8.1 基本立体图形 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

8.1基本立体图形同步练习一
一、单选题
1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cm B．1cm C．cm D．cm
3．在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为（ ）
A．4 B． C． D．2
4．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）
A．12 B．13 C． D．15
5．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为
A．1 B．2 C．3 D．0
6．如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）
A． B．C．D．
7．我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥放置在平而上，已知它的底面边长为2，高，该正三棱锥绕边在平面上转动（翻转），某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，是上的动点，是上的动点，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是
A． B． C． D．
10．如图在四面体中，，，，E、F分别是，的中点.若用一个与直线垂直，且与四面体每个面都相交的平面a去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下列说法正确的是（ ）
A．且
B．四面体的体积是
C．多边形截面为矩形
D．多边形截面面积的最大值为
11．在正四棱台中，，，则（ ）
A．该棱台的高为 B．该棱台的表面积为
C．该棱台的体积为 D．该棱台外接球的表面积为
12．如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点P与A，B两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形
B．平面截正方体所得的截面可能是三角形
C．一定是锐角三角形
D．面积的最大值是
三、填空题
13．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______．
14．若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度___________．
15．如图，四面体ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是____________．
16．“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”为“牟和方盖”的上半部分，点为四边形的中心，点为“四脚帐篷”的“上顶点”，.用平行于平面的平面去截“四脚帐篷”，当平面经过的中点时，截面图形的面积为___________.
四、解答题
17．如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．
18．如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离．
(1)是边长为3的正三角形；
(2)是边长分别为，，的三角形．
（以上结果均保留2位小数）
19．三角形ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，各边都与半径为2的球O相切.
(1)求球心O到三角形各边的距离；
(2)求球心O到三角形ABC所在平面的距离；
(3)求球心O到三角形各顶点的距离.
20．已知圆锥SO的底面半径，高．
(1)求圆锥SO的母线长；
(2)圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值．
21．已知圆锥的底面半径为8，点为半圆弧的中点，点为母线的中点
（1）若母线长为10，求圆锥的体积;
（2）若与所成角为，求两点在圆锥侧面上的最短距离.
22．已知棱长为2cm的正方体容器内盛满水，把半径为1cm的钢球放入水中，刚好被淹没；然后放入一个铁球，使它也淹没于水中．要使流出的水量最多，这个铁球的半径应为多少？
参考答案
1--8BDCCC ABC
9．AD 10．ABD 11．ABD 12．AD
13．3
14．50 cm
15．
16．3
17．解：沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示：
且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长，
且.
18．（1）
记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有，
因为是边长为3的正三角形，利用正弦定理，得，
所以，解得．
（2）
记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有，
因为是边长分别为，，，
所以由余弦定理得，
又，所以，
再由正弦定理得，即，
所以．
19．
（1）由各边都与半径为2的球O相切可得球心O到三角形各边的距离为球的半径2；
（2）
过三角形的平面截此球所得截面为小圆，在中，设为的周长，为内切圆的半径，
则，得，则球心到圆心的距离为；即球心O到三角形ABC所在平面的距离为；
（3）
连接，由（2）得内切圆的半径为1，则，，
，则球心O到顶点的距离，球心O到顶点的距离，
球心O到顶点的距离.
20．（1）∵圆锥SO的底面半径，高，
∴圆锥SO的母线长；
（2）
作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中，，．
设圆柱底面半径为r，则，即．
设圆柱的轴截面面积为．
∴当时，有最大值为30．
21．（1）圆锥的底面半径为8, 母线长为10,根据勾股定理得到：
解得
（2）如图所示：为中点，连接
为母线的中点，为中点，则，与所成角为
故
将圆锥沿展开得到侧面平面图：对应圆心角为
在中，利用余弦定理得到：
故最短距离为
22．解:过正方体对角面的截面图如图所示,设两球的交点为S
,
设铁球的半径,
在中,,
,
.
计算得出:为所求
要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为.