3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习（含解析）

3.3.1抛物线及其标准方程
一、单选题
1. 若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
2. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是( )
A. B. C. 1 D.
3. 抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4. 若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是( )
A. 6 B. 2 C. 8 D. 4
5. 已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. D.
6. 已知P为抛物线上的一个动点，Q为圆上的一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴的距离之和的最小值是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题
7. 已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点坐标为
C. 点B的坐标为 D. 的面积为8
8. 已知抛物线的准线为，直线，点M在C上，则点M到直线与的距离之和可以为( )
A. B. C. D.
9. 已知曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大2，则下列结论正确的是( )
A. 曲线C的方程为
B. 若曲线C上的一点A到点F的距离为4，则点A的纵坐标是
C. 已知曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，则线段MN的中点横坐标是5
D. 已知，P是曲线C上的动点，则的最小值为5
三、填空题
10. 若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为__________.
11. 若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程是__________.
12. 已知点，抛物线的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得最小，则最小值为__________；此时P点的坐标为__________.
13. 已知抛物线，若第一象限的在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为__________.
14. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为__________.
15. 已知抛物线C：的焦点F，点是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线交于A、B两点在B的上方，若，则抛物线C的方程为__________.
四、解答题
16. 已知抛物线过点
求抛物线C的焦点坐标和准线方程
若抛物线C上一点B到焦点的距离为5，求B的坐标．
17. 已知F是抛物线C的焦点，坐标为，点P是抛物线C的动点，点P在y轴上的射影是M，点
求抛物线C的方程；
求的最小值.
18. 已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点
求的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
求点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
解：抛物线上一点到其准线的距离为4，
，解得，
抛物线的标准方程为
故答案选：

2.【答案】B
解：抛物线的焦点，准线，
设点，
根据抛物线的性质得，，解得，
则点M到x轴的距离是，
故选：

3.【答案】C
解：根据题意，抛物线的方程为，则其标准方程为，
其焦点在y轴正半轴上，且，
则其焦点坐标为；
故选：

4.【答案】D
解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为6的点到准线的距离等于8，
即，解得，
故焦点到准线的距离为，
故选：

5.【答案】A
解：抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得：，
的最小值为点F到l：的距离，
的最小值为
故选

6.【答案】D
解：如图所示，抛物线焦点，圆的圆心为，半径
设P在准线上的射影为R，
，
，
，
，
，
当且仅当F，P，Q，S共线且依序排列时取等号，
则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值：，
故选

7.【答案】ABD
解：将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，且，，
所以，故D正确．
故选

8.【答案】BCD
解：设抛物线C的焦点为F，则点，
由抛物线的定义可知，点M到准线的距离等于点M到焦点的距离，
则所求距离之和为点M到焦点F与到直线的距离之和，
其最小值即为点F到直线的距离
选项中BCD符合题意，
故选

9.【答案】ABD
解：曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大2，
曲线C上任意一点到直线的距离和它到点的距离相等，
曲线C为以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
对于B选项，若曲线C上的一点A到点F的距离为4，则点A的横坐标为，
将代入抛物线C的方程中，可得，
即点A的纵坐标是，故B正确；
对于C选项，曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，
所以点M，N的横坐标之和为，
线段MN的中点横坐标是3，故C错误；
对于D选项，过P作垂直于直线于，过A作垂直于直线于，如图所示：
由图可知，，
当且仅当P为直线与抛物线C的交点时，不等式可取等号，故D正确；
故选

10.【答案】
解：物线上一点到其准线的距离为4，
，即，
抛物线的标准方程为
故答案为

11.【答案】
解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，
则其准线方程为，得
该抛物线的标准方程是
故答案为：

12.【答案】3

解：设抛物线的准线为l，则l的方程为，
如图，过P作于，
则由抛物线的定义得，
所以，
由图形得当P、A、三点共线时，最小，
又最小值为A到准线l的距离此时最小值为3，
此时点P的纵坐标为，
所以，即点P的坐标为
故答案为：

13.【答案】
解：如图所示，设抛物线的准线为l，作于点C，于点D，于点E，
由抛物线的定义，可得，，
，
直线AB的斜率
故答案为：

14.【答案】
【解析】
解：与x轴垂直，设点P在第一象限，
点P坐标为，
又，
∽，，
则，
，即，故，
则准线方程为，
故答案为

15.【答案】
解：如图所示，过M点作，垂足为C，交准线于D，
，
由抛物线定义可得：，
，即，
点是抛物线上一点，
，即，
，得
故答案为：

16.【答案】解：由题意可知，解得，
因此抛物线C的焦点坐标为，准线方程为
由抛物线的定义，可知点B到准线的距离为5，
因此点B的纵坐标为4，由易知抛物线方程为，
将点B的纵坐标代入抛物线方程得，
解得或，即或
17.【答案】解：因为抛物线C的焦点坐标为，
所以
所以抛物线C的方程为：
抛物线焦点，准线，
如图，延长PM交准线于N，由抛物线定义得，
，而，
，当且仅当A，P，F三点共线时，取“=”号，此时，P位于线段AF上，
的最小值为
18.【答案】解：将代入抛物线方程，得，
，
点A在抛物线内部，
过点P作PQ垂直抛物线的准线l：于点Q，
由抛物线的定义，知，
当P，A，Q三点共线时，的值最小，最小值为，
即的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入，得，
点P的坐标为；
设抛物线上点P到准线l：的距离为d，
显然点在抛物线的外部，
由抛物线的定义，
得，
当B，P，F三点共线在线段BF上时取等号，
又，
所求最小值为