第十八章平行四边形
EAO=/FCO.
∠BAF=∠DCE.在△ABF和△CDE中，
E,F分别是AD,BC的中点，∴DE=7AD,BF=BC
A0=C0,
.△AOE≌△COF(ASA).AE=CF.
í∠BAF=∠DCE,
18.1平行四边形
∠AOE=∠COF
∠2=∠1，
∴.△ABF≌△CDE(AAS).∴AF=CE,
DE LBF,四边形DEBF是平行四边形，BE∥DF,
18.1.1平行四边形的性质
7.证明：：四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD.
∴.∠GBO=∠HDO.在△GBO和△HDO中，
第1课时平行四边形的边、角性质
.AB∥CD,OB=OD..∠1=∠2.在△BOE
即AE十EF=CF十EF.∴，AE=CF
I∠GBO=∠HDO,
课前预习：1，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
「∠E=∠F,
(2)连接BD交AC于点O.:四边形
OB=OD.
,.△GBO)≌AHDD(ASA),,.G
2.□ABCD平行四边形ABCD顶点AB与CD,AD与
和△DOF中，∠3=∠4，∴.△BOE≌△DOF
ABCD是平行四边形，.OB=OD.OA
∠GOB=∠HOD,
BCAB与BC,BC与CD∠BAD与∠BCD,∠ABC与
OB=OD.
OC.AE=CF,∴.OE=OF.∴.四边形EBFD是平行四边形
OH.又OA=OC,∴.OA-OG=OC-OH,即
∠ADC∠BAD与∠ABC
AC,BD3.(1)两组对边分别
AAS)..∠EBO=∠FDO.∴.∠EBO
∠1
∠FDC
7.证明：(1)：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴.AB=2BC
AG=CH.8.(1)证明：连接PM,PN.M
平行（定义）(2)对边相等(3)对角相等4.任意一点
∠2，即∠ABE=∠CDF.8.C9.310.3√7
,△ABE是等边三角形，EF⊥AB,AB=2AF,AB=AE
P分别是边AB,BC的中点，.PM∥AC
距离相等
课后作业：1.C2.D3.1
PM=AC.,N,P分别是边CD,BC的中
当堂训练：1.平行四边形2.93.D4.80°5.21
六AF=BC.在R△ABC和R:△EAF中，BC=AF
AB=AE.
6.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,∠A=
5.4v3-36.证明：连接BD交AC于点
∴.Rt△ABC≌Rt△EAF(HL)..AC=EF.(2)△ACD
点，PN∥BD,PN=BD.又，AC=BD,.PM=PN
∠C,AD∥BC.∴∠E=∠F.BE=DF,AF=EC.在
O.:四边形ABCD是平行四边形，
是等边三角形，.∠DAC=60°，AC=AD.又∠BAC=30°，
「∠A=∠C,
∴.AO=CO0.同理OE=OF,.AO-OE=CO-OF,即AE
,Q是MN的中点，∴.MQ=NQ.∴.PQ⊥MN.(2)解：
CF.7.(1)解：：AE⊥BD,.∠AEO=90°.∠AOE
∴.∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°.∴.∠EFA=∠DAB=
△OEF的形状是等腰三角形.理由如下：，PM∥AC,
△AGF和△CHE中.
AF=CE.∴.△AGF≌△CHE
90°.又由(1)知AC=EF,.EF=AD.在△AEF和△FDA
∴.∠PMN=∠EFO.:PN∥BD,∴.∠OEF=∠PNM.又
l∠F=∠E,
50°，∴.∠EAO=40°.：AC平分∠DAE,.∠OAD=
(EF=AD.
PM=PN,.∠PMN=∠PNM..∠EFO=∠OEF
(ASA).∴.AG=CH.7.S=Se=S8.相等
∠EAO=40°.：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
中，3∠EFA=∠DAF,.△AEF2△FDA..AE=FD.
∴△OEF的形状是等腰三角形.
课后作业1.B2.C3.C4.205.3或56.号
∴.∠ACB=∠OAD=40°.(2)证明：：四边形ABCD是平
AF=AF.
行四边形，∴AO=CO.AE⊥BD,CF⊥BD,∠AEO=
9.证明：(1)：△ABC是等边三角形，∴∠ABC
∴.四边形ADFE是平行四边形.8.证明：(1)：△ACD是
7.证明：：在□ABCD中，AD=BC,AD∥BC,.∠ADF
∠AEO=∠CFO,
60°，又∠EFB=60°，.∠ABC=∠EFB.
等边三角形，∠ACD=60.:∠BAC=60,∠BAC=
∠CBE.,BF=DE,∴.BF+BD=DE十BD,即DF=BE.在
∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中.
∠EOA=∠FOC
EF∥DC.又DC=EF,.四边形EFCD是平
∠ACD..E是AC的中点，∴.AE=EC.在△ABE和△CFE
(AD-CB,
AO=CO.
行四边形.(2)连接BE.:∠EFB=60°，BF=EF
∠BAE=∠FCE,
△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBE,.△ADF≌
.△AEO≌△CFO(AAS)..AE=CF.
8.(1)证明：：四边
中，{AE=CE,
△ABE≌△CFE(ASA).
∴.△BEF为等边三角形.∴.BE=BF=EF,∠ABE=60
IDF-BE.
形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AO=CO.∴∠EAO
∠AEB=∠CEF
,CD=EF,.BE=CD又，△ABC为等边三角形，.AB
△CBE(SAS),.∠F=∠E.∴.AF∥CE.8.(1)解：四边
FCO.:∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF..OE
(2)由(1)知∠BAC=∠DCA,AB=CF,.CD∥AB,即DF∥
AC,∠ACD=60.∴.∠ABE=∠ACD..△ABE≌△ACD.
形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.,∠ABC十∠BCD=
OF.(2)解：能得到OE=OF,方法同(1).一般性结论
AB.,△ACD是等边三角形，.∠D=60.在Rt△ABC中，
..AE=AD.
180°.：CF平分∠DCB,∴，∠BCD=2∠BCF=120°
条过平行四边形对角线交点的直线与平行四边形的对边（或
专题二平行四边形的计算与证明
,∠ABC=180°-∠BCD=60°.(2)证明：：四边形ABCD
∠BAC=60,·∠ACB=30.·AB=7AC.:AE
对边延长线)相交，交点到对角线交点的距离相等
1.B2.C3.A4.B5.D6.30°7.88.169.3
是平行四边形，，AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD.
18.1.2平行四边形的判定
CE=2AC,·AB=CE.·CE=CF.又∠DCA=60,
.∠ABE=∠CDF.AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB
10.①②③1.212.S,=513.证明：四边形
第1课时平行四边形的判定（一】
∴△CEF是等边三角形.∴∠EFC=60°.∠EFC=∠D.
∠BAE=号∠BAD,∠DCF=，∠BCD..∠BAE=
课前预习：1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
BF∥AD..四边形ABFD是平行四边形.
ABCD是平行四边形，AD∥BC,AD=BC.:E,F分别是
∠DCF..△ABE≌△CDF(ASA)..BE=DF,
两组对边分别平行的性质2.(1)两组对边分别相等的四边
第2课时平行四边形的判定（二）
AD,BC的中点∴AE=7AD,CF=7BC.∴AE=CF.又
形(2)两组对角分别相等的四边形(3)对角线互相平分
课前预习：1.平行相等2.中点3.平行第三边的一半
9.(1)证明：：在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠DAE=∠F,∠D=
AE∥CF,.四边形AECF为平行四边形.AF∥CE.同理
∠FCE.点E是CD的中点，∴DE=CE.在△ADE和△FCE
的四边形
∥BC
BE∥DF.∴四边形EGFH为平行四边形.∴.EF与GH互
I∠DAE=-∠F
当堂训练：1.C2.平行四边形3.证明：，DE∥BF,
当堂训练：1.C2.43.证明：四边形ABCD是平行四边
中，
∠D=∠FCE,∴△ADE≌△FCE.(2)解：在□ABCD
∴.∠DEF=∠BFE.:∠AED=∠CFB.又AD∥BC,
相平分.14.解：FO=方AB且FO∥AB.理由：：四边形
DE=CE,
∴.∠DAF=∠BCF.又AE=CF,∴.△ADE≌△CBF.∴.AD=
形，.AD=BC,AD∥BC.:BE=SBC,FD=3AD,
ABCD是平行四边形，.OA=OC,AB∥CD,AB=CD.
中，CD=AB,BC=AD.BC=5..AD=5.由(1)知△ADE≌
BC.又AB=CD,∴.四边形ABCD为平行四边形.4.B5.D
.BE=DF.,DF∥BE,四边形BEDF是平行四边形
∴∠ABF=∠ECF,∠BAF=∠E.又CE=DC,∴CE=AB
△FCE,∴CF=AD=5,AE=EF=3.∴.AF=6,BF=10.又
6.D7.平行四边形
4.C5.B6.C7.17°8.89.解：连接
DE,FG.:BD,CE是△ABC的中线，
.△ABF≌△ECF.∴BF=CF.∴.OF为△ABC的中位线
∠BAF=90°，.在Rt△ABF中，由勾股定理，得CD=AB=
8.解：四边形ABFC是平行四边形，证明如下：，AB∥CD,
D,E分别是AC,AB边的中点.DE∥
.FO=号AB且FO∥AB.15.(1)证明：四边形ABCD
√/B-AF=√/10-6=8.即CD的长为8.
∴.∠BAE=∠CFE.点E是BC的中点，.CE=BE.在
第2课时平行四边形的对角线的性质
'∠BAE=∠CFE,
BC,DE=BC.同理可得FG∥BC,FG=BC,DE∥
是平行四边形，AD=BC,AD∥BC.∠ABC+∠BAD=
课前预习：1.互相平分COD02.底×高
△ABE和△FCE中，
∠BEA=∠CEF,∴△ABE≌△FCE FG,DE=FG..四边形DEFG是平行四边形..EF∥DG,
180°.AF∥BE,.∠EBA+∠BAF=180°..∠CBE=
BE=CE.
∠DAF.同理得∠BCE=∠ADF.在△BCE和△ADF中
当堂训练：1.D2.B3.D4.4√135.16
EF=DG.
I∠CBE=∠DAF,
6.证明：□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AO=
(AAS.AE=EF.又CE=BE,∴四边形ABFC是平行四课后作业：l.B2.C3.C4.B5.B
边形，
6.12cm6cm27.证明：连接BD交AC
BC=AD.
CO,AD∥BC.∴.∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中，
∴.△BCE≌△ADF(ASA)
课后作业：1.C2.D3.C4.125.平行四边形6.证于点O.:四边形ABCD是平行四边形
∠BCE=∠ADF,
明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.
..AO=CO.BO=DO.AD//BC.AD=BC
(2)解：点E在□ABCD内部，.S△E十S△AD
八年级数学·RJ·下册·127八年级数学下册
18.2.2菱形
第1课时
菱形的性质
课前预习
预习斯知
6,如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB
1.有
叫做菱形，
的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于
因此，菱形
特殊的平行四边形，它具有
点F.求证：DF=BE.
的所有性质。
2.菱形
(填“是”或“不是”)轴对称图形，它
有
条对称轴，分别是
3.菱形的性质：
(1)菱形的
(2)菱形的
4.菱形的两条对角线把菱形分成四个
知识点2菱形的面积
三角形，菱形的面积等于
7.(雅安)如图，菱形ABCD
的面积为120cm,对角线
当堂训练
础
AC=24cm,则菱形ABCD
知识点1_菱形的性质
的周长为
()
1.(莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的
A.52 cm B.40 cm C.39 cm D.26 cm
性质是
(
8.(贵州)已知一个菱形的边长为2，较长的对角线
A.对边相等
B.对角相等
的长为23，则这个菱形的面积是
C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
9.(安顺)如图，在□ABCD中，BC=2AB=4,E,
2.(抚顺)如图，四边形ABCD
F分别是BC,AD的中点.
是菱形，对角线AC,BD相
(1)求证：△ABE≌△CDF;
交于点O,AC=8,BD=6,
(2)当四边形AECF为菱形时，求该菱形的
点E是CD上一点，连接
面积.
OE.若OE=CE,则OE的
长是
A.2
B.
C.3
D.4
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相
交于点O,OE⊥AB,垂足为E.若∠ADC
130°，则∠AOE的度数为
()》
A.75°
B.65°
C.55
D.50
(第3题图)
(第4题图)
4.(广州)如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐
标分别为(3,0)，（一2,0），点D在y轴上，则
点C的坐标是
5.在菱形ABCD中，∠A=30°.在同一平面内，
以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三
角形BDE,则∠EBC的度数为
41
课后作业
7,如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD
全面找升
1,已知菱形ABCD的对角线AC=8cm,BD=
相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH.
6cm,则AC与BD的交点到任意一边的距离
求证：∠DHO=∠DCO.
为
A.5 cm
B.2.5 cm
C.2.4 cm
D.1.2 cm
2.(宿迁)如图，菱形ABCD的
对角线AC,BD相交于点
O,点E为边CD的中点.若
菱形ABCD的周长为16，，
∠BAD=60°，则△OCE的面积是
A.√3
B.2
C.2√3D.4
3.(白银)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条
对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分
成阴影部分和空白部分，当菱形的两条对角线
的长分别为6和8时，阴影部分的面积为
超越自我
8.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线
BD=16,点O是线段BD上的动点，OE⊥AB
于点E,OF⊥AD于点F.
(1)对角线AC的长是
,菱形ABCD的
(第3题图)
(第4题图)
面积是
4.(哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,
(2)当点O在对角线BD上运动时，OE+OF
BD相交于点O,点E在线段BO上，连接
的值是否会发生变化？请说明理由.
AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,
则线段AE的长为
5.在菱形ABCD中，边长AB=6,∠A=60°.若
2
点P是菱形内一点，且PB=PD=2√3，则
AP的长是
4
6.如图，在菱形ABCD中，F是AB上一点，DF
交AC于点E.求证：∠AFD=∠CBE.
42