4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 499.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 14:27:08 | ||
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文档简介
4.3.2 等比数列的前n项和公式 同步练习
一、单选题
1．记为等比数列的前n项和．若，则的值为（ ）
A．24 B．48 C．39 D．36
2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知递增等比数列，则（ ）
A．15 B．31 C．32 D．63
4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
5．已知数列 的前 项和 满足，则 （ ）
A．511 B．512 C．1023 D．1024
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列：，，，，，..，，，，，，，…的前n项和为，正整数，满足：①，②是满足不等式的最小正整数，则（ ）
A．6182 B．6183 C．6184 D．6185
8．是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
二、多选题
9．等比数列的前项和为，前项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A．对任意正整数， B．
C．数列一定是等比数列 D．
10．已知等比数列，公比为，前n项和为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．当时，数列单调递增；
D．若且，则
11．已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列是周期为6的数列
B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列
C．若，则数列是等比数列
D．若正数满足，则数列为递增数列
三、填空题
13．已知是公比为的等比数列，若，则__________．
14．设等比数列的前6项和为6，且，则__________.
15．已知等比数列的公比，且，则___________.
16．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.
四、解答题
17．已知数列满足：，，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若正整数，，记.
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：.
18．已知等比数列的公比为是的前项和.
(1)若，求；
(2)若有无最值 说明理由；
(3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个
19．已知数列，是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列是以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前n项和.
20．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂.
(1)求该数列前55项和；
(2)求激活码的值.
21．某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．
（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；
（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．
（参考数据：，，）
22．已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围。
参考答案
1--8CCBBB CBC
9．ABC
10．AD
11．ABC
12．AD
13．
14．
15．120
16．91
17．（1）解：因为，所以
又因为所以是以1为首项，2为公比的等比数列
所以所以
（2）解：因为
所以
（3）解：（ⅰ）由题知：
又因为
所以
（ⅱ）因为
又因为
所以
18．（1）依题意，
当时，.
当时，
（2）当时，，是单调递增数列，
有最小值为，没有最大值.
当时，，，
①，当为奇数时，单调递减，有最大值为，且，
②，当为偶数时，单调递增，有最小值，
且.
所以当时，的最大值为，最小值为.
（3）依题意，，首项和都是正整数，，
由于，所以，
即从开始（），有种可能，
所以从开始（），有种可能，
由于，即，
即恒成立，
则时，，所以，
试题或，
当时，，
则取，共种.
当时，，
则取，共种.
综上所述，数列有个.
19．（1）设等比数列的公比为，
由题意可得，由①-②得，得，
再由已知得， 所以；
（2）由题意可知，则，
所以，
，
两式相减得，
即，
所以.
20．（1）解：由题意得，数列如下：
，
，，
……
，，，…，，
所以，该数列的前项和为，
所以，当时，解得，
所以，该数列前55项和为
（2）解：由（1）知，
所以，要使，即，有，此时，
所以是第组等比数列的部分和，
设，
所以，则，
所以，当时，，满足
所以对应满足条件的最小整数，
所以，激活码的值.
21．（1）依题意，，整理得：，
，又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，
∴2029年初资金翻再现两番
∴，解得，
所以的最大值是84．
22．（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.
一、单选题
1．记为等比数列的前n项和．若，则的值为（ ）
A．24 B．48 C．39 D．36
2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知递增等比数列，则（ ）
A．15 B．31 C．32 D．63
4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
5．已知数列 的前 项和 满足，则 （ ）
A．511 B．512 C．1023 D．1024
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列：，，，，，..，，，，，，，…的前n项和为，正整数，满足：①，②是满足不等式的最小正整数，则（ ）
A．6182 B．6183 C．6184 D．6185
8．是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
二、多选题
9．等比数列的前项和为，前项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A．对任意正整数， B．
C．数列一定是等比数列 D．
10．已知等比数列，公比为，前n项和为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．当时，数列单调递增；
D．若且，则
11．已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列是周期为6的数列
B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列
C．若，则数列是等比数列
D．若正数满足，则数列为递增数列
三、填空题
13．已知是公比为的等比数列，若，则__________．
14．设等比数列的前6项和为6，且，则__________.
15．已知等比数列的公比，且，则___________.
16．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.
四、解答题
17．已知数列满足：，，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若正整数，，记.
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：.
18．已知等比数列的公比为是的前项和.
(1)若，求；
(2)若有无最值 说明理由；
(3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个
19．已知数列，是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列是以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前n项和.
20．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂.
(1)求该数列前55项和；
(2)求激活码的值.
21．某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．
（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；
（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．
（参考数据：，，）
22．已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围。
参考答案
1--8CCBBB CBC
9．ABC
10．AD
11．ABC
12．AD
13．
14．
15．120
16．91
17．（1）解：因为，所以
又因为所以是以1为首项，2为公比的等比数列
所以所以
（2）解：因为
所以
（3）解：（ⅰ）由题知：
又因为
所以
（ⅱ）因为
又因为
所以
18．（1）依题意，
当时，.
当时，
（2）当时，，是单调递增数列，
有最小值为，没有最大值.
当时，，，
①，当为奇数时，单调递减，有最大值为，且，
②，当为偶数时，单调递增，有最小值，
且.
所以当时，的最大值为，最小值为.
（3）依题意，，首项和都是正整数，，
由于，所以，
即从开始（），有种可能，
所以从开始（），有种可能，
由于，即，
即恒成立，
则时，，所以，
试题或，
当时，，
则取，共种.
当时，，
则取，共种.
综上所述，数列有个.
19．（1）设等比数列的公比为，
由题意可得，由①-②得，得，
再由已知得， 所以；
（2）由题意可知，则，
所以，
，
两式相减得，
即，
所以.
20．（1）解：由题意得，数列如下：
，
，，
……
，，，…，，
所以，该数列的前项和为，
所以，当时，解得，
所以，该数列前55项和为
（2）解：由（1）知，
所以，要使，即，有，此时，
所以是第组等比数列的部分和，
设，
所以，则，
所以，当时，，满足
所以对应满足条件的最小整数，
所以，激活码的值.
21．（1）依题意，，整理得：，
，又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，
∴2029年初资金翻再现两番
∴，解得，
所以的最大值是84．
22．（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.