河南省周口市恒大高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省周口市恒大高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 728.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 14:21:40 | ||
图片预览
文档简介
恒大高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：100
第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．下列幂函数中，其图像关于轴对称且过点、的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
2．已知全集，集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．7个
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
7．设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是U的一个环
B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且
D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且
8．在非等腰中，内角满足，若关于x的不等式对任意恒成立，则角A的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．若，，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中的函数是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
12．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象的最小正周期为
B．的图象的对称轴方程为
C．的图象的对称中心为
D．的单调递增区间为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．计算：______.
14． 的值为______.
15．下列说法正确的是__________（填序号）
①任取，均有；
②当且时，均有；
③是R上的增函数；
④的最小值为1；
⑤在同一坐标系中，与的图象关于y轴对称．
16．一块边长为a的正方形铁皮，在它的四个角上各剪去一个小正方形后折成一个无盖的长方体盒子．如果要使盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应是______．
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．若函数.求函数f(x)的对称中心与单调递增区间.
18．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
19．化简计算
(1)
(2)
20．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．已知集合，集合，其中.
（1）若，求；
（2）设，.若是的充分不必要条件，求的取值范围.
22．已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
一．单项选择题
1．B
【分析】根据幂函数的性质，逐项判断，即可得到结果.
【详解】由于函数的定义域为，所以函数图像不关于轴对，故A错误；
由于函数的定义域为，且，所以函数关于轴对称，且经过了点、，故B正确；
由于的定义域为，所以函数不过点，故C错误；
由于的定义域为，且，所以图像关于原点中心对称，故D错误.
故选：B.
2．B
【分析】先求出，再计算真子集个数即可.
【详解】由题意知：，则，则的真子集的个数为.
故选：B.
3．D
【分析】直接根据集合并集运算的定义进行求解即可.
【详解】已知，，
所以或.
故.
故选：D
4．D
【解析】根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.
【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：D
5．D
【分析】根据对数函数以及基本不等式求出的取值范围即可．
【详解】由题意得：对恒成立，
即恒成立，
令，当且仅当即时，有最小值，
故，
故选：．
6．C
【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.
【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.
故选：C.
7．D
【分析】对A，根据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在满足；对D，根据环的定义可得出中至少8个元素.
【详解】对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；
对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；
对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意.
对D，，，，，
，，
再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.
故选：D.
8．D
【分析】首先整理式子可得：，因为非等腰，所以，则：在恒成立，整理移项，再利用基本不等式得：，再利用三角函数的性质，即可得解.
【详解】在中，由，代入可得：
，
所以：
整理可得：，
即：，
因为非等腰，所以，
，代入可得：
，两边同除，可得：
在恒成立，
，
即，又因为，则，
所以，即，
又因为非等腰，所以，
所以，
故选：D.
二．多项选择题
9．AC
【分析】B选项，D选项中，当时，式子无意义，即可得出选项.
【详解】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；
B选项中，，无意义；
C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；
D选项中，当时，式子无意义．
故选：AC．
10．BC
【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断；
【详解】解：对于A：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：，两函数的定义域相同均为，且解析式一致，故是同一函数，故B正确；
对于C：定义域为，定义域为，两函数的定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故C正确；
对于D：定义域为，但是
定义域为，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故D错误；
故选：BC
11．AD
【分析】根据函数的定义一一判断即可；
【详解】解：对于A：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：，定义域为，但不满足函数的定义，如当时，和，故不是函数，故B错误；
对于C：，定义域为，且，且和，故不是函数，故C错误；
对于D：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确；
故选：AD
12．CD
【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再对各选项逐一分析、计算判断作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期为，有，，，
由得：，而，则有，因此，，
对于A，函数的周期，A不正确；
对于B，由得的图象的对称轴：，B不正确；
对于C，由得：，的图象的对称中心为，C正确；
对于D，由得：，
则有的单调递增区间为，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．
【分析】根据两角差的余弦公式计算化简可得原式等于，即可得出结果.
【详解】由题意得，
.
故答案为：.
14．
【分析】利用特殊角的三角函数值以及根式和对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
故，
故答案为：2
15．①④⑤
【分析】由指数函数图象与性质对结论逐一判断
【详解】对于①，任意，，故，①正确
对于②，若，则，②错误
对于③，，在R上单调递减，③错误
对于④，，故，④正确
对于⑤，由指数函数图象知与的图象关于y轴对称，⑤正确
故答案为：①④⑤
16．##
【分析】设出小正方形的边长，列出盒子的容积后利用均值不等式求盒子的最值．
【详解】设减去的小正方形的边长为，制成的盒子的容积为，
则
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以当，即减去小正方形的边长为时，制成的盒子的容积最大．
故答案为：
四、解答题
17．对称中心为，递增区间为.
【分析】化简为 的形式，利用整体代换分别求出对称中心和单调区间．
【详解】，
令，可得对称中心为，
令
解之得，
递增区间为
18．
（1）；（2）.
【解析】（1）根据函数解析式直接计算可得；
（2）依题意可得即，设
证明函数的单调性即可得到函数的最值，从而得到参数的取值范围.
【详解】（1）因为：
所以，，解得
（2）当时，，且.
因此
设（判断或证明单调性均给分）
任取，，且，则
因为是增函数，所以，
又因为，，所以，
所以，，所以在区间上单调递增，
所以,
又因为在上恒成立，
所以，.
【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，解题的关键是将不等式分离参数，转化为，将问题转化为求函数的最值.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数的计算求解即可；
（2）根据对数与指数的计算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
20．（1）；（2）.
【解析】(1)由平方关系先求的值，再根据两角和的正弦公式代入即可；
(2)先求的值，根据平方关系和二倍角公式把化成关于的表达式，然后代入即可.
【详解】解：，，，
（1）；
（2），
21．（1）；（2）
【分析】分别求解一元二次不等式化简与．
（1）把代入集合，再由交、并、补集的混合运算得答案；
（2）由是的充分不必要条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．
【详解】，
或．
（1）若，则或，，
；
（2）若是的充分不必要条件，
或
则．
且不等式组中两等号不同时成立，解得．
的取值范围是，．
【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算以及利用包含关系求参数，考查充分条件与必要条件的判定方法，考查数学转化思想方法，是中档题．
22．（1）；（2）；（3）．
【分析】(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围
【详解】解（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象
∵的图象过．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式为：
∴的周期为
在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，
即在上至少有30个解．
∴有或
解得：或
分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：
∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值
即，在所有满足上述条件的中的最小值为
（3），设，
∵即可
只需要解得
综上所述
试卷第4页，共4页
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：100
第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．下列幂函数中，其图像关于轴对称且过点、的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
2．已知全集，集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．7个
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
7．设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是U的一个环
B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且
D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且
8．在非等腰中，内角满足，若关于x的不等式对任意恒成立，则角A的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．若，，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中的函数是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
12．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象的最小正周期为
B．的图象的对称轴方程为
C．的图象的对称中心为
D．的单调递增区间为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．计算：______.
14． 的值为______.
15．下列说法正确的是__________（填序号）
①任取，均有；
②当且时，均有；
③是R上的增函数；
④的最小值为1；
⑤在同一坐标系中，与的图象关于y轴对称．
16．一块边长为a的正方形铁皮，在它的四个角上各剪去一个小正方形后折成一个无盖的长方体盒子．如果要使盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应是______．
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．若函数.求函数f(x)的对称中心与单调递增区间.
18．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
19．化简计算
(1)
(2)
20．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．已知集合，集合，其中.
（1）若，求；
（2）设，.若是的充分不必要条件，求的取值范围.
22．已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
一．单项选择题
1．B
【分析】根据幂函数的性质，逐项判断，即可得到结果.
【详解】由于函数的定义域为，所以函数图像不关于轴对，故A错误；
由于函数的定义域为，且，所以函数关于轴对称，且经过了点、，故B正确；
由于的定义域为，所以函数不过点，故C错误；
由于的定义域为，且，所以图像关于原点中心对称，故D错误.
故选：B.
2．B
【分析】先求出，再计算真子集个数即可.
【详解】由题意知：，则，则的真子集的个数为.
故选：B.
3．D
【分析】直接根据集合并集运算的定义进行求解即可.
【详解】已知，，
所以或.
故.
故选：D
4．D
【解析】根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.
【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：D
5．D
【分析】根据对数函数以及基本不等式求出的取值范围即可．
【详解】由题意得：对恒成立，
即恒成立，
令，当且仅当即时，有最小值，
故，
故选：．
6．C
【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.
【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.
故选：C.
7．D
【分析】对A，根据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在满足；对D，根据环的定义可得出中至少8个元素.
【详解】对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；
对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；
对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意.
对D，，，，，
，，
再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.
故选：D.
8．D
【分析】首先整理式子可得：，因为非等腰，所以，则：在恒成立，整理移项，再利用基本不等式得：，再利用三角函数的性质，即可得解.
【详解】在中，由，代入可得：
，
所以：
整理可得：，
即：，
因为非等腰，所以，
，代入可得：
，两边同除，可得：
在恒成立，
，
即，又因为，则，
所以，即，
又因为非等腰，所以，
所以，
故选：D.
二．多项选择题
9．AC
【分析】B选项，D选项中，当时，式子无意义，即可得出选项.
【详解】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；
B选项中，，无意义；
C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；
D选项中，当时，式子无意义．
故选：AC．
10．BC
【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断；
【详解】解：对于A：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：，两函数的定义域相同均为，且解析式一致，故是同一函数，故B正确；
对于C：定义域为，定义域为，两函数的定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故C正确；
对于D：定义域为，但是
定义域为，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故D错误；
故选：BC
11．AD
【分析】根据函数的定义一一判断即可；
【详解】解：对于A：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：，定义域为，但不满足函数的定义，如当时，和，故不是函数，故B错误；
对于C：，定义域为，且，且和，故不是函数，故C错误；
对于D：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确；
故选：AD
12．CD
【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再对各选项逐一分析、计算判断作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期为，有，，，
由得：，而，则有，因此，，
对于A，函数的周期，A不正确；
对于B，由得的图象的对称轴：，B不正确；
对于C，由得：，的图象的对称中心为，C正确；
对于D，由得：，
则有的单调递增区间为，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．
【分析】根据两角差的余弦公式计算化简可得原式等于，即可得出结果.
【详解】由题意得，
.
故答案为：.
14．
【分析】利用特殊角的三角函数值以及根式和对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
故，
故答案为：2
15．①④⑤
【分析】由指数函数图象与性质对结论逐一判断
【详解】对于①，任意，，故，①正确
对于②，若，则，②错误
对于③，，在R上单调递减，③错误
对于④，，故，④正确
对于⑤，由指数函数图象知与的图象关于y轴对称，⑤正确
故答案为：①④⑤
16．##
【分析】设出小正方形的边长，列出盒子的容积后利用均值不等式求盒子的最值．
【详解】设减去的小正方形的边长为，制成的盒子的容积为，
则
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以当，即减去小正方形的边长为时，制成的盒子的容积最大．
故答案为：
四、解答题
17．对称中心为，递增区间为.
【分析】化简为 的形式，利用整体代换分别求出对称中心和单调区间．
【详解】，
令，可得对称中心为，
令
解之得，
递增区间为
18．
（1）；（2）.
【解析】（1）根据函数解析式直接计算可得；
（2）依题意可得即，设
证明函数的单调性即可得到函数的最值，从而得到参数的取值范围.
【详解】（1）因为：
所以，，解得
（2）当时，，且.
因此
设（判断或证明单调性均给分）
任取，，且，则
因为是增函数，所以，
又因为，，所以，
所以，，所以在区间上单调递增，
所以,
又因为在上恒成立，
所以，.
【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，解题的关键是将不等式分离参数，转化为，将问题转化为求函数的最值.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数的计算求解即可；
（2）根据对数与指数的计算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
20．（1）；（2）.
【解析】(1)由平方关系先求的值，再根据两角和的正弦公式代入即可；
(2)先求的值，根据平方关系和二倍角公式把化成关于的表达式，然后代入即可.
【详解】解：，，，
（1）；
（2），
21．（1）；（2）
【分析】分别求解一元二次不等式化简与．
（1）把代入集合，再由交、并、补集的混合运算得答案；
（2）由是的充分不必要条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．
【详解】，
或．
（1）若，则或，，
；
（2）若是的充分不必要条件，
或
则．
且不等式组中两等号不同时成立，解得．
的取值范围是，．
【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算以及利用包含关系求参数，考查充分条件与必要条件的判定方法，考查数学转化思想方法，是中档题．
22．（1）；（2）；（3）．
【分析】(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围
【详解】解（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象
∵的图象过．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式为：
∴的周期为
在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，
即在上至少有30个解．
∴有或
解得：或
分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：
∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值
即，在所有满足上述条件的中的最小值为
（3），设，
∵即可
只需要解得
综上所述
试卷第4页，共4页
同课章节目录