A
C
D
B
E
F
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5平面向量的综合运用
平阳鳌江中学 梅山该
[设计立意及思路]
《考试说明》指出：“数学学科的考试，按照‘考查基础知识的同时，注重考查能力’的原则”，且“对数学知识的考查，要全面而又突出重点，注意学科内在联系和知识间的综合，……学科内在的联系，包括各部分知识在发展过程中的纵向联系，以及各部分之间的横向联系，知识的综合性，则是从学科整体高度考虑问题，在知识网络的交汇处设计试题。”
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从2001年至2004年的高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点，如2004年高考福建卷第17题、辽宁卷第19题、全国卷Ⅱ第21题等。因此，研究向量与其它内容的综合运用，对培养学生的能力（尤其是培养学生从学科整体的高度解决问题的综合能力），把握当今高考命题改革趋势，有着重要的意义。
本专题将在回顾和梳理基础知识的基础上，突出平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高学生分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使学生站在新的高度来认识和理解向量。
[高考考点回顾]
一、2005年考纲回放：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法与减法。
3、掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离方式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。
二、高考考点回顾：
在高考试题中，对平面向量的考查主要有四个方面：
其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如2004年浙江省卷第14题，2004年全国高考Ⅰ理科第3题，2004年全国高考Ⅱ理科第14题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题。
其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如2004年全国高考Ⅱ理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题等。
其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力，如在2002年全国新课程卷上出现了与数列相结合的题目，2004年福建高考第17题（与三角函数结合），2004年全国卷Ⅱ理第21题（与解析几何结合）等；
其四是考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，如2004年重庆卷理科第21题（解析几何题）可借助向量垂直的充要条件进行求解等。
[基础知识梳理]
Ⅰ、平面向量知识结构表
Ⅱ、内容概述
1、向量的概念
向量是区别于数量的一种量，它由大小和方向两个因素确定，向量有三种表示法：一是用有向线段，二是用字母a或，三是用坐标a＝（x , y）。注意共线向量（也称平行向量，方向相同或相反的向量）与相等向量（方向相同且模相等）的联系与区别。
2、向量的运算
向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种。注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示、运算律。
3、平面向量的定理及相关性质
（1）两个非零向量平行的充要条件：
a∥b a＝λb (∈R)
设a＝(x1,y1),b＝ (x2,y2)
则a∥b x1y2－x2y1＝0
（2）两个非零向量垂直的充要条件：
a⊥b a·b ＝0
设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)
则a⊥b x1·x2＋y1·y2＝0
（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使 a＝λ1e1＋λ2e2.
（4）三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β，使，其中α＋β＝1,O为平面内的任一点。
4、 常用公式及结论
a、向量模的公式：设＝（x,y）,则︱︱＝
b、两点间的距离公式：
＝ [P1(x1,y1),P2(x2,y2)]
c、线段的定比分点坐标公式：
d、中点坐标公式： 或 [M（x0 ,y0）是线段AB中点]
e、两向量的夹角公式：
cosθ＝ [0°≤θ≤180°,a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)]
f、图形平移公式：
若点P(x,y)按向量a＝(h,k)平移至(,),
则
g、有关向量模的常用结论：
①
②
③,
[例题讲解]
类型Ⅰ、平面向量学科内综合运用
此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。
例1．已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为________。
[点拨] 与一个非零向量a共线的单位向量有两个：与a同向的单位向量e1＝，与a反向的单位向量e2＝－.求与已知向量平行的向量常用坐标运算。
[解析] 法一：∵2a－3b＝2(5，4)－3（3，2）＝（1，2）
∴
.
法二：令e=(x, y)
∵2a－3b＝（1，2），且e与2a－3b平行，
∴x－2y＝0. ① 又∵x2＋y2＝1 ②
由①②解得.
[变式] 已知b是a＝（－3，4）垂直，且＝15，求b. [（12，9）或（－12，－9）]
例2．已知＝1，＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角是多少？
[点拨] 要计算x与y的夹角，需求出，，x·y的值,可利用2＝x2求解。
[解析] 由已知＝＝1，a与b的夹角为60°, 得 a·b＝··cosα＝
∵2＝x2=（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4×＋1＝3，
2＝y2=（3b－a）2＝9b2－6a·b＋a2＝9－6×＋1＝7,
x·y＝（2a－b）·(3b－a) ＝7a·b－2a2－3b2＝－，
又∵x·y＝··cosα，即－＝·cosα
∴cosα＝－，α＝π－arccos.
[变式1] （2004年高考浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足＝3, ＝4, ＝5,则的值等于__________。[－25]
[变式2] 已知＝，＝2，a和b的夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角是锐角时λ的取值范围。[λ＜或λ＞（λ≠1）]
类型Ⅱ、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：
①利用向量平行或垂直的充要条件，
②利用向量数量积的公式和性质.
例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。
[解析]（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
[变式1] 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围。
[点拨] 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
[解析] 仿例3（1）解法（二）可得
k＝( sinα－)2－,而－1≤sinα≤1,
∴当sinα＝－1时，k取最大值1； sinα＝1时，k取最小值－.
又∵k≠0 ∴k的取值范围为 .
[变式2] 已知向量＝(x,x－4)，向量＝(x2, x), x∈[－4,2].(1)试用x表示·；[2]求·的最大值，并求此时·夹角的大小。
[(1)·＝x3＋x2－6x , (2)最大值为10，此时x=－2,θ＝arccos]
例4．（2004年高考福建卷）设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；
（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值。
[分析] 本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，
[解析] (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x)
＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)
由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤,
∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1.
[归纳] ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径。
②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为
y－k＝f（x－h）
例5．（2002年全国高考新课程卷）已知两点M(－1，0)， N(1 , 0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.
（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为（x0、y0），记θ为与的夹角，求tanθ.
[分析] 本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。
[略解]（Ⅰ）设点P（x , y），分别计算出·，·，·，
由题意，可得点P的轨迹方程是
故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆。
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，，可得cosθ＝，
又x0,∴即,
于是sinθ＝＝＝＝，
[变式] 已知两个M（－1，0），N（1，0），点P使·，·，·成公差小于零的等差数列，且向量与a＝（1，0）垂直，求点P的坐标。
[ P＝（1，）或（1，－）]
类型Ⅲ、平面向量与解析几何的综合运用
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。
在2004年全国高考Ⅰ、Ⅱ以及不少省市自主命题的高考卷中（如天津、湖南）都出现了平面向量与解析几何综合题。由此看来，向量与解析几何相结合将是今后高考的重点和热点，应引起我们高度的重视。
平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：
1、 运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题
运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。
例6．（2004年全国卷Ⅰ）设双曲线C :－y2＝1(a＞0)与l : x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为P，且＝，求a的值。
[略解] （I）略 （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（0 , 1）
联立－y2＝1与x＋y＝1,消去y整理得
从而 ①
由，即
有代入①式消去得
再消去得 , 结合条件a＞0及满足△＞0得.
[变式1] （华中师大一附中2004年高三模拟卷改编）已知椭圆方程，过B（－1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x＝－4于E点，B、E分的比分λ1、λ2．求证：λ1＋λ2＝0
[证明] 设l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程整理得
（4k2＋1）x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0.
设C（x1,y2）,D(x2,y2)则
x1＋x2＝－.
由得
所以.
同理，记E
得
其中
.
[变式2] （2004年高考天津卷）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c, 0）(c＞0)的准线l与x轴相交于点A, 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率；
(Ⅱ)若，求直线PQ的方程；
(Ⅲ)设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，
证明：
[简解] (Ⅰ) 椭圆方程为,离心率 (Ⅱ)略.
(Ⅲ) [证明] 设P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程组：
；
注意λ＞1，消去x1、y1和y2 得
因F（2 , 0）, M（x1,－y1），
故
而
所以 .
2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题
运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。
例7．（2004年高考重庆卷）设p＞0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2＝2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。
[分析] 要证点O在圆H上，只要证OA⊥OB，可转化为向量运算·＝0，用向量运算的方法证明．（见图1）
[解答] 由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky＝x－2p
又设A（xA,yA）,B(xB,yB), 则其坐标满足
ky＝x－2p
y2＝2px
由此得
xA＋xB＝4p＋k (yA＋yB) ＝(4＋2k2)p ， xAxB＝＝4P2
因此·＝xAxB＋yAyB＝0，即OA⊥OB
故O必在圆H的圆周上。
又由题意圆心H（xH , yH）是AB的中点，故
由前已证，OH应是圆H的半径，且＝＝
从而当k＝0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小。
此时，直线AB的方程为：x＝2p.
[变式1]（2004全国卷Ⅱ）给定抛物线C:y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。
（Ⅰ）设l的斜率为1，求与夹角的大小；
（Ⅱ）设＝λ，若λ∈[4 , 9]，求l在y轴上截距的变化范围。
[解答] （Ⅰ）C的焦点为F（1，0）,直线l的斜率为1，所以l的方程为
y＝x－1,将y＝x－1代入方程y2=4x，并整理得x2－6x＋1＝0
设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有x1＋x2＝6, x1x2＝1，
从而·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2－(x1+x2)+1＝－3
︱︱·︱︱＝·＝,
cos＝＝
所以与夹角的大小为π－arcos.
(Ⅱ)略.
[变式2]如图，点F（a,0）（a＞0），点P 在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且·＝0，＋＝0。
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F(a , 0)的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（－a,0），与的夹角为θ,求证：0＜θ＜.
[分析] (1)分别设出P、M与N点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相等知识找到等量关系。
(2)利用向量的夹角公式可知,要证0＜θ＜,只要证。
[解析] (1)y2＝4ax
(2) 证明：设AB的方程为y＝k（x－a），代入y2＝4ax得
k2x2－2a（k2＋2）x＋k2a2＝0
设A（x1 , y1）、B（x2 , y2），则
x1＋x2＝
x1 x2＝a2
∵＝（x1＋a , y1）, ＝（x2＋a , y2）
∴·＝（x1＋a）（x2＋a）＋y1 y2
＝x1x2＋a ( x1＋x2)＋a2＋(－) · ()
＝a2＋a·＋ a2－4a2＝＞0，
∵与的夹角为θ，与不共线，
∴θ≠0，∴cosθ＝＞0 , 即0＜θ＜.
3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。
例8．（2002年全国新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足，其中，∈R且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）.
A．3x＋2y－11=0　　　　　　　B．(x－1)2＋(y－2)2=5
C．2x－y=0 D．x＋2y－5=0
[分析] 本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富。
[解法1] 设C(x, y)，则 (x, y)=(3, )＋(－, 3)=(3－, ＋3)，
∴ x=3－，
y=＋3．
x=4－1，
y=－2＋3．
消去参数，得点C的轨迹方程为x＋2y－5=0．
[解法2] 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，故本题应选D．
例9．已知点G是△ABC的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足||=||， (∈R)．
⑴求点C的轨迹方程；
⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足||=||，试求k的取值范围．
[分析] 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系。通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法。按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化。
[解析] ⑴设C(x, y)，则G(,)．
∵(∈R)，∴GM//AB,
又M是x轴上一点，则M(, 0)．
又||=||，
∴，
整理得，即为曲线C的方程．
⑵①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有||=||．
②当k≠0时，可设l的方程为y=kx＋m，
联立方程组 y=kx＋m
消去y，整理行(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)=0（*）
∵直线l和椭圆C交于不同两点，
∴△=(6km)2－4(1＋3k2)×( m2－1)＞0，
即1＋3k2－m2＞0． (1)
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则x1, x2是方程（*）的两相异实根，
∴x1＋x2=－
则PQ的中点N(x0, y0)的坐标是
x0==－，y0= k x0＋m=，
即N(－, )，
又||=||，∴⊥，
∴k·kAN=k·=－1，∴m=.
将m=代入(1)式,得 1＋3k2－()2＞0（k≠0），
即k2＜1，∴k∈(－1, 0)∪(0, 1)．
综合①②得，k的取值范围是(－1, 1)．
例10．（2000年北京春季高考题）设点A和B为抛物线y2=4x上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
[分析] 本题解法很多，而构造向量解之，思路清晰，运算简捷，提高了解题速度，拓展了学生的思维空间，为学生今后解决解析几何问题又提供一种新思路。
[解析] 设M(x, y)，A(4, 4t1)，B(4, 4t2)，
其中x＞0，t1t2≠0且t1≠t2．
∴=(4, 4t1)，=(4, 4t2)，
=(x, y)，=(4(－), 4(t2－t1))．
∵⊥，
∴4·4＋4t1·4t2=0，由t1t2≠0，可知
t1t2=－1 ⑴
∵⊥，
∴x·4(－)＋y·4(t2－t1)=0，由t1≠t2，可知
t1＋t2=－ ⑵
又∵A、B、M三点共线，∴//，
而=－=(x－4, y－4t1)，=－=( x－4, y－4t2)，
由向量共线的充要条件，可知
(x－4)( y－4t2)=( y－4t1)( y－4t)，
化简，得x－(t1＋t2)y＋4t1t2=0 ⑶
将⑴、⑵代入⑶式，可得点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2=4 (x＞0)，它表示与y轴切于原点的一个圆（不包括原点）。
从上述几例可以看出，只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析，充分挖掘问题的向量背景，注意运用曲线参数方程的点化作用，就完全有可能获得一个漂亮的向量解法。
随着新教材的逐步推广、使用，今后高考对新增内容的考查会逐渐加大，综合性会更强。作为新课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点，成为了作为联系众多知识的桥梁。因此，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势,所以必须非常重视对向量的复习与演练，直至达到深刻理解、运用熟练的境地。
[思维能力训练]
1．（2004年湖北卷文⑵）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）
A． B． C． D．4
2．（2004年福建卷理⑻）已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）
A．［0，］ B．［，］ C．［，］ D．［，］
4．（2001年全国新课程卷）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·= （ ）
A． B． C．3 D．－3
5．（2003年全国新课程卷）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．（2004年全国卷Ⅱ理⑼）已知平面上直线l的方向向量e=（,），点O（0，0）和A(1, －2)在上的射影分别是O/和A/，则，其中λ= （ ）
A． B． C．2 D．－2
7．（2004年湖南卷理（13））已知向量a=()，向量b=()，则|2a－b|的最大值是
8．（2003年东北三校高三试题）把函数y=2x2－4x＋5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且a⊥b，c=(1,－1)，b·c=4，则b=
9．已知向量，且x∈［0，］，求
（1）a·b及|a+b|；
（2）若的最小值是，求实数的值。
10．如图， ，
（1）若∥，求x与y间的关系；
（2）若有，求x,y的值及四边形ABCD的面积.
11.已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且。
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4≤≤，求直线l的斜率的取值范围。
[思维能力训练]答案：
1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7. 4 8. (3, －1)
9. 略解：（1）
（2）
分λ＜0, 0≤λ≤1, λ＞1讨论，得=
10. 略解（1）又∥
（2）由⊥，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)·(y＋1)＝0,
即 x2＋y2＋4x－2y－15＝0 ②
x＝－6 x＝2
由①，②得 或，
y ＝3 y＝－1
11. 略解 （1）y2＝4x (x＞0)
（2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为
y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程，得
ky2－ 4y＋4b＝0,由，得.
又 故 而
解得直线l的斜率的取值范围是
[P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),]
向量
向量的概念
向量的运算
向量的运用
向量的加、减法
实数与向量的积
向量的数量积
两个向量平行的充要条件件件
两个向量垂直的充要条件件件
定比分点公式
平移公式
在物理学中的应用
在地
在几何中的应用
消去x，得y2－2pky－4p2＝0
①
∴
又 α+β=1
- 1 -概率与统计综合问题选讲
一、设计背景
《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科数学新课程版）明确指出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体。”由于新课程新增内容大都是近、现代数学的重要基础，无论对于学生今后的进一步学习，还是对于激发学生对于数学学科的学习兴趣、增强学生的数学应用意识，都具有十分重要的意义。因此他们必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而成为保持较高比例，构成数学试题的主体的重要知识版块。
概率与统计是一门“研究偶然现象统计规律性”的学科。随着科学技术的发展，概率和统计这门“研究偶然现象统计规律性”的学科在社会生活实际以及科学实验和研究中都得到了越来越广泛的应用。基于以上原因，新课程增加了概率和统计基础知识的相关内容，而近几年来新课程高考试卷也把概率和统计的基础知识和方法——随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率及相应的计算和离散型随机变量分布列和数学期望等概念和计算列为考查的重点，作为必考内容。因此高考就利用概率与统计知识设计试题来考查学生的应用意识、实践能力；考查学生的分析问题和解决问题的能力；考查学生的分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来的不同思维品质、思维能力。
该专题将从概率与统计的基础知识着手，根据高考要求进行设计，即紧扣主干知识，又突出重点，同时注重温州的数学教学实际。
二、高考考点回顾
在2000—2004年全国新课程卷高考试题中每年都有出现1—2道概率与统计试题，所占分数在12—16分之间，具体考查知识点如下表所示：
年号 题号 所占分值 重点考查的知识点及知识交汇情况
2000 13 4 离散型随机变量的概率分布
2000 17 12 等可能事件、相互独立事件的概率
2001 14 4 离散型随机变量的数学期望
2001 18 12 相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率
2002 19 12 相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率
2003 14 4 抽样方法
2003 20 12 离散型随机变量的概率分布及数学期望
2004 15 4 随机事件的概率
2004 18 12 离散型随机变量的概率分布及数学期望
2004年浙江卷在第18题考查了离散型随机变量的概率分布及数学期望与其它地区基本一致。所不同的是问题设计的背景不同，对学生分析问题与解决问题能力的考查层次要求不同。2005年仍将会坚持不出偏题、怪题，利用考生熟悉的、常见的问题作背景出题，重在设计考查学生的数学逻辑思维和数学思想方法。
三、考点知识结构及分析
概率与统计重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；用样本方差去估计总体方差，用样本频率分布估计总体分布，用样本频率分布求其累积频率分布等的计算问题。
应用概率与统计知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。
四、例题讲解
（一）等可能性事件问题
例1：在袋里装有30个小球，其中彩球有：个红色、5个蓝色、10个黄色、其余为白色。求：
（1）如果已经从中取定了5个黄球和3个篮球，并将他们编上不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？
（2）如果从袋里取出3个相同颜色彩球（无白色）的概率是，且，计算红球有几个？
（3）根据（2）得结论，计算从袋中任取3个小球，至少有一个是红球的概率？
解：（1）将5个黄球排成一排共有种排法，将3个篮球放在5个黄球所形成的6个空上，有种放法，所求的排法为种。
（2）取3个球的种数为。设“3个球全为红色”为事件A，“3个球全为蓝色”为事件B，“3个球全为蓝色”为事件C，则
， 为互斥事件，
，即，
得，故取红球的个数，又。
（3）记“3个红球中至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球”。或。
例2：A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。先从中任取三条网线，设可通过的信息量为，当可通过的信息量时，则保证信息畅通。
（1）求线路信息畅通的概率；（2）求线路可通过信息量的数学期望。
分析：解答本题首先要明确可通过的信息量是一个随机变量，它的可能取值为4、5、6、7、8；保证信息畅通的条件是，而信息量取值为6、7、8这三件事是互斥的。其次要求学生能正确运用互斥事件的概率加法公式和离散型随机变量的期望定义解答本题。
解：（1） ，
信息畅通的概率为。
（2）又 ，
可通过信息量的数学期望为6。
评述：本题是一道概率计算的综合应用题，试题以信息时代的网络畅通为题设背景，富有时代气息。解答时应具备适度的逻辑思维能力，体现了以素质和能力为考核重点地试题设计理念。
（二）相互独立事件问题
例3：甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励a万元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各得多少较合理。（已知甲的命中率为，乙的命中率为）
解：敌机被击落有以下三种可能：
（1）甲单独击落；（2）乙单独击落；（3）甲、乙共同击落
甲单独击落的概率为
乙单独击落的概率为
甲、乙共同击落的概率为
因此甲得到奖金数应为
乙得到奖金数应为
所以甲、乙二人奖金数之比为9：10时较合理。
评述：研究性学习是提高学生学习能力的一种非常有效的手段，在新教材概率与统计学习后，该问题对学生的研究性学习有一定的帮助，并且该问题有一定的实际意义，背景设计公平，贴近学生实际，在熟悉的情境中考查能力，符合高考的指导思想与原则。
例4：某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图(例如：ACD算两个路段：路段AC发生堵车事件概率为，路段CD发生堵车事件概率为)
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若计中遇到堵车次数为随机变量，求。
解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN
因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以中遇到堵车的概率为
；
同理：线路中遇到堵车概率为
线路中遇到堵车概率为
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。因此选择路线。
（2）路线中遇到堵车次数可取值为0、1、2、3
（三）独立重复试验问题
例5：某机构有一个5人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比为0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。（结果保留两位有效数字）
解：每位顾客贡献正确意见的概率为P=0.7，作出正确决策的概率为。
评述：作出正确决策指至少3人作出正确决策，是独立重复试验问题与互斥事件的概率问题的综合题型。
例6：某种传染病进入羊群，已知此种传染病的发病率为，为了检验一种新药针剂是否对此传染病有防治疗效，给50头羊注射该种针剂，结果注射后又25头羊发病，试判断针剂是否有效？
分析：考虑在未注射针剂时，羊群中发病的羊的数量，因为每头羊只会出现两种情况：发病与未发病，所以发病的羊的数量服从二项分布。
解：假定新药无效。将考查一头羊是否发病作为一次试验，则50头羊中发病头数服从二项分布。即。
由，可得的分布列部分值如下：
21 22 23 24 25
0.0001 0.0002 0.0005 0.0013 0.0028 0.0059 0.9892
由此可得，即事件“发病羊数少于26头”发生的概率仅为0.0108，由概率的频率解释可知，平均在100次试验中，这种情况才可能出现一次，这类事件我们称之为“小概率事件”。由实际推断原理可知小概率事件在一次实验中几乎不可能发生。也就是说，在“新药无效”的假设下推断出来的结论“发病羊数少于26头”几乎不会发生。这就与我们实际观察到的结果“发病率为”相互矛盾，因此推翻：“新药无效”这一假设。从而该药品对羊群中的传染病确有疗效，减少了羊群发病率。
评述：上述推断的依据是：小概率事件在一次实验中几乎不可能发生，推断的方法类似于通常使用的反证法。
（四）其它综合问题
例7：据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需要交保险费100元，若在一年内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元（a>100），问a如何确定，可使保险公司获益？
解：设保险公司的收益为，则的分布列为
100 100
P 0.99 0.01
所以，期望，
又因为，所以，
即将确定在区间（100，10000）内（单位：元）保险公司有望获益。
例8（2004年湖北高考题）：某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，将造成400万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别是0.9和0.85。若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值。）
解： ①不采取预防措施时，总费用既损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）；
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）。
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少。
评述：本小题考查概率的基本知识和数学期望等概念及应用概率知识解决实际问题的能力。
例9：据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在以下的概率为（1）设为该地区从2005年到2010年最低气温在以下的年数，求的分布列。
（2）设为该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在以下经过的年数，求的分布列。
（3）求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在以下的概率。
解：（1）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在以下的概率为，且每次实验结果是相互独立的。
故，以此为基础求的分布列
所以的分布列为
（2）由于表示该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在以下经过的年数，显然是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，
其中表示前年没有遇到最低气温在以下的情况，但在第年遇到了最低气温在以下的情况，故各概率应按独立事件同时发生计算。
而表示这6年没有遇到最低气温在以下的情况，
故其概率为,因此的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6
（3）该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在以下的事件为
所以
评述：这是一道综合性很强的概率应用题，通过3个设问，分别考查了独立重复试验次中发生可次的概率，独立事件同时发生的概率以及互斥事件有一个发生的概率。
五、思维能力训练
（一）选择题：（本题共六小题）
1、如果两个事件A、B相互独立，则下列命题中正确的个数有（ ）
（1）与相互对立 （2）与相互对立（3）与相互对立
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
2、10张奖券中有2张是有奖的，甲、乙两人从中各抽一张，甲先抽，然后乙抽。设甲中奖的概率为，乙中奖的概率为，那么（ ）
A、 B、 C、 D、、大小不能确定
3、在一次国际乒乓球大赛中两位运动员打得难解难分，前六局打成三比三，第七局打到了10：8，甲运动员领先，假设甲、乙运动员每赢一球的概率是相等的，问乙运动员连赢4球反败为胜的概率是多少？ （ ）
A、 B、 C、 D、
4、在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、若，，其中，则
等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶、黑漆3桶、红漆2桶。在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，则一个订货3桶白漆、2桶黑漆和一桶红漆的顾客，能够按所订的颜色如数得到订货的概率是多少？ （ ）
A、 B、 C、 D、
（二）填空题：（本题共二小题）
7、某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。购买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设年利率为8%。又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%，试问应选择哪一种方案，可使投资的效益较大？ 。
8、将一个各个面均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中至少有一面涂有颜色的概率是
。
（三）解答题：（本题共二小题）
9、某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3。
10、下表为某班英语及数学成绩的分布．学生共有50人，成绩分1~5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人．将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为，数学成绩为．设为随机变量（注：没有相同姓名的
数学
5 4 3 2 1
英语 5 1 3 1 0 1
4 1 0 7 5 1
3 2 1 0 9 3
2 1 6 0
1 0 0 1 1 3
学生）．
（Ⅰ）的概率为多少？
的概率为多少？
（Ⅱ）等于多少？
若的期望为，试确定，的值．
思维能力训练答案：
1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、C
7、投资股票 8、
9、解：（1） （2）至少5人同时上网的概率小于0.3。
10、解：（1）；
（2）①；
又②； 结合①②可得，．
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13换元引参与整体思想
瓯海任岩松中学 罗运河
【立意和思路】
整体思想与整体思想中的换元引参是解决数学问题的普遍方法之一，其牵涉的知识面广，几乎涵盖了各个知识章节，应用广泛。换元思想内涵丰富，是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一，同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力，产生居高临下之功效，我们不仅在细微之处见“精神”，更要从宏观之中探“世界”。换元引参是整体思想的集中体现，在整体思想中扮演着不可或缺的角色。
由于换元引参在第一轮复习中已渗透到各知识章节中，学生已初步体验到其实用性和思想方法，因此，在这里安排8道例题分两课时完成，第一课时突出换元引参的解题思想过程，第二课时突出观察问题的整体思想方法，培养学生解决问题的宏观调控能力，使学生的学习能力在第一轮基础上进一步得到整合提高。
这里需要说明的是，下面编排的例题主要是提供一种复习思路，仅供参考，特别是第二轮复习要讲究问题的综合性和一题多解，应考虑到不同层次的学生水平安排例题进行教学。由于本人水平有限、时间仓促，难免使考虑的问题出现漏洞或不成熟的情况，敬请批评指正。
【高考回顾】
　　换元引参和整体思想是解决数学问题中转化能力的一种体现，它渗透到数学中的方方面面，在历年高考试题中基本体现出这种能力的考查。如98年高考题的最后一题（即本案例8），考查了数列中整体代换能力或数学归纳法的思想等，但整体能力的观察显然要高于数学归纳法的思想，因为数学归纳法易想但过程显得冗长，远不如整体代入运算来得简捷；99年的填空题（即本案中的例5（1））考查了学生的整体观察能力，从而达到优化运算过程，检测了学生良好的思维品质；又如2000年的解答题（即本案的例4），其中考查学生如何引参、消参，显然这里引参的成功与否关系到运算的质量，是对学生运筹帷幄策略的一次大检验。这些数据充分说明这部分内容在中学教学中应引起我们足够的重视，特别是这部分学生能力的培养更是我们潜心研究的科目。这里需要指出的是，2004年我们浙江卷第17题也体现了整体思想，只是能力要求不高，考查的力度不大，但这并不能说明这部分内容不重要，只能说明命题人的构思不同罢了。
【基础知识梳理】
换元引参是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，再代回求出原变量的结果。换元法常与所考虑问题的整体因素有关，其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，以实现从未知向已知转化，从而达到解题的目的。
转化的方式主要是分式向整式、无理向有理、超越向初等以及函数、三角、几何等的互化。
引入参变量，作为揭示运动变化中变量之间内在联系的媒介。使我们有可能对运动的过程作出定量的刻划，消化问题的难点，促使问题转化，达到简捷解决问题的目的。
解数学问题时，人们常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后再各个击破，分而治之。有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构等，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过整体结构的调节和转化使问题获解，这种对数学问题的整个过程进行研究的思想方法即为整体思想。
在解题时，要细察命题的外形，把握问题的特征展开联想，创设整体常常会使解题思路出现峰回路转、豁然开朗的情景。
【例题精选】
例1：求下列函数的最值
1）
2）
3）
【思路点拔】
1）通过观察，注意到式子含有的关系，可令，则，于是问题转化为二次型：
， 函数 是增函数，
2）分析的本质是平方关系，故可令，
则，
若；若，则时，。
3）此题中的根号与2）题有本质的区别，不宜用替换，注意到，故可令，
当，；
【点评】①在换元法中，注意换元的原则是将复杂的问题转化为简单的问题；把不熟悉的化归为熟悉的，同时要注意新变量范围的确定。②问题1）的同类问题还有的关系；问题2）的一般形状为：，3）的一般形状为；③求最值问题还可以考虑用导数求解，但这里换元可简化计算过程。
例2：解关于x的不等式：
【思路点拔】
易观察到与的倒数关系，令，得，即
，不等式的解集为：，
不等式的解集为：。
【点评】培养学生敏锐的观察能力，是培养学生直觉思维的一种有效途径，此题的功效是要求学生在较短的时间内对问题的解决做出反应，同时还要注意分类讨论应在何时进行比较恰当进行定位。
例3：已知，确定的取值范围。
【思路点拔】
如何运用题设条件，将转化成只含一个变量，是解决此问题的关键，由联想到椭圆的参数方程：，，或将看作一个整体，利用数形结合、方程的思想解决都不失为一种好方法：
方法一：令，，则
方法二：令，则，代入得，因方程有实数根，故，
【评点】上述提供的换元的两种思路中，前者转化为三角关系，利用三角函数的有界性易确定范围，其优点是运算量少；第二种方法有明显的几何背景，即求椭圆上的平行直线系的截距（y轴或x轴）的取值范围，其包含的数学思想方法是数形结合、方程思想，从而挖掘了问题的数学思想内涵。
例4：设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点M是轨迹方程，并说明它是表示什么曲线。（2000年高考题）
【思路点拔】
首先明确轨迹问题的实质是找动点中x与y的方程关系。有的问题x与y的关系易确定，但这个问题却不易直接找到x与y的关系，怎么办？注意到动点M与抛物线A、B的位置有关（可用多媒体动画演示），
因此引进A、B两点的坐标就十分必要，
考虑到所引的参数以少为宜，可设，
，利用先确定与的关
系，即：，，由，再注意到条件，得：，，
直线OM方程： ①
直线AB的方程：
②
由①②消去得：
的轨迹是圆
【点评】此题的解法较多，但都离不开A、B的坐标参与，故引参时必须考虑设A、B的坐标（设而不求）。在具体消参时，两个变量实际上是作为一个变量（整体）考虑，这给消参带来便利。在解题过程中，若注意到直线AB方程：经过一定点N（2p,0），则点M的轨迹是以ON为直径的圆（原点除外），解题过程显得更简捷。
上述是换元引参的几个例子，其过程往往表现在有型（具体换元）的转换。但有些问题的整体思想不是用具体的换元表示，其解题过程却表现出整体思想，下面要讲述的几个例子就表现在无型（无具体的换元）上的整体构思。
整体观察，化繁为简
例5：（1）已知，求：
的值（99年高考题）
（2）已知函数则
　　　　　　
【思路点拔】
（1）先将结论因式分解，然后将和都看作整体进行运算，分别令或，易得到结果为1。
（2）如果注意到，就易发现此题的结果为。
【点评】（1）题主要考察学生的整体观察能力，即不能将割裂来求，否则加大了运算难度；（2）题与（1）有类似情况，其关键是将作为一个整体运算，从问题的结构中也易发现这层关系，利用整体运算带来轻松的快感。
　整体构造（式或形），化难为易
例6：已知是等比数列的前n项的和，且，求（类似96年高考题题型）。
【思路点拔】
此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比还要考虑进行分类讨论，若注意到，，依次相差n项，以此构造三个整体：，通过分析可知这三个数构成等比数列。从而得
【点评】在解决问题中，有时将局部的问题通过适当的增减，使之成为一个完整的有联系的整体，让问题中的局部与整体的关系有机地联系起来，显露出问题的本质，从而使问题的解决找到捷径。
不妨再看一例。
例7：已知三棱锥P – ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，其外接球的半径为R。
（1）求证：为定值；
（2）求三棱锥P – ABC体积的最大值。
【思路点拔】
（1）首先此问题的定值只能与R发生关系，但碰到的棘手问题是球心O的位置难以确定，条件乍看也难以联系、利用。如果联想到此三棱锥是长方体的一部分（三条侧棱两两相互垂直作为一个整体考虑），且长方体的外接球与此三棱锥有相同的外接球（即唯一性），于是尝试将此三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC作为长方体的棱补成长方体，这样就避开了球心位置的确定，而直接确定球的直径为长方体的对角线，从而得到： （定值）
（2）由（1）得
当。
整体代入，简单明了
例8　证明：…（98年高考题）
【思路点拔】
在求解此题时，易想到用数学归纳法，但过程比较冗长、繁琐，若构造整体：即令，则只要证，注意到，则只需证即可：
所以，从而
【点评】此题作整体代换构造数列｛｝，通过整体代入运算、比较，说明它是递增数列，从而使问题的解决在运算上找到了捷径。
显然，找到如此简捷的计算方法，不是一般的观察能力所能达到的，特别是在有时间限制的考试中。俗话说的好：台上三分钟，台下十年功。用这句话来概括学生的学习、练“功” 的过程，以及“功力” 发放过程，对我们教师的教学有启迪作用：即学生的学习能力的培养不是一朝一夕的事，也不是靠一时的复习就达到上述功效，它更需要我们平时课堂教学的精耕细作，让学生养成良好的观察、思维习惯，从而达到“功到自然成”之效。
【能力测试】
一、选择题
1、函数是（ ）
A、1 B、 C、 D、2
2、长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则长方体的对角线长为（ ）
A、 6 B、5 C、4 D、3
3、已知的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、函数的值域为（ ）
A、 B、
C、 D、[]
5、已知的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知，则的值为（ ）
A、1 B、 C、1或 D、0或
二、填空题
7、已知等差数列的前项的和为100，前4项的和为16，后4项的和为64，则 ＝　
8、设的最小值为 。
三、解答题
9、设。
10、设点P是双曲线、2的视角为，试用b和表示的面积。
11、设是两个不同的正整数，是等差数列的前项之和，且，，求证：
M
A
B
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1圆锥曲线方程
灵溪一高 林秀川
专题设计立意及思路：
高考试题中，解析几何试题的分值一般占20％左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左右，选择、填空、解答三种题型均有．选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热．解答题的题型设计主要有三类：
（1） 圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；
（2） 涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；
（3） 求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．
近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．
高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担.因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.
一、高考考点回顾
01～04四年高考圆锥曲线试题回顾：
年次 题号 题型 内容类别 分值 总分 百分率
01年全国 文科 7 选择题 概念、性质类 5分 21分 14．0%
14 填空题 概念、性质类 4分
20 解答题 直线和圆锥曲线关系类 12分
理科 7 选择题 概念、性质类 5分 21分 14．0%
14 填空题 概念、性质类 4分
19 解答题 直线和圆锥曲线关系类 12分
02年全国 文科 7 选择题 概念、性质类 5分 28分 18．7%
11 选择题 概念、性质类 5分
16 填空题 概念、性质类 4分
21 解答题 与圆锥曲线有关的轨迹类 14分
理科 6 选择题 概念、性质类 5分 21分 14．0%
14 填空题 概念、性质类 4分
19 解答题 概念、性质类 12分
03年全国 文科 3 选择题 概念、性质类 5分 24分 16．0%
5 选择题 概念、性质类 5分
22 解答题 与圆锥曲线有关的轨迹类 14分
理科 2 选择题 概念、性质类 5分 24分 16．0%
8 选择题 概念、性质类 5分
21 解答题 与圆锥曲线有关的轨迹类 14分
04年全国 文科 7 选择题 概念、性质类 5分 24分 16．0%
8 选择题 直线和圆锥曲线关系类 5分
22 解答题 直线和圆锥曲线关系类 14分
理科 7 选择题 概念、性质类 5分 22分 14．7%
8 选择题 直线和圆锥曲线关系类 5分
21 解答题 直线和圆锥曲线关系类 12分
04年浙江 文科 6 选择题 直线和圆锥曲线关系类 5分 24分 16．0%
11 选择题 概念、性质类 5分
22 解答题 与圆锥曲线有关的轨迹类 14分
理科 4 选择题 直线和圆锥曲线关系类 5分 22分 14．7%
9 选择题 概念、性质类 5分
21 解答题 与圆锥曲线有关的轨迹类 12分
从以上四年的高考题中可以看出选择、填空题主要考察圆锥曲线有关的概念和性质问题；而解答题则是以直线和圆锥曲线关系、求轨迹类问题为主，当然也是圆锥曲线的概念性质为前提.所以在复习中，要求学生掌握一些直线和圆锥曲线关系和求轨迹问题的一般解题思路及思想方法，同时加强对圆锥曲线的概念和性质的理解和灵活应用的训练.
二、基础知识梳理
（一）概念及性质
1．椭圆及其标准方程
第一定义、第二定义；
标准方程（注意焦点在哪个轴上）；
椭圆的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径）；
椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ,当点P在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题.
2． 双曲线及其标准方程：
第一定义、第二定义（注意与椭圆类比）；
标准方程（注意焦点在哪个轴上）；
双曲线的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义、准线方程、焦半径、渐近线）.
3． 抛物线及其标准方程：
定义以及定义在解题中的灵活应用（抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离）；
标准方程（注意焦点在哪个轴上、开口方向、p的几何意义）四种形式；
抛物线的简单几何性质（焦点坐标、准线方程、与焦点有关的结论）.
（二）常见结论、题型归类及应对思路：
1．中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1.
2．共渐近线的双曲线标准方程为为参数，≠0）.
3．焦半径、焦点弦问题
（1） 椭圆焦半径公式：
在椭圆＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则：
①|PF1|=a+ex0 ② |PF2|=a-ex0
过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，
过右焦点的弦.
（2）双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c，0)，F2(c，0),则：
①当P点在右支上时，；
②当P点在左支上时，；（e为离心率）
（3）抛物线焦半径公式：设P（x0，y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px （p<0）上任意一点，F为焦点，则；
抛物线y2=2px （p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2)，则有如下结论：①＝x1+x2+p；②y1y2=－p2，x1x2=.
（4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p； 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b.
4．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题
一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为
A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长
,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.
5．中点弦问题
处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KABKOM=；对于y2=2px（p≠0）抛物线有
KAB＝；另外，也可以用韦达定理来处理.
6．求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法
（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；
（3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；
（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)的变化而变化，并且Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；
（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.
三、重点、难点分析
重点 圆锥曲线的概念、性质
难点 圆锥曲线的概念、性质等的综合应用
四、课时安排
第一课时 圆锥曲线的概念、性质类问题
第二课时 直线和圆锥曲线关系类问题
第三课时 与圆锥曲线有关的轨迹类问题
说明：问题的类别、知识是相互联系的，因此课时分类也不是绝对的.
五、分课时讲解例题
第一课时 圆锥曲线概念、性质类问题
例1.（02北京）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线
的渐近线方程是 （ ）
分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程
求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点，双曲线焦点
，∴，∴，
又∵双曲线渐近线为.
∴代入，，得，∴选D.
例2．（02全国文11）设，则二次曲线x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围为 （ ）
分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.
解一：因为，所以cotθ>0，tanθ>0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必然大于1.从而排除A、B、C，得D.
解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a和半虚轴长b分别为，.所以半焦距，离心率为，因为，所以e的取值范围为，选D.
第二课时 直线和圆锥曲线关系类问题
直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
例3．<2004年天津高考·理工第22题，文史第22题[只做第(1)和(2)问]，本小题满分14分> 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3理工类考生做）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
(I)解：由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率
(II)解： 由(I)可得
设直线PQ的方程为由方程组
得
依题意 得
设 则
①
②
由直线PQ的方程得 于是
③
④
由①②③④得从而
所以直线PQ的方程为
或
(III)证明：由已知得方程组
注意解得
因故
而所以
例4．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切．过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足．
（Ⅰ）求双曲线的渐近线的方程；
（Ⅱ）求双曲线的方程；
（Ⅲ）椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴．如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程．
讲解：（Ⅰ）设双曲线的渐近线的方程为：，则由渐近线与圆相切可得：．
所以，．
双曲线的渐近线的方程为：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线的方程为：．
把直线的方程代入双曲线方程，整理得．
则 （＊）
∵ ，共线且在线段上，
∴ ，
即：，整理得：
将（＊）代入上式可解得：．
所以，双曲线的方程为．
（Ⅲ）由题可设椭圆的方程为：．下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹．
设弦的两个端点分别为，的中点为，则
．
两式作差得：
由于，
所以，，
所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分．
又由题，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以，．所以，，椭圆S的方程为：．
点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．
第三课时 与圆锥曲线有关的轨迹类问题
解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．
例5．（2004. 福建理）（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2， ①
得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1，
∴直线l的斜率kl=－=－，
∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.
∵M是PQ的中点
x0==-，
∴
y0=x12－(x0－x1).
消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，
得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
则x0==kl=-，
∴x1=－，
将上式代入②并整理，得
y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).
分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则
.
y=x2
由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③
y=kx+b
y1+y2=2(k2+b)，
则
y1y2=b2.
方法一：
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴的取值范围是（2，+）.
方法二：
∴=|b|=|b|.
当b>0时，=b==+2>2；
当b<0时，=－b=.
又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，
于是k2+2b>0，即k2>－2b.
所以>=2.
∵当b>0时，可取一切正数，
∴的取值范围是（2，+）.
方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，
即=.
则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
于是b==－x1x2.
∴==+=+≥2.
∵可取一切不等于1的正数，
∴的取值范围是（2，+）.
下面是探究型的存在性问题：
例6．（2004湖北理）（本小题满分12分）
直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力.
解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化简得
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.
四、思维能力训练
（1） 选择题
1．（04年天津理4、文5）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ( )
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
2．（04重庆高考理10、文10）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ） A． B． C． D．
3．（04湖北理）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为 （ ）
A． B．3 C． D．
4．（04 福建理）如图，B地在A地的正东方向4 km处，C
地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离
比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上
选一处M建一座码头，向B、C两地转运
货物.经测算，从M到B、M到C修建公
路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，
那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．(2－2)a万元 B．5a万元
C．(2+1) a万元 D．(2+3) a万
5．（04 辽宁卷）已知点、，动点，则点P的轨迹是
（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．[04全国（山东山西河南河北江西安徽）理8、文8]
设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （ ）
A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
（二）填空题
1．（2004年重庆高考·理工类第16题）对任意实数K，直线：与椭圆：恒有公共点，则b取值范围是_______________．
2．（2004年湖南高考·理工类第16题）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 .
（三）解答题
1．设抛物线过定点，且以直线为准线．
（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围．
2.（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分）
设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，
点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
3.已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
五、小结
圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：
（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
（7）参数方程和极坐标的内容，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.
高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点. 数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，复习过程中要重在研究解题方向和策略、推理，要着眼抽象思维水平的提高.要善于从题目的条件和求解(或求证)的过程中提取有用的信息，作为于记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，这就是解题方向.题目信息与不同数学知识的结合，可能会形成多个解题方向，先取其中简捷的路径，就得到题目的最优解法.解题过程中不断进行这样的思考和操作，将使数学能力得到有效地提高.
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1用 函 数 的 观 点 看 数 列
温州七中 刘若菡
设计立意及思路：
数列是函数概念的继续和延伸。它是定义在自然集或它的子集{1，2，…，n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
高考考点回顾
1． 与二次函数有关的等差数列的问题
（2004年重庆卷）若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn成立的最大自然数n是( )
(A) 4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008
（1992年全国高考试题）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0。
（1） 求公差d的取值范围
(2)指出S1，S2,...,Sn中哪一个值最大，并说明理由。
（2002年上海春季高考题）
设｛an｝(n∈N)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5< S6, S6< S7, S7< S8,则下列结论错误的是( )
(A)d<0 (B) a7=0 (C) S9>S5 (D) S6与S7均为Sn的最大值
2．与函数的单调性有关的数列问题
（2002年上海卷）
已知函数f(x)=a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）
（1） 求函数f(x)的解析式；
（2） 记an=log2f(n),n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0；
（3） （文）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
（理）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列｛anSn｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
3.用函数观点解数列应用题
基础知识梳理：
1. 关于等差数列{an}
(1) 通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成
an=dn+(a1-d)。
它是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。
公差d=是相应直线的斜率。当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减；当d=0时，{an}为常数数列。
（2）求和公式Sn=na1+d,可以写成
Sn= n2+(a1-)n。
它是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。
从函数的角度理解，Sn=na1+d变形为Sn= n2+(a1-)n。 当d≠0时，Sn是关于n的二次式，且常数项为零。此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn的增减变化及最值等问题。
当d=0时，{an}是常数列，Sn=na1,此时，若a1≠0,则Sn是关于n的一次式；若a1=0,则Sn=0。
2. 关于等比数列{an}
通项公式an=a1qn-1,可以写成
an=·qn(n∈N*)。
当q>0且q≠1时，y=qx(x∈R)是指数函数，而y=·qx(x∈R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此an=·qn(n∈N*)的图象是函数y=·qx(x R)的图象上的一群孤立点。
很明显，若>0,当q>1时，数列递增；当0例题讲解：
例1 在等差数列{an}中，若a1<0, 且 S5=S13, 试问这数列的前几项之和最小？
思路导引：先让学生猜想等差数列{an}的单调性，学生能预测{an}是首项为负数的递增数列。因此，要找到这个数列中小于零的所有项中的最后一项。而an=a1+(n-1)d，an的值与a1、d有关，所以先由已知条件S5=S13求出a1与d的关系
解法一 设公差为 d ，由 S5=S13, 有
5a+=13a1+
由此得 a1=- ，而a1<0, 故d>0,即{an}是首项为负数的递增数列。因此，当an≤0且an+1>0时， Sn有最小值，即需
-+(n-1)d≤0,
-+nd>0, 解得所以，此数列的前9项之和最小。
思路导引：因为sn是常数项为零的二次函数，所以也可以利用二次函数求最值的方法来求sn的最小值
解法二 由解法一已得a1=-,且d>0,所以
Sn=na1+d=-+-n=n2-9dn
= (n2-18n) = (n-9)2-.
由此可知，当n=9时，Sn最小。
思路导引：既然sn是常数项为零的二次函数，那么，能否结合二次函数的图象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看，已知条件中S5=S13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数Sn= n2+(a1-)n中，当n=5与n=13时，对应的函数值相等。（教师在画出的抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的对称轴位置
解法三 已知S5=S13，而Sn是n的二次函数（二次项系数>0）,由抛物线的对称性可得其对称轴方程为n==9。
所以，当n=9时，Sn最小。
小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等，让学生比较以上这三种常见的解法，体会函数思想的作用。
变式：
（1） 在等差数列{an}中，a1>0，S3=S11，则Sn中最大的是（　）
(A)S6 (B)S7 (C)S8 (D)S9
（２）（2003年黄岗中学）在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15
①求前n项和Sn ②当n为何值时，Sn有最大值，并求它的最大值
例2（2004年重庆卷）若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )
（A）4005(B)4006(C)4007(D)4008
思路导引：由于解题目标是前n项的和Sn==na1+d,故可从两方面入手。
由已知条件，能否判断本题中等差数列{an}的单调性？（学生能判断）对照例1，可知该数列的前n项和Sn有最值，且当n=2003时取到该值，但n=2003时Sn最大，是否就是本题所要求的答案呢？让学生认识到例1和例2的联系和区别。由a1>a2>…a2003>0>a2004> a2005…知，虽然S20040成立的最大自然数n是多少呢，能否借鉴例1中所用的函数的思想，数形结合的思想？从而引导学生画出抛物线，判断其对称轴的位置，进而判断出抛物线与x轴的交点的坐标
解法一：由题意可得：等差数列中，
从第1项到第2003项是正数，
且从第2004项开始为负数，
则所有的正项的和为Sn的最大值，
即当n=2003时，Sn取得最大值，
显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数，
且开口向下，所以第2003项离对称轴最近，故其对称轴介于2003到2003.5之间。
又因二次函数的图象与x轴的一个交点是（0,0）,则设另一个交点（x,0）,x应介于4006到4007之间（如上图）
所以使Sn>0的最大自然数是4006，故选B。
思路导引：根据Sn=，可以利用等差数列的性质求解。问：a2003+a2004= a1 + a？，从而判断出S4006>0,进而判断出S4007<0
解法二：由题意可得：等差数列中，从第1项到第2003项是正数，且从第2004项开始为负数，S4006=2003(a2003+a2004)>0
S4007==4007a2004<0,故n的最大值为4006,选B
评价：等差数列｛an｝(d≠0)的前n项的和
Sn=na1+d是关于n的缺常数项的二次函数，
则在函数思想的指导下，利用数形结合常常收到奇异的效果。
变式
1．（1992年全国高考试题）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0。
(1)求公差d的取值范围
（2） 指出S1，S2,...,Sn中哪一个值最大，并说明理由。
解（1）略
（2）由a3=12>0,S12>0,S13<0,可知公差d<0,Sn=an2+bn,可知a=<0,故相应的抛物线向下伸展且过原点（0，0）。又由S12>0,S13<0，可知这抛物线向下伸展且过一交点在点（12，0）与（13，0）之间，因此对称轴在n=6与n=6.5之间，离对称轴最近的是n=6，故S6最大。
说明：用同样方法，可以证明更一般性的命题：若a1>0,d<0,且S2k>0, S2k+1>0, S2k为S1,S2…, S2k中的最大值。下面提供另一种证明法，
由 可得 a1>a2>…ak>0>ak+1> ak+2….于是
由此可知，Sk有最大值。
2．(1)已知等差数列｛an｝中,Sm=Sn(m≠n)，则Sm+n= _____
(2)已知等差数列｛an｝中,Sm=Sn(m≠n)，则a1+am+n=0
例3（可视为上题的推广）已知等差数列Sm=n, Sn=m, (m≠n),
求Sm+n
思路导引：本题退到一般的情形,可以用方程的思想求解.
解：对等差数列可设
①—②，得A（m2-n2）+B(m-n)= n-m
即 A(m+n)+B=-1,
故 A（m+n）2+B(m+n)=-(m+n)
即得 Sm+n=-(m+n)
例4、已知数列｛an｝的公式是an=，其中a、b均为正常数，那么an与an+1的大小关系是 ( )
(A) anan+1 (C) an=an+1 (D)与n的取值相关
思路导引:要比较an与an+1的大小关系,其实就是要判断an=的单调性.从函数的观点看,函数f(x)= 的单调性在《函数》一章中已会判断.
解：an==
∵a、b均为正常数，∴an随n的增大而增大。故选A，答案：A。
例5、（2002年上海卷）
已知函数f(x)=a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）记an=log2f(n),n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0；
（3） （文）对于（2）中的an与Sn整数96是否为数列｛anSn｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
（理）对于（2）中的an与Sn整数104是否为数列｛anSn｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
思路导引:图象过A,B两点,说明A,B两点的坐标满足函数表达式
解：（1）由 a=
1=a·b5 得, b=4
∴f(x)=·4x.
(2)an=log2f(n)=log2·4n=2n-10,
∴｛an｝是以-8为首项，公差为2的等差数列。
Sn==n(n-9)
anSn=2n(n-5)(n-9),
由anSn≤0得5≤n≤9.
故n=5,6,7,8,9.
思路导引:由(2)知,从函数的观点看,anSn是关于n的三次函数,而且5≤n≤9时anSn≤0.n=1,2,3,4易求得a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40,都不等于96,所以要考虑anSn中n≥10的项.由导数的知识可知n≥10时anSn=2n(n-5)(n-9)是单调递增函数.所以可以先计算a10S10的值,文科马上得出答案.理科要进一步估值,使其逼近96或者等于96.此时可以鼓励学生进行猜想,并通过估值结合计算,得到答案.
(3) （文）a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40,
当5≤n≤9时，anSn≤0。当n≥10时，anSn≥a10S10=100。
因此，96不是数列｛anSn｝中的项。
（理）a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40,
当5≤n≤9时，anSn≤0。当10≤n≤22时，anSn≤a22S22=9824<104;当n≥23时，anSn≥a23S23=11592>104.
因此，104不是数列｛anSn｝中的项。
例6、某计算器有两个数据输入口J1、J2，一个输出口C.
(1) 当J1、J2分别输入正整数1，经过计算器运算后，C输出正整数2；
(2) 当J1输入正整数m,J2 输入正整数n时，C的输出要比J1输入m,J2输入n+1时，C的输出减少3.试问：J1输入1,J2输入n时，C输出的是多少？
思路导引:先把问题具体化.引导学生完成下表
J1 J2 C
1 1 2
1 2 5
1 3 8
1 4 11
1 5 14
进而,让J1取2,取3,…让学生认识到,无论J1,J2取何正整数,每当J1,J2各取一个确定的值,C就有一个唯一确定的值与它对应.引导学生联想函数的定义.可把条件用二元的解析式f(m,n)表示，再用函数观点和数列知识解题。
解:设当J1、J2分别输入正整数m、n时，经计算器运算后，C输出正整数k记为k=f(m、n).由已知（1）得f(1,1)=2,
由已知（2）得f(m、n+1)=f(m、n)+3.因此，有f(1,2)-f(1,1)=3,f(1,3)-f(1,2)=3,…,f(1,n)-f(1,n-1)=3.由此可知：f(1,1)，f(1,2)，f(1,3)，…， f(1,n)为以2为首项、公差为3的等差数列。所以，f(1,n)=2+(n-10·3=3n-1,即当J1、输入1，J2输入正整数n时，C输出的是3n-1
变式：右图是一个计算装置的示意图，J1，J2是数
据入口，C是计算结果的出口。计算过程是由J1，J2分
别输入正整数m和n，经过计算后得正整数k由C输
出，所进行的计算满足以下三个性质：
1 若J1，J2分别输入1，则输出结果为1；
2 若J1、输入任何固定的正整数不变，而J2输入的正整数增大1，则输出结果比原来的增大2；
3 若J2输入1，而J1输入的正整数增大1，则输出结果为原来的2倍。
试问：（1）若J1、输入1，J2输入正整数n，输出结果为多少？
（2）若J2输入1，J1输入正整数m，输出结果是多少？
（3）若J1输入正整数m, J2输入正整数n，输出结果为多少？
思维能力训练
一、选择题
1．已知数列｛an｝的通项公式为an=-0.3n2+2n+7,则数列中数值最大的项为( )
(A) a5 (B)a4 (C) a3 (D) a2
2.在等差数列｛an｝中.已知│a8│,d<0,则使它的前n项和Sn取最大值的自然数n是( )
(A)4或5 (B) 5或6 (C) 6或7 (D) 不存在
3. （2002年上海春季高考题）
设｛an｝(n∈N)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5< S6, S6< S7, S7< S8,则下列结论错误的是( )
(A)d<0 (B) a7=0 (C) S9>S5 (D) S6与S7均为Sn最的大值
4．已知数列｛an｝中，an=(n∈N*)，则该数列｛an｝的最大项是（ ）
(A)第12项 (B) 第13项 (C) 第12项或第13项 (D)不存在
5、（2003年海淀)等比数列｛an｝中,a1=512,公比q=-,用Ⅱn表示它的前n项之积: Ⅱn=a1a2…an,则Ⅱ1Ⅱ2…,中最大的是
(A) Ⅱ11 (B) Ⅱ10 (C) Ⅱ9 (D) Ⅱ8
6.设函数f定义如下表,数列｛xn｝满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2004的值为:
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)5
二、填空题：
1．（2001年全国高考题）
设 ｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q=
2．设数列｛an｝的通项公式为an=n2+λn(n∈N*)且｛an｝满足a1-3.
在等差数列｛an｝中，7a5+5a9=0，且a9>a5,则使数列前和Sn取最小值的n等于（ ）
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8
三、解答题：
1．在等差数列｛an｝中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项的和为Sn。
（1） 求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；
（2） （2）求Tn=│a1│+│a2│+…+│an│.
2．（2003年东城）已知函数f(x)=px2+qx,其中p>0,p+q>1.对于数列｛an｝，设它的前n项和为Sn，且Sn=f(n)(n∈N*).
(1)求数列｛an｝的通项公式； （2）证明：an+1>an>1;
(3)证明：点M1.M2,M,…,Mn都在同一直线上。
3.等差数列｛an｝的前n项之和为Sn.已知：当且仅当n=5时，Sn有最小值。
（1） 当n取怎样的值时，分别有Sn=0，Sn>0,Sn<0;
（2） an是否可能等于零？试说明理由；
（3） 若a7+a8=72,问数列｛an｝中有多少项满足-9≤an≤260
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1三角函数的性质及三角恒等变形
温州中学 叶昭蓉
概述：三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。
【考点梳理】
一、考试内容
1.角的概念的推广，弧度制。
2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。
3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。
4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(ωx+)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。
5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。
二、考试要求
1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。
2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx+)的简图，理解A、ω、的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号表示。
7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
（2005年考纲删减知识点：“能利用计算器解决三角形的计算问题”）
三、知识网络：
【命题研究】
分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，浙江省2004年高考试题这部分内容有17分，占总分11.3%。试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。
数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查。
如：福建卷的第17题设函数
；
（2）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值。此题“重视知识拓宽，开辟新领域”，将三角与向量知识交汇。
高考试题联系现行新教材，如全国（2）卷中的第17题：已知锐角三角形中，（1）求证：；（2）设，求边上的高，就与下列课本习题相接近，课本第一册（下）第四章三角函数的小节与复习例2：已知，求的值。
【复习策略】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。
解答三角高考题的一般策略：
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。
三角函数恒等变形的基本策略：
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次，即二倍角公式降次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
第一课时
【典型例题分析与解答】
例1、
分析：对三角函数式化简的目标是：
（1）次数尽可能低；
（2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一；
（4）项数尽可能少。
观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；
（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；
（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。
解法一：
解法二：（从“名”入手，异名化同名）
解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。
例2、已知函数的图像过点，且b>0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。
解：(1)，由题意，可得，解得，所以；
(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。
［注］本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。
例3、为使方程在内有解，则的取值范围是（　　）
分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，于是问题转化为：若关于的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下：
分析二：
解法如下：
　
［注］换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。
思维能力训练：
1、函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A. B.
C. D.
2、下列函数中，以为周期的函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知是第三象限的角，若等于（ ）
A. B.
C. D.
4、已知，则以下选项正确的是（　　）
A.　　　B.
C. 　 　D.
5、函数以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则φ的一个值是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、如图，半径为2的⊙M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB。旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为，那么的图象是（ ）
A、 　 　 B、 　　 C、 　 D、
7、。
8、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），则（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；；；，则其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　。
9、已知函数，
(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；
(2)判断函数奇偶性。
10、（1）已知：，求证：；
（2）已知：，求：的值。
11、已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。
第二课时
【典型例题分析与解答】
例1、已知向量，
(1)求的值；(2)若的值。
解：(1)因为
所以
又因为，所以，
即；
(2) ，
又因为，所以 ，
，所以，所以
点评　本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．
例2、已知向量，向量与向量的夹角为，且，
（1）求向量；
（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。
　　分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。
解：（1）设，由，有　　①
向量与向量的夹角为，有，
，则　　②
由①、②解得：　
（2）由与垂直知，
由
若，则，
　　　　＝，
，
例3　如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．
（１）用a，表示S1和S2；
（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．
解：（1）
设正方形边长为，则
（2）当固定，变化时，
令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。
［注］三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。
思维能力训练：
1、 （　　）
　　A.2　　　　B.　　　　C.4　　　　D.
2、 给出下列的命题中，其中正确的个数是（　　）
（1） 存在实数α，使sinαcosα=1；
（2） 存在实数α，使sinα+cosα=；
（3） 是偶函数；
（4） 若α、β是第Ⅰ象限角，且α＞β，则tgα＞tgβ
（5） 在⊿ABC中A＞B是sjnA＞sinB的充要条件。
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4　
3、函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
4、函数在下面哪个区间内是增函数（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5、若点P在第一象限，则在［０，2］内的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、定义在R上的函数即是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（　　）
　　A.　　　B. 　　　C. 　　　D.
7、给出问题：已知中，满足，试判定的形状，某学生的解答如下：由条件可得：，去分母整理可得，。故是直角三角形。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上。　　　　　　　　　　　　　　　　
8、已知__________。
9、在中，角所对的边分别为，且，
（1）求的值；
（2）若，求的最大值。
10、已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。
(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。
11、例2、如图，足球比赛场的宽度为a米，球门宽为b米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线，带球过人沿直线向前推进。试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角正切值最大？（注：图中表示乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上的情形）。
　　　　　
答案：
第一课时：1、A　2、D　3、A　4、A　5、A　6、A　7、8、（1）（2）（4）
9、解：(1)，
定义域：，值域为：R，最小正周期为；
(2) ，且定义域关于原点对称，
所以为奇函数。
10、解：（1）
（2）
当时，，
当时，，
11、解：
，因为为偶函数，
所以，对，有，即
，
亦即，所以，由，
解得，此时，
当时，，最大值为0，不合题意，
当时，，最小值为0，
当时，由最大值，此时自变量x的集合为：。
第二课时：1、D　2、B　3、B　4、D　5、B　6、D　7、不正确，直角三角形或等腰三角形　8、
9、解：（1）
（2）
　　　，又，，当且仅当时，，故的最大值是。
10、解：(1) ，
由周期为且最大值为1，所以由，
所以；
(2)由(1)知，令，解得对称轴方程为，
，所以是的对称轴。
11、解：以L为x轴，D点为坐标原点，建立直角坐标系，设AB的中点为M，则根据对称性有由此可知定点A、B的坐标分别为，设动点C的坐标为，记，且，
当且仅当时，达到最大，
，故该边锋在距乙方底线时起脚射门可命中角的正切值最大。
o
o从函数视角解决数列问题
瑞安中学 戴海林
数列是一类定义在正整数集或它的有限子集上的特殊函数，可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。另外，数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题。
（在下面所选讲的问题中，都是从函数的角度展开，事实上，每个问题都还有其它解法，请大家能充分综合数列有关知识，从多角度、多方位完成，本课题大约3至4课时）
一、以函数概念为载体，合理消化数列问题。
设计意图：通过对数列中的通项公式，前n项和公式等这些特殊函数关系的概念的理解与分析，引导学生充分认识与，与之间的对应关系，从而合理地找到解决问题的办法。
例１、（1997年上海市高考试题）
设 (n)= (n∈N)，则(n+1)－(n)等于（ ）
A、 B、 C、 D、
点拨：此题从形式上看是考查学生对数列的通项的意义的理解，但事实上更侧重于对函数符号及对应关系的考查，解决它的关键在于如何引导学生对函数
= 的概念的本质的理解，即如何正确表示，从而得出答案Ｄ。
例２、（1999年全国高考试题）
已知函数y=的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2……)时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1），设数列,由f()=n (n=1,2……)定义，求，和的表达式。
点拨：本题是集函数概念、直线斜率、数列等知识于一体的综合问题，具有高度的抽象性，要求学生掌握归纳、推理、综合等基本能力，同时能合理运用数形结合思想直观简化问题，解决它的关键是如何通过斜率把函数的两个变量有机结合起来，再根据两者的对应关系反映到数列的递推关系中。
即=b(n=1,2……)，其中x=0，则 －=，
且=，可求得 =1+，由递推关系通过累加得=。
二、以函数图象为工具，直观简化数列问题。
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
例３、在等差数列中，s是其前n项和，公差为.
（1）若=m，=n(m≠n)，求
（2）若s=s(m≠n)，求s
点拨：（1）由=+(n－1)d=dn+(－d)可知：是关于n的一次式，则三点(m, )、(n，)、(m+n, )共线，根据任意两点斜率相等得=0。
（2）由s=n+=可知：是关于n的二次式，且无常数项，令f()= ，由 s=s
得f(m)=f(n)，则=为此二次函数图象的对称轴，
因此 f(m+n)= f(0)=0，即 s=0 。
另解：由s=得可知：是关于n的一次式，则三点（m,共线，易求s=0 。当然此题可以有其它很多方法来解决，但是我们从中不难发现利用函数图象直观简便。
例４、（2000年成都市诊断性试题）
已知等差数列，公差为d，等比数列，公比为q(q>１) ，
若a=b=2，a=b。
(1) 比较a与b，a与b的大小；
(2) 猜想并证明a与b(n≥ 5)的大小关系。
点拨：由题意知a=2+(n－2)d=dn+2－2d， b=2q根据函数y=2q与y=dx+2－2d的图象可知，在x=2与x=4处有两个公共点，则ab，并可判断当n≥ 5时有a三、以函数性质为手段，有效分化数列问题。
设计意图：函数性质是函数特征的显性反映，深入挖掘并利用函数的性质可以大大简化解题过程，收到较好的解题效果。如函数的单调性、周期性等性质在数列中应用很广泛，通过下面这些问题的分析，不但可以使学生进一步巩固函数的性质，而且可以让学生提高解决数列问题的视野。
例５、（2000年北京西城区抽样测试题）
已知数列是以a为首项，a为公比的等比数列(a>0,a≠1)，令b=alga若中每一项总小于它后面的项，求a的范围。
点拨：由已知得a=a，则b=nalga，又b> b，则nlga<(n+1)alga
（1）当a>1时，a>显然成立。
（2）当０则 ()=，(n∈N)，因此0总之，符合条件的a的范围是a>1或0此题意在寻找递增数列的条件，通过转化归结为恒成立类型的问题，再利用函数的单调性求出最小值，从而得到结果。
例６、已知数列满足a=a－a，a=1，a=2，求
点拨：令f(n)= a，则f(n+2)=f(n+1)－f(n)
若函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)－f(x)，则 f(x+3)=f(x+2)－f(x+1)
相加得f(x+3)=－f(x)，则f(x+6)=－f(x+3)，因此 f(x)＝f(x+6)
即函数y=f(x)的周期为６ ，则易求f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)+f(x+5)=0
所以
本题是通过变量间规律的探求，发现存在周期性，这样在大大简化了解题过程的同时，很好地培养了学生的思维能力。
四、以构造函数为途径，巧妙转化数列问题。
设计意图：构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数学思想方法与解题能力。
例７、（１９９５年全国高考试题）
设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。
（1）证明；
（2）是否存在常数使得成立？并证明。
点拨：（1）设，下证其图象与x轴有两个不同的交点，显然＞０，故其开口向上，令它的公比为q，当q＝1时，；
当时，；当时，。因此其图象与x轴必有两个不同的交点，则对应方程的判别式即，两边取常用对数即可。对于（2）可考察来完成。
通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其它的解法，应注意引导与发散。
配套练习：
1、（1996年全国高考试题）
设等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A 、130 B 、1 C 、210 D 、260
2、（2002年上海市春季招生试题）
设等差数列的前n项和为，已知则在下列结论中错误的是( )
Ａ、 B、 C、 D、中的最大值
3、（2004年重庆市高考试题）
设等差数列的前n项和为，若则使成立的最大自然数n为（　　）
Ａ、4005 B、4006 C、4007 D、4008
4、（2000年全国高考试题）
等差数列的前n项和为，若 的前n项和，则=_____________。
5、（2004年甘肃等省高考试题）
已知是等比数列，。
（1）求数列的通项公式；（2）设是数列其前n项和，证明。
6、（2004年北京市高考试题）
是定义在[0，1]上的增函数，满足，在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
（1）求的值，并归纳出的表达式。
（2）设直线轴及的图象围成的梯形的面积为，求的表达式、定义域及最小值。
参考答案：
1、C；2、C；3、B；4、；
5、（1）；（2）可类似于例7的证明。
6、（1），归纳得：可利用数学归纳法证明；（2），，最小值为。
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１专题1 函数的性态研究 （3课时）
苍南龙港高中 林威
【考点透视】
1、函数的性质主要涉及函数的定义域、对应法则，值域（最值）、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及反函数的概念及性质。在高考试题中常以选择题、填空题的形式出现，有时也以函数内容为主的综合性解答题的形式进行考查。
函数是一种思想，它重在渗透。函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质是高考命题的热点之一。
函数由定义域和对应法则所确定，函数的值域由函数的定义域所确定，函数的单调区间是定义域的子集，奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，在解题时，应重视定义域在解决函数问题中的作用。
函数的综合运用主要是指综合运用函数的知识，思想和方法解决问题。近年来，高考试题中经常在函数与其他方面知识的交汇点编制试题，这样的试题通常以中高档题的形式出现。对函数以及函数思想方法应用的考查是数学高考的一大热点和亮点。
解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，然后把握问题的本质，展开广泛的联系，再是要运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。
解函数综合问题，还必须要加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数的有关性质，因为这将是高考考查的一个新的着眼点。
2、五年科学归纳
时间 题号 分值 题型 高考要求 考试内容 能力等级
2000 1 5 选择 理解 映射的概念 A
6 5 选择 应用 实际问题的应用 C
19 6 解答 应用 函数的单调性 C
21 12 解答 应用 应用题、函数的最值 C
2001 10 5 选择 掌握 单调性 B
22 12 解答 应用 函数的性质 C
2002 9 5 选择 掌握 单调性 A
10 5 选择 掌握 函数图象 B
13 4 填空 掌握 对数的性质 B
16 4 填空 应用 函数的性质 C
2003 3 5 选择 理解 函数概念 B
19 12 解答 应用 指数函数的单调性 C
2004 2 5 选择 理解 函数的奇偶性 B
4 5 选择 理解 反函数 B
3、合理预测
单调性、性质会在解答题中出现。分值会在10—15分左右。
1、 2004高考题汇总
【高考风向标】以客观题的形式考查函数的概念、性质和图象。
（一）选择题
1 (2004. 天津卷)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则=( A )
(A) (B) (C) (D)
2. （2004.江苏）设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( B )
(A)3 (B) (C) (D)
3．(2004.全国理)已知函数 （ B ）
A．b B．－b C． D．－
4．(2004.全国理)函数的反函数是 （ B ）
A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)
C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)
5、（2004.上海理）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到,则 f(x)=( A )
(A) 10-x-1. (B) 10x-1. (C) 1-10-x. (D) 1-10x.
6、（2004. 上海卷文科)若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则
f(x)=( A )
(A)10x-1. (B) 1-10x. (C) 1-10-x. (D) 10-x-1.
7．（2004.湖北理）已知的解析式可取为 （ C ）
A． B． C． D．
8．（2004. 福建理）已知函数y=log2x的反函数是y=f—1(x)，则函数y= f—1(1－x)的图象是 （ B ）
9．（2004. 福建理）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则（ D ）
A．f(sin)f(cos1)
C．f(cos)f(sin2)
10．（2004. 重庆理）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ C ）
A． B． C． D．
11．（2004. 辽宁卷）对于，给出下列四个不等式D
① ②
③ ④
其中成立的是
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
12．（2004.湖南理）设是函数的反函数，若，则 的值为 （ B ）
A．1 B．2 C．3 D．
13．（2004.湖南理）设函数则关于x的方程解的个数为 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2004.湖南理）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是 （ D ）
A． B．
C． D．
（二）填空题
15．（04. 上海春季高考）方程的解__________.2
16．（04. 上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.1
(x≠0)，
17．（2004. 福建理）设函数f(x)= a (x=0). 在x=0处连续，则实数a的值为 1/2 .
18．（2004. 福建理）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各
切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一
个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的
底面边长为 2/3 时，其容积最大.
19、（2004.上海理）若函数f(x)=a在[0,+∞)上为增函数,则实数a、b的取值范围是 a>0且b≤0 .
20、（2004. 人教版理科）设函数 ，则使得的自变量的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、错解分析
1．已知函数的值域。
误解（1）
（2）
错因剖析 求函数的定义域不能随意化简函数，一定要确保函数解析式的等价变形，其次求函数的值域一定要考虑到函数的定义域。
2．已知函数上是增函数，求实数a的取值范围。
误解：
又
综上所述
错因剖析 本题不需要上有
3．试比较下面两个问题的差别：
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围。
错解：（2）
三、焦点透视
《考试大纲》强调数学科命题，注重“对数学基础知识的考查”，“注重学科的内在联系”。高考数学试题已形成“重基础、出活题、考能力”的格局。因此在第二轮复习中要注重各知识板块进行纵横联系，寻找其共同点，从学科整体意义上建构盘根错节的知识网络，从而使学生明确知识的运用情境及其来龙去脉，使学生对基础知识做到深刻理解、熟练掌握和灵活运用，以致在解决问题的活动中达到“该出手时就出手”。
【高考风向标】以解答题的形式综合考查二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、分式函数、分段函数的定义、性质、图象及应用。注重知识板块的综合考查。
聚焦一：函数内综合的板块
函数的性质和图象相结合的综合板块是我们要关注的重点之一。单调性是复习的重点，指数函数、对数函数具有融合函数性质、指数函数、对数函数的运算、指数函、对数不等式于一体，是一个好载体。
例1(苏)、已知函数f(x)的图象与函数。
（1）求f(x)的解析式；
（2）若且g(x)在区间（0，2）上为减函数，求实数a的取值范围。
【思路导引】：对称的问题可以通过图象或求轨迹中坐标转移代入法来求解，单调性可以根据定义或求导的方法。
解：（1）设图象上的点，它关于A（0，1）对称的点为P（x、y）在y=f(x)上
得：
（2）在区间（0，2）上为减函数。
法一：由基本不等式
法二：
链接题：
已知函数f(x)的图像与函数的图像关于点A（0，1）对称：
①求f(x)的解析式.
②若求实数a的取值范围.
解：（1）
（2）
链接题：
函数
（I）求g(x).
（II）如果关于x的不等式
解：（1）
（2）
例2、设.
（1）试求f(x)的反函数f－1(x)的解析式及f－1(x)的定义域；
（2）设求实数k的取值范围。
【思路导引】：求函数的解析式及反函数；恒成立的问题利用单调性。
解：（1）
（2）
首先
恒成立
链接题：
设a、b、，且定义在区间（－b，b）内的函数
（1）求实数b的取值范围；
（2）讨论函数f(x)的单调性。
解：（1）
由
（2）
链接题：
设函数，其中
（1）证明f(x)是（a，+∞）上的减函数；
（2）解不等式f(x)>1.
解：（1）
（2）
又
例3、定义在R上的函数
（1）求f(x)在[1，5]上的表达式；
（2）若
【思路导引】：函数的奇偶性、周期性、求解析式同时存在，可以结合图象来辅助研究。
略解：（1）T=4
（2）若f(x)>a有解，只要a<1即可。
聚焦2：抽象函数及最值
抽象函数、最值能体现函数整体的性质，综合了函数的单调性、奇偶性、对称性 、周期性、定义域、值域。
例4、已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：
①对于任意，总有
②f(1)=1
③若
（Ⅰ）试求f(0)的值.
（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值.
（Ⅲ）（理科学生做，文科学生不做）
试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有
【思路导引】：赋值法是常用的方法，根据单调性定义及题中的条件来证明单调性，（3）题中要根据分段来逐步讨论。
略解：（1）由① 由③
（2）任取x1，x2有
（3）
再证
链接题：
又对于任意x1、x2，有
（1）将D用区间表示；
（2）求证：f(1)=f(－1)=0；
（3）解不等式
【思路导引】：在（3）中要注意复合函数的定义域在解题中的影响。
略解：（1）
（2）令x1=x2=1
令x1=x2=－1
（3）
f(x)增
得
例5、已知f(x)是定义域为R的奇函数，当.
（Ⅰ）求f(x)的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（），使f(x)在[a，b]上的值域为[]，若存在，求a和b，若不存在，说明理由。
【思路导引】：当定义域与值域同时存在时，可根据图象使给定的区间从左到右移动来讨论函数值的变化，此时的分段要细致，不可遗漏。
略解：（1）
（2）说明：a、b同号
链接题：
已知在区间[1，3]上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)－N(a).
（Ⅰ）求g(a)的解析式；
（Ⅱ）讨论g(a)在区间上的单调性；
（Ⅲ）在时，证明：g(a)<3a2＋2.
【思路导引】此题是限定参数范围的最值问题，受此影响g(a)表现为分段函数，对分段函数单调性进行研究，将不等式化为对函数值域的研究。
略解：（1）对称轴
时，对称轴
，对称轴
（2）
证明略.
（3）令
链接题：
已知函数f(x)的图象可由函数的图象向右平移两个单位而得到。
（1）写出函数f(x)的解析式；
（2）证明函数f(x)的图象关于直线y=x对称；
（3）当函数f(x)的最大值为最小值为试确定集合M，并说明理由。
略解：（1）
（2）
（3）
聚焦3：综合板块
构建四个典型的知识网络：
（1）函数与数列网络。
（2）函数与导数网络。
（3）函数的图象与方程的曲线网络。
（4）函数与方程、不等式网络。
【热点冲刺】（1）函数与数列网络。
例6、已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?
(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称．?
(2) 令an＝，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之．?
(3) 求证：∈Ｎ).
函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗 试试你的数学猜想能力.
解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.
设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），? ∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，
故函数f(x)的图象关于点P()对称.?
(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜a=3,
即3ｎ＞ｎ２．?
下面用数学归纳法证明．?
设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ２．?
那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２?
又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?
∴３ｎ＞ｎ２.?
(3)∵３ｋ＞ｋ２? ∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?
令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：
链接题：
已知函数
（1）求；
（2）设、所围成的图形的面积，求
略解：（1）
（2）
链接题：
设
其中.
（1）求函数 （2）试比较
略解：（1）
类似数列求通项
（2） ① ②
可证 （略）
链接题：
已知有
（1）证明：
（2）数列{xn}满足的通项公式；
（3）证明等式
解：（1），为奇函数.
（2）
又
（3）n=1时，左边=
略解法一：
则n=k+1时左边=
= 成立
法二：
【热点冲刺】（2）函数与导数网络。
例7、设平面内两向量a与v互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为0的实数。
（1）若求k关于t的函数关系式k=f(t)；
（2）试确定k=f(t)的单调区间。
解：（1）
（2）
t (∞,－1) －1 (－1,1) 1 (1,+ ∞
f＇ ＋ 0 － 0 ＋
f 较大 极小
[－1，1]
例8、已知
（1）若
解：（1）
（2）
链接题：
已知
（1）求a、b的值；
（2）若对
解：（1）
（2）
X
F＇ ＋ － ＋
f
【热点冲刺】（3）函数的图象与方程的曲线网络。
例9．设x1,x2∈R ，定义运算: x1x2 =(x1+x2)2-( x1-x2)2
（1） 若x≥0，常数p>0，求动点P(x, )的轨迹C；
（2） 过动点M(a,0)且斜率为1的直线L与轨迹C交于不同的两点A,B，若|AB|≤2p，求实数a的取值范围。
【思路导引】创新题，理解信息题的含义，数形结合来解题。
略解：（1）y2=2px (2)-p/2例10、设函数f(x)的定义域为D，若存在则称以（）为坐标的点为函数图象上不动点。
（1）若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，求a、b满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、A’,P为函数f(x)的图象上的另一点，且其纵坐标yp>3，求点P到直线AA’距离的最小值及取得最小值时点P的坐标；
（3）命题“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明。
略解：（1） …①
的实根。
（2）①的方程为x2－8=0
设
等号当且仅当
（3）若y=f（x）为奇函数，则必有f(0)=0，为不动点
又
必成对出现的共奇数个
如：
【热点冲刺】（4）函数与方程、不等式网络。
例11、已知函数
（1）若，试求f(x)的解析式；
（2）令的图像在x轴上截得的弦的长度为，且，试确定
解：（1）
（2）
则必有
四、思维能力训练（所有题目均选自2004全国各地模拟卷）
思维能力训练（一）
1．若函数的定义域是则该函数的值域是（ ）
A、{2，4，6} B、{2，4，8} C、{1，2，log32} D、{0,1,log23}
2．周长为定值的扇形，它的面积S是它的半径R的函数，则函数的定义域是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．将函数的图像C向左平移一个单位后，得到的图像C1，若曲线C1关于原点对称，那么实数的值为（ ）
A、1 B、－1 C、0 D、－3
4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[-1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是（ ）
A、增函数 B、减函数 C、先增后减的函数 D、先减后增的函数
5．已知函数的最大值为7，最小值为－1，则此函数的解析式为（ ）
A、 B、
C、 D、
6．设是奇函数，那么a＋b的值是_______.
7．已知函数f(x)的图象与的图象关于直线y=x对称，令h(x)=f（1－|x|），则关于函数h(x)有下列命题：
①h(x)的图象关于原点（0，0）对称；
②h(x)的图象关于y轴对称；
③h(x)的最小值为0；
④h(x)在区间（－1，0）上单调增。
其中正确的命题是__________（把正确命题的序号都填上）。
8已知f(x)是R上的奇函数，且______。
9．在函数若a、b、c成等比数列，且f(0)=－4，则f(x)有最__值（填“大”或“小”），且该值为_________。
10．已知的反函数是,设点图象上不同的三点。
（I）若存在正实数x使成等差数列，试用x表示a；
（II）在（I）的条件下，如果实数x是惟一的，求a取值范围。
11．设函数
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若
12．已知函数
（1）当a=－3时，求函数F(x)的定义域；
（2）当上的最小值t(a)，并求出当t(a)=0时对应的实数a的值。
思维能力训练（二）
1.若函数满足且时，的图象的交点的个数为（ ）
A、3 B、4 C、6 D、8
2．已知的大小关系可能是（ ）
A、a＜α＜b＜β B、a＜α＜β＜b C、a＜α＜b＜β D、α＜a＜β＜b
3．设函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ ）
A、3 B、 C、 D、
4．定义运算（ ）
A、（0，1） B、（－∞，1） C、 D、
5．已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数上为奇函数，则f(1)＋f(4)=__________.
6．关于函数，有以下命题：
①函数y=f(x)的图象关于y轴对称；
②当x>0时f(x)是增函数，当x<0时f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值是lg2；
④当x>1时f(x)没有反函数。
其中正确命题的序号是_________。（注：把你认为正确的序号都填上）
7．已知y=f(x)是偶函数，当x>0时当时，记f(x)的最大值为m，最小值为n，则m－n=__________。
8．已知实数z=m满足不等式试判断方程有无实根，并给出证明。
9.设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y总有
（Ⅰ）求f(0)的值；
（Ⅱ）证明：当x<0时f(x)>1；
（Ⅲ）证明：f(x)在R上单调递减，并举两个满足上述条件的函数f(x)；
（Ⅳ）若
.
10．已知
（1）求f(x)的表达式及定义域、值域；
（2）设平行于y轴的直线交函数y=f(x)的图象于P点，交直线y=2x＋1于Q点，求|PQ|的最大值。
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1导数及其应用（选修II）
苍南龙港高中 吕存于
【考点解读】
1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。
2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。
3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
4．体系整合
5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。
热点一：导数的几何意义
函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。
【错题分析】
[错例1] （2004天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。
误解：f (x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。
剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。
正确解法：设切点坐标，则切线的斜率，切线方程，又因为点M在切线上，所以得
【典型题例】
例1:设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (n∈N)。
（1）求出过点P0的切线方程。
（2）设xn=f (n) (n∈N)，求f (n)的表达式；
（3）求的值。
点拨 本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数
解析 （1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切线P0Q1的斜率，
∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243 (x－9)，即243x－y－1458=0.
（2）过Pn (xn，yn)的切线的斜率为kn=3x，切线方程为y－yn=kn(x－xn)，
即y－x=3x (x－xn). 令y=0得
x=xn－=x，即Qn＋1的横坐标为xn，
又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴P n＋1的横坐标xn＋1=xn，由于x0=9，∴数列是公比为的等比数列∴xn=x0 · ()n=9×()n，则f (n) = 9×()n，（n∈N）
（3）==27
点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。
【热点冲刺】
1．已知曲线y=sinx,x在P点切线平行于直线x－2y=0，则P点坐标为。
2．若a＞0，f (x) =ax2＋bx＋c，曲线y=f (x)在点P (x，f (x0))切线倾角为[0，]，则P到y=f (x)对称轴距离为（ B ）
A、[0，] B、[0，] C、[0，||] D、[0，||]
3．（预测题） (1990日本高考题)．设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。
解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0
为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－
设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为
y=2αx－α2，y=2βx－β2.
两切线交点为(x，y) 则
因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a
由此及②可得x=，y=－a＜
从而，所求的轨迹为直线x=上的y＜的部分。
热点二：利用导数研究函数性质
运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列有关的综合问题，题目较难。
【错解分析】
[错例2] 已知函数f(x) = 在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围。
误解：f′(x)=，由f (x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f′(x)≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立，即≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立。因此，a≤。
剖析：(1)上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f′(x)≥0 (f′(x))≤0且f′(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，不合题意。
(2)在区间D内可导数f(x) ，利用导数判别f(x)单调性法则为：若x∈D时，有f′(x)＞0(＜0＝, 则f(x)在D内是增（减）函数；反之，若f(x)在D内是增(减)函数，则x∈D时，恒有f′(x)≥0（≤0）。（不恒为0）
（3）再由函数的单调性过渡到函数的极值，由[错例2] 到 [错例3]
[错例3]函数f (x) = (x2－1)3＋2的极值点是（ ）
A、x=2 B、x=－1 C、x=1或－1或0 D、x=0
误解: f (x) =x6－3x4＋3x2＋1,则由f′(x)=6x5－12x3＋6x=0得极值点为x=1，
x=－1和x=0，故正确答案为C.
正确解法: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f′(x) =6x5－12x3＋6x=6x(x＋1)2(x－1)2知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0. f (x)在 (－∞，－1)、(－1，0)单调递增，在(0，1)、(1，＋∞)单调递减。则x=0为极小值点，x=－1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。
剖析：（1）满足f′(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。
（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f (x) =的极值点。（x=±1，0(易遗漏)）
【典型题例】
例2：(2001年北京、内蒙古、安徽春季招生题)在1与2之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数，使这个n＋2个数成等差数列。记An=，Bn=
（1）求数列和的通项；
（2）当n≥7时，比较和的大小，并证明你的结论。
点拨：在解决第(2)问时，可考虑将比较大小的问题转化为对函数单调性的研究，从而用导数求解。
解析:（1）因为1，，2成等比数列。
所以
所以An2=
所以An=
因为 1，，2成等差数列，所以=1＋2=3
所以Bn=·n=n
所以数列的通项为An=，的通项为Bn=n
（2）构造函数f（x）=－x（x≥7），则f (7) = －＞0
又因为f′(x)=(ln2－3) ＞(ln－3)=(－3)＞0
所以 f (x)在 [7，＋∞]上单调递增。于是f (x)≥f (7) ＞0
故有f (n) ＞0，即＞n，也就是An＞Bn（n≥7）
点评：（1）第（2）问也可先考查n=7,8,9时An，Bn的大小，提出猜想，然后用数学归纳法给予证明。
（2）由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为2005高考的重点内容，在教学中要足够地重视。
例3：设＜a＜1，函数f(x)=x3－ax2＋b，(x∈[－1，1])的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值。
点拨：本例需研究f′(x)的情况，求出极大、极小值，与端点函数值比较，以确定a，b的值。
解析: f′(x)=3x2－3ax=3x (x－a)
x －1 (－1，0) 0 （0，a） a （a，1） 1
f′(x) ＋ 0 － 0 +
f(x) －1－a＋b b － 1－a＋b
由表可见，当x=0时，f (x)取得极大值f (0) =b；当x=a时，f (x)取得极小值f (a)= －，又f (b)＞f (a)，f (1)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)，f (a)与f (－1)的大小。f (0)－f (1) = b－(1－a＋b)= a－1由a∈(，1)，故a－1＞0，即f (0)＞f (1)，于是f (x)的最大值为f (0)。因而有b=1.又f (－1)－f (a)=－1－a＋1－（－）= (a3＋3a－2),因为a∈(，1)，故a3－3a－2＜0，即f(－1) ＜f(a)，f(x)的最小值为f(－1)，于是有－a=－，即a=,
综合可知，a=，b=1
点评：（1）可导函数在闭区间上的最值，必定在导数为0的点或端点取得，本例亦可求出导数为0的点，直接将这些点的函数值与端点函数相比较，以确定取得最大值、最小值的点。
（2）变：＜a如何？再由此引出使用导数研究函数有关的性质要注意导数为0的点是否落在区间内。（同时为热点三的错例分析打下基础）
【热点冲刺】
1． （2001年天津高考题（理8））函数y=1＋3x－x3有极小值-1，极大值3
2．（2003年连云港二模试题）已知函数f (x)=ax3＋bx2，曲线y=f (x)过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y=0垂直。若f (x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围m≥0或 m≤-3。
3．(湖南卷20)(本小题满分12分)已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
答案：(Ⅰ)
（）当a=0时，令=0, 得x=0.
若x>0. 则>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
(当a<0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或
若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
若00.从而f(x)在(0, )上单调递增;
若x> 则<0.从而f(x)在(+∞)上单调递减.
(Ⅱ) (当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.
(当时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=.
当a≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是.
4.（预测题）证明方程x=sinx在(－∞，＋∞)内只有一个实根。
解答：设f(x)=x－sinx，即证f(x)=0只有一个实数。
因为f′(x)=1－cosx≥0，其中等号只在孤立点x=2kπ(k∈Z)时成都市立。
故f(x)在(－∞，＋∞)上是递增的。
又由于f(0)=0，故当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f (x)＜0。
因此f (x)=0只有一个实数根x=0.
5（预测题）.已知0≤x≤1，n为大于1的正整数，求证：
≤xn＋(1－x)n≤1
解答：设则，
令，得，由于0≤x≤1，则有x=1－x，解得x=
又经比较知f(x)在[0，1]上的最小值、最大值分别为，1。所以≤xn＋(1－x)n≤1
热点三：运用导数解决实际问题：
学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题。
【错解分析】
[错例4]从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边
为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个
无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边
长的比值不超过常数t.
问：取何值时，容积V有最大值。
误解：
因为所以函数的定义域为（0，]
这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知，
正确解法：①当这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知，
②知V在定义域内为增函数，故当
剖析：求解函数的最值问题，应注意函数的定义域，本例由导数为0的点是否落在定义域内，引出了讨论。有时还要注意对导数为0的情形进行讨论。
【典型题例】
例4：甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式. 技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.
解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则
∵BD=40,AC=50－x,
∴BC=
又设总的水管费用为y元，依题意有：
y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50)
y′=－3a+,令y′=0,解得x=30
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=,
设总的水管费用为f(θ),依题意，有
f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·
=150a+40a·
∴f′(θ)=40a·
令f′(θ)=0,得cosθ=
根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,
∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）。
【热点冲刺】
1．、有一架长度为5米的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚而滑动，则
（1）当其下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速度是多少？
（2）何时梯子的上、下端能以相同的速度移动？
（3）何时其上端下滑的速度为4米/秒？
解答：设在时刻t秒梯子上端开始位置的距离为s米，梯子下端离开墙角距离为x米，则s=3t,s=5-(1) 当x=1.4米时，=0.875（米/秒）（2）当梯子下端离墙角米时，梯子上、下端以相同速度移动。（3）当梯子下端离墙角4米时，梯子上端4米/秒速度移动。
2（预测题）．A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N.
（1）求使P－为最大的值；
（2）求使N的期望值为最大的值及期望值。
（1）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。
解答：如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为3；
如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为
如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为
于是
将代入整理得
令
即
当时，又
（2）随机变量N的概率分布为
N 3 4 5
Q
则
而
这时，
【思维能力训练】
1. （全国卷10） 函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A () B (π,2π) C () D (2π,3π)
2．（浙江卷11）设f '(x)是函数f(x)的导函数，
y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是
(A) (B) (C) (D)
3. 设点P是曲线 上的任意一点，P点处切线的倾斜角为，则
角的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
4. 函数 。
5．若曲线在点P处的切线平行于直线则点P的坐标为 。
6．两条抛物线在交点处的切线所成的角为 。
7．已知f(x)=(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数。
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。
8．设函数，
（1）求导数，并证明有两个不同的极值点 ;
( 2) 若不等式成立，求a的取值范围。
9．某城准备在半径为R的圆形街心花园的中心竖一高杆灯，已知各点亮度与光线的倾角的正弦成正比，与光源距离的平方成反比，向高杆灯距离地面多少时，绕在街心花园周旁的道路亮度最大？
导数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义
两函数和、差、积、商的导数
复合函数的导数
基本导数公式
导数的应用
函数的单调性
函数的极值
函数的最值不等式证明
苍南灵溪一高 金海鸥
[设计思路]
从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值逐渐减少，但在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。
证明不等式是理科考查的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，学生平时练习题与试题差距较大，所以教学时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习，另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能在其他章节知识中的应用，强调知识的综合和知识的内在联系。
[历年高考试题回顾]
年限 题号 分值 题型 考查内容 能力等级
2001 20 12 解答 不等式证明与排列组合二项式定理综合 C
2002全国 22 14 解答 不等式证明与数列知识综合 C
2002北京 18 12 解答 以立体几何为知识背景考查不等式证明方法中的比较法 C
2002北京 19 12 解答 不等式证明与数列知识综合 C
2003江苏 22 14 解答 不等式证明与二次函数，数列等知识综合 C
2003北京 20 14 解答 不等式性质，证明等综合应用 C
2004江苏 22 14 解答 不等式证明与函数知识综合 C
2004福建 21 12 解答 不等式证明与函数、导数等知识综合 C
2004北京 20 13 解答 不等式证明等基本知识 C
2004全国卷III 22 14 解答 不等式证明与数列知识综合 C
2004辽宁 21 14 解答 不等式证明与函数知识综合 C
2004湖南 22 14 解答 不等式证明与数列知识综合 C
2004重庆 22 14 解答 不等式证明与数列知识综合 C
[重点]
不等式证明方法的基本思想方法。
[难点]
不等式证明方法的综合应用。
[课时安排]
第一课时 重在复习巩固几种常见的证明方法
第二课时 重在培养学生的综合应用能力
[例题设计]
第一课时
揭示主题:这节课我们一起来复习不等式的证明方法, 不等式证明的常用方法有哪些
不等式证明的方法有比较法,分析法,综合法,放缩法,反证法,换元法等等.
提出问题：
例1 已知在a，b，cR+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc
学生活动：学生自主思考、分析、回忆、后讨论，最终解决问题。
解法1：比较法
a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc
=a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c
=b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2
a，b，cR+
且(a-c) 20，(b-c) 20，(a-b) 20}b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 20
从而a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc
[知识总结] 比较法包括作差比较法和作商比较法两种,作差比较法是重中之重.
作差比较法的一般步骤________(1)作差;(2)变形(积化和差或配方或通分等等);(3)定号.
解法2：分析法
要证 a2b+ab2a2c+ac2+b2c+bc26abc
a，b，cR+，故只要证明
而
即证原不等式成立
[知识总结] 分析法是一种执果索因的方法,是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判断这些条件是否具备的问题.同时要特别注意分析法步骤的书写规范问题.
解法3：综合法
a，b，cR+
即证原不等式成立
[知识总结] 综合法是利用某些证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的方法,它是一种由因导果的方法.它的基础主要是均值不等式.
解法4：
a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2
=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)
2abc+2abc+2abc
=6abc=右
原不等式成立
解法5：
a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2
=(a2b+ac2+b2c)+(ab2+a2c+bc2)
=3abc+3abc=6abc
解法6：
a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2
[知识总结] 均值不等式并不仅仅局限于两个数的情形,对于三个数,四个数,…,乃至n个数都是成立的,即我们可以把均值不等式推广到n个数的情形.
教师总结：很多题的解法是不唯一的，故解题时大家要多从不同角度、不同层次、不同途径去分析，把所学知识与所答试题迅速建立联系，从而寻找到多种解题思路，也就是我们经常说的“一题多解”“举一反三”。
变题：已知a，b，cR+，求证：
引导学生进行总结归纳
一题多变：
(1)从解法2、解法3均可看出，原不等式等价于不等式
(2)从解法4可看出，原不等式也等价于不等式
b(a2+c2)+(a(b2+c2)+c(a2+b2)6abc
(3)若将不等式的左边进行其他组合，又可得
b2 (a+c)+a2 (b+c)+c2 (a+b)6abc
(4)同(3)也可得ab(a+b)+ac(a+c)+(bc)(b+c)6abc
(5)若给出命题a，b，cR+，则(a+b)+(b+c)(c+a)8abc
如果把上面不等式左边展开，不难发现它实际也是与原不等式等价的不等式。
(6)在(5)中不等式的基础上，若两边同时除以abc，则得
(7)对于问题a，b，cR+且a+b+c=1，则(1-a)(1-b)(1-c)8abc
我们也不难发现它是不等式的一种变形
另外，选择例1的目的一方面是复习不等式证明的常用方法——比较法、分析法、综合法、放缩法等，另一方面是使学生逐渐养成一题多解，并学会解后反思，总结归纳，让学生们在解题过程中提高思维的广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性和独创性。
例2 试用多种方法证明：已知a，b，c，dR
求证：
教师引导分析：由于观察角度不同，可产生许多种不同的证明方法：
学生活动：积极思考、探究、讨论
归纳如下：
证法1：（分析法）
(1)当ac+bd0时，不等式显然成立
(2)当ac+bd>0，原不等式(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)
2abcdb2c2+a2d2
(bc-ad) 20
此不等式显然成立，故原不等式成立.
证法2：（放缩法）
ac+bd|ac+bd|，
只需证.（下同证法1）
[知识总结] 常见放缩技巧有：
证法3：（综合法）
(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd) 2+(bc-ad) 2(ac+bd) 2.
.
证法4：（比较法）
(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd) 2=(bc-ad) 2 0
.
证法5：（换元法）
设a2+b2=r12，c2+d2=r22
则可设a=r1cos，b=r1sin，c=r2cos，d=r2sin
ac+bd=r1r2coscos+r1r2sinsin
=r1r2cos(-)r1r2=
[知识总结] 换元法这里主要是三角代换，三角代换的题眼点有如
证法6：（构造法）
设向量
则
=
注意：还可构造函数利用判别式法，还可构造距离公式用解析法证明等等。
[应用练习]：（选自2003年北京卷18题（Ⅲ））
几何体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..
（Ⅰ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式
V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是
（S上底面+4S中截面+S下底面），
试判断V估与V的大小关系，并加以证明.
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）
参考答案：V估＜V.证明： ∵a＞c，b＞d，∴
∴V估＜V.
小结：不等式的证明方法很多，大家都要熟练掌握，达到灵活运用，通过一题多解、举一反三的训练来提高自己的能力。
第二课时
[高考试题回顾分析] 参看前面的历年高考试题回顾表，总结特征如下：
（一）每年理科卷中都出现；（二）都是解答题形式；（三）考查能力要求都比较高；（四）从内容上来看主要有类（1）本章知识综合（有03北京）；（2）与函数知识综合（有03江苏，04江苏，04福建，04辽宁）；（3）与数列知识综合（02全国，02北京，03江苏，04全国卷III，04湖南，04重庆），与立体几何综合（02北京），与排列组合二项式定理综合（01全国卷）
教师总结：可见，涉及不等式证明的问题是高考的一个热门也是一个重点，同时，不等式的证明往往还与其他章节如函数、数列、导数、解析几何等知识综合，尤其是函数和数列。
例1（2002年北京）数列{xn}由下列条件确定：
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有；
分析：（Ⅰ）证明：由，可归纳证明
从而有（均值不等式的应用—综合法），所以，当n≥2时，成立.
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为，所以
，故当n≥2时，成立.
（作差比较法）
证法二：当n≥2时，因为，所以
，故当n≥2时，成立.
（作商比较法）
点评：此题是以数列为知识背景，把数列与不等式证明综合起来，重点还是考查不等式证明方法中最基本的方法——综合法和比较法。
例2 (2003年北京)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数，且满足条件：
(i)f(-1)=f(1)=0；(ii)对任意u，v[-1,1]都有|f(u)-f(v)||u-v|.
(I)证明：对任意的x[-1,1]，都有：
x-1f(x)1-x；
(II)证明：对任意的u，v[-1,1]，都有：
|f(u)-f(v)|1；
(III)在区间[-1,1]上是否存在满足条件的奇函数y=f(x)，且使得：
若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。
解：(I)证明：由题设条件可知，当x[-1,1]
|f(x)|=|f(x)-f(1)||x-1|=1-x
即x-1f(x)1-x
(II)证明：对任意的u，v[-1,1]，
当|u-v|1时，有|f(u)-f(v)||u-v|1.
当|u-v|>1时，有u·v<0.
不妨设u<0，则v>0且v-u>1，
所以，|f(u)-f(v))|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)||u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)<1
综上可知，对任意的u，v[-1,1]，都有：
|f(u)-f(v)|1.
(III)满足所述条件的函数不存在，理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，
则由|f(u)-f(v)|=|u-v|，u，v[,1]得|f()-f(1)|=| -1|=
又f(1)=0，所以|f()|= (1)
又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0
由条件|f(u)-f(v)|<|u-v|，u,v[0，]得|f()|=|f()-f(0)|< (2)
(1)与(2)矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在；
点评：本题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。第(I)小题主要是赋值法的应用，第(II)小题主要是利用绝对值不等式进行放缩，第(III)小题是反证法的应用，其实也可用分类讨论进行证明。
例3 (2004年，江苏)已知函数f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数x1,x2都有(x1-x2)2(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和|f(x1)-f(x2)||x1-x2|，
其中是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f(a0)=0和b=a-f(a).
(1)证明：1，并且不存在b0a0，使得f(b0)=0；
(2)证明：(b-a0)2(1-2)(a-a0)2；
(3)证明：[f(b)]2(1-2)[f(a)]2.
分析 (1)利用不等式的传递性及反证法证明；
(2)、(3)都是由构造法，结合不等式的传递性证明.
解：(1)任取x1，x2R，x1x2，则由
(x1-x2)2(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]， (1)
和|f(x1)-f(x2)||x1-x2|， (2)
可知(x1-x2)2(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)||x1-x2|2，从而1.
假设有b0a0，使得f(b0)=0，则由(1)式知
0<(a0-b0)2(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0，矛盾.
所以不存在b0a0，使得f(b0)=0.
(2)由b=a-f(a)， (3)
可知(b-a0)2=[a-a0-f(a)]2=(a-a0)2-2(a-a0)f(a)+2[f(a)]2. (4)
由f(a0)=0和(1)式，得
(a-a0)f(a)=(a-a0)[f(a)-f(a0)](a-a0)2. (5)
由f(a0)=0和(2)式知，[f(a)]2=[f(a)-f(a0)]2(a-a0)2. (6)
则将(5)、(6)代入(4)式，得
(b-a0)2(a-a0)2-22(a-a0)2+2(a-a0)2=(1-2)(a-a0)2.
(3)由(3)式，可知[f(b)]2=[f(b)-f(a)+f(a)]2
=[f(b)-f(a)]2+2f(a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2
(b-a)2-2·[f(b)-f(a)]+[f(a)]2 （用(2)式）
=2[f(a)]2-(b-a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2
2[f(a)]2-··(b-a)2+[f(a)]2 (用(1)式)
=2[f(a)]2-22 [f(a)]2+[f(a)]2
=(1-2) [f(a)]2.
点评：本题是一道给定义题，以函数、不等式等基础知识作为知识背景，将给定条件与已知知识结合，很有一定的难度，是一道考查学生推理论证能力的好题。
追问：这两道题有何异同？
解后总结：解完这两道高考题，我们不难发现它们很相象，都是把不等式与函数知识进行综合，且接合点也类似，比如条件：|f(x1)-f(x2)||x1-x2|一模一样，结论也都是函数自变点与函数值的一些不等量关系的证明，证明方法、思路也非常像，所以我们可以说这两题是姊妹题，既然这样2003年在北京卷中出现，2004年又在江苏卷出现，可见其重要性，大家要重视。
[应用练习] 对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x[m，n]均有|f(x)-g(x)|1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则是非接近的，设f1(x)=loga (x-3a)与f2(x)=loga(a>0，a1)是区间[a+2，a+3]上的两个函数，(1)求a的取值范围；(2)讨论f1 (x)与f2(x)在区间[a+2,a+3]上是否是接近的。
分析：该题信息量较大，先要弄清瞬时定义，理清题意
解：(1)首先 a>0且a1 (1)
又f1(x)=loga(x-3a)有意义 所以a+2-3a>0 (2)
f2(x)=loga有意义 所以a+2-a>0 (3)
由(1)(2)(3) 得0(2)只须检验|f1(x)-f2(x)|1在[a+2，a+3]内是否成立.
又因为|f1(x)-f2(x)|=|loga(x-3a)(x-a)|=|loga(x2-4ax+3a2)|
令|loga(x2-4ax+3a2)|1
则-1loga(x2-4ax+3a2)1 (*)
设g(x)=x2-4ax+3a2，h(x)=logag(x)
抛物线g(x)开口向上对称轴为x=2a，且a(0，1)
所以区间[a+2，a+3]在对称轴右侧，故g(x)为[a+2，a+3]上的增函数
从而h(x)是[a+2，a+3]上的减函数
所以[h(x)]max=loga(4-4a)
[h(x)]min=h(a+3)=loga(9-6a)
于是(*)式成立的充要条件是
所以a(0，
所以当a(0，时，f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上是接近的
当a(，1)时，f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上是非接近的。
[思维能力训练部分]
一、选择题：
1、已知x,yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是（ ）
A、MN B、MN C、M=N D、不能确定
2、若a(1) (2) (3)、
(4) (5)
A、1 B、2 C、3 D、4
3、在ABC中三边长为a，b，c，若成等差数列，则b所对的角（ ）
A、是锐角 B、是直角 C、是钝角 D、不能确定
4、已知lgx·lgy-lg(xy)+1>0且lg(xy)>2那么（ ）
A、010,0C、x>10,y>10 D、010
5、若不等式|x-1|A、a1 B、a3 C、a1 D、a3
6、若x>0，y>0，且恒成立，则a的最小值是（ ）
A、2 B、 C、2 D、1
二、填空题：
7、已知点（x0，y0）在直线ax+by=0，(a，b为常数)上，则的最小值为 。
8、设a，b，cR，且a+b+c=1，则的最大值是_____。
三、解答题：
9、已知f(x)=x2-x+c的定义域为[0，1]，x1[0，1],x2[0，1]，且x1x2。
(1)证明：|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.
(2)证明：|f(x2)-f(x1)|< (南京师大《高中数学复习与练习》下册)
10、(2001，全国，理，20)已知i，m，n是正整数，且1(I)证明：niAmi(II)证明：(1+m)n>(1+n)m
11、已知正项数列{an}满足a1=P(0(I)求数列的通项an；
(II)求证：
参考答案：
一、ACACBC
二、，3
三、9、证明：(1)由于f(x2)-f(x1)=(x2-x1)·(x2+x1-1)
因为x1，x2[0，1]，且x1x2，所以0于是-1所以|f(x2)-f(x1)|=|x2-x1|·|x1+x2-1|<|x2-x1|·1=|x2-x1|
(2)因为f(x)=x2-x+c=(x-)2+c-，且0x1
所以c-f(x)c，于是f(x1)[c-,c]，f(x2)[c-,c]
-f(x2)[-c, -c]，所以-f(x1)-f(x2)
所以|f(x1)-f(x2)|<
10、解：(I)对于1(II)由二项式定理，有
由(I)知
因此
又
所以
又
所以
11、解：(1)由已知得an+1an=an-an+1
(2)证明：
灵溪一高
金海鸥
A
B
C
D
E
F
A1
C1
B1
D1
a
b
c
d
—1—与圆锥曲线有关的问题
温州中学 张良兵
与圆锥曲线有关的问题
【内容地位】
圆锥曲线是高考的重中之重，高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容。涉及的数学思想方法主要有数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、整体思想，以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法。以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点。
【设计意图】
04年对圆锥曲线的考查，主要是对基本知识和基本概念的考查，没有偏题、怪题、注重通性通法，淡化特殊技巧，因此我设计此课主要通过问题带动学生对基础知识的理解深化，让学生在已有知识经验的基础上，主动研究，发现规律，形成能力。对课堂问题不是讲解，而是和学生一起研究、解决。
【基础知识梳理】
问题1.方程表示什么曲线？
问题2.双曲线的焦点是______和_______。（注意和常规下的双曲线比较同时复习常规下的圆锥曲线方程的形式）
问题3.曲线为什么表示双曲线？（引导学生回忆圆锥曲线的定义）
和学生一起探究曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常数。
双曲线的两个焦点为F1(-,-)、F2(,)，设P是双曲线上任一点，
（去绝对值时注意分和两种情况）
问题4.你能用其它方法说明它是双曲线吗？
和学生一起尝试用双曲线的第二定义来探究。（同时引导学生复习相关的几何性质）
问题5.问过双曲线的某个焦点且弦长为的弦长有几条？
思考时可以将问题转化为求过双曲线右焦点弦长为的弦长有几条？
设直线与双曲线的交点为A、B。
当斜率存在时，设过右焦点的直线方程为，将其与双曲线联立，得
则。
由弦长公式得 ∴k=0(直观可看出)
当斜率不存在时，将代入得，∴。
（过焦点的弦长问题可用第二定义，比弦长公式运算量小，也可由此推出通径长是交同一支中最短的弦长，讲解此问题时可以适当复习直线与圆锥曲线的关系）
【例题讲解】
例题1.(2004北京东城)已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线。
⑴求椭圆C的方程；
⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；(此问在原题基础上添加的)
⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的取值范围。
(此问也可改成求∠F1PF2的最大值)
〖设计意图〗主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用。
学生可能出现的问题：学生能够知道抛物线的开口方向，在定位顶点和准线时易出错，所以在和学生一起解决问题时，在有些易出错的地方故意出错，来加深学生对问题的理解。
解：⑴抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为,
设椭圆的方程为,则有c=4，又，
∴ ∴椭圆的方程为
⑵设椭圆内切圆的圆心为Q，则
设点P到x轴的距离为h，则 ∴。
⑶设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得：
由∠F1PF2为钝角知：
∴即为所求。（此题也可以用向量的方法解决，也可将椭圆的方程与圆的方程联立消去得，让学生来体会点P的横坐标的取值范围为什么是？）
例题2.（04湖北高考与全国高考改编）设双曲线C的方程为
⑴若双曲线与直线的右支交于不同的两点A、B，求双曲线离心率e的取值范围；
⑵①设点Q在双曲线C上第一象限上运动，试求点P的轨迹方程E；
②将①中轨迹方程E的表达式，写成的形式，求其单调区间。
〖设计意图〗通过本例引导学生运用方程思想、函数思想等数学方法，培养学生分析、解决问题的能力。
学生可能出现的问题：基础知识梳理后让学生解决问题⑴应该很容易，他们可能在解决⑵①时不能理解求P点轨迹方程的实质，求点P的轨迹实质上是求点P的横纵坐标满足的关系式，因此设出点P的坐标后，找出它和Q的关系，利用代入的方法就很容易解决了。
解：⑴由双曲线与直线有两个不同的交点知：
方程组有两组不同的解，消去y整理得：
解为一正一负，
∴ ∴
双曲线的离心率 ∴。
⑵①设 代入双曲线方程得：
即所求轨迹方程为。
②由①得 由得函数的定义域为，
∴在上单调递增。
例3.已知双曲线的中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴,离心率为,且双曲线上动点P到点(2,0)的最近距离为1.
⑴证明:满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；
⑵求此双曲线的方程；
⑶设此双曲线的左右焦点分别是F1、F2，Q是双曲线右支上的动点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，求垂足M的轨迹。
〖设计意图〗通过此问题培养学生逻辑推理能力及掌握数学基本方法如配方法等方法。
学生可能出现的问题：逻辑推理是学生的弱项，相当多的学生在解决推理问题时说理不清，因果关系不明显，以至于失分较多。对问题⑶学生能够求出轨迹方程，但不会考虑轨迹的限制条件，不能准确求出x的范围。
解：⑴用反证法，设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得。若双曲线焦点在y轴上，
法1：则其双曲线方程为，求出(用表示)，然后利用的最小值为1，推出矛盾。
法2：焦点在在y轴上的双曲线的渐近线为，A到渐近线的距离，∴不可能。
⑵设双曲线的方程为：，则P到A的距离为：
若，即当时，，不可能。
若，即当时，有最小值，解得（舍去）或，所以所求双曲线为：。
⑶设M，延长QF2与F1M交于点T，连接OM。
∵点Q是双曲线右支上的动点，
∴
∴M在以O为圆心，为半径的圆上。
圆的方程为(注意讲清的范围)。
在几何画板上，拖动Q时，当拖到无穷远处，QM趋近于双曲线的渐近线，向左点M的极限位置（不可能达到的位置）是渐近线与过F1且垂直的直线的交点，联立和得。所以可得的范围。
例4.(解密高考P164)椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=，过点C(-1，0)的直线交椭圆于A，B两点，且满足
（1） 若为常数，试用直线的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积。
（1） 若为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程。
（1） 若变化，且=k2+1，试问：实数和直线的斜率k（k∈R），分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求此时的椭圆方程。
〖设计意图〗此题在向量的背景下把方程、不等式、函数联系在一起，能够把前后知识联系起来，能够提高学生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力。
学生可能出现的问题：问题⑴综合性强、运算要求高，学生在解决问题时不可能一蹴而就。问题⑶是一个双参数问题，学生理不清思路，建立不起来函数关系。
解：设椭圆方程为：，由及，
得，故椭圆方程为： ①
⑴直线交椭圆于A，B两点，
由得
即②
把代入椭圆方程得：
∴③ ④
∴
由②③知道 ∴
⑵
当且仅当时，即时，S取得最大值。
将代入③④中得，故所求为
⑶由②③联立得
将代入④得
当时，是的减函数，
故当=2时 故椭圆方程为。
【思维能力训练】
1.(04辽宁高考)已知点A(-2,0)、B（3,0），动点P满足，则P点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.已知椭圆的弦AB的中点坐标为(1,1),则弦AB的斜率为( )
A.2 B. C.-2 D.
3.设F是抛物线的焦点,P是抛物线上一点,FP的延长线交y轴于Q,若P恰好是FQ的中点,则=( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中,若方程表示的曲线为椭圆,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.我国发射的“神州”五号载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球的半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）
A.2 B. C.mn D.2mn
6.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（ ）
A.在x轴上 B.在y轴上 C.当时在x轴上 D.当时在y轴上
7.已知抛物线的准线方程为，那么抛物线的焦点坐标为________________。
8.过双曲线的右焦点的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P点，显然，规定：，则有的定值为，类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为_________。
9.已知曲线，直线过A（a，0）、B（0，－b）两点，原点O到的距离是
⑴求双曲线的方程；
⑵过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程.
10.抛物线方程，直线与x轴的交点在抛物线准线的右边.
⑴求证:直线与抛物线总有两个交点；
⑵设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求关于的函数的表达式；
⑶在⑵条件下,若变化,使得原点到直线AB的距离不大于,求的取值范围。
11.已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.
⑴求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
⑵在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：。向量及应用
温州三中 陈子月
1、 设计立意及思路
平面向量在新教材中独立成章，日显重要，它既反映了现实世界的数量关系，又体现了几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重性”，将数和形有机地结合起来，成为中学数学知识网络的一个交汇点。因此以平面向量的相关知识为载体，以数形转化思想为主线，在知识网络交汇点处设计创新力度大，综合性强的问题，有效沟通知识间的横向联系，促成知识网络的构建，培养学生的综合能力和数学素养。
2、 高考考点回顾
2004年全国高考数学试题共27套，每套试题（除旧教材外）对平面向量的考查题型多数以选择题、填空题出现，解答题在2003和2004出现，分值由历年的5～12分增加到5～17分。
在高考试题中，对于平面向量的考查主要在三个方面：
1、主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。如2004年全国高考（山东、山西、河南、河北、江西、安徽卷）理科数学第3题、文科数学第3题，2004年全国高考（甘肃、贵州、青海、宁夏、新疆）理科第14题、文科第15题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题、文科第19题等；
2、考查以向量为工具，利用向量的坐标表示、线性运算和数量积等相关知识解决向量、非向量问题中所涉及的长度、角度、垂直、平行（共线）问题。如：2004年全国高考（四川、云南、吉林、黑龙江）理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题，2004年湖南理科第19题（立体几何题）可通过建立坐标系利用向量的坐标运算等知识解决，2004年广东高考第22题（解析几何题）可借助向量平行（共线）的充要条件进行求解等。
3、和其他知识整合，在知识的交汇点设计试题，与函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识结合。如2002年全国卷出现了和数列结合的题，2004年福建高考第17题，文史第17题与三角函数结合，2004年辽宁高考第6题、第19题与解析几何结合等。
3、 基础知识梳理
1、已知＝（5，4），＝（3，2），则与2－3平行的单位向量为________;
（）
【点拨】可以用两种方法解，常用坐标运算。关键指出与一个非零向量共线的单位向量有两个。
2、 若非零向量和满足 |+|= |－|，则与所成角的大小________________;（2001.上海.春招.8）
【点拨】将向量的模运算转化为向量运算，向量的几何意义及数量积运算要熟。
3、已知向量＝（1，2），||＝且垂直，求与的夹角。
【点拨】本题旨在使学生进一步掌握平面向量的有关基本概念、向量的数量积及垂直的关系。
通过基础题的训练，熟练向量的坐标运算、数量积运算、模运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。
4、 例题的讲解
1、 平面向量和函数、三角函数、数列及不等式知识整合
例1：已知平面向量。
（1）若存在实数k和t，使得向量，，且，试求函数关系式k=f(t)；
（2）根据（1）的结论，确定函数k=f(t)的单调区间。
【思路导引】
①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？
②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？
解：（1）∵[].（）＝0
即：
又∵
∴||=2 , ||=1 , .=0 代入上式得
－4k+t(t2-3)=0
又当t=0时，k＝0，这时＝0（不合）
∴k=(t≠0，f∈k)
(2) ∵k=，
令，得t>0或t<－1；
令，得－1因此，k=f(t)的单调增区间为（－∞，1）∪（1，＋∞） ，
单调减区为（－1，0）∪（0，1）。
【题后反思】这类问题主要考查向量的基本知识，包括向量加法、数量积的定义以及基本运算法则。以函数为背景，以向量的相关知识为依托，沟通与函数的有机联系，着重考查函数的性质及综合运用知识和方法解决问题的能力。
例2：平面直角坐标系中有点P（1，cosx）,Q(cosx,1)，且x∈[] .
(1) 求向量与的夹角θ的余弦值用x表示的函数f(x)；
(2) 求θ的最值。
【思路导引】
①直接运用夹角公式得到θ的余弦值与x表示的函数f(x)之间的关系式。
②求最值有哪些方法？（均值不等式是最基本常用的方法）再思考还可以用什么方法？
解：（1）
x∈[] .
（2）
即
又
【题后反思】这类问题主要是依托平面向量的模、数量积，夹角等公式通过形和数的相互转化，实现与三角的有机整合，同时考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。
例3：已知平面向量且等差数列的首项为，公差为，前4项的和为，求实数t的值。
【思路导引】在数列运算中找到等量关系。
解：∵等差数列的首项a1＝＝1×2＋1×1＝3
公差d=＝|(1，1)－（2，1）|＝
∴的前4项和为S4＝4a1+=18
即＝（1，1）.（2＋t，3）＝2＋t＋3
∴2＋t＋3＝18t=13
【题后反思】 这类问题主要是运用平面向量的模、数量积等相关知识，实现形到数的转化，巧妙地将平面向量、数形等知识融合在一起，重点考查平面向量、数列的“三基”。
例4：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值。
【思路导引】
1 利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系。
2 利用均值不等式求最值。
解：
∵
∴||=，||=
＝－＋ 代入上式
－3k＋3
当且仅当t=，即t=1时，取“＝”号，即k的最小值是2。
【题后反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。
2、 平面向量和解析几何知识的整合
由于向量与平面解析几何都具有数与形相结合的特性，因此通常在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。平面向量和解析几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线、定比分点、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
例5：已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）。
（1） 求证A、B的横坐标之积为定值；
（2） 直线AB经过定点；
（3） 若OM⊥AB，求过点M的轨迹方程。
【思路导引】
1 利用向量数量积找到等式，再通过抛物线上点的横纵坐标关系代换统一成横坐标之间的关系，然后求值。
2 表示出直线AB的方程，寻求和参数无关的定点坐标。
3 假设变量，通过垂直转化为数量积找到等量关系。
证：（1）设A(x1，y1)，B (x2，y2)则
= x1 x2+y1 y2=0 又4p2 x1 x2=y1 2y22
∴y1 2y22+4p2 y1 y2=0 得y1 y2=－4p2 x1 x2=4p2
即A、B的横坐标之积为定值
（2）KAB=
∴AB：
∴直线AB经过定点Q(2p，0)
(3)设M(x，y)则
∵OM⊥AB ∴
即（x，y）(x-2p，y)=0
得点M的轨迹方程x2-2px+y2=0
【题后反思】抛物线方程中的定值、定点问题用向量法来解决显得更加简捷明了。培养学生用向量作为一种工具来解决解析几何有关问题的习惯。
例6：已知双曲线C：，B是右顶点，F为右焦点，点A在x轴的正半轴上，且满足成等比数列，过点F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线L，垂足为P。
（1） 求证：；
（2） 若直线L与双曲线C的左右两支分别交于点D，E，
求双曲线C的离心率 e的取值范围。
【思路导引】
通过方程组求得点P的坐标，再通过等比中项关系求得点A的坐标，表示出向量的坐标，然后验证等式。
解：（1）证明：如图，设右焦点F的坐标为（c，0）（c＝）
由双曲线c的渐近线方程为得
直线l的方程
由方程组 得点P（）
∵成等比数列
∴ 即
∴A点的坐标为（，0）
∴ ＝（0，－） ，＝（） ，＝（－）
∴ .＝ .＝
∴ .＝.
（2）∵直线L与双曲线C的左右两支分别交于点D，E，
∴直线L的斜率应大于渐近线的斜率
即－ >
【题后反思】向量和解析几何整合中，关键是确定点的坐标，再确定向量的坐标。从而达到向量关系与坐标关系的互译，架起了解析几何与向量之间的桥梁。
例7：（改编）设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，－2）且(λ∈R)。
（Ⅰ）求点C(x，y)的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由。
【思路导引】
1 通过向量的共线关系得到坐标的等量关系。
2 根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得K的值。
解：（１）由已知得 , 又
∴
∵CH=HA ∴
即
（2）设l为y=k(x-2)，代入曲线E得
（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0
设N (x1，y1)，M (x2，y2)则x1 +x2=，x1 x2=
∵ ∴四边形OMPN是平行四边形
若四边形OMPN是矩形，则
∴x1 x2+y1 y2=0
∴得
∴直线l为：y=
【题后反思】这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题。
例8：2004全国卷Ⅲ改编
设椭圆的两个焦点是F1(-c，0)与F2（c，0）(c>0)，且椭圆上存在点Ｐ，使。
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Ｑ，若，求直线PF2的方程。
【思路导引】
把向量关系翻译成坐标关系，从而得到P的另一个轨迹方程，根据方程组有解的条件求得m的范围。
解：⑴设p(x，y)，，
∵　∴x2+y2=c2
又点P在椭圆上∴有解
又∵c2=a2-b2=m+1-1=m>0　
∴　∴
⑵设P(x,y), 直线PF2方程为：y=k(x-c)
∵直线l的方程为：
∴点Q的坐标为()
∵ ∵F2(,0),Q ()
∴P()
∵点P在椭圆上　∴
∴
直线PF2的方程为：y=(x-).
【题后反思】将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
3、 空间向量和立体几何知识的整合
用向量知识解证立体几何问题，常常比用几何法简便，其优点在于：向量可以使立体几何问题代数化，简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题的方向明确，可避免做辅助线及运算繁多的定理、公理等进行推理的思维过程。在立体几何中求空间角、空间距离及处理垂直关系显得尤为方便。
例9：（2001年全国高考题改编）如图，四边形ABCD是直角梯形， ∠ABC＝90°，
SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，
（1） 求线段SC的长；
（2） 求AB与SC所成的角；
（3） 求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小；
（4） 求AB与SC的距离；
（5） 求B点到面SDC的距离；
（6） 若E为SC上一点，当E处于什么位置时，
DE∥平面SAB？
【思路导引】
1 以2001年高考题作为一个背景进行改编，
用空间向量来解决立体几何问题关键是
建立适当的空间直角坐标系，确定点的坐标。
2 利用向量中的距离、夹角公式求空间角、空间距离。
3 适当设立法向量坐标，利用方程组求得法向量，
解决面面角、线线距离、点到面的距离。
④ 假设定比λ，通过定比分点公式表示出E点的坐标，再通过直线和平面平行的条件来求得λ。
解：如图，以AD,AB,AS,为x，y，z轴，
以AB为单位长度，建立空间直角坐标系，
则个点坐标为D（，0，0），C（1，1，0），
B（0，1，0），S（0，0，1），
则有＝（，0，0），＝（1，1，－1） =(0，1，0)
（1）||2=2=（） = +2+2+2=||+||+||＝3，
所以 ||=
（2），，cos<,>===,所以AB和SC所成的角为arccos
（3）有＝（，0，0）是平面SAB的法向量。
设平面SCD的法向量为，并设＝（x，y，z）。
由＝（，1，0），＝（，0，－1）得
.＝0 x+y=0
即
.＝0 x－z=0
令x＝1,则y=－，z=
∴＝（1，－，）
∴cosα＝，从而α=arc cos
(4)设与和均垂直的法向量为，并设＝（x，y，z）,
由，,得
即令x＝1, 则y=0,z=1,所以=(1,0,1),
在AB和SC上各取一点,如A和S,则向量=(0,0,1)在方向上投影的长度即为所求.所以d =||==
(5)由(3)知平面SCD的法向量为＝（1，－，）,在面SDC上取一点,如C,则向量在法向量上的投影长度即为所求.,所以d =||==
(6)设E点分所成的比为,则,若DE∥平面SAB,
则=m+n,即=(0,0,m)+(0,n, 0)
所以,即,所以E为SC中点时, DE∥平面SAB
【题后反思】本题注重基础知识、基本技能训练，同时加强探究意识。利用向量解证立体几何问题的思想方法是：将有关的线段与相应的线段联系起来，并用已知量表示未知量，通过向量的运算进行计算或证明，从而达到解决问题的目的。
例10：（2000年全国高考）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD。
（1） 求证：C1C⊥BD；
（2） 当的值为多少时，能使AC1⊥平面C1BD？请给出证明。
【思路导引】
1 利用空间向量的基本定理，用不共面的三个向量表示任何一个向量，验证垂直关系。
2 探究线面垂直，通过逆向思维的方法，步步等价转化。
证明：（1）设，，，依题意，||=||，设，，中两两所夹的角为θ，于是=－，
.＝.（－）＝.－.＝||.||cosθ－||.|| cosθ=0,
∴C1C⊥BD
解：（2）若使A1C⊥平面C1BD，只需证A1C⊥BD，A1C⊥DC1。
由.=(+).(－)＝（++）.( －)
＝||2+.－.－||2=||2－||2+||.|| cosθ－||.|| cosθ=0，
当||＝||时，A1C⊥DC1 。同理可证当||＝||时A1C⊥BD，
∴当＝1时，AC1⊥平面C1BD。
【题后反思】用新方法来解决老问题，再次体现向量作为工具的巧妙之处。本题也可以用坐标法来解决这个问题，都要比原来传统方法简捷。
5、 思维能力训练
1、已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，M、N分别是AB、CD的中点，设，，可表示为 （ ）
A B C D
2、已知△ABC中，，， ，S△ABC＝，，，则与的夹角为 （ ）
A 30° B －150° C 150° D 30°或150°
3、设原点坐标为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于 （ ）
A B C 3 D －3
4、已知三个力f1(-2，-1)，f2(-3，2)，f3(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于 （ ）
A （－1，－2） B （1，－2） C （－1，2） D （1，2）
5、平面上有A（－2，1），B（1，4），D（4，－3）三点，点C在直线AB上，且，连结DC并延长至E，使,则点E的坐标为 （ ）
A （0，1） B （0，1）或（） C （ ） D（－8，）
6、（2004全国高考）
设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B分别为垂足，PA=4，PB＝2，则AB的长是 （ ）
A B C D
7、(2003.全国.新课程.理.4)
O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足.则P的轨迹一定是的____________.
8、已知两个M（－1，0），N（1，0），点P使成公差小于零的等差数列，且向量与＝（1，0）平行，则点P的坐标________.
9、（2004.全国高考试题（湖北卷））
如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求这个最大值。
10、（2004天津）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(I) 求椭圆的方程及离心率；
(II)若求直线PQ的方程；
(III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。
11、（根据2004年浙江高考改编）
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为1。M是线段A[1]C[1]的中点
（Ⅰ）求证AM∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角A-DA1-B的大小；
(Ⅲ) 在线段AC上是否存在一点P，使得PF与BC所成的角为60o，若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由。
参考答案：
1、C 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C
7、内心 8、(_1,±)
9、解：
∴＝0
∴＝（）·
=
=
=
=
=
故当cosθ = 1，即θ＝0 （与方向相同）时，的值最大，最大值为0 .
10、解：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，由已知可解得。
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为y=k(x－3)，由方程组
y=k(x－3) 得（3k2+1）x2－18k2x+27k2－6＝0
△ ＝12（2－3k2）>0，得。
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由韦达定理和向量垂直可以解得k=
所以直线方程为x－y－3＝0或x+y-3=0.
（Ⅲ）略
11、 解： （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设，连接NC1，
则点N、C1的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴ =(,
又点A、M的坐标分别是 （）、（
∴ =（
∴=且NC1与AM不共线，
∴NC1∥AM
又∵平面BDC1， 平面BDC1，
∴AM∥平面BDC1
（Ⅱ）∵AA1⊥AB，AB⊥AD，AA1
∴AB⊥平面ADA1
∴为平面DAA1的法向量
∵=（·=0，
∴=（·=0得
,∴NC1为平面BDA1的法向量
∴cos<>=
∴的夹角是60
即所求二面角A—DA1—B的大小是60
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴=（，0，0）
又∵PA1和CD所成的角是60
∴
解得或（舍去），
即点P是AC的中点
S
A
D
C
B
PAGE
1平面向量与解析几何交汇的综合问题
平面向量与解析几何交汇的综合问题
苍南县龙港二高　李丕贵
设计立意及思路
向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
高考考点回顾
近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津卷21道只是数学符号上的混合；2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合；2004年有6份卷（分别是全国卷理科（必修+选修I）21道；全国卷理科（选修Ⅱ）21道；辽宁19道；湖南文21道；江苏卷21道；天津卷22道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。就应用层面上又有两个层次。第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式）。考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.
基础知识梳理
1． 向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；
2． 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；
3． 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；
4． 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；
5． 曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；
6． 直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；
7． 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
例题讲解
一、“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。在以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。
例1．已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.
(1) 求点P(x,y)的轨迹C的方程.
(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1) =, ||=,且||+||=4.
点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为
(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =
因此，
当时，即m=时，
[题设变式I.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|||-|||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)
[题设变式I.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹C的方程.
[提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -为准线抛物线]
[题设变式I.3] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹C的方程.
[提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为，当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x= -为相应准线的椭圆；当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x= -为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？]
[题设变式I.4] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)
[题设变式I.5] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。)
[考题] 已知点A(，0)，B(，0)动点P满足
(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.
(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线
C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见附页）
[题设变式II.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程. (,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（－，0）)
[题设变式II.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足＝6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)
例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果 分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x0，0)，求x0的取值范围.
导析 （1）设P(x，y)，则H(0，y)，
又因为所以有
所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x≠0).
（2）设AB：y=k(x-2)，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3).
化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.
所以
所以DQ的方程为 令y=0，得
又由
可得k2＞，由题意可知＜k＜1，
所以1＜＜，所以＜-()2+＜1， 所以2＜x0＜2+.
故所求的x0的取值范围为(2，2+).
[题后反思]若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？
[当0＜q＜1时，点P的轨迹为椭圆]
例3、如图所示，点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F(a，0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a，0)，与的夹角为，求证：0＜＜.
[答案提示] （1）点N的轨迹C的方程为
[变化]点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，
且（为常数）求点N的轨迹仍为抛物线吗？；
二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
例4、已知，F椭圆的两个焦点，过点F的直线BC交椭圆于B、C两点，
(1)，求点M的轨迹方程.
[答案]
(2)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明:.
解：(1)略
(2) 证明：.由已知得方程组
注意，解得
因，故
.
而，所以
.
[结论发散]设P()为椭圆上一点，
(1) 求的Min
(2) 求的Max
(3) 当<0时，的取值范围。
(4) 若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，，求
(5) 已知点M的坐标为(2,3)，求的最值。
(6) 已知点Q的坐标为(1,1)，求的最小值
(7) 已知点Q的坐标为(1,1)，求的最值
[提示] =
=2a+2a+=2a+
例5.已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，
（1） 若，求抛物线的方程。
（2） CD是否恒存在一点K，使得
Y
A
F P
B
X
O
D K C
解：（1）提示：记A（）、B （）设直线AB方程为代入抛物线方程得
（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，
则
＝－＝－＝0
故存在点K即点T，使得
[实质：以AB为直径的圆与准线相切]
[结论发散1] y轴上是否恒存在一点K，使得
[实质：以AF为直径的圆与y轴相切]
[结论发散2]求证：
[结论发散3]求证：存在实数使得
[实质：证明A、O、D三点共线（2001年高考题）]
[结论发散4] 设线段AB中点P在在准线上的射影为T，证明：
[题设变更1] 已知A、B为抛物线(p>0)上两点，，点C坐标为
（1） 求证：∥
（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。
[题设变更2]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；
解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
思维能力训练
一、选择题
1、（2002年新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
2、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.则点P(x,y)的轨迹是.( )
A、椭圆　B．双曲线　C．线段　　D．射线
3、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP=
（A）(AB+AD), ∈(0, 1) (B) (AB+BC), ∈(0, )
(C) (AB－AD), ∈(0, 1) (D) (AB－BC), ∈(0, )
4、已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
5、已知两点A(-1，0)，B(1，0)，动点P在y轴上的射影是Q，且则动点P的轨迹为（　　）：
A、抛物线　B．双曲线　C．椭圆　　D．直线
6．已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则（1）y轴上是否恒存在一点K，使得（2）（3）存在实数使得 （4）若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有
中说法正确的个数为（　）
A. 1 B．2 C． 3 D．4
二、填空题
7、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=2||.则点P(x,y)的轨迹方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
8、已知，椭圆的两个焦点，P()为椭圆上一点，
当<0时，的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.。
三、解答题
9．(2004年全国高考辽宁19)设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
10.已知双曲线C： B是右项点，F右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足，、、成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P。
（1） 求证：
（2） 若l与双曲线C的左、右支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围。
11.已知点H（0，―3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，.
（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上.
附页：
例1[题设变式I.5]考题：已知点A(，0)，B(，0)动点P满足
(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.
(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线
C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.
解：（1）设P(x，y)，则有
∵ ∴
得：
（2）由 得Q (0，) 设直线C的方程为y=kx-
代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2
设M(x1，y1) N(x2，y2)
∵
又∵
=
∴ ∴点Q在以MN为直径的圆上.
第1页共10页专题：导数及其应用（选修II）
温州中学 陈晓龙
一、知识地位分析：导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2004年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第二届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。
本节专题分两个课时：1、导数的知识点回顾及基本运用；2、应用导数工具解决函数、不等式等问题及应用问题。
二、教学设计
第一课时：
考点回顾：设计三个小题，回顾导数定义及其基本运用
1、 设f（x）在x处可导，a，b为非零常数，则=
A、f（x） B、（a+b）f（x） C、（a-b）f（x） D、f（x）答案B
2、 某汽车启动阶段的路程函数为S（t）=2t-5t，则t=2秒时，汽车的速度和加速度分别为 答案：4，3
3、（2004年浙江T12）设是函数的导函数，
的图象如图1所示，则的图象最有可能的是（ ）图1
答案D
例题讲解：（包括4个大题，强调导数的运算法则和简单运用）
例1、求下列函数的导数：设计意图：复习导数的运算法则
（1） f（x）=e（sinx+cosx）答案：2ecosx
（2） f（x）=ln（x+2）答案：
（3） f（x）=答案：
易错点：混淆e与a、lnx与logx导数之间的区别。
例2、2004全国卷T22.
已知函数求证：所有的极值点纵坐标排成的数列为等比数列；
设计意图：本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等比数列的概念和性质
证明：
由得
解出为整数，从而
所以数列是公比的等比数列。
例3、过曲线C：y=x-1（x>0）上的点P作C的切线L与坐标轴交于M,N两点,试求P点的坐标,使OMN的面积最小
（与2004年浙江高考题20T类似，设计意图:1、利用导数的几何意义，研究曲线的切线方程,2、利用导数求函数最值）
点拨：1、设点P（x，x-1），求出y|=2x，即切线斜率。
写出切线方程：y-（ x-1）=2x（x-x）
2、分别令x=0，y=0求出M，N点的坐标，则S可表示。
3、通过求导求S的最小值及P点坐标。答案：P（）
思考：若P点不在曲线上，如何求切线方程？
已知曲线C：y=x-1（x>0），过点P（2，1）作C的切线L与坐标轴交于M,N两点,试求OMN的面积。
易错点：学生往往会把过P点的切线斜率算成y| =22=4。
点拨：设切点Q（x，x-1），过Q点的切线斜率为y| =2x，得切线方程y-（ x-1）=2x（x- x），P点代入，得x=，代回得切线方程，下略。
例4、 2004年湖南卷T20．
已知函数为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.
（设计意图：本小题主要考查导数应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 以及分类讨论的思想方法。根据学生情况不同，可事先在题干中对a的范围特殊化，防止分类讨论对导数应用的淡化作用）
解：（Ⅰ）
（i）当a=0时，令
若上单调递增；
若上单调递减.
（ii）当a<0时，令
若上单调递减；
若上单调递增；
若上单调递减.
（Ⅱ）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是
（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.
（iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是
第二课时：
考点回顾：（设计2个小题，体现导数在不等式，实际应用中的作用）
1、 直线y=x与曲线y=sinx及y=tanx在（0，）上有公共点吗？如何说明？
2、 最值点都是从极值点中选出来的吗？为什么？
例1、求证下列不等式：设计意图：导数在证不等式中的应用
(1)当x>0时,
（2）求证
（3） 求证
点拨：(1)证f（x）>g（x），x则令h（x）=f（x）-g（x），
I)证明h（x）>0， II)h（a）0
（2）学生往往采用第（1）小题的解法,令h(x)= ,却发现h(x)==>0,与预料不符,另外h(0)不能计算,于是产生这是一道错题的感觉。难道这真是一道错题吗？h(x)>0就能说明h(x)>0吗 可以举出很多例子说明以上想法是错的,如:y=(x>0).所以上述错解只能说明证明策略有问题.那怎么办呢 通过换原,证其等价形式,并且绕开h(0)不能计算的困扰。
证，记h（x）= 可改证：f（t）=ln（1+t）-t>0 (t>0), f(t)=<0,而f(0)=0,所以f(x)（3）令 上式也成立
将各式相加
即
例2、求数列{}的最大项。设计意图：利用连续变量的最值问题解决离散型变量的最值问题
点拨：设f（x）=当自变量x取正整数n时，数列{}的最大项即为函数f（x）在正整数集内所取得的最大值。求的f（x）=，令f（x）=0，得x=10000，所以f（10000）=，而f（1）=，，所以最大项为第10000项，这一项的值为。
思考：1、若n的值不是整数呢？
2、以后遇上离散型函数能否都去寻找相应的连续型函数加以代替呢？
思考题：设计意图：离散型函数的单调性不能等同于连续型函数的单调性。
已知a>0且a1,数列{a}是首项为a,公比也为a的等比数列,令b=alg a(n),问是否存在实数a,对任意正自然数n,数列{ b}中的每一项总小于它后面的项 若存在,求出相应的a的范围;若不存在,说明理由。
点拨：a=a，b= anlg a，而b递增，可解得a>1或0若构造函数f（x）=axlga （x）则f(x)=lga a(lgax+1)>0对x恒成立,得a>1或0两种解法的答案不相同,为什么出现这种情况？举一个例子，先在坐标系内取若干个整点（单调“增”）则数列为递增，然后用一些曲线来连接这些点，记为f（x），则f（x）不一定递增。
总结：连续型函数的性质可以应用于相应的离散型函数（如例2，是用f（x）=的最值推算数列{}的最值）；而离散型函数的性质却不能推广到相应的连续型函数（如思考题，企图用数列b= anlg a的单调性来规定相应函数的单调性，结果可想而知）。从最后答案中a的范围中也可体会到对连续函数的单调性要比离散型函数的要求要严格。
例3、设计意图：注意导数在社会发展中的运用
由于工业发展迅速，温瑞塘河受到一定的污染。设其湖水容积为v立方米，每天流进和流出的水量都是r立方米。现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物与河水能很好的混合，用g（t）表示某一时刻t每立方米河水所含污染物的克数，我们称为在时刻t时的河水污染质量分数。已知目前污染源以每天p克的污染物质污染河水，河水污染质量分数满足关系式g（t）=（p0），其中g（0）是河水污染的初始质量分数。
（1） 当河水污染质量分数为常数时，求河水污染的初始质量分数。
（2） 求证：当g（0）<时,河水的污染程度将越来越严重.
（3） 现在政府加大治污力度,使河水的所有污染停止,那么需要多少天能使河水的污染水平下降到开始时污染水平的5%
点拨:( 1)g(0)= (2)求导,证导数>0(3)天。
训练题：
1．已知直线与曲线切于点（1，3），则b的值为（ ）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
3设在点处可导,且及,则的值等于( )
A．2 B．1 C．3 D．不存在
4若函数，在R上是增函数，则（ ）
A． B. C. D.
5若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为（ ）
A． B． C． D．
7．有一深为20cm，上底半径为10cm的圆锥形容器，以每分钟15cm3的速度向容器内注水，则在水深为8cm时液面上升速度为
8．已知函数在x＝与x＝1处都取得极值，若对，恒成立，则c的取值范围是
9．设,求函数的单调区间。
10、已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.
11、求证: (1)
(2)
(3),证明
点拨：思考题（3），可取对数，变为求证：
令探索性问题的常见类型及其求解策略
苍南灵溪二高 陈敏
在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：
一、条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
例1．（2002年上海10）设函数是偶函数，则t的一个可能值是 。
分析与解答：∵函数
∴ 。由此可得
∴
评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．
二、结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
例2． （2004年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设是公比为q的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组。（写出所有符合要求的组号）。
①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.
其中n为大于1的整数，Sn为的前n项和。
分析与解答：（1）由S1和S2，可知a1和a2。由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”。
（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得
∴
∴
满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量。
（3）由a1与an，可得，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。
（4）由q与an，由，故数列能够确定，是数列的一个基本量。
故应填①、④
评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．
例3（2002上海）．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）组合数的两个性质：①；②
是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）我们知道，组合数是正整数．那么，对于，，是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些成立的例子吗？
分析与解答：（Ⅰ）．
（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当时，有定义，但无意义．
性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：，其中，是正整数．
类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，
当时，．当时，
由此，可以知道，性质②能够推广．
（Ⅲ）从的定义不难知道，当且时，不成立，下面，我们将着眼点放在的情形．
先从熟悉的问题入手．当时，就是组合数，故．
当且时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）与已知的结论相联系？
一方面再一次考察定义：；另一方面，可以从具体的问题入手．
由（Ⅰ）的计算过程不难知道：．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将转化为可能是问题解决的途径．
事实上，当时，
．
①若，即，则为组合数，故．
②若，即时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：＝0……，可以猜想，此时．
这个结论不难验证．事实上，当时，在这m个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，．
综上，对于且为正整数，均有．
评注：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高
学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．
三条件重组型
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
例4 （1999年全国）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外
的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。
分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。
分析与解答：依题意可得以下四个命题：
(1)m⊥n， α⊥β， n⊥β m⊥α；(2)m⊥n， α⊥β， m⊥αn⊥β；
(3)m⊥α， n⊥β， m⊥α α⊥β；(4)α⊥β，n⊥β，m⊥αm⊥n。
不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题。故填上命题(3)或(4)。
例5． （2004年北京）已知三个不等式：（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
分析与解答：若
∴
若
故三个命题均为真命题，选D。
四、存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。
其中反证法在解题中起着重要的作用。
例6、（2004年福建）已知上是增函数。
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程的两个非常零实根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式对任意恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析与解答：（1），
∴f(x)在[－1，1]上是增函数，
即x2－ax－2≤0,对x∈[－1，1]恒成立 ①
设
（2）
∴m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式
评注：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。
例7、(2003年天津) 已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
分析与解答：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵i=(1,0),c=(0,a), ∴
因此，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y－a=－2ax .消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y (y－a)=－2a2x2 ,整理得 ①
因为a>0，所以得：
（i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当0（iii）当a>时，方程①表示椭圆，焦点E和F））为合乎题意的两个定点.
评注：假设存在，按常规方法去求解，但要注意对进行讨论。
五、规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明，限于篇幅这样的例子不在列举。
下面来看：
例8、（2002年全国理）已知函数那么
分析与解答：考察函数可发现左式构成规律：，于是立得结论为。若直接代入费力又费时。
评注：本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规
律，从而解决问题。
例9、（2001年上海）在棱长为的正方体中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF。
（1）求证：
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，
求二面角的大小（结果用反三角函数表示）
分析与解答：如图(2)：（1）中E、F虽在棱上运动，但始终体现出直线的一个不变关系，而不变，故只要去证即可达到目的。（2）中寻求的是E、F在变化过程中二面角的最值状态，易看到该三棱锥的高一定，因此，只要底面面积最大即可。考察E、F在变化过程中当E由A向B运动时，的面积先由小渐大到一定值后又渐小，因此，在E为AB的中点时该三棱锥的体积取得最大值，从而解决问题。
评注：本题要求学生能让动态的量静止下来观察探究其特殊位置下的极值情况或一些恒成立的情况；让静止的量运动起来，观察探究其取值情况，并渗透极限思想。这是这类问题求解常用的方法之一。本题如果把（1）问改为与的位置关系如何？并证明你的结论则更好。
六、实验操作型
这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。
例10、（2002年全国文）已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD。如图(3)所示，
请你在图中设计一种虚线，沿虚线翻折可成原来的三棱锥（指三棱锥的三个面）；求这个三棱锥外接球的体积。
分析与解答：本题是考查线面的垂直，直角三角形的性质和球的体积公式等知识。需大胆猜测：虚线之交点应是某边的中点，然后动手实踐，加以检验。



如图(4)，取AD的中点E，连EC，EB，沿EC，EB折起，使A与D重合。接下来通过证明得为直角三角形即可（略）（2）略。
评注：该高考题在当年考后受一致好评，它要求考生有一定的动手能力和大胆的猜测能力。
例11、某自来水厂要制作容积为500的无盖长方体水箱。现有三种不同规格的金属制箱材料（单位）：（1）请你选择其中的一种规格并设计出相应的制作方案（要求用料最省，简便易行）
分析与解答：“用料最省”等价于“无盖水箱表面积最小”。因此先确定该水箱的尺寸使其表面积最小，然后根据尺寸选择材料。
设无盖水箱的长、宽、高分别为，则其体积：表面积：，
这样问题可以转化为：已知：为正数，。求：的
最小值及相应的值。
由均值不等式知，当且仅当，即时，最小。这表明将无盖水箱设计为时，用料最省。
如何选择材料并设计制作方案？我们可逆向思考，先将无盖水箱分解(展开)，我们不难发现制作的无盖长方体水箱需一个的正方形及4个的长方形；而用一个的长方形材料，我们只要割四次易得正方形一个及正方形4个。故选择的材料，不但用料最省而且简便易行。
评注：本题又是实际应用问题中的问题，解答时除了考虑前面提及的方法外，还需考虑实际意义及可行性。
总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。
思维能力训练
1、（2004浙江）若展开式中存在常数项，则n的值可以是
A、8 B、9 C、10 D、12
2、（2004浙江）若都是定义的实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是
A、 B、 C、 D、
3、（2004北京）如果a，b，c满足，那么下列选项中不一定成立的是
A、 B、
C、 D、
4、（2004上海）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是
A、计算机行业好于化工行业
B、建筑行业好于物流行业
C、机械行业最紧张
D、营销行业比贸易行业紧张
5 、三棱锥中，互相垂直的棱最多有（ ）对。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6（2000年全国高考试题）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_____________（要求把可能的图形的序号都填上）
7、（2002上海春季高考）设曲线和的方程分别为和，则点的一个充分条件为_____________________．
8、（2004全国）已知a、b为不垂直的异面直线，a是一个平面，则a、b在a上的射影有可能是（ ）
①两条平行直线
②两条互相垂直的直线
③同一条直线
④一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）
9 、已知数列（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列。
（1）求和：；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以认证；
（3）设的前n的和，求
10、（2004湖北）直线的右支交于不同的两点A、B
（Ⅰ）求实数k的取值范围
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
11、（2000年上海）已知复数 均为实数，为虚数单位，且对于任意复数．
（Ⅰ）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；
（Ⅱ）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由
图2
图4
图3
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